广东省湛江市 中考数学试卷及评分标准

湛江市2009年初中毕业生学业考试

数 学 试 卷

说明：

1.本试卷满分150分，考试时间90分钟．

2.本试卷共6页，共5大题．

3.答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”，然后按要求将答案写在答题卡相应的位置上．

4．请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔．

一、选择题：本大题10个小题，其中1~5每小题3分，6~10每小题4分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的） 1．下列四个数中，在1-和2之间的数是（ ） A ．0 B ．2- C ．3- D ．3 2．下列各式中，与2(1)x -相等的是（ ） A ．2

1x -

B ．221x x -+

C ．2

21x x --

D ．2

x

3．湛江是个美丽的海滨城市，三面环海，海岸线长达1556000米，数据1556000用科学记数法表示为（ ） A ．7

1.55610? B ．8

0.155610? C ．515.5610?

D ．6

1.55610?

4．在右图的几何体中，它的左视图是（ ）

5．沃尔玛商场为了了解本商场的服务质量，随机调查了本商场的100名顾客，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这100名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有（ ）

A ．6人

B ．11人

C ．39人

D ．44人

第4题图

A ．

B ．

C ．

D ．

A 44%

B 39%

C 11%

D A :很满意

B :满意

C :说不清

D :不满意

第5题图

A

B

C

D

E

第6题图

6．如图，在等边ABC △中，D E 、分别是AB AC 、的中点，3DE =，则ABC △的周长是（ ）

A ．6

B ．9

C ．18

D ．24

7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶

点O 在原点，点C 的坐标为(40)，

，点B 的纵坐标 是1-，则顶点A 的坐标是（ ）

A ．(21)-，

B ．(12)-，

C ．(12)，

D ．(21)， 8．根据右图所示程序计算函数值， 若输入的x 的值为

5

2

，则输出的 函数值为（ ）

A ．32

B ．25

C ．425

D ．254

9．下列说法中：

①4的算术平方根是±2;

③点(23)P -，

关于原点对称的点的坐标是(23)--，； ④抛物线21

(3)12

y x =-

-+的顶点坐标是(31)，． 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．②③④

10．如图，小林从P 点向西直走12米后，向左转，

转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共

走了108米回到点P ，则α（ ）

A ．30°

B ．40°

C ．80°

D ．不存在

二、填空题：本大题共10个小题，其中11~15每小题3分，16~20每小题4分，共35分． 11．2-的相反数是 ．

12．要使分式1

3

x -有意义，则x 的取值范围是 ．

13．如图，已知155AB CD ∠=∥，°，则2∠= ． 14．分解因式：2

2

m n -= ．

15．已知在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、

12、8，则第三组的频数为 ．

第7题图

P α α 第10题图

第8题图

A B

C

D

1

2 第13题图

16．如图，AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠= °．

17．一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是 元．

18．如图，12O O ⊙、⊙的直径分别为2cm 和4cm ，现将1O ⊙向2O ⊙平移，当12O O = cm 时，1O ⊙与2O ⊙相切．

19．已知222233

22333388

+

=?+=?，， 244441515+=?，……，若288a a b b +=?（a 、b 为正整数）

则a b += ．

20．如图，在梯形ABCD 中，90511AB CD A B CD AB ∠+∠===∥，°，，，点M N

、分别为AB CD 、的中点，则线段MN = ． 三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分.

21．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A

表示，设点B 所表示的数为m ． （1）求m 的值；

（2）求0

1(6)m m -++的值．

B C 第16题图

第18题图

B

M 第20题图

第21题图

22．如图，点O A B 、、的坐标分别为(00)(30)(32)-，、，、，

，将OAB △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到OA B ''△．

（1）画出旋转后的OA B ''△，并求点B '的坐标；

（2）求在旋转过程中，点A 所经过的路径 AA '的长度．（结果保留π）

四、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.

