高中习题 数学选修4-1-1
苏教版高中数学选修4-1平行截割定理作业
同步测控我夯基 我达标1.如图1.1-25,l 1∥l 2∥l 3，则下列比例式中正确的是( )图1.1-25A.BC CE DF AD= B.AF BCBE AD= C.BC AD DFCE = D.CEBEDF AF= 解析:∵AD 与CE 、DF 与BC 不是对应线段，故A 错.∵AD 与BC 是对应线段，BE 与AF 也是对应线段，但AD 与BE 及BC 与AF 不是同一条直线被l 1∥l 2∥l 3所截的线段，故B 错，同理C 错. 答案:D2.如图1.1-26，DE ∥BC,EF ∥AB,下列比例式正确的是（ ）图1.1-26A.FC BF DB AD= B.EC AE =FB CFC.BC DE DBAD = D.ABEFBC DE = 解析:∵DE ∥BC,∴DB AD =EC AE.∵EF ∥AB,∴EC AE =FCBF.∴DB AD DB AD =FCBF . 答案:A3.如图1.1-27,已知：直线l 1∥l 2∥l 3,两直线被l 1、l 2、l 3分别截于A 、B 、C 和D 、E 、F 各点，则下列各式中不一定成立的是（ ）图1.1-27A.EF DEBC AB= B.DF DEAC AB= C.CA BCFDEF = D.CEBE BE AD= 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立，只有D 不成立. 答案:D4.如图1.1-28,AD ∥EF ∥BC,AD=15,BC=21,2AE=EB,则EF 等于（ ）图1.1-28A.15B.16C.17D.18 解析:作AG ∥DC ，设AG 交EF 于K ，∵四边形ADCG 为平行四边形.∴KF=AD=15,BG=BC-GC=21-15=6. 在△ABG 中，EK ∥BG . ∴AB AE BG KB ==31,由BG=6，得EK=2,从而EF=EK+KF=2+15=17. 答案:C5.如图1.1-29，在△ABC 中，DE ∥BC,若31=AB AD ,DE=2，则BC 的长为（ ）图1.1-29A.2B.4C.6D.8 解析:因为DE ∥BC ，所以BC DE =AB AD =31.所以BC=6. 答案:C6.如图1.1-30，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）图1.1-30A.18B.12C.9D.3 解析:因为DE ∥BC ，所以BD AD =EC AE =21. 所以DB=12，所以AB=AD+DB=18.答案:A7.已知梯形中位线长为12，一条对角线分中位线所成两条线段的比是2:1，则梯形两底长分别是……（ ）A.8，16B.10，14C.6，18D.4，20解析:设梯形ABCD 中AB ∥DC ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，连AC 交EF 于G ，则G 分EF 为2:1的两段，设EG=8，GF=4，则上底AB=2GF=8，下底CD=2EG=16. 答案:A8.如图1.1-31,AB ∥CD ∥EF,AF 、BE 相交于O ，若AO=OD=DF ，BE=10 cm ，则BO 的长为（ ）图1.1-31A.310cm B.5 cm C.25cm D.3 cm 解析:根据AB ∥CD ∥EF 和AO=OD=DF ，有BO=OC=CE ，所以BO=31BE.答案:A9.如图1.1-32，ABCD,E 在CD 延长线上，AB=10，DE=5，EF=6，则BF 的长为 …（ ）图1.1-32A.3B.6C.12D.16 解析:∵AB ∥DE,则EFBFDE AB =, 即6510BF=,∴BF=12. 答案:C10.如图1.1-33,DE ∥AB,DF ∥BC,若AF:FB=m:n,BC=a,则CE 等于（ ）图1.1-33A.n am B.m an C.n m am + D.n m an+解析:∵FD ∥BC,∴nm mBC FD AB AF +==,∵四边形BEDF 为平行四边形，故BE=FD=n m m +·BC=nm am+. CE=BC-BE=nm ann m am a +=+-. 答案:D11.如图1.1-34,AB ∥CD ∥EF,且AO=OD=DF,OE=6,则BE 等于（ ）图1.1-34A.9B.10C.11D.12 解析:过O 作OP ∥AB ∥CD ∥EF ，由平行线等分线段定理知OB=OC=EC=21OE=3. ∴BE=OB+OC+EC=9. 答案:A12.如图1.1-35，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）图1.1-35A.DB AD =EC AE B.AD AB =AE ACC.AB AC =DB ECD.DB AD =BCDE 解析:由平行截割定理知A 、B 、C 都成立. 选择项D 中应为AB AD =BCDE. 答案:D我综合 我发展13.如图1.1-36，l 1∥l 2∥l 3,l 4与l 5交于点P ，PA=a ，AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf 等于…（ ）图1.1-36A.abB.bdC.aeD.ce 解析:过P 作PQ ∥l 1∥l 2∥l 3,由平行截割定理知：PA:AB:BC=PD:DE:EF,即a:b:c=d:e:f ⇒b:c=e:f ⇒bf=ce. 答案:D14.如图 1.1-37所示，l 1∥l 2∥l 3,若CH=4.5 cm,AG=3 cm,BG=5 cm,EF=12.9 cm,则DH=__________，EK=__________.图1.1-37解析:由l 1∥l 2∥l 3可得AG BG CH DH =，所以DH=AG CH BG ∙=35.45⨯=7.5,同理可得EK 的长度. 答案:7.5 cm 34.4 cm15.如图1.1-38,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP.