2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷

2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷1.下列有理数中，比0小的数是( )A．−2B．1C．2D．32.2022年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为( )A．1.09×103B．1.09×104C．10.9×103D．0.109×1053.如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )A．B．C．D．4.下列运算正确的是( )A．a2+a3=a5B．a2⋅a3=a6C．(2a)3=8a3D．a3÷a=a35.如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35∘，则∠BCD的度数为( )A．65∘B．55∘C．45∘D．35∘6.不等式2x≤6的解集是( )A．x≤3B．x≥3C．x<3D．x>37.下列事件中，是必然事件的是( )A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯8.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定9. 一次函数 y =kx +b (k ≠0) 的图象经过点 A (−3,0)，点 B (0,2)，那么该图象不经过的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =√3，BC =2，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧交边 BC 于点E ，连接 AE ，则 DE ⏜ 的长为 ( )A ． 4π3B ． πC ． 2π3D ． π311. 因式分解：2x 2+x = ．12. 二元一次方程组 {x +y =5,2x −y =1的解是 ．13. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10 次射击成绩的平均值都是 7 环，方差分别为s 甲2=2.9，s 乙2=1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．14. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在 △OAB 中，AO =AB ，AC ⊥OB 于点 C ，点 A在反比例函数 y =k x (k ≠0) 的图象上，若 OB =4，AC =3，则 k 的值为 ．15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 为边 AD 上一点，AM =2MD ，点 E ，点 F 分别是 BM ，CM 中点，若 EF =6，则 AM 的长为 ．16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，点 P 为边 AD 上一动点，连接 OP ，以 OP 为折痕，将 △AOP 折叠，点 A 的对应点为点 E ，线段 PE 与 OD 相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为．17.计算：2sin60∘+(−13)−2+(π−2022)0+∣∣2−√3∣∣．18.沈阳市图书馆推出“阅读沈阳书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．(1) 求证：△AOM≌△CON；(2) 若AB=3，AD=6，请直接写出AE的长为．20.某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题．(1) m=，n=；(2) 根据以上信息直接补全条形统计图；(3) 扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为度；(4) 根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．21.某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？22.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．(1) 求证：DC=AC；(2) 若DC=DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为．23.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(4,4)，点B的坐标为(6,0)，点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运的时间为t 秒(0<t<4)，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．(1) 填空：AO的长为，AB的长为．(2) 当t=1时，求点N的坐标．(3) 请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）．(4) 点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表时，请直接写出S1⋅S2（即S1与S2的积）的最大值为．示为S1和S2，当t=4324.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．(1) 如图1，当α=60∘时，①求证：PA=DC；②求∠DCP的度数．(2) 如图2，当α=120∘时，请直接写出PA和DC的数量关系．(3) 当α=120∘时，若AB=6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为．x2+bx+c经过点B(6,0)和点25.如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12C(0,−3)．(1) 求抛物线的表达式．(2) 如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30∘得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；S2时，求点M的坐标．