数学抽象概括方法概论

数学抽象概括方法概论
田伟040109104
数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，这恐怕与教育愈来愈重视人的能力的培养与素质提高有着密切的练学好数学有着非常好的促进作用。

中学数学所涉及的数学方法很广，主要有抽象方法，划归方法，数形结合方法，数学模型方法，数学归纳猜想方法，演绎法，分类法，类比法，特殊化方法，换元法，待定系数法，配方法等。

本文将主要对数学抽象方法进行分析和探究，加深对数学抽象方法的认识以及更好的掌握这种方法。

一：数学抽象的基本原则
（1）数学抽象的基本准则：模式建构形式化原则
在严格的教学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观
意义，我们都只能依据相应的定义区进行(演绎)推理，而不能
求助于直观。

从而，在这样的意义上，数学的抽象就是一种构
造性的活动，数学研究对象正是通过这种活动逻辑得到“构造”
的
○1理想化
理想化抽象就是通过对实际事物或一些客观现象进行比较。

理想的概念化，并确定一定的彼此关系。

理想化的抽象列子很多，比如通常从几何角度讲的圆，直线，都是理想化的，实际生活中的圆，直线，三角形与理想情况相比较都是错误的，都是近似的。

所以说数学抽象都是一个理想化的过程，比如说生活中根本找不到没有“大小的
点”和“没有宽度的线”等。

○2模式化
数学对象的“逻辑构建”还是一个“模式化”即“重新构造”的过程。

由于数学对象的逻辑建构是借助于纯粹的数学语言得意完成的，因此，相对于现实模型而言，通过数学抽象而形成的数学概念机概念体系就具有更为普遍的意义。

它所反映的已不只是这一特定的事物或现象的量性特征，而是一类事物在量的方面的共性特征。

也正是这样，数学的研究对象就应当被看成是一种（量化）模式。

正如White Head所指出的：“数学就是对模式的研究”。

二：数学抽象方法的孕育和应用
○1代数中的孕育点
通过若干个正数，负数以及零在数轴上的点到原点的距离，概
括出有理数的绝对值概念：a a a>0
0 a=0 -1 a<0
当
当
当
有（+4）+（+3）=+7；
（-4）+（-3）=-7；
分别概括出两个符号相同的加减的符号与和的符号的关系，以及加数的绝对值与和的绝对值的关系，从而得到同号两数相加的和的符号规律和绝对值规律
由（-4）+（-3）=+1，
（-4）+（+3）=-1
分别概括出符号相异的加数的符号与和的符号的关系，以及加数的绝
对值与和的绝对值的关系，从而得到异号两数相加的和的符号规律和绝对值的规律。

由（-4）+0=+4，
（-4）+0=-4；
概括出一个数与零相加，仍得这个数。

最后综合起来得到：有理数的加法法则。

○2常见的抽象方法有三种：○1等价抽象；○2理想化抽象○3可能性抽象。

（1）等价抽象
在思维中把同类研究对象的共同属性抽象出来而舍弃其他非共
同属性，这样的抽象就是等价抽象。

例如，两个三角形，若它
们的对应角相等，对应边成比例，那么，这样的两个三角形具
有相同的形象，把三角形的这种对应关系以及形象相同的特点
抽象出来，就得到相似三角形的概念。

这就是等价抽象。

一般的，等价抽象的对象都具有3个重要性质○1自反性，例如，
ABC A B C
:，则
∆∆
:。

○2对称性，例如，''' ABC ABC
∆∆
∆∆
:，
ABC A B C
:，○3传递性，例如，''' '''
A B C ABC
∆∆
∆∆
:。

ABC A B C
'''''''''
A B C A B C
∆∆
:，则''''''
（2）理想化抽象
所谓理想化抽象，是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非
就是客观事物本身存在的东西，而是从实际事物分离出来的经
过思维加工的来的，甚至是假想出来的。

例如，几何中的“点”，
“直线”，“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，那是人
们“假想”出来的理想化概念。

在数学中，在原有的研究对象中引入理想化的元素，往往可创
造出新的数学理论。

例如，我们知道，在实数系中解方程会遇
到负数开偶次方的问题，人们在实数的基础上引入理想化的元
素----虚数，把虚数和实数一起进行运算，这样，不仅使“负数
开偶次方”问题得到解决，而且使方程论化繁为简。