若AB=6 cm,则AP=__________;若PM=1 cm,则PC=______________.图1.1-38解析:由AB=AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，有D 是BC 的中点，再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点，P 是AN 的中点，由此，AP=31AB ，PM=41PC. 答案:2 cm 4 cm16.如图1.1-39，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC,若AE:EC=7:3，则DB:AB 的值为__________.图1.1-39解析:由AE:EC=7:3有103=AC EC . 根据MN ∥DE ∥BC 可得ACECAB DB =，即得结论. 答案:10317.如图1.1-40,测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10 mm ，AC 被分为60等份.如果小管口DE 正好对着量具上30份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是__________mm.图1.1-40解析:根据106030DEAB DE ==，所以DE=5 mm. 答案:518.如图1.1-41，DE ∥AB ，EF ∥BC ，AF=5 cm ，FB=3 cm ，CD=2 cm ，求BD=__________cm.图1.1-41解析:∵DE ∥AB,EF ∥BC,∴四边形BDEF 是平行四边形，∴BD=EF.∵EF ∥BC,∴BC EF AB AF =,∴DC BD BDFB AF AF +=+. 设BD=x cm,∴2355+=+x x ,∴x=310,即BD=310cm. 答案:310我创新 我超越19.如图1.1-42，D 为△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE ∥BC ，DF ∥AC,AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H.求证：GH ∥AB.图1.1-42分析:要证GH ∥AB ，由三角形一边的平行线的判定定理可知，只要能证明GH ，AB 所在的三角形中，被截得的四条线段对应成比例即可，即证DG EG =HB EH 或HDFHGA FG =，在证明时，平行线得到的比例线段较多，要注意取舍.证明:∵DE ∥BC,∴FB DG AF AG FC GE ==,∴FB FCDG GE =. 又∵DF ∥AC,∴HB EH =FBCF.∴HBEHDG GE =,∴GH ∥AB. 20.(1)阅读下面材料，补全证明过程：如图1.1-43，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于F ，作FG ⊥BC 于G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等分点.图1.1-43证明：在矩形ABCD 中，OE ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴OE ∥DC. ∴DC OE =21.∴FD EF =DC OE =21.∴ED EF =31.（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. 分析:（1）要让G 是BC 的三等分点，只须证明AB GF =31，又AB=CD ，故只需证明31=CD GE ，本题要补全证明过程，故应将前面的证明意图及思路弄清楚.（2）由G 点的作法猜想：连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M ，则M 即为所求.解:（1）补充证明 ∵FG ⊥BC,DC ⊥BC,∴FG ∥DC,∴ED EF DC FG ==31. ∵AB=DC,∴AB FG =31,又∵FG ∥AB, ∴AB FG BC CG ==31. (2)连结DG 交AC 于H ，过H 作HM ⊥BC 于M.M 即为所求.21.如图1.1-44，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE:ED=1:3，BE 的延长线交AC 于F.求AF:FC.图1.1-44分析:由已知线段的比，求另外线段的比，通常作平行线，构造平行线分线段成比例定理的基本图形，本题过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，则由DG ∥AF 得DE AF DG AF ==31，从而AF=31DG ，又由DG ∥CF 得BDBCDG CF ==2，得CF=2DG ，由此求得AF:FC=1:6.证明:过D 作DG ∥AC 交BF 于G ，∵DG ∥AF,∴EDAEDG AF =. ∵ED AE =31,∴DG AF =31. ∵DG ∥CF,∴DG CF =BD BC.∵BC=2BD,∴DGCF=2,∴61=CF AF .。
2019年新课标Ⅱ数学选修4-1专题练习题一
2019年新课标Ⅱ数学选修4-1专题练习题一填空题（共10道）1、如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则=.2、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为⊙的切线,为切点,是过点的割线,,,的平分线与和⊙分别交于点和.（I）求证：；（II）求的值.3、如图7：A点是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，圆的半径为1，则PA+PB的最小值为。
4、(几何证明选讲选做题)如图，梯形，，是对角线和的交点，，则。