②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2，当S1=23(3) 如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α(0∘<α<120∘)得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG=2√3时，请直接写出点G的坐标为．答案1. 【答案】A【解析】由于 −2<0<1<2<3，故选：A ．2. 【答案】B【解析】将 10900 用科学记数法表示为 1.09×104．3. 【答案】D【解析】从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．4. 【答案】C【解析】A ．a 2+a 3，不是同类项，无法合并，不合题意；B ．a 2⋅a 3=a 5，故此选项错误；C ．(2a )3=8a 3，正确；D ．a 3÷a =a 2，故此选项错误．5. 【答案】B【解析】 ∵AC ⊥CB ，∴∠ACB =90∘，∴∠ABC =180∘−90∘−∠BAC =90∘−35∘=55∘，∵ 直线 AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =55∘．6. 【答案】A【解析】不等式 2x ≤6，左右两边除以 2 得：x ≤3．7. 【答案】A【解析】A ．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；B ．任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数，是随机事件；C ．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；D ．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件．8. 【答案】B【解析】由题意可知：Δ=(−2)2−4×1×1=0．9. 【答案】D【解析】（方法一）将 A (−3,0)，B (0,2) 代入 y =kx +b ，得：{−3k +b =0,b =2, 解得：{k =23,b =2,∴ 一次函数解析式为 y =23x +2．∵k =23>0，b =2>0， ∴ 一次函数 y =23x +2 的图象经过第一、二、三象限， 即该图象不经过第四象限．（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：一次函数 y =kx +b (k ≠0) 的图象不经过第四象限．10. 【答案】C【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴AD =BC =2，∠B =90∘，∴AE =AD =2，∵AB =√3，∴cos∠BAE =AB AE =√32， ∴∠BAE =30∘，∴∠EAD =60∘，∴DE ⏜ 的长 =60⋅π×2180=2π3．11. 【答案】 x(2x +1)【解析】 原式=x (2x +1)．12. 【答案】 {x =2,y =3【解析】 {x +y =5, ⋯⋯①2x −y =1. ⋯⋯② ① + ②得：3x =6，解得：x =2，把 x =2 代入①得：y =3，则方程组的解为 {x =2,y =3.13. 【答案】乙【解析】 ∵x 甲=7=x 乙，s 甲2=2.9，s 乙2=1.2，∴s 甲2>s 乙2，∴ 乙的成绩比较稳定．14. 【答案】 6【解析】 ∵AO =AB ，AC ⊥OB ，∴OC =BC =2，∵AC =3，∴A (2,3)，把 A (2,3) 代入 y =k x ，可得 k =6．15. 【答案】 8【解析】 ∵ 点 E ，点 F 分别是 BM ，CM 中点，∴EF 是 △BCM 的中位线，∵EF =6，∴BC =2EF =12，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =12，∵AM =2MD ，∴AM =8．16. 【答案】 52 或 1【解析】如图 1，当 ∠DPF =90∘ 时，过点 O 作 OH ⊥AD 于 H ，∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴BO =OD ，∠BAD =90∘=∠OHD ，AD =BC =8，∴OH ∥AB ，∴OH AB =HD AD =OD BD =12，∴OH =12AB =3，HD =12AD =4，∵ 将 △AOP 折叠，点 A 的对应点为点 E ，线段 PE 与 OD 相交于点 F ，∴∠APO =∠EPO =45∘，又∵OH⊥AD，∴∠OPH=∠HOP=45∘，∴OH=HP=3，∴PD=HD−HP=1；当∠PFD=90∘时，∵AB=6，BC=8，∴BD=√AB2+AD2=√36+64=10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=5，∴∠DAO=∠ODA，∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，∴AO=EO=5，∠PEO=∠DAO=∠ADO，又∵∠OFE=∠BAD=90∘，∴△OFE∽△BAD，∴OFAB =OEBD，∴OF6=510，∴OF=3，∴DF=2，∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠ADB，∴△PFD∽△BAD，∴PDBD =DFAD，∴PD10=28，∴PD=52．综上所述：PD=52或1．17. 【答案】原式=2×√32+9+1+2−√3 =√3+12−√3=12.18. 【答案】画树状图为：共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，∴抽出的两名学生性别相同的概率=36=12．19. 【答案】(1) ∵MN是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠AOM=∠CON=90∘，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M=∠N，在△AOM和△CON中，{∠M=∠N,∠AOM=∠CON, AO=CO,∴△AOM≌△CON(AAS)．(2) 154【解析】(2) 如图所示，连接CE，∵MN是AC的垂直平分线，∴CE=AE，设AE=CE=x，则DE=6−x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE=90∘，CD=AB=3，∴Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即32+(6−x)2=x2，解得x=154，即AE的长为154．20. 【答案】(1) 100；60(2) 可回收物有：100−30−2−8=60（吨）．补全完整的条形统计图如图所示．