有了复数，就得到“一元n次方程必有n个根”等结论。

其后还进一步发
展处复变函数理论。

理想化抽象对数学的发明创造有重要的意义。

（3）可能性抽象
在数学中，我们常常研究各种抽象对象的无限集合，如自然数
列等，要把原来有限的集合无限的延伸，就要把我们认识客观
事物在时间，空间中的局限性舍去，而从实践的观点来看，能
够实现的过程必须是有限的步骤，实际上，任何人都不可能把
再燃数列延伸到无限的境地。

但我们知道，如果能够把自然数
延伸到自然数n，那么必能写出自然数n后面一位自然数n+1.
因此，我们可认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性，
简称可能性，把这种性质抽象成为无限延伸概念的特殊方法是
一种潜在可能性的抽象方法，简称可能性抽象，在数学中，无
限小，无限大，权限等概念都是有这种抽象方法得来的。

三．抽象方法的应用
例1.格尼斯堡七桥问题：如图，格尼斯堡有一条大河横管城中，河中有两个小岛，把城区分为A,B,C,D四个地区，在地区之间共建了七座桥，试问：能否从某地出发经过每一座桥一次又不许重复的返回原地。

瑞士数学家欧拉在1736年把这个问题抽象成一笔画问题并解决了此问题。

七桥问题等价于图中从某一点出发，不重复的经过每条边一次而返回出发点，欧拉证明了一个网络是一笔画的充要条件为：它联通并且奇次点（即与该点关联的边是奇数条）的个数等于0或2，由于上图中A,B,C,D都是奇次点，所以答案是否定的，在这个列子中，把实际问题抽象成纯数学问题（数学模型）来进行研究的，从而获得了解决这类问题的方法（数学模型方法）
例：海滩上有一对苹果是5只猴子的财产，它们要平均分配，第一只猴子来了，把苹果分成5堆还剩一个，然后他把剩下的那个苹果仍到海里，自己拿了一堆，第二只猴子来了，又把苹果分成5堆，又多出1个，它又把多出的那个苹果扔到海里，拿走一堆，以后每只猴子都照做，问原来至少有多少苹果？最后至少有多少苹果？
列方程解应用题就是抽象分析法的一个具体应用，解决上述问题
就是通过对问题进行具体分析，从题设中数量与数量之间的关系，特别是数量间的相等关系，从而建立其方程式，使问题得以解决。

解：设任一只猴子来到时，苹果个数为x ，猴子离开时剩下的苹
果个数为y ，依题意，有：
1(1)(1)5y x =-- 即 4(1)5y x =-
由题意，设最初由n 个苹果，第i （i=1,2,3,4，......)个，猴子离开时，剩下苹果个数为i y ，则
144(1)(4)4,55y n n =-=+-
22334455444[(4)41]()(4)4555
4()(4)4,5
4()(4)4,5
4()(4) 4.5y n n y n y n y n =+--=+-=+-=+-=+-
要使5y 取整数，必须有n+4是5
5的倍数，所以n 的取值为n=55-4=3121，所以，5y =5
4-4=1020，故原来至少为3121个苹果，最后至少有1020个苹果。

使用抽象方法不仅可以解决许多实际问题，而且在数学中可以用来建立新概念和创新新理论。

四 概括方法
概括是吧抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法，概括要以抽象为基础，它是抽象的发展，概括的过程就是从个别带一般的过程，抽象度越高，概括性就越强，所得的概念和理
论运用于实际时，其迁移范围就更广，也就是说，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。

概括方法在数学中得到广泛应用，并对数学的发展起了很大作用 例如：自然数的运算性质（加法和乘法的交换率,结合律，以及乘法对于加法的分配率）推广到代数式及抽象元素所组成集合上的运算，其中就是运用到了概括的方法。

犹如，在中学数学中，幂的运算性质，把同底数的自然数指数幂的运算性质：
()()()()m n m n
m n m n n m m n mn
n n n
n
n n a a a a a a
a a a a
b a b a a b b +-⋅=======g g
推广到有理数指数幂，以至实数指数幂的运算，都是运用了概括的方法。

抽象与概括是密不可分的，抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象，从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性，而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的属性，抽象思维侧重于分析，提炼，概括思维则侧重于归纳，综合，数学中的每一个概念都是对一类事物的对个对象通过观察分析，抽象出每个对象的各种属性，在通过归纳，概括出各个对象的共同属性而形成形成的。

在解决数学问题方面，得出数学的模型，模式，总结出解题的规
律和方法都是通过分析，比较，抽象，归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。