多目标规划
多目标规划在工程项目管理中的应用
多目标规划在工程项目管理中的应用一、引言工程项目管理中的多目标规划是一种重要的决策工具，可以帮助项目管理者在不同目标之间进行权衡和平衡。
本文将探讨多目标规划在工程项目管理中的应用，并介绍其概念、优势和方法。
二、概念解析1. 多目标规划多目标规划是指在决策过程中存在多个独立且相互竞争的目标，需要在这些目标之间找到一组最佳的解，使得各个目标都能得到满足或最大化程度地满足。
在工程项目管理中，这些目标可以是项目的时间、成本、质量、风险等。
2. 工程项目管理工程项目管理是指通过科学的方法和技术，对工程项目进行规划、组织、控制和实施，以达到项目目标的过程。
项目管理的成功与否直接关系到项目的完成情况、效益和质量。
三、多目标规划在工程项目管理中的应用1. 目标的明确和权衡多目标规划可以帮助项目管理者在项目开始之前明确各个目标，并在项目执行过程中进行权衡。
例如，我们可以设定时间目标、成本目标和质量目标，并通过多目标规划的方法找到最佳的平衡点，以实现项目成功。
2. 项目资源的优化配置在项目管理中，资源是有限的，项目管理者需要合理配置这些资源，以满足不同目标的要求。
多目标规划可以帮助管理者找到最佳的资源配置方案，避免资源的浪费和不足。
3. 项目风险的评估和控制项目管理中的风险是不可避免的，但通过多目标规划，可以对项目风险进行全面评估和控制。
通过考虑风险对不同目标的影响，可以制定相应的风险应对策略，减少项目风险对整体目标的影响。
4. 周期管理和进度控制在多目标规划中，可以将项目的周期和进度作为目标之一，通过合理的规划和控制，提高项目的执行效率和质量。
管理者可以利用多目标规划的方法，制定最佳的进度安排，并通过实时监控和调整，确保项目按时完成。
5. 项目质量的提升多目标规划可以帮助项目管理者在质量目标、时间目标和成本目标之间找到最佳的平衡点。
通过全面考虑项目质量的要求和资源的限制，可以提高项目的质量水平，并降低项目的变更和重工风险。
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用多目标规划是一种在优化问题中同时考虑多个目标的方法。
与传统的单目标规划相比，多目标规划更加适用于现实生产优化中存在多个相互关联的目标的情况。
在生产优化中，多目标规划可以帮助企业在平衡多种目标之间找到最佳的决策方案，提高生产效率和经济效益。
1.决策变量：表示决策者可以调整的各种生产资源和生产参数，如生产数量、生产设备分配等。
2.约束条件：表示各种技术和资源限制，如设备产能、雇员工时等。
3.目标函数：表示需要优化的目标，可以包括多个目标函数，如最小化生产成本、最大化产出、最小化生产时间等。
在生产优化中，多目标规划可以应用于多个方面，如生产调度、生产设备配置和物料采购等。
下面以生产调度为例来具体说明多目标规划的应用。
生产调度是指在生产过程中，根据生产资源和生产任务的需求，合理安排和调度各个工序和设备的完成时间和数量，以达到最佳的生产效率和经济效益。
在生产调度中，通常存在多个决策变量和多个目标。
决策变量可以包括产品的生产顺序、工序的分配和设备的调度等。
不同的决策变量选择可能导致不同的生产成本、生产时间和质量水平等目标的变化。
多目标规划可以将生产调度问题转化为一个多目标优化问题。
在模型中，决策变量可以是各个工序的完成时间和数量，目标函数可以是最小化生产成本、最小化生产时间和最大化产品质量等。
同时，还需要考虑各种资源约束条件，如设备产能、雇员工时和原材料供应等。
通过多目标规划模型求解，可以得到一组最优解，即在满足约束条件的前提下，使得多个目标函数达到最优的决策方案。
这些最优解通常形成一个“帕累托前沿”，即在无法同时改善所有目标的情况下，提供了各种权衡和选择的可能性。
在实际应用中，多目标规划可以帮助企业决策者综合考虑多种目标和约束条件，合理安排生产资源和生产任务，以提高生产效率和经济效益。
同时，多目标规划还可以用于方案比较和灵敏度分析，帮助决策者评估不同决策方案的优劣和稳定性。
多目标规划模型概述
例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是
4、步骤法（STEM法） 这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。 步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。 步骤法算法如下：第一步：分别求解以下p个单目标问题的最优解
1、多目标规划问题的模型结构
为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X)有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：
得到最优解 ，其相应的目标值 即为理想值，此最优解处别的目标所取的值用 表示，即 ，把上述计算结果列入下表
