南京市2010届高三数学考前综合训练题3(题)

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2023届高三冲刺卷(二)全国卷文科数学试题(2)

一、单选题1. 若，则（）．A．B ．496C．D ．9922. 如图，在正四棱柱中，是线段上的动点，有下列结论：①；②，使；③三棱锥体积为定值；④三棱锥在平面上的正投影的面积为常数．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③C ．②③④D ．①④3.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A ．60B ．65C ．80D ．814. 某班主任为了了解该班学生暑假期间去图书馆的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生暑假期间去图书馆的次数分别为（其中有一位学生的数据丢失记为），则下列结论中正确的个数是①这组数据的中位数可能是19；②这组数据的众数可能是18；③的值可以通过中位数的值确定；④的值可以通过全部数据的平均数确定.（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 设，，，则间的大小关系是（）A．B．C．D．6. 给出下列四个命题, 其中错误的命题有（）个.（1）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（2）函数在上的单调递增区间是;（3）设且，,则等于；（4）方程有解，则的取值范围是.（5）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；A ．3B ．2C ．1D ．07.在体积为的三棱锥中，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）A．B．C．D．8. 函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．2023届高三冲刺卷（二）全国卷文科数学试题(2)2023届高三冲刺卷（二）全国卷文科数学试题(2)二、多选题三、填空题四、解答题9.设函数则下列关于函数的说法正确的是（）A．最小正周期为B．的图象关于直线对称C ．在上单调递减D ．当时，的值域为，则实数的取值范围为10. 已知一组样本数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.关于这组样本数据，结论正确的是（）A ．平均数为8B ．众数为7C ．极差为6D ．中位数为811. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加12. 某人记录了某市2022年1月20日至29日的最低温度，分别为，，，，，，，，，（单位：℃），则关于该市这10天的日最低气温的说法中正确的是（）A．众数为B．中位数为C ．平均最低气温为－4.8℃D ．极差为613.已知集合，，则________.14. 已知双曲线的右焦点为，过点垂直于的渐近线的直线恰与圆相切，则双曲线的离心率为_____________．15. 如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．16.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；(2)若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.17. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”.某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)已知[30，40）､[40，50）､[50，60）三个年龄段的人数依次成等差数列，求的值；(2)该媒体将年龄在[30，50）内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目.现按“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取5人，并在这5人中随机抽取2人进行电视访谈，求此2人中恰好来自高关注人群和次高关注人群各一人的概率.18.已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．19. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.(1)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；(2)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望.20. 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有个人存在早恋的现象，求的分布列及数学期望.21. 已知椭圆E：过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．。

江苏省南京市2010届高三数学综合训练练习4 苏教版

南京市2010届高三数学综合训练4班级_________学号________姓名___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}AB =，则实数a = ．2．已知虚数z 满足等式： i z z 612+=-，则=z ． 3．函数)3(sin 12π+-=x y 的最小正周期是． 4．某算法的伪代码如右：则输出的结果是． 5．已知条件p :x ≤1，条件q ：11<x，则⌝p 是q 的条件．6．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A 和点C 到直线BD的距离之比约为．7．在等差数列{}n a 中，若392712a a a ++=，则13a = ． 8．在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC=a ，则正三棱锥A-BCD 的体积为________________.9．若不等式31322>-axax对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是． 10．当228x x -<时,函数252x x y x --=+的最小值是____ ___．11．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．12．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）与圆222=+y x 的位置关系是．13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是．14．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3，图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f mn .D则下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号） ①0)21(=f ； ②()f x 是偶函数； ③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．二、解答题：解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

