6.1非参数计量经济学模型

• 经典线性回归模型的估计结果如下：
Yˆ 122 .06 0.065978 X 0.052493 FC
( 21.446)
( 2.2246)
(13.373)
R2=0.84582, F=178.29，拟合的均方误差为11.035。
实际值
拟合值
250 200 150 100
50 0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
• 利用特殊的技术，例如广义刀技术，可以得到用 于边界点估计的边界核。
⒎例题1—模拟例题
• 解列释{ui变}独量立序同列分{x布i}独。立让均xi (匀i=同1,分2,…布3，00随)是机在误[差0,项1]上序 均匀取值相互独立的变量， ui～N(0,0.25) (i=1,2,…300)独立，模型为：
Yi m( X i ) i
• 半参数模型
i 1,, n
Yi
f
(
X
i1 ,
)
m(
X
2 i
)
i
i 1,, n
△既然非参数模型不能将经济活动中变量之间的结 构关系明确地加以描述，那么它是否属于经济数 学模型？
• 非参数模型并不事先假定经济活动中变量之间的 结构关系，而是通过估计获得这种结构关系，而 且具有明确的数学描述。
• 所以它毫无疑问属于经济数学模型，应该将它纳 入计量经济学模型的范围。
△既然非参数模型不能将经济活动中变量之间的结 构关系明确地加以描述，那么它能否用于经济预 测？它的应用价值是什么？
• 它的应用价值在于有更好的拟合效果，可以说是 所有类型经济数学模型中拟合效果最好的。
• 由此而引出的对已经发生的经济活动的推断具有 更高的精度，所得到的反映经济变量之间关系的 结构参数，例如乘数、弹性等，更加反映经济活 动的实际。
• 从这些结构参数出发进行的预测可以得到更加可 靠的结果。
⒉ 模型估计方法
• 局部逼近估计方法
权函数方法
– 核权估计 – 局部线性估计 – K—近邻估计
• 整体逼近估计方法
级数估计（最小二乘估计）
– 正交序列估计 – 多项式样条估计
⒊ 模型估计理论的早期重要发展
• 局部逼近（权函数）估计发展于1980年前后：
叶阿忠博士论文（2002）： 非参数联立方程模型的单方
程估计方法研究
• 整体逼近估计方法：级数估计
– I.I.d样本下级数估计量的收敛速度、渐近正态性、一致 收敛速度、模型设定检验的深入研究。
– 弱相依样本(weekly dependent Data)下级数估计量的 研 究 ： White and Wooldridge(1991), Chen and Shen(1998)研究渐近性质。
• 不变窗宽和变窗宽 窗宽随xi改变。 核估计效果更好。
⒌核权函数的选择
• 将最佳窗宽代入渐近均分误差公式，可推得最佳 核函数为 ：
Kopt (u) 0.75(1 u2)
• 教科书中给出了一般的讨论，上述结果是其中的一 个特例。
⒍边界点的处理
• 由于较少的观测值被利用，估计的偏和方差将增 大。
n
n
min
Wni (x)( yi )2
i 1
Wni (x)( yi mˆ n (x))2
i 1
• 最常用的核函数有： 均匀核：k（）是[-1，1] 上的均匀概率密度函数
K1(u) 0.5I (| u | 1)
• I()为显示性函数，当括 号内的不等式成立时，取 值为1，否则取值为0。
孙云博士论文：弱相依样 本下级数估计收敛速度和
模型设定检验研究Biblioteka 二、非参数单方程模型的核估计
⒈核估计是一种权函数估计方法
○ 权函数估计
yi m(xi ) (xi )i
i 1,,n
m(xi ) E( yi | xi )
n
mˆ n (x) Wni (x) yi i 1
Wni (x) Wni (x; X1,, X n )
n
Wni (x) 1
i 1
• 条件回归函数的估计是yi的线性组合，对应所得 到的被解释变量的估计是yi的加权平均，权数利 用了解释变量的信息，且由解释变量的数值来确 定每个yi的权数的大小。
• 不同的选择权函数的方法构成了不同的权估计方 法。
• 核权估计、局部线性估计、k-近邻估计等是其中 常用的方法。
hn2
(mf
2mf 2 f (x)
)( x)
2 (K )
2 (K ) K (u)u 2du
• 渐近方差随着窗宽减少而增大 ：
2 (x)
R(K ) nhn f (x)
R(K) K 2 (u)du
f(x)是解释变量的密度函数。
• 在估计的偏和方差中寻求平衡，使得均方误差达 最小。 渐近均方误差＝渐近偏2＋渐近方差