目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:
解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
《多目标规划模型》课件
02
权重法的主要步骤包括确定权重、构造加权目标函数、求解加权目标函数，最 后得到最优解。
03
权重法的优点是简单易行，适用于目标数量较少的情况。但缺点是主观性强， 依赖于决策者的经验和判断。
约束法
1
约束法是通过引入约束条件，将多目标问题转化 为单目标问题，然后求解单目标问题得到最优解 。
2
约束法的主要步骤包括确定约束条件、构造约束 下的目标函数、求解约束下的目标函数，最后得 到最优解。
多目标规划模型
目录
• 多目标规划模型概述 • 多目标规划模型的建立 • 多目标规划模型的求解方法 • 多目标规划模型的应用案例 • 多目标规划模型的未来发展与挑战
01 多目标规划模型概述
定义与特点
定义
多目标规划模型是一种数学优化方法 ，用于解决具有多个相互冲突的目标 的问题。
特点
多目标规划模型能够权衡和折衷多个 目标之间的矛盾，寻求满足所有目标 的最佳解决方案。
02 多目标规划模型的建立
确定目标函数
01
目标函数是描述系统或决策问题的期望结果的数学表达 式。
02
在多目标规划中，目标函数通常包含多个目标，每个目 标对应一个数学表达式。
03
目标函数的确定需要考虑问题的实际背景和决策者的偏 好。
确定约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件。 02 在多目标规划中，约束条件可以分为等式约束和
谢谢聆听
模型在大数据和人工智能时代的应用前景
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着大数据和人工智能技术的快速发展，多目标规划模型 在许多领域的应用前景广阔。
大数据时代带来了海量的数据和复杂的问题，这为多目标 规划模型提供了广阔的应用场景。例如，在金融领域，多 目标规划可以用于资产配置和风险管理；在能源领域，多 目标规划可以用于能源系统优化和碳排放管理。同时，随 着人工智能技术的不断发展，多目标规划模型有望与机器 学习、深度学习等算法相结合，共同推动相关领域的发展 。
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令评价函数为
f
2 j 1
j
fj
2
0
2
则原问题变为
2
min
3x 2 x
1
2
12 4 x1 3x2 24
2 x1 3x2 18 2 x1 x2 10 x , x 0 1 2
解之得 x * 0.53 5.65
min f1 x x12 x22
x1 , x2 0
2 2 解：取 f 2 x 为主要目标，x 2 , 2
0
T
是可行解。以
f1 x f1 x0 为约束，则原问题可化作
min(( x1 2)2 x22 )
x1 x2 1
1
1 1 2 1 k 1
1
1
j
j
1
j
1
i
i
1
min LP 2 M i c i x i , i 1,2,, k , i j x R1 ; 0
若求得的解为 x ，再与决策者对话，如此重 复，直到决策者满意为止。 例：试求解多目标线性规划问题。
解：先分别对单目标求出最优解：
0 x 6
1
f1 x1 f1 0 12 对应的目标值为：
3 x 4
2
f 2 x 2 f 20 24
故理想点为
f1 0 12 0 f 2 24
1
1 k
f 2* f 2 x1
k 1
p
k
p
j
j
j
j
j 1
j k 1
其中 满足下列方程组：
j
k j 1
j
f ij j f ij
j k 1
j
p
i 1,2,, p
0 i
1
i i i
其中 f f min f x f x
j
j
f j max f j min
dj 1
j
min
对于 j k 1 p d 1 fj=fjmin时 j 0 fj=fjmax 当fjmin<fj(x)<fjmax时，同样可求得
f j x f j min dj f j max f j min
f j max f j min
法
f 以两个目标为例，设 f x 愈小愈好，x 愈大愈好， 作新目标函数 U x f x f x ，其中 1 2 由下式确定：
1
2
1 1 2 2
f 20 f 2* 1 0 f 2 f 2* f1* f1 0
f1 0 f1 * 2 0 f 2 f 2* f1* f1 0
Maxz1 100 x1 90 x2 80 x3 70 x4 Minz2 3 x2 2 x4 x1 x2 30 x x 30 4 3 3 x1 2 x3 120 3 x 2 x 48 4 2 xi 0, i 1 4
经归一化后，得权系数
j
j
k j 1
,0 j 1, j 1, j 1,2,, k
j
第3步：构造以下线性规划问题，并求解
min LP 1 M i c i x i , i 1,2,, k x R; 0