数学_2010年江苏省常州市某校高考数学三模试卷(含答案)

2010年江苏省常州市某校高考数学三模试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若复数z =(1+2i)i ，则复数z 在复平面上的对应点在第________象限．2. 函数y =√−x 2−3x +4的定义域是________．3. 已知a 12=49，则log 23a =________．4. 为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________．6. 若a ，b 在区间[0,√3]上取值，则函数f(x)=ax 3+bx 2+ax 在R 上有两个相异极值点的概率是________．7. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为6cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的体积为________cm 3．8. 阅读如图的程序框图，若输入m =4，n =6，则输出的a 等于________．9. 在△ABC 中，BC =1，B =2A ，则AC cosA的值等于________．10. 在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AD ⊥AB ，∠B =45∘，AB =2CD =2，M 为腰BC 的中点，则MA →⋅MD →=________．11. 设函数f(x)=cos 2x +4tsin 2x2+t 3−3t(x ∈R)，其中|t|<1，将f(x)的最小值记为g(t)，则函数g(t)的单调递增区间为________． 12. 以下命题中真命题的序号是________． (1)∀x ∈R,x +1x ≥2恒成立；(2)在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；(3)对等差数列{a n}的前n项和S n，若对任意正整数n都有S n+1>S n，则a n+1>a n对任意正整数n恒成立；(4)a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a−1)y=a−7平行且不重合的充要条件．13. 设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域是[0, +∞)的函数f(x)= (x−1)2为[0, +∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________．14. M={(x,y){y≥0x≥0x+y−5≤0}，N={(x,y){y≤tx≤3x+y−5≥0}，(x, y)∈M∪N，当2x+y取得最大值时，(x, y)∈N，(x, y)∉M，则实数t的取值范围是________．二．解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点P(3t,t+1)(t≠0,t≠12)在角α的终边上．（1）求tanα；（2）若α=π6，求实数t的值；（3）记S=1−sin2α+cos2α1−sin2α−cos2α，试用t将S表示出来．16. 如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB= 4a，BC=CF=2a，DE=a，P为AB的中点．（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求证：AE // 平面BCF．17. 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元．（1）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；（2）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据：1.0518=2.406，1.0519=2.526，1.0520=2.653，1.0521=2.786）18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)．（1）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．19. 已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件：①f(0)=f(1)；②f(x)的最小值为−18．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=(45)f（n），求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若5f(a n)是b n与a n的等差中项，试问数列{b n}中第几项的值最小？求出这个最小值．20. 已知函数f(x)=x2+bsinx−2，(b∈R)，且对任意x∈R，有f(−x)=f(x)．（1）求b；（2）已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0, 1)上为单调函数，求实数a的取值范围．（3）讨论函数ℎ(x)=ln(1+x2)−12f(x)−k的零点个数？（提示：[ln(1+x2)]′=2x1+x2）三、附加题21. 如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F．求证：∠DEA=∠DFA．22. 已知[1012]B=[−434−1]，求矩阵B．23. 选修4−4：坐标系与参数方程：已知圆C:ρ=2cosθ，直线l:ρcosθ−ρsinθ=4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程．24. 已知x∈(0,π2)，求函数y=√2sinx+sin2x的最小值以及取最小值时所对应的x值．25. 在平面直角坐标系xoy中，动点P到直线x=4的距离与它到点F(2, 0)的距离之比为√2．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F(2, 0)作垂直于x轴的直线l，求轨迹C与y轴及直线l围成的封闭图形的面积．26. 2009年5月11日，中国内地出现首例输入性甲型H1N1流感疑似病例．中国进入防控甲型H1N1流感的关键时期，到目前为止，中国在防控方面取得了令人满意的成绩．据统计：公众对我国防控甲型H1N1流感的满意率p，（不满意率为q，p+q=1），现随机从人群中抽出n个人调查对我国防控甲型H1N1流感的满意度，用随机变量x表示调查的这些人中的不满意的人数．（1）当n=3，p=0.9，列出随机变量X的分布列，并求出随机变量x的数学期望E(X)．（2）试证明：E(X)=nq．2010年江苏省常州市某校高考数学三模试卷答案1. 22. [−4, 1]3. 44. 485. 156. √367. 8√78. 129. 210. 211. (−1,−13)12. (4)13. [2, +∞)14. t>415. 解：（1）由tanα的定义得tanα=yx =t+13t．（2）tanπ6=√33=t+13t，故t=√3+12．