山东省临沂市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题含解析

山东省临沂市2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数2222()x f x e-μ-σ=π⋅σ（）x ∈R （）曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（ ）A ．997B ．954C ．683D ．3412．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A ．16B ．15C ．23D ．133．设复数1i z =--，z 是z 的共轭复数，则(2)z z ⋅+的虚部为 A ．2i -B ．2iC ．2-D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．设15a =315b =2log 15c =，则下列正确的是 A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．已知复数1023z i i=-+（其中i 为虚数单位），则z = A ．33B ．32C ．23D ．227．已知,a b 为实数，则“2ab b >”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数1,0,()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程[()]f g x λ=有6个不相等的实数解，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2(0,)5B ．2(0,)3C ．21(,)52D ．12(,)239．已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．92B ．102C ．112D ．12210．如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且AM=AD=1, AB=3，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．36B ．69C ．25D ．3411．函数2ln y x =的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值75二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．下图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为__________．15．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________.16．{}n a 为等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在一次考试中，某班级50名学生的成绩统计如下表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀． 分数 69 73 74 75 77 78 79 80 82 83 85 87 89 93 95 合计 人数 24423463344523150经计算，样本的平均值81μ≈，标准差 6.2σ≈．为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X ，并根据以下不等式进行评判： ①()0.6828P X μσμσ-<<+≥； ②(22)0.9544P X μσμσ-<<+≥； ③(33)0.9974P X μσμσ-<<+≥．评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷． （1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长4AB =米、宽2BC =米的黑板做如图所示的区域划分:取AB 中点F ,连接CF ,以AB 为对称轴,过,A C 两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点P ,作PE AB ⊥垂足为E ,作//PG AB 交CF 于点G .在四边形PEFG 内设计主题LOGO ,其余区域用于文字排版,设PE 的长度为t 米.(1)求PG 长度的表达式()f t ,并写出定义域；(2)设四边形PEFG 面积为S ,求当t 为何值时, S 取最大值,最大为多少平方米?19．（6分）一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为a ，俯视图中正方形的边长也为a .主视图和左视图 俯视图 （1）画出实物的大致直观图形； （2）求此物体的表面积；（3）若2a =，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到0.1个单位） 20．（6分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.21．（6分）设命题P ：对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立.（1）若P 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.22．（8分）已知a>0，a≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p∨q 真，p∧q 假，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ===因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. 2．C 【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种， 所以，甲、丙相邻的概率为4263P ==. 故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用. 3．C【解析】 【分析】由1i z =--，得1z i =-+，代入(2)z z ⋅+，利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解. 【详解】由题意，复数1i z =--，得1z i =-+，则(2)(1)(12)2z z i i i ⋅+=---++=-，所以复数(2)z z ⋅+的虚部为2-， 故选C. 【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】根据15xy =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可确定函数的单调性，根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论. 【详解】由15xy =的单调递增可知：11321515>> a b ∴>令())2log 0f x x x =>，则()()122ln 22ln 2f x x x x '==> 令()0f x '=，则22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 23ln 2ln e =>=2ln 23> 229ln 2⎛⎫∴< ⎪⎝⎭()()21516log 160f f ∴>==，即：2log 15> c a ∴>综上所述：b a c << 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭后，需验证零点与15之间的大小关系，从而确定所属的单调区间. 6．B 【解析】分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可. 详解：()()()10310223233333i z i i i i i i i i -=-=-=--=-++-，则z =故选：B.点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 7．B 【解析】分析：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，即可判断关系．详解：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，则0a b >>不成立， 所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．A 【解析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则224141,4141x x x x λλλλ-++=---++=-+，241410x x λλ-++=，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得205λ<<， 当0<λ<25时,△3=16−4(1+4λ−10λ)>0即3−4λ+10λ>0恒成立， 故λ的取值范围为(0,25).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识． 9．A 【解析】由题意可得：46,4610n n C C n =∴=+= ，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为1091222⨯= . 本题选择A 选项.点睛：1．二项展开式的通项1C k n k kk n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系． 10．A 【解析】 【分析】做辅助线，构造并找到二面角A BC D --所对应的平面角，根据已知可得tan θ，进而求得其最大值. 【详解】在平面图中过A 作DM 的垂线并延长，交DM 于H ,交DC 于E .在翻折过程中A 点在平面BCD 上的投影的轨迹就是平面图中的AE .设翻折的角度为0,ααπ，在平面BCD 投影为'A ，过'A 作'A F BC ⊥于F ，则'AFA ∠即为二面角A BC D --所对的平面角.然后有'2AA α=，51'cos 22A F α=+.故2tan 515cos cos 22ααθαα==++=()h α，求导得'2221)(5cos cos )sin (sin )55cos (5cos )(5cos )ααααααααα+⎤+--⎛⎫⎣⎦== ⎪ ⎪+++⎝⎭,设1cos 5β=-，当()0,αβ∈时， 1cos 5α>-，'()0,h α>函数()h α单调递增，当(),αβπ∈时，1cos 5α<-，'()0,h α<函数()h α单调递减，所以αβ=即1cos 5α=-时，()h α有最大值，此时tan θ=6,故选A. 【点睛】本题的解题关键在于找到二面角的平面角,并且用了求导数的方法求最大值，有一定的难度. 11．B 【解析】 ∵20x ≠， ∴0x ≠，∴函数2ln y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，又()()f x f x -=，∴函数2ln y x =为偶函数，且图象关于y 轴对称，可排除C 、D ．又∵当1x >时，2ln 0y x =>，可排除A ．综上，故选B ．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 12．A 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】 因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14．112399++++【解析】 【分析】根据流程图知当1i =，满足条件100i <，执行循环体，1S =，依此类推，当100i =，不满足条件100i <，退出循环体，从而得到结论． 【详解】1i =，满足条件100i <，执行循环体，1S = 2i =，满足条件100i <，执行循环体，12S =+ 3i =，满足条件100i <，执行循环体，123S =++…依此类推99i =，满足条件100i <，执行循环体，1299S =++⋯+，100i =，不满足条件100i <，退出循环体， 输出1112399S S ==+++⋯+，故答案为112399++++．【点睛】本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．15．（2），（4）【解析】【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+， 则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-， ()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-， 得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．16．123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。