初二数学函数及函数图象(含答案)

函数及函数图象例题精讲一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πS R =中，π是常数，是一个常量，而S 随R 的变化而变化，所以S 、R 是变量． 2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 注意：⑴对于每一个给定的x 值，y 有一个唯一确定的值与之对应，否则y 就不是x 的函数．例如2y x =就不是函数，因为当4x =时，2y =±，即y 有两个值与x 对应．⑵对于每一个给定的y 值，x 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．二、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． ⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． ⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数．求y 与x 的函数关系时， 必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．三、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象． 2．函数图象的画法⑴列表； ⑵描点； ⑶连线． 3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j 解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、函数的相关概念【例1】 分别指出下列关系式中的变量与常量：球的表面积2cm S （）与球半径(cm)R 的关系式是24S R π=； 设圆柱的底面半径()R m 不变，圆柱的体积3()V m 与圆柱的高()h m 的关系式是2V R h π=．【答案】（1）变量是S 、R ；常量是4π（2）变量是V 、h ；常量是2πR【例2】 判断下列式子中y 是否是x 的函数．⑴22(35)y x =-⑵y =⑶12y x =-⑷8y x =-【答案】⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y 有唯一值与x 对应”． 【巩固】判断下列式子中y 是否是x 的函数．⑴22(21)y x =-⑵y =⑶2y x =-⑷3y x =-【答案】⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y 有唯一值与x 对应”． 【例3】 下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）．DCBA【答案】C【巩固】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（）A B C D【答案】D二、实际问题中的函数及其图象【例4】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（）A B C D【答案】B【巩固】如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（）AxOyyOxByOxCyOxD【解析】由于乌鸦看到水瓶，沉思一会儿的过程中，水位不发生变化，可排除Ｃ项；再由瓶中放入小石子，水位上升可知排除Ａ项；最后由乌鸦喝到水的水位一定大于瓶中开始的水位排除Ｂ项，选Ｄ．【答案】Ｄ【例5】 边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（ ）tsO tsO O st t sOABCD【解析】当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的34，所以选择A ，C 的描述比例不符合．【答案】A【巩固】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）【答案】Ｃ三、函数自变量的取值范围BAOA ．B ．C ．D ．St StSt St OOOO【例6】 函数25y x =-自变量的取值范围是 ． 【解析】x 取全体实数，函数都有意义； 【答案】自变量x 的取值范围是全体实数；【巩固】函数3231y x x =++的自变量x 的取值范围是 ． 【答案】x 为任意实数 【例7】 函数52x y x -=-自变量的取值范围是 ． 【解析】只需保证分母20x -≠，就能使函数有意义． 【答案】自变量的取值范围是2x ≠． 【巩固】在函数 121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】12x ≠【巩固】函数214y x =-的自变量x 的取值范围是 ． 【答案】2x ≠± 【巩固】函数211y x=+的自变量x 的取值范围是 ．【答案】0x ≠，且1x ≠-【例8】函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x ≤-D ．12x ≤【答案】B【巩固】函数y 的自变量x 的取值范围是 ． 【解析】由230730x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得3723x ≤≤【答案】3723x ≤≤【例9】函数y 的自变量x 的取值范围是 ．【答案】1x >【巩固】函数y 的自变量x 的取值范围是 ．【答案】0x > 【例10】 函数y 的自变量x 的取值范围是 ．【解析】由34010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得431x x ⎧≥⎪⎨⎪≠⎩，因此43x ≥【答案】43x ≥【巩固】函数y =的自变量x 的取值范围是 ． 【解析】由2403x x -≥⎧⎨≠⎩，解得2x ≥，且3x ≠；【答案】2x ≥，且3x ≠【例11】 根据你的理解写出下列y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围（我们称为定义域）．⑴ 某人骑车以6/m s 是速度匀速运动的路程y 与时间x ，解析式： ，定义域： ；⑵ 正方形的面积y 与边长x ，解析式： ，定义域： ；【答案】⑴6y x =，0x ≥； ⑵2y x =，0x >【巩固】写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．⑴直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．⑵如果水的流速量是a m/min （一个定量），那么每分钟的进水量Q （3m ）与所选择的水管直径D （m ）之间的函数关系．⑶某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后,则利息（y 元）与所存月数x 之间函数关系．【答案】⑴90y x =-，常量：90，自变量：x ，因变量：y ，自变量取值范围：090x <<；⑵2π4a D Q =，常量：π4a ，自变量：D ，因变量：Q ，自变量取值范围：0D <；⑶0.2y x =，常量：0.2，自变量：x ，因变量：y ，自变量取值范围：0x >的整数．【例12】 等腰ABC ∆周长为10cm ，底边BC 长为cm y ，腰长为cm x ．⑴写出y 关于x 的函数关系式； ⑵求x 的取值范围； ⑶求y 的取值范围．【解析】⑴由题意，得10x x y ++=，即102y x =-⑵因为x 、y 为线段，所以0x >，0y >．所以1020x ->，即05x <<；又因为x 、y 为三角形的边长，所以x x y +>，即2102x x >-，所以 2.5x >．所以2.55x <<⑶由2.55x <<，得5210x <<，所以1025x -<-<-，所以01025x <-<．因此y 的取值范围是05y <<．【答案】⑴102y x =-；⑵2.55x <<；⑶05y <<【巩固】等腰三角形的周长为60，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围？【解析】602y x =-，由三角形的三边关系可得：2x y >，0x >，0y >，可得1530x <<． 【答案】602y x =-，1530x <<【例13】 某礼堂共有25排座，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位．求每排座位数y 与这排的排数x 的函数关系，并写出自变量的取值范围．【解析】20(1)119y x x =+-⋅=+，自变量取值范围：125x ≤≤，且是整数． 【答案】19y x =+，125x ≤≤，且是整数．【巩固】小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【答案】5012y x =+（1x ≥且x 是整数）．课后作业1.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）ABCD【答案】D 2.函数223x y x -=-的自变量x 的取值范围是 ．【答案】3x ≠ 3.函数2113y x =+的自变量x 的取值范围是 ．【答案】x 为任意实数 4.函数y =x 的取值范围是 ．【答案】由720x -≥，解得72x ≤ 5.函数y 的自变量x 的取值范围是 ．【答案】1x ≥ 6.写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【答案】1902y x =-7.等腰三角形的周长为20，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围．【解析】202y x =-，由三角形的三边关系可得：2x y >，0x >，0y >，可得510x <<． 【答案】202y x =-，510x << 8.如图，周长为24的凸五边形ABCDE 被对角线BE 分为等腰ABE ∆ 及矩形BCDE ，AE DE =，设AB 的长为x ，CD 的长为y ，求y 与 x 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．yx x xx DCE B A【解析】244y x =-，在ABE ∆中，2244x x >-，所以4x >，故46x <<． 【答案】244y x =-，46x <<。