（3）∵ S=1−sin2α+cos2α1−sin2α−cos2α=1−2sinα⋅cosα+2cos2α−11−2sinα⋅cosα−1+2sin2α=cosα(cosα−sinα)sinα(sinα−cosα)，∴ S=−1tanα=−1t+13t=−3tt+1．16. 证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=2√2a…又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC…因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF…由PC∩CF=C可得PD⊥平面PFC…故平面PCF⊥平面PDE…（2）作FC中点M，连接EM、BM由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM // DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形故ME // CD // AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形故AE // BM…又AE⊄平面BCF，BM⊂平面BCF，所以AE // 平面BCF．…17. 解：（1）依题意，从第13个月开始，每月还款额比前一个月多x元，故12×500+(500+x)+(500+2x)+...+(500+24x)=24000即36×500+(1+2+3+...+24)x=24000，解得x=20（元）．即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（2）设凌霄第n个月还清，则应有12×500+(500+50)+(500+2×50)+...+[500+(n−12)×50]≥24000即n2−3n−828≥0，解之得n≥3+√33212>30，取n=31．即凌霄工作31个月就可以还清贷款．这个月凌霄的还款额为24000−[12×500+(500+50)×(30−12)+(30−12)×(30−12−1)2⋅50]=450元第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．因此，凌霄的剩余工资为3789−450=3339，能够满足当月的基本生活需求．解法2：（1）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为a n构成等差数列，其中a1=500+x，公差为x．从而，到第36个月，凌霄共还款12×500+24a1+24×(24−1)2⋅x令12×500+(500+x)×24+24×(24−1)2⋅x=24000，解之得x=20（元）．即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（2）设凌霄第n个月还清，则应有12×500+(500+50)×(n−12)+(n−12)×(n−12−1)2⋅50≥24000整理可得n2−3n−828≥0，解之得n≥3+√33212>30，取n=31．即凌霄工作31个月就可以还清贷款．这个月凌霄的还款额为24000−[12×500+(500+50)×(30−12)+(30−12)×(30−12−1)2⋅50]=450元第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．因此，凌霄的剩余工资为3789−450=3339，能够满足当月的基本生活需求．18. 解：（1）∵ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)，∴ {√a2−b2a=12 1a2+94b2=1，即{3a2−4b2=01a2+94b2=1，解得{a2=4b2=3，∴ 椭圆C的方程为x24+y23=1．（2）易求得F(1, 0)．设M(x0, y0)，则x024+y023=1，−2≤x0≤2圆M的方程为(x−x0)2+(y−y0)2=(1−x0)2+y02，令x=0，化简得y2−2y0y+2x0−1=0，△=4y02−4(2x0−1)>0①．将y02=3(1−x024)代入①，得3x02+8x0−16<0，解出−4<x0<43．∴ −2≤x0<43．（3）设D(0, y1)，E(0, y2)，其中y1<y2．由（2），得DE=y2−y1=√4y02−4(2x0−1)=√−3x02−8x0+16=√−3(x0+43)2+643，当x0=−43时，DE的最大值为8√33．19. 解：（1）由题知：{a +b =0a >0−b 24a=−18，解得{a =12b =−12，故f(x)=12x 2−12x ．…（2）T n =a 1⋅a 2•…•a n =(45)n 2−n 2，T n−1=a 1⋅a 2•…•a n−1=(45)(n−1)2−(n−1)2(n ≥2)∴ a n =T n T n−1=(45)n−1(n ≥2)，又a 1=T 1=1满足上式．所以a n =(45)n−1．…（验证a 11分）（3）若5f(a n )是b n 与a 的等差中项，则2×5f(a n )=b n +a n ，从而10(12a n 2−a n )=b n +a n ，b n =5a n 2−6a n =5(a n −35)2−95．因为a n =(45)n−1是n 的减函数，所以当a n ≥35，即n ≤3时，b n 随n 的增大而减小，此时最小值为b 3；当a n <35，即n ≥4时，b n 随n 的增大而增大，此时最小值为b 4．又|a 3−35|<|a 4−35|，所以b 3<b 4，即数列{b n }中b 3最小，且b 3=−224125．…20. 解：（1）由f(−x)=(−x)2+bsin(−x)−2=f(x)得b =0．…（2）g(x)=f(x)+2(x +1)+alnx =x 2+2x +alnx 所以g′(x)=2x +2+ax (x >0)… 依题意，2x +2+ax ≥0或2x +2+ax ≤0在(0, 1)上恒成立… 即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0, 1)上恒成立由a ≥−2x 2−2x =−2(x +12)2+12在(0, 1)上恒成立，可知a ≥0．由a ≤−2x 2−2x =−2(x +12)2+12在(0, 1)上恒成立，可知a ≤−4，所以a ≥0或a ≤−4．…（3）ℎ(x)=ln(1+x 2)−12x 2+1−k ，令y =ln(1+x 2)−12x 2+1．所以y′=2x1+x 2−x =−(x+1)x(x−1)x 2+1…令y ′=0，则x 1=−1，x 2=0，x 3=1，列表如下：所以当k >ln2+12时，函数无零点；当k <1或k =ln2+12时，函数有两个零点；当k =1时，函数有三个零点．当1<k <ln2+12时，函数有四个零点．…21. 证明：连接AD ，∵ AB 为圆的直径，∴ ∠ADB =90∘，又EF ⊥AB ，∠EFA =90∘ ∴ A 、D 、E 、F 四点共圆． ∴ ∠DEA =∠DFA ． 22. 解：设B =[abc d ]，则[1012]B =[a ba +2cb +2d]，故{a =−4,b =3,a +2c =4,b +2d =−1,解得{a =−4,b =3,c =4,d =−2.故B =[−434−2]．23. 解：圆C:ρ=2cosθ 即 (x −1)2+y 2=1，故C(1, 0)，直线l:ρcosθ−ρsinθ=4，即 x −y −4=0，故所求直线的斜率等于−1，故故所求直线的方程为 y =−1(x −1)，即 x +y −1=0，化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ−1=0． 