5、如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为______．6、（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA= _________ ．7、如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则的值为________．8、若，则实数=．9、将椭圆+=1绕其中心逆时针旋转90°，所得曲线的方程是______．10、如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝，AB＝BC＝3，则AC的长为。
单选题（共10道）11、在同一平面的直角坐标系中，直线x-2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A2x′+y′=4B2x′-y′=4Cx′+2y′=4Dx′-2y′=412、把矩阵变为后，与对应的值是（）ABCD13、如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A3对B4对C5对D6对14、用平行四边形ABCD表示平面,正确的说法是AACB平面ACCABD平面AB15、（）（）结果是（）A（）B（）C（）D（）16、圆内接平行四边形一定是A正方形B菱形C等腰梯形D矩形17、若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边的长度之和为A24cmB21cmC19cmD9cm18、正弦曲线y=sinx通过坐标变换公式，变换得到的新曲线为（）ABY=2sin3XCD19、将点P（-2，2）变换为P′（-6，1）的伸缩变换公式为（）ABCD20、已知=（，1），若将向量-2绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为（）A（0，4）B（2，-2）C（-2，2）D（2，-2）-------------------------------------1-答案：试题分析：连BO、CO，是⊙的两条切线，所以，四边形OBDC内角和为，.又同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以=.2-答案：解：（I）∵为⊙的切线，∴，…………………1分又公用，∴∽. …………2分∴. ……………………………3分（II）∵为⊙的切线，是过点的割线，∴. .......................................5分又∵,，∴，. ......6分由（I）知，，∵是⊙的直径，∴.∴,∴ (7)分连结，则，…………………8分又，∴∽,∴…………………………9分∴.……………10分略3-答案：1略4-答案：1：6，，，∵，，而∴。
人教版高中数学选修4-51.1.1《不等式的基本性质》练习及答案
第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回首和复习不等式的基天性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋ b| ≤|a＋ |b|；(2)|a－ b| ≤|a－c|＋ |c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋ b| ≤c， |ax＋ b| ≥c，|x－ c|＋ |x－ b| ≥a.,在自然界中存在着大批的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起侧重要的作用．学习时注意适合联系实质，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适合应用数形联合有益于解决问题．如函数的图象、会合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基天性质1．回首和复习不等式的基天性质．2．灵巧应用比较法比较两个数的大小．3．娴熟应用不等式的基天性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小次序的关系．数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞ b? a－ b________；a＝ b? a－ b________；a＜ b? a－ b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只需考察它们的差的符号即可．22答案: ＞2.不等式的基天性质．(1)对称性：假如a＞ b，那么 b＜ a；假如 b＜ a，那么 a＞b.(2)传达性：假如a＞ b，且 b＞ c，那么 a＞ c，即 a＞ b， b＞ c? a＞ c.(3)加法：假如a＞ b，那么 a＋ c＞b＋ c，即 a＞ b? a＋ c＞ b＋ c.推论：假如a＞b，且 c＞ d，那么 a＋ c＞ b＋ d.即 a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d.(4)乘法：假如a＞ b ，且 c＞ 0，那么 ac＞bc；假如 a＞ b，且 c＜ 0，那么 ac＜ bc.(5)乘方：假如a＞ b＞ 0，那么 a n＞b n (n∈N ，且 n＞ 1)．n n(6)开方：假如a＞ b＞ 0，那么a＞b(n∈N ，且 n＞ 1)．思虑 3若a＞b＞0，则有3a____2b.答案 : 2．思虑 2：＞思虑3：＞一层练习1．设 a， b， c∈R 且 a>b，则 ()112233A ． ac>bc B.a<b C． a >b D ． a >b答案 :D2． (2014 ·川高考理科四 )若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0，则必定有 ()A.a＞ bB.a＜ bC.a＞ bD.a＜bc d c d d c d c分析：选 D. 