假定求得解 x ，相应的k个目标值为 1 1 1 1 2 k c x , c x ,, c x ，若 x为决策者的理想解， c x , c x ,, c x 其相应的k个目标值为 这时决策者将 x 的目标值进行比较后，认为 满意了就可以停止计算。若认为相差太远，则 考虑适当修正。如考虑对j个目标宽容一下， j c ，并将约束集R 即让步点，减少或增加一个 c x c x c 并令j个目标的权系数 j 0 改为 R : c x c x , i j 这表示降低这个目标的 x R 要求。再求解以下线性 规划问题。
不妨设 f x 为主要目标，其余目标给定一组允许界
1
限，例
f j x f j0 。这样可将原问题变为
min f1 x
S.t
gi x 0
0
i 1,2,, m
f j x f j j 2,3,, p
例:用主要目标法求解
min f 2 x ( x1 2)2 x22
p
0
i
fi
0
i
xR
i
3.理想点法
有p个目标 f x f x ，对于每个目标函数分别 各有其最优值： f min f x f x i 1,2,, p 如果所有xi都相同，记为x0，则该解是绝对最 优解。可惜一般该解不存在，因此对向量函数 F x ( f x f x ) 向量 ( f f ) 只是一个理 想点。 理想点的思想是定义一个模，在这个模的意义 下，找一个与理想点尽量接近的点。一般取欧 p 式空间的距离为模。令评价函数 0 2
j xR
i
i
xR
j
表1
第2步：求权系数 从表1中得到 M 及m min z , j 1,2,, k 为了找 出目标值的相对偏差以及消除不同目标值的量 纲不同的问题，进行如下处理。
j j j 1i k i
M j mj j Mj
1
c
n j i i 1
2
, j 1,2,, k
1 p
0
i
i
xR
i
i
T
0
0
1
p
1
p
f
j 1
j
fj
求 min xR
f
p j 1
j
fj
0
2
最优解
例:用理想点法求解
max f1 x 3x1 2 x2 max f x x 4 x1 3x2 2 x1 3x2 18 2 x1 x2 10 x , x 0 1 2
p j j j 1
0 j
)
2
5.乘除法 当p个目标 f x f x 中前k个要求最小， f x f x 要求最大，并假定 f x f x >0, 这时就可以采用下面评价函数：
1 p
k 1
p
k 1
p
f1 x f 2 x f k x min h f f k 1 x f k 2 x f p x
2 2
x1 , x2 0
其解为 x 1,0
T
2.线性加权和法 对p个目标 f x分别给以权系数 然后作 新的目标函数（效用函数）
i
i
min U x i f i x
p i 1
这个方法难处在于如何找到合理的权系 数，使得多个目标用同一尺度统一起来， 同时找到的最优解又是极值的好的非劣 解。下面介绍特定权系数选择方法。
ii
i 1,2,, p
f ii f i 0 max f i x f i xi
f ij f j x i
i j
i k 1 p
i, j 1,2,, p
如果所有目标均求最小则亦可采用下面效用函数
min U x i f i x 1 i 1,2,, p f min f x i 1
设有k个目标线性规划问题 VP max Cx
xR
其中 R x | Ax b, x 0 A为 m n 矩阵，C为 k n 矩阵，也可以表示为
1 1 1 1 c c1 , c2 ,, cn C , ,, c k c k , c k , ,c k n 1 2
4.平方和加权法
f1 0 f p0 要求p个函数 f x f x 设有p个值
1 p
分别与规定的值相差尽量小，如果对其中不同 目标的相差程度又可完全不同，这时可采用下 述评价函数
可按要求预先确定，fj愈重要则 j 愈大
j
min h f ( f x f
1
3 1
2
2
2
1
评价函数 3 2x y 2 2 2 2 x y h f 2 x y 3xy 7 2 2
求极值 max 2 x 2 y 2 3 xy 7 x 5 y 6
0 x 1 1 x y 1
得极值点 x 0 y 1
6.功效系数法——几何平均法 有些问题要求前k个目标 愈小愈好。如果问 f x f x 题不存在绝对最优解，则问题要求这些目标不能去 太差的值。所令谓功效系数法就是针对这些目标函 数给予一个所谓功效系数（函数），即令 d j d j f j x j 1,2,, p 满足 0 d j 1 而且最满意时dj=1；最差时dj=0。有了功效系数dj 后，作评价函数
f1 0 min f1 x f1 x1 其中
f 20 max f 2 x f 2 x 2
f1 * f1 x 2
p
对有p个指标函数 f x f x 的情况，不妨设 f x f x 求最小，而 f x f x 求最大，这时可构 成下述新的目标函数 min U x f x f x
多目标规划的一些方法
报告学生：李芳 指导老师：甘小冰 单位：深圳大学管理学院 E-mail:flora586@