24. 解：由x ∈(0,π2) 知：y =√2sinxsin 2x=14√2sinx 14√2sinx 14√2sinx 14√2sinx sin 2x ≥5√(14√2sinx)4⋅sin 2x 5=54当且仅当14√2sinx =sin 2x即sinx =12时取等号，∴ 当x =π6时y min =54． 25. 解：（1）设P(x, y)，由题意有√(x−2)2+y 2=√2，化简得x 28+y 24=1．即动点P 的轨迹C 的方程为x 28+y 24=1．（2）当y ≥0时，y =√8−x 22，即y =√22√8−x 2．设所求的图形的面积为S ，则S =2∫√2220√8−x 2dx =√2∫√8−x 220dx=√2(12×2×2+12×8×π4)=2√2+√2π．故所求的封闭图形的面积2√2+√2π．26. （1）解：由题意得：每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．∴ X 的取值是0、1、2、3 ∴ X 的分布列是故E(X)=3×0.9=2.7．（2）证明：任取一个发生n 次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列∴ E(X)=1×C n 1p n−1q +2×C n 2p n−2q 2+...n ×C n n q n=nq(C n−10p n−1+C n−11p n−2q+...+C n−1n−1q n−1) =nq(p +q)n−1 =nq。

江苏省南京市2010届高三数学综合训练练习6 苏教版

南京市2010届高三数学综合训练6班级_________学号________姓名___________一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}20B x x x =-≤，则AB = ____________ ．2．复数(1i )(12i )z =++（i 为虚数单位）的实部是． 3．运行如图的算法，则输出的结果是 __ ．4．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是 ____ ． 5．已知函数21()log ,,22f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，若在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上随机取一点0x ，则使得0()0f x ≥的概率为____________ ．6．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a b p a b ，则=p _____ ． 7．已知曲线()sin 1f x x x =+在点(,1)2π处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a = ．8．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 ______ ．9．已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>,若()()62f f ππ=，且()f x 在区间(,)62ππ内有最大值，无最小值，则=ω __ ．10．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是．11．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = ．12．已知函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]13-，，则b a -的取值范围是 ____ ． 13．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是． 14．已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t =．第4题图 x ←0 While x <20x ← x +1 x ← x 2 End While Print x 第3题图二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 15．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c，已知sin a A =，（1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．16．如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．17．已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和．（1）若4S ，10S ，7S 成等差数列，证明1a ，7a ，4a 也成等差数列；（2）设332S =，62116S =，2n n b a n λ=-，若数列}{n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．ＡＢＣＥＦ图① ＢＣＥＦＭ 1A图②18．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．在矩形ABCD 中，已知6AD =，2AB =，E 、F 为AD 的两个三等分点.AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求以F 、E 为焦点,DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程;（2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bx a =+>图象上．（1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求a ，b 的值，并求出此时函数的单调增区间；（2）若正方形ABCD 唯一确定，试求出b 的值．附加题（理科学生做）1.已知圆22:1C x y +=在矩阵A =00a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0,0)a b >>对应的变换下变为椭圆1422=+y x ，求,a b 值BE AF D C 第3题图2.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为π)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）,求直线l 被圆C 所截得的弦长．3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，1AF =．(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；(2) 在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．4.已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n=-，*n ∈N ．