由于 c＜ d＜ 0，因此－ c＞－ d＞ 0，即得－1d＞－1c＞ 0，又 a＞b＞ 0.得－ad＞－bc，a b进而有d＜c.答案： D2 3．比较大小：(x＋ 5)(x＋ 7)________( x＋ 6) .答案：＜1＞1” 同时成立的条件是4 ．“ a ＞b”与“a b________________________________________________________________________ ．答案： b＜ 0＜ a二层练习5．已知 a ， b ，c 知足 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜ 0，那么以下选项中不必定建立的是 ( )A ． ab ＞ acB ． c(b － a)＞0C ．cb 2＜ ab 2D ． ac(a － c)＜ 0答案： Cππ )＜ α＜ β＜，则 α－ β的取值范围是 (6．设角 α，β 知足－ 22A ．－ π ＜ α－β＜ 0B ．－ π ＜ α－ β＜π πC ．－ 2 ＜ α－ β＜0ππD ．－ 2＜ α－ β＜2答案： A7．假如 a<b<0，那么以下不等式建立的是 ()1 12A. a <b B ． ab<b211C ．－ ab<－ aD ．－ a <－ b答案： D1 1b a 8．若 < <0，则以下不等式： ① a ＋b<ab ；② |a|>|b|；③ a<b ；④＋ >2. 此中正确的有 ()a babA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： B9．已知 a>b>0，则a与 a ＋ 1的大小是 ________． b b ＋ 1答案： a >a ＋ 1b b ＋ 1b 2 a 210．已知 a>0，b>0，则 a ＋ b 与 a ＋ b 的大小关系是 ________．22答案： b＋a≥ a ＋ ba b三 层 练 习11．设 x ，y ∈ R ，则 “x ≥1且 y ≥ 2是”“x ＋y ≥ 3的”( ) A ．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件 C ．充要条件D ．即不充足也不用要条件 答案： A12．设 0< a<b<1，则以下不等式建立的是()331 1 A ． a >b B. a <bC ．a b >1D ． lg( b －a)<0答案： D13． (2014 ·东高考理科山 )已知实数 x ， y 知足 a x ＜ a y (0＜ a ＜ 1)，则以下关系式恒建立的是()11A.x 2＋1＞y 2＋ 1B ．ln( x 2＋ 1)＞ ln( y 2＋ 1)C ．sin x ＞sin y33D ． x ＞y分析：选 D. 由 a x ＜a y (0＜ a ＜1) 知， x ＞ y ，因此1A ． y ＝ x 2＋ 1在 (－ ∞， 0)递加， (0，＋ ∞)递减，没法判断B ．y ＝ ln( x 2＋ 1)在 (－∞， 0)递减， (0，＋ ∞)递加，没法判断C ．y ＝ sin x 为周期函数，没法判断D ． y ＝ x 3 在 R 上为增函数， x 3＞ y 3 答案： D14．设 a>b>1， c<0，给出以下三个结论：c c ① a >b ；② a c <b c ；③ log b (a －c)>log a (b － c)．此中全部的正确结论的序号是 ________． A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③分析：依据不等式的性质结构函数求解．1 1∵ a>b>1，∴ a <b .又 c<0，∴ca >cb ，故①正确．结构函数 y ＝ x c .∵ c<0，∴ y ＝ x c 在 (0，＋ ∞)上是减函数．又 a>b>1，∴ a c <b c ，故②正确． ∵ a>b>1，－ c>0，∴ a － c>b － c>1.∵ a>b>1，∴ log b (a － c)>log a ( a －c)>log a (b － c)，即 log b (a － c)>log a (b －c)，故③正确．答案： D1．不等关系与不等式．(1)不等关系重申的是关系，而不等式重申的则是表示二者不等关系的式子，可用“ a＞b”，“ a＜b”，“ a≠ b”，“ a≥ b”，“ a≤ b”等式子表示，不等关系可经过不等式来表现；走开不等式，不等关系就没法表现．(2)将不等关系娴熟化为不等式是解决不等式应用题的基础，不行忽略．2．不等式的性质．关于不等式的性质，重点是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和增强后，结论能否发生了变化；运用不等式的性质时，必定要注意不等式建立的条件，切不行用仿佛、是或很明显的原因取代不等式的性质．特别提示：在使用不等式的性质时，必定要搞清它们建立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，往常能够归纳为判断它们的差的符号 (仅判断差的符号，至于切实值是多少没关紧急 )．在详细判断两个实数 (或代数式 )的差的符号的过程中，常会波及一些详细变形，如：因式分解、配方法等．关于详细问题，怎样采纳适合的变形方式来达到目的，要视详细问题而定．。
人教版B版高中数学选修4-1(B版)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线
C1
P1
F2 C
F1 m
M
C2 P2
在截线m上任取一点M，连接MF1、MF2； 过点M作圆柱面的母线，分别与两个球相切于点 P1、P2 . MP1和MF1， MP2和MF2分别都是同一 点引同一球的两条切线，所以
MP1 = MF1 ， MP2 = MF2 ，
MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2 .