23．某语文老师为了了解中考普通话考试的成绩情况，从所任教的九年级（1）、（2）两班各随机抽取了10名学生的得分，如图所示：

（

（2）若把16分以上（含16分）记为“优秀”，两班各有60名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀．

第22题图

1 2 3 4 5 6 7 9 10

8 编号

九(1)班 1 2 3 4 5 6 7 9 10 8 编号 九(2)班 第23题图

24．如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P

相距 （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？

（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）

25．六张大小、质地均相同的卡片上分别标有1、2、3、4、5、6，现将标有数字的一面朝下扣在桌面上，从中随机抽取一张（放回洗匀），再随机抽取第二张．

（1）用列表法或树状图表示出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果；

（2）记前后两次抽得的数字分别为m 、n ，若把m 、n 分别作为点A 的横坐标和纵坐标，求点()A m n ，在函数12

y x

=

的图象上的概率． 26．如图，AB 是O ⊙的切线，切点为B AO ，交O ⊙于点C ，过点C 作DC OA ⊥，交AB 于点D ．

（1）求证：CDO BDO ∠=∠；

（2）若30A O ∠=°，⊙的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

第24题图

N 北

A

B D 第26题图

五、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

27．某公司为了开发新产品，用A 、B 两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种 新型产品共50件，下表是试验每件

新产品所需原料的相关数据：

（1

）设生产甲种产品x 件，根据题意列出不等式组，求出x 的取值范围；

（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为

y 元，写出成本总额y （元）与甲种产品件数x （件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．

28．已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻

折

得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得 直线PE PF 、重合．

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y 取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标

图①

图②

第28题图

湛江市2009年初中毕业生学业考试

数学试卷参考答案与评分说明

35分．

二、填空题：本大题共10小题，其中11~15每小题3分，16~20每小题4分，共35分． 11．2 12．3x ≠ 13．125° 14．()()m n m n +-

15．15 16

．90 17．108 18．1或3 19．71 20．3

三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．

21．解：（1）由题意可得2m = ··············

······

················································· 2分 （2）把m 的值代入得：0

1(6)21(26)m m -++=-+ ·············

············· 3分

=0

1(8 ················································································

···· 4分 11+ ································································································· 7分 ········································································································ 8分

22．解：（1）如图OA B ''△为所示，点B '的坐标为(23)，

； (4)

（2）OAB △绕点O 逆时针旋转90°后得OA B ''△点A 所经过的路径 AA '是圆心角为90°，半径为3 的扇形OAA '的弧长，所以13

(2π3)π42

l =

??=． ······························································· 7分即点A 所经过的路径 AA '的长度为

3

π2

． ·········· 8分四、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分． 23 ························································································································ 6分 （2）7604210?

= （名），6

603610

?=（名）． ∴九（1）班有42名学生成绩优秀，九（2）班有36名学生成绩优秀． ·

························· 10分 第22题图

24．解：过点P 作PQ MN ⊥，交MN 的延长线于点Q ． ········································· 1分

（1）在Rt PQM △中，由60MPQ ∠=°，

得30PMQ ∠=° 又36PM =

11

361822

PQ PM ∴=

=?=（海里） ··································································· 3分 在Rt PQN △

中，cos PQ QPN PN ∠=

== 45QPN ∴∠=°

即军舰N 到雷达站P 的东南方向（或南偏东45°） ··············································· 5分 （2）由（1）知Rt PQN △为等腰直角三角形，18PQ NQ ∴==（海里） ··············· 7分 在Rt PQM △

中，tan 18tan60MQ PQ QPM =∠==··°

18MN MQ NQ ∴=-=（海里） ·

·························································· 9分

答：两军舰的距离为()

18海里． ··························································· 10分

························································································································ 4分 由表可看出，前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果有36种． ························· 5分 或画树状图：

第24题图

N 北 1 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6 4 1 2 3 4 5 6 5 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 5 6 第一次： 第二次：

