7直线、平面、简单几何体

直线、平面、简单几何体一、知识结构一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、 果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法1、 定义：成︒90角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为︒902、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0十．空间角的计算：总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．1.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；3.而求二面角α－l－β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2)垂面法：过棱l上任一点O作棱l的垂面γ，设γ∩α＝OA，γ∩β＝OB，则∠AOB ＝θ(图1)；(3) 三垂线法：利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A，分别作另一个平例2、如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，E 是CC 1的中点，求二面角B-B 1E-D 的余弦值。

例3、在平面角为600的二面角α-l-β 内有一点P ，P 到α、β分别为PC=2cm,PD=3cm,则（1）垂足的连线CD 等于多少？（2）P 到棱l 的距离为多少？例4、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=900，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成300角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。

十一.空间的距离问题：即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作点到面的垂线段，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作点到面的垂线段，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要 求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．十二、欧拉公式: 如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2.计算棱数E 常见方法：(1)E ＝V+F-2；(2)E ＝各面多边形边数和的一半； (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半。

（4）多面体的内角和为：(V-2)•3600=(E-F) •3600十三、经纬度及球面距离：⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O 的地轴为NS ，圆O 是0°纬线，半圆NAS 是0° 经线，若某地P 是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P 的经线NPS交赤道于B ，过P 的纬线圈圆 O 1交NAS于A ，那么则应有：∠AO 1P=120°(二面角 的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。

⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，求球面上两点A 、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长； 十四、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点十三、面积和体积1、ch s =直棱柱侧 ()为直截面周长斜棱柱侧``c l c s = rh cl s π2==圆柱侧⌒ ⌒ ⌒ ⌒ BM AOOSN P ⌒ 线段AB 的长 ∠AOB 的弧度数 大圆劣弧AB的长 RBA OO'2、`21ch s =正棱锥侧 rl cl s π==21圆锥侧 3、24r s π=球4、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方5、l s sh V `==棱柱(s`为直截面面积) sh h r V =⋅=2π圆柱斜三棱柱的体积公式：a S l S h s V ⋅=⋅=⋅=侧面侧棱直截面216、sh V 31=棱锥 sh h r V 31312=⋅=π圆锥7、334R V π=球 )(31体适用于有内切球的多面内切球半径表体r S V ⋅= 十四、其它.1、关于等边三角形，边长为a ，其内切圆半径为r ,外接圆半径为R,则r 与a ，R 与a ，R 与r 的关系分别为 该三角形的面积S= 。

2、边长为a 的正四面体中，侧棱与底面所成的角的一个三角函数值为 侧面与底面所成的余弦值为 ，顶点到对面的距离为 ，该四面体的体积为 。

3、 棱锥的各侧面与底面所成的角相等， 记为θ，则S 侧cos θ=S 底；4、 三余弦公式？其中α为线面角，β为斜线与 平面内直线所成的角，5、已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;6、正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；7、求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 练习：1、如图，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，点A 1在底面的射影O 在AB 上，已知侧棱A 1A 与底面ABCD 成450角，A 1A=a 。

求二面角A 1-AC-B 的平面角的正切值。

（答案：2）D 1OA 1 BDAB 1C C2、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900，AB=a,AD=3a,sin ∠ADC=55, 又PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的大小。

（答案：arctg35） 3、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。

（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离。

（答案：Ⅰ、450；Ⅱ、600；Ⅲ、）PBCDA A 1ABCC 1B 1。