在一个平面内，到两个定点距离和等 于定长（大于两定点的距离）的点的轨迹， 叫做椭圆.
P
F1
F2
下面作出的圆柱面的两个内切球，叫做 Dandelin 双球
课堂小结
1. 切点圆：
圆柱面的每一条母线都与球相切，所有点 的集合是半径为定长的圆，此圆叫做点切圆.
2. 内切球：
如果圆柱面与球相切，该球叫做圆柱面的 内切球.
由于P1P2的长与点M的选择无关，所以曲 线m上任一点M，到两个切点的距离和等于定 长（ P1P2 的长）.
我们还可以证明，在平面δ内，除曲线m 上的点外，其它各点都不具有上述性质，由此 可见，上述性质是椭圆的一个特征性质.
C1
P1
F2 C
F1
M
C2 P2 m
P
F1
F2
因此我们可以利用这个性质来定义椭圆. 即
δ
rC
在⊙(C，r)上任取一点H，则CH与过点H 的母线垂直.过球半径的外端与该圆垂直的直线， 都是球的切线，于是圆柱面的每一条母线都与 球相切.
δ
rC
H
容易证明，所有切点的集合是半径为 r 的圆， 此圆称作切点圆.
这时，我们说圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱面的内切球.
rC
人教版B版高中数学选修4-1(B版)圆锥面及其内切球
R hr rl
行(相当于图3 92中的
), 那么平面就只与
图3 10
正圆锥的一半相交, 这时的交线是一条抛物线;
如 果 平 面 不 与 母 线 平 行, 那 么 会 出 现 两 种 情 形:
平 面 只 与 圆 锥 的 一 半 相交, 这 时 的 交 线 为 椭 圆;
平面与圆锥的两部分都相交, 这时的交线叫做
圆锥面及其内切球
思考 如图3 91, AD是等
A
腰三角形ABC 底边上的高,
l
BAD .直线l与AD相交于
P
点P,且与AD的夹角为 ( 0 B D C
2
).试探究:当与
满足
什么关系?
1l与AB或AB的延长线、AC
都相交;
1
G
A
l
E
F P
2l与AB不相交;
m
`
到焦点F1 的距离与到两 A
S Q1 B
平面交线m的距离之比.
如图3 12,上面一个Dandelin
F1
P
球与圆锥的交线为圆S , 记圆S
所在的平面为 `.设 与 `的交
图3 12
线为m.在椭圆上任取一点P,连接PF1.在 中过P作m
的垂线,垂足为A.过P作 `的垂线,垂足为B,连接 AB,
图3 11
闭曲线.设两个球与平面 的切
点分别为F1、F2 ,与圆锥相切于圆S1、S2 .
在截口的曲线上任取一点 P,
连接 PF1、PF2 .过 P 作母线交
S1 于Q1 ,交S2于Q2 ,于是 PF1和 PQ1是从P到上方球的两条切 线,因此PF1 PQ1. 同理, PF2 PQ2.所以PF1 PF2
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质习题课课件 新人教A版选修4-1
可得 DM∶FC＝1∶2，DM∶AF＝ED∶AE，
∴AF∶FC＝12·EADE.
栏 目
链
即当 E 为 AD 上任意一点时，上述结论仍成立．
接
点评：证“比例线段问题”，通常先作平行线构造基本图形，再由 定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形 三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间 比来建立要求证的比例式之间的联系．
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(1) 证明：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M.