从树状图可以看出，所有可能出现的结果有36种，即： ·············································· 3分 （1，1）、（1、2）、（1、3）、（1、4）、（1、5）、（1、6）、 （2，1）、（2、2）、（2、3）、（2、4）、（2、5）、（2、6） （3，1）、（3、2）、（3、3）、（3、4）、（3、5）、（3、6） （4，1）、（4、2）、（4、3）、（4、4）、（4、5）、（4、6） （5，1）、（5、2）、（5、3）、（5、4）、（5、5）、（5、6） （6，1）、（6、2）、（6、3）、（6、4）、（6、5）、（6、6） ································ 5分 （2）有4个点（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）在函数12

y x

=

的图象上 ············ 8分 ∴所求概率41369

P =

= ························································································ 10分 26．解：（1）AB 切O ⊙于点B ∴OB AB ⊥，即90B ∠=° ····················································································· 1分

又90DC OA OCD ⊥∴∠= ，° ············································································· 2分

在Rt COD △与Rt BOD △中 OD OD OB OC == ，

Rt Rt ()COD BOD HL ∴△≌△ ············································································ 3分 CDO BDO ∴∠=∠． ···························································································· 4分

（2）在Rt ABO △中，304A OB ∠==°

， 8OA ∴=

844AC OA OC ∴=-=-=

······················································ 5分 在Rt ACD △中，tan CD

A AC

∠=

又304A AC ∠==°

，

tan 30CD AC ∴==

·° ······················································ 7分

1224233OCD OCDB S S ∴==???=△四边形 ······················································ 8分

又3060A BOC ∠=∴∠=°

，°． 260π48π

3603

OBC

S ∴==扇形·． ·············································································· 9分

8π

3

OCDB OBC S S S ∴=-=

阴影四边形扇形． ····················································· 10分 五、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 27．解：（1）依题意列不等式组得94(50)360310(50)290x x x x +-??

+-?≤≤

···································· 3分

A

B D 第26题图

由不等式①得32x ≤ ························································································· 4分 由不等式②得30x ≥ ························································································· 5分

x ∴的取值范围为3032x ≤≤ ·

··········································································· 6分 （2）7090(50)y x x =+- ·············································································· 8分 化简得204500y x =-+

200y -<∴ ，随x 的增大而减小． ··································································· 9分

而3032x ≤≤

∴当32x =，5018x -=时，203245003860y =-?+=最小值（元）

··················· 11分 答：当甲种产品生产32件，乙种18件时，甲、乙两种产品的成本总额最少，最少的成本总

额为3860元． ····························································································· 12分

28．解：（1）由题意知，POC PAD △、

△均为等腰直角三角形， 可得(30)(03)(41)P C D ，、，、， ··········································································· 2分

设过此三点的抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，则39301641c a b c a b c =??

++=??++=?

12523a b c ?=??

?

=-∴????=?

∴过P C D 、、三点的抛物线的函数关系式为215

322

y x x =

-+ ······························ 4分 （2）由已知PC 平分OPE PD ∠，平分APF ∠，且PE PF 、重合，则90CPD ∠=°

图①

图②

第28题图

90OPC APD ∴∠+∠=°，又90APD ADP ∠+∠=° OPC ADP ∴∠=∠．

Rt Rt POC DAP ∴△∽△．

OP OC AD AP ∴

=，即3

4x y x

=- ·········································································· 6分 2211414

(4)(2)(04)33333

y x x x x x x =

-=-+=--+<< ∴当2x =时，y 有最大值43

． ······································································· 8分 （3）假设存在，分两种情况讨论：

①当90DPQ ∠=°时，由题意可知90DPC ∠=°，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为（0，3） ······················································································ 9分 ②当90DPQ ∠=°时，过点D 作平行于PC 的直线DQ ，假设直线DQ 交抛物线于另一点

Q ， 点(30)03P C ，、

(，)，∴直线PC 的方程为3y x =-+，将直线PC 向上平移2个单位与直线DQ 重合，∴直线DQ 的方程为5y x =-+ ·················································· 10分

由25

15322y x y x x =-+??

?=-+??得16x y =-??

=?或41x y =??=? 又点(41)

(16)D Q ∴-，，，． 故该抛物线上存在两点(03)(16)Q -，、，满足条件． ················································ 12分

说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．

第28题图