(3) 108(4) 2000×60100=1200（吨），即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．【解析】(1) m=8÷8%=100，n%=100−30−2−8100×100%=60%．(3) 扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360∘×30100=108∘．21. 【答案】设原计划每天修建盲道x m，则3000x −3000(1+25%)x=2,解得x=300,经检验，x=300是所列方程的解，答：原计划每天修建盲道300米．22. 【答案】(1) 如图，连接OD．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90∘，∴∠BDO+∠ADC=90∘，∵∠ACB=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A=∠ADC，∴CD=AC．(2) √3【解析】(2) ∵DC=DB，∴∠DCB=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC=∠BDO，∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC=180∘，∴∠DCB=∠DBC=∠BDO=30∘，∴DC=√3OD=√3．23. 【答案】(1) 4√2；2√5(2) 设直线 AB 的解析式为 y =kx +b ，将 A (4,4)，B (6,0) 代入得到，{4k +b =4,6k +b =0,解得 {k =−2,b =12,∴ 直线 AB 的解析式为 y =−2x +12， 由题意点 N 的纵坐标为 1， 令 y =1，则 1=−2x +12， ∴x =112，∴N (112,1)．(3)12−3t 2(4) 16 【解析】(1) ∵A (4,4)，B (6,0)，∴OA =√42+42=4√2，AB =√(6−4)2+42=2√5． 故答案为 4√2；2√5．(3) 当 0<t <4 时，令 y =t ，代入 y =−2x +12，得到 x =12−t 2，∴N (12−t 2,t)，∵∠AOB =∠AOP =45∘，∠OPM =90∘， ∴OP =PM =t ， ∴MN =PN −PM =12−t 2−t =12−3t 2．故答案为12−3t 2．(4) 如图， 当 t =43 时，MN =12−3×432=4，设 EM =m ，则 EN =4−m ．由题意 S 1⋅S 2=12⋅m ×4×12(4−m )×4=−4m 2+16m =−4(m −2)2+16， ∵−4<0，∴m =2 时，S 1⋅S 2 有最大值，最大值为 16． 故答案为 16．24. 【答案】(1) ①如图1中，∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=60∘，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC=∠PBD=60∘，∴∠PBA=∠DBC，∵BP=BD，BA=BC，∴△PBA≌△DBC(SAS)，∴PA=DC．②如图1中，设BD交PC于点O．∵△PBA≌△DBC，∴∠BPA=∠BDC，∵∠BOP=∠COD，∴∠OBP=∠OCD=60∘，即∠DCP=60∘．(2) CD=√3PA．(3) √32或5√32【解析】(2) 如图2中，∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120∘，∴BC=√3BA，BD=√3BP，∵BCBA =BDBP=√3，∵∠ABC=∠PBD=30∘，∴∠ABP=∠CBD，∴△CBD∽△ABP，∴CDPA =BCAB=√3，∴CD=√3PA．(3) 过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．如图3中，当△PBA是钝角三角形时，在Rt△ABN中，∵∠N=90∘，AB=6，∠BAN=60∘，∴AN=AB⋅cos60∘=3，BN=AB⋅sin60∘=3√3，∵PN=√PB2−BN2=√31−27=2，∴PA=3−2=1，由（2）可知，CD=√3PA=√3，∵∠BAP=∠BDC，∴∠DCA=∠PBD=30∘．∵DM ⊥PC ， ∴DM =12CD =√32． 如图 4 中，当 △ABN 是锐角三角形时，同法可得 PA =2+3=5，CD =5√3，DM =12CD =5√32， 综上所述，满足条件的 DM 的值为√32或5√32．25. 【答案】(1) ∵ 抛物线 y =12x 2+bx +c 经过点 B (6,0) 和点 C (0,−3)，∴{18+6b +c =0,c =−3,解得：{b =−52,c =−3,∴ 抛物线解析式为 y =12x 2−52x −3． (2) 等边三角形；∵△ODB 的面积 S 2=12×OB ×DH =12×6×3√32=9√32，且 S 1=23S 2，∴S 1=23×9√32=3√3，∵△BMN 是等边三角形， ∴S 1=√34MN 2=3√3∴MN =2√3，∵ 点 M 关于 x 轴的对称点为点 N ， ∴MR =NR =√3，MN ⊥OB ， ∵∠MBH =30∘，∴BR=√3MR=3，∴OR=3，∵点M在第四象限，∴点M坐标为(3,−√3)．(3) (6,−2√3)【解析】(2) 如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，∵点B(6,0)和点C(0,−3)，∴OC=3，OB=6，∵线段OC绕原点O逆时针旋转30∘得到线段OD，∴OD=3，∠COD=30∘，∴∠BOD=60∘，∵DH⊥OB，∴∠ODH=30∘，∴OH=12OH=32，DH=√3OH=3√32，∴BH=OB−OH=92，∵tan∠HBD=HDHB =3√3292=√33，∴∠HBD=30∘，∵点M关于x轴的对称点为点N，∴BN=BM，∠MBH=∠NBH=30∘，∴∠MBN=60∘，∴△BMN是等边三角形，故答案为：等边三角形．(3) 如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．由题意BE=BF=6，FK∥OB，∴∠ABK=∠FKB=60∘，∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，∴∠FGB=120∘，设GH=a，则FG=2a，FH=√3a，在Rt△BHF中，∵∠FHB=90∘，∴BF2=BH2+FH2，∴62=(2√3+a)2+(√3a)2，解得a=√3或−2√3（不符合题意舍弃），∴FG=BG=2√3，∴∠GBF=∠GFB=30∘，∴∠FBK=∠BFK=60∘，∴△BFK是等边三角形，此时F与K重合，BG⊥KF，∵KF∥x轴，∴BG⊥x轴，∴G(6,−2√3)．。