∵AD 是△ABC 的中线， ∴DM∶FC＝BD∶BC＝1∶2， ∴DM＝12FC. 又∵DM∶AF＝ED∶AE＝1， ∴AF∶FC＝1∶2，即AFFC＝12.
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栏 目 链 接
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（2）解析：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M，
目 链 接
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
点评：相似三角形的几个判定定理可能要同时用到，先证
两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．
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5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线 交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.
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证明：连接 EC，∵EF 为 CD 的中垂线， ∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， CD 为∠ACB 的平分线，则∠ACD＝∠DCB， ∴∠A＝∠ECB.又∠CEA 为公共角， ∴△ECB∽△EAC.∴EEBC＝EECA. ∴EC2＝EA·EB.又∵EC＝ED， ∴ED2＝EA·EB.
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2017年春季学期新人教A版高中数学选修4-1--第四节 相交弦与切割线定理
相交弦定理与 切割线定理
与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理
（2）割线定理
（3）切割线定理
圆幂定理
相交弦定理
圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等
已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交
于圆内一点P， 求证：PA· PB＝PC· PD
D B P
A
C
如图，PAB和PCD是⊙O的
两条割线。 求证：PA· PB＝PC· PD
如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的 切线交 ⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、 ⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD 的长．
解析: (1)证明：连接AB，
切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一 条切线，切线长是这点到割线与圆的两 个交点的线段的等比中项
T
PT2= PA· PB
P
O A B
相交弦定理 C B A •P D
割线定理
切割线定理
PA•PB=PC•PD
PA•PB=PC•PD
PA²=PC•PD
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.
(2)∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线， ∴PA2＝PB· PD，∴62＝PB· (PB＋9)， ∴PB＝3.
在⊙O2中由相交弦定理，
人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》
D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD． 分析： 要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三 角形相似。 于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所 对的圆周角等于其所对圆心 角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的 直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二： 连结OC
B O
3
人教版高中数学选修4-1第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理
第二讲直线与圆的地点关系2.2圆内接四边形的性质与判断定理A 级基础稳固一、选择题1．圆内接平行四边形必定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形分析：因为圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案： D2．已知 AB，CD 是⊙ O 的两条直径，则四边形 ADBC 必定是 () A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形分析： AB，CD 均为⊙O 的直径，故四边形 ADBC 的四个角均为直角，且对角线 AB＝ CD，因此四边形 ADBC 为矩形．答案： A3．四边形 ABCD 内接于圆，∠ A∶∠ B∶∠ C＝7∶6∶3，则∠ D 等于()A．36°B．72°C．144°D．54°分析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180° .又由∠A∶∠ C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则 10x＝180°，即 x＝18°，因此∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案： B4.如下图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形， E 为 AB 的延长线上一点，∠ CBE＝40°，则∠ AOC 等于 ()A．20°B．40°C．80°D．100°分析：因为四边形ABCD 是圆内接四边形，且∠ CBE＝ 40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝ 80° .答案： C5．如下图，若AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，∠ ABD ＝55°，则∠ BCD 的度数为 ()A．35°B．45°C．55°D．75°分析：如下图，连结AD，则△ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，依据同弧所对的圆周角相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案： A二、填空题6.如下图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸AB 与BCDC 订交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则AD的值为 ____．分析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，因此∠BCP＝∠A.又∠P＝∠P，因此△BCP∽△ DAP.BC PB 1因此AD＝PD＝3.1答案：37．如下图，⊙ O1与⊙ O2订交于 A，B 两点， AC 是⊙ O1的直径，延伸 CA，CB，分别交⊙ O2于 D，E，则∠ CDE＝______．