• 若K()是[-1,1]上的Epanechnikov概率密度函数,则 m对(应x)的的y局i关部于线该性局估部计模就型是的落加在权[x最-h小n,x二+乘hn估]的计xi与。其 当xi越接近x时，对应yi的权数就越大，反之，则 越小。
• 若K()是[-∞,∞]上原点对称的标准正态密度函数,则 m(x)的局部线性估计就是该局部模型的加权最小 二乘估计 。当xi越接近x时，对应yi的权数就越大， 反数之基，本则 上越 为小 零。。当xi落在[x-3hn,x+3hn]之外时，权
yi sin(10 xi ) ui
• 选择
K (u) 0.75(1 u 2 )
hn 0.13n1/ 5
• 数据及其核估计拟合图
2
1
0
0
0.5
1
-1
-2
例题2—我国对外经济联系与国内通货膨胀关
系的非参数估计
• 选定商品进出口总额X和外汇储备FC表示我国对 外经济联系，代表通货膨胀的变量Y则采用居民 消费价格指数。从《中国物价》得到1993年4月 到1998年11月每月与上年同月相比的居民消费价 格指数，再换算成每月与1992年4月相比的居民 消费价格指数，用它作为被解释变量变量y。商品 进出口总额资料来自《海关统计》外汇储备资料 来自《中国金融》。
– Watson和Nadaraja(1964)提出回归模型的核估计。 – Stone(1977)讨论了权函数估计的矩相合性。 – Stone(1977,1980,1982)系统研究了非参数回归模型的局
部多项式拟合。 – Cleveland(1979)提出局部线性拟合的稳健估计。 – Devroye 和Wagner(1980)证明了核估计的相合性。 – Stone(1980,1982)得到非参数估计收敛于实际回归函数的
⒉Nadaraya-Watson核估计
• Nadaraya(1964)及Watson (1964)提出 。 • 选定原点对称的概率密度函数为核函数
K(u)du 1
n
Wni (x) Khn (x xi ) / Khn (x x j ) j 1
Khn (u) hn1K (uhn1)
• 核估计等价于局部加权最小二乘估计均匀核。因为
⒊其它形式的权函数估计
• K –近邻估计
– 用最靠近x的k个观察值进行加权平均 – 适合于解释变量是确定性变量的模型，也适合于解释
变量是随机变量的模型
⒋窗宽的选择
• 核估计是集中x附近一个邻域的样本观测值的加权 平均，该邻域的宽度h称为窗宽。
• 是控制核估计精度的最主要的参数。
• 渐近偏随着窗宽减少而减少：
• 非参数模型采取高斯核估计方法，采用交错鉴定法 选择最佳窗宽为0.25。拟合的均方误差为3.809。
实际值
拟合值
250 200 150 100
50 0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
三、非参数单方程模型的局部线性估计
⒈局部多项式回归
§6.1 非参数计量经济学模型
一、非参数计量经济学模型概述 二、非参数单方程模型的核估计 三、非参数单方程模型的局部线性估计 四、非参数单方程模型的最小二乘估计
一、非参数计量经济学模型概述
⒈概念
△参数模型和非参数模型
• 经典的线性或非线性计量经济模型，首先根据对 研究对象行为的分析，建立包含变量、参数和描 述它们之间关系的理论模型，然后利用变量的样 本观测值，采用适当的方法，估计参数，故称为 参数模型。
• 在现实中,经济变量之间的关系并不是在所有样本 点上都是不变的，或者说不能事先确定某种线性 关系或非线性关系,而是要通过估计才能得到某种 关系，而且随着样本点的不同而不同。这就引出 了非参数模型。
△非参数模型、无参数模型、半参数模型
• 如果所有变量之间的关系都是不明确的，称之为 完全非参数模型，简称非参数模型或者无参数模 型（Nonparametric model）；
• 对于非参数回归模型
Y m( X ) u
将m(x)在x0处 进行台劳展开
m(x)
m(
x0
)
m(
x0
)(
x
x0
)
m(
p) (x0 p!
)
(
x
x0
)
p
Yi
m(x0 )
m(x0 )( X i
x0 )
m(p) (x0 ) p!
(Xi
x0 ) p
i
• 该多项式可用加权最小二乘法进行局部拟合。即 最小化
• 如果一部分变量之间的关系是明确的，而另一部 分变量之间的关系是不明确的，称之为半参数模 型（Semiparametric Model）。
• 一般所说的“非参数计量经济学”，既包括非参 数单方程模型，也包括非参数联立方程模型；既 包括完全非参数模型，也包括半参数模型。