分析：连结 AB，因为 AC 是⊙O1的直径，因此∠ABC＝90°.又因为∠ABC＝∠ADE，因此∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案： 90°8．如下图，点 A，B，C，D 在同一个圆上， AB，DC 订交于点 P，AD，BC 订交于点 Q，假如∠ A＝50°，∠ P＝30°，那么∠ Q＝________．分析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，因此∠QDC＝∠A＋∠P＝80° .又∠QCD＝∠A＝50°，因此∠Q＝180°－ 80°－ 50°＝ 50°.答案： 50°三、解答题9.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， AB 的延伸线与DC 的延伸线交于点 E，且 CB＝CE.(1)证明：∠ D＝∠ E；(2)设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明： (1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，因此∠ D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设 BC 的中点为 N，连结 MN ，则由 MB＝MC 知 MN ⊥BC，故O在直线 MN 上．又 AD 不是⊙O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM ⊥AD，即 MN⊥ AD.因此 AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，因此△ADE 为等边三角形．10.如下图， CD 为△ABC 外接圆的切线， AB 的延伸线交直线 CD于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．(1)证明： CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．(1)证明：因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线，因此∠DCB＝∠A，BC DC由题设知FA＝EA，因此△CDB∽△ AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为 B、E、F、 C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC，因此∠EFA＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解：连结 CE，因为∠CBE＝90°，因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的直径为 CE，因为 DB＝ BE， CE＝ DC，又因为 BC2＝DB·BA＝2DB2，因此 CA2＝4DB2＋ BC2＝6DB2，又因为 DC2＝ DB·DA＝ 3DB2，因此 CE2＝3DB2.因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比1值为2.B 级能力提高1.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，延伸 BC 到 E，已知∠ BCD∶∠ ECD＝3∶2，那么∠ BOD 等于 ()A．120°B．136°C．144°D．150°分析：因为∠BCD∶∠ ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，因此∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝ 2×72°＝ 144°.答案： C2．两圆订交于 A，B，过 A 作两直线分别交两圆于 C，D 和 E，F.若∠ EAB＝∠ DAB，则 CD＝________．分析：因为四边形 ABEC 为圆内接四边形，因此∠2＝∠ CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠ 2，因此∠CEB＝∠ECB.因此 BC＝BE.在△CBD 与△ EBF 中，∠ECD＝∠BEF ，∠D＝∠ F，BC＝BE，因此△CBD≌△ EBF ，因此 CD＝EF .答案： EF3.如下图， A，B，C，D 四点在同一圆上， AD 的延伸线与 BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED.(1)证明： CD∥AB；(2)延伸 CD 到 F，延伸 DC 到 G，使得 EF ＝EG，证明： A，B，G，F 四点共圆．证明： (1)因为 EC＝ED，因此∠EDC＝∠ECD.因为 A，B，C， D 四点在同一圆上，因此∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.因此 CD∥AB.(2)由(1)知， AE＝BE.因为 EF ＝EG，故∠EFD ＝∠EGC，进而∠FED ＝∠GEC.如图，连结 AF， BG，则△EFA≌△ EGB，故∠FAE＝∠GBE.又 CD∥AB，∠ EDC＝∠ECD，因此∠FAB＝∠ GBA.因此∠AFG＋∠GBA＝180°.故 A，B，G， F 四点共圆．。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
参数方程的形式
参数方程的一般形式为{ x=x(t), y=y(t) }，其中t是 参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题等领域有广泛 应用。
极坐标与直角坐标的互化
极坐标转换为直角坐标
通过公式x = r cosθ, y = r sinθ可以 将极坐标转换为直角坐标。
直角坐标转换为极坐标
定义
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、 乘法等。加法和数乘是矩阵的基本运 算，而乘法是矩阵运算中的重点和难 点。
性质
实例
矩阵的运算可以用来解决一些实际问 题，如线性方程组的求解、向量的线 性变换等。
矩阵的运算满足一些基本的数学性质 ，如结合律、交换律、分配律等。这 些性质在解决实际问题时非常重要。
逆矩阵与行列式
参数方程的应用
03
解决与参数方程相关的实际问题，如轨迹问题、最值问题等。
复数及其应用习题及答案
复数的基本概念
复数的定义、表示方法、四则 运算等。
复数的几何意义
理解复数在平面上的表示方法 ，掌握复数的模的概念和性质 。
复数的三角形式
掌握复数的三角形式的表示方 法，理解其几何意义。
复数的应用
解决与复数相关的实际问题， 如求复数方程的根、解决几何
抛物线的标准方程为 $y^2 = 4px$ 或 $x^2 = 4py$，其中 $p$ 是抛物线的准线到焦点的距
离。
抛物线的性质
抛物线具有对称性，即关于x轴 或y轴都是对称的。此外，抛物 线还有焦点，这些焦点到抛物线 上任一点的距离等于该点到准线
的距离。
抛物线的面积
由于抛物线是一条射线，所以它 的面积是无穷大。但是，在实际 应用中，我们通常只考虑抛物线 与坐标轴或某个平面的交点所围
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选修4-1 第1节
一、选择题
1．若三角形三边上的高分别为a、b、c，这三边长分别为6、4、3，则a∶b∶c＝
( )
A．1∶2∶3 B．6∶4∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶6
解析：由三角形面积公式：
12×6a＝12×4b＝1
2
×3c，
∴6a＝4b＝3c，
设3c＝k，则a＝k6，b＝k4，c＝k3，
∴a∶b∶c＝k6∶k4∶k3＝2∶3∶4.
答案：C
2．如下图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段BF的长
为
( )
A．5 cm B．8 cm
C．9 cm D．10 cm
解析：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴FC＝DE＝5 cm，
∵DF∥AC，∴BFFC＝BDDA，
即BF5＝84，∴BF＝10 cm.
答案：D
3．Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，AB∶AC＝3∶2，则CD∶BD＝
( )
A．3∶2 B．2∶3
C．9∶4 D．4∶9
解析：由△ABD∽△CBA得AB2＝BD·BC，
由△ADC∽△BAC得AC2＝DC·BC，
∴CD·BCBD·BC＝AC2AB2＝49，即CD∶BD＝4∶9.
答案：D
4．已知：如右图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且
AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为
( )
A．1 B.54
C.32 D.2
解析：∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP，∴Rt△APQ∽Rt△PBC，
∴APBC＝AQBP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，
∴AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34，
∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.
答案：B
5．已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P
在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正
确的是
( )
A．y是x的增函数
B．y是x的减函数
C．y随x的增大先增大再减小
D．无论x怎样变化，y为常数
解析：∵E、F分别为AP、PR中点，∴EF是△PAR的中位线，∴EF＝12AR，∵R固定，
∴AR是常数，即y为常数．
答案：D
6．如右图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使
点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为
( )
A．13 B.635
C.656 D.636
解析：过A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.
∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，
∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.
∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.
∴BEAB＝AHAD.
∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，
∴BE＝122＋52＝13，
∴FG＝AH＝BE·ADAB＝656.
答案：C
二、填空题
7．在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，设该图中共有x个三角形
与△ABC相似，则x＝________.
解析：2个，△ACD和△CBD.
答案：2
8．在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2 cm2，
梯形DBCE的面积为6 cm2，则DE∶BC的值为________．
解析：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得答案．
答案：1∶2
9．如右图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝3，下底BC＝33，
与两底垂直的腰AB＝6，在AB上选取一点P，使△PAD和△PBC相似，
这样的点P有________个．
解析：设AP＝x，
(1)若△ADP∽△BPC，则ADBP＝APBC，
即36－x＝x33，所以x2－6x＋9＝0，解得x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ADBC＝APBP，
即333＝x6－x，解得x＝32，
所以符合条件的点P有两个．
答案：两
三、解答题
10．如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC
于G，分别交CE及BA的延长线于F、H.
求证：(1)DG2＝BG·CG；
(2)BG·CG＝GF·GH.
证明：(1)DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴由射影定理得DG2＝BG·CG.
(2)∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，
∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠ECB＝90°，
∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB，
∴∠H＝∠ECB.
又∵∠HGB＝∠FGC＝90°，
∴Rt△HBG∽Rt△CFG，
∴BGGF＝GHGC，∴BG·CG＝GF·GH.
11．如右图，正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合
的任意一点，DQ⊥AP于Q.
(1)试证明△DQA∽△ABP；
(2)当点P在BC上变动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，
求y与x之间的函数关系式．
解：(1)∵DQ⊥AP，∴∠DQA＝90°，
∠DAQ＋∠ADQ＝90°，
又∵∠DAQ＋∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QDA.
∴△DQA∽△ABP.
(2)∵△DQA∽△ABP，∴DAAP＝DQAB，
∴DQ＝DA·ABPA，即y＝4x.
12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC
＝3 cm，AC＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，
设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木
板的边长．
解：如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为x cm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于
N，
因为S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CM，
所以AC·BC＝AB·CM，即3×4＝5·CM.所以CM＝125.
因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB.
所以CNCM＝DEAB，即125－x125＝x5.所以x＝6037.
如图(2)所示，设正方形CDEF的边长为y cm，
因为EF∥AC，所以△BEF∽△BCA.
所以BFBC＝EFAC，即3－y3＝y4.所以y＝127.
因为x＝6037，y＝127＝6035，所以x