（1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系；（2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．数学参考答案与评分标准一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.{}0,1； 2.1-； 3.25； 4.60； 5.23；； 7.1-； 8.1； 9.12； 10.512； 11. 4； 12.[2,4]；13.11，）； 14. 1. 二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.15．（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B=， ……………2分又因为sin a A =，所以sin B B =， ……………4分所以tan B =, 又因为0πB << , 所以π3B =． ……………6分（2）在△ABC 中，πB C A +=-，所以cos()cos B C A A A +=-=π2sin()6A - ， ……… 10分由题意，得π3≤A ＜2π3 , π6≤π6A -＜π2，所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin (π6A -)[1,2)∈，所以A C B sin 3)cos(++的取值范围[1,2)． ………………14分 16.（1）取1A B 中点N ，连接,NE NM ，则MN 12BC ,EF 12BC ,所以MN FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ，……4分又因为11,FM A EB EN A EB ⊄⊂平面平面，所以直线//FM 平面1A EB ． ……………………………………………7分（2）因为E ，F 分别AB 和AC 的中点，所以1A F FC =，所以1FM A C ⊥…9分同理，1EN A B ⊥,由（1）知，FM ∥EN ，所以1FM A B ⊥又因为111A CA B A =, 所以1FM A BC ⊥平面, ……………………………12分又因为1FM A FC ⊂平面∥ ＝ ∥ ＝∥ ＝Ｂ1AＣＥＦＭＮ所以平面1A FC ⊥平面1A BC ． ………………………………………14分 17（1）设数列}{n a 的公比为q ，因为4S ，10S ，7S 成等差数列，所以1q ≠，且74102S S S +=．所以()()()qq a q q a q q a --+--=--11111127141101，因为0q ≠，所以6321q q =+． …………………………………………4分所以361112a a q a q +=，即1472a a a +=．所以174,,a a a 也成等差数列． ………………………………………………6分（2）因为332S =，62116S =，所以()231131=--q q a ，……………………① ()16211161=--q q a ，……………………②由②÷①，得3718q +=，所以21-=q ，代入①，得21=a ．所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=n n a ， ………………………………………………………8分又因为2n a b n n -=λ，所以21212n b n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-λ，由题意可知对任意*n ∈N ，数列}{n b 单调递减，所以n n b b <+1，即()<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212n n λ21212n n -⎪⎭⎫⎝⎛--λ，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立， ………………………………10分当n 是奇数时，(21)26n n λ+>-，当1n =时，(21)26nn +-取得最大值－１，所以1λ>-； ………………………………………………………………12分当n 是偶数时，(21)26n n λ+< ，当2n =时，(21)26n n +取得最小值103，所以λ310<．综上可知，1013λ-<<，即实数λ的取值范围是10(1,)3-．…………14分 18（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：1800002002y x x x=+-…………………………………………………4分200200≥=，当且仅当1800002x x=，即400x =时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．…………………8分（2）设该单位每月获利为S ,则100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-21(300)350002x =---因为400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．…………16分19．（1）由已知，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由于焦点E 的坐标为(1,0)，它对应的准线方程为 3x =， (2)分所以1c =，23a c=，于是 23a =，22b =，所以所求的椭圆方程为: 22132x y +=． ……………………………………………4分(2) 由题意可知(3,0)A ，(3,2)B ，(3,2)C -，(1,0)F -．所以直线AC 和直线BF 的方程分别为:330x y +-=，210x y -+=，由330210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，解得3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以G 点的坐标为34(,)55．………………6分所以2EG k =-，12BF k =，因为1EG BF k k ⋅=-，所以EG BF ⊥，…………………………………………8分所以⊙H 的圆心为BE 中点(2,1)H，半径为BH =，所以⊙H 方程为 22(2)(1)2x y -+-=.………………………………………10分 (3) 设M 点的坐标为00(,)x y ，则N 点的坐标为00(2,2)x y b -，因为点,M N 均在⊙H 上，所以22002200(2)(1)2,(22)(21)2,x y x y b ⎧-+-=⎪⎨-+--=⎪⎩①②，由②－①×4，得20084(1)290x b y b b +-++-=，所以点00(,)M x y 在直线284(1)290x b y b b +-++-=，………………12分又因为点00(,)M x y 在⊙H 上，所以圆心H （2，1）到直线284(1)290x b y b b +-++-=的距离≤，………………………………14分即2110b -+≤（），整理，得42(1)12(1)280b b ----≤，即22[(1)2][(1)14]0b b -+--≤，所以11b ≤≤b的取值范围为[1+．………16分解法二：过H 作HK MN ⊥交MN 于K ，设H 到直线PM 的距离HK =d ，则3PK MK ==，PH ===，又因为PH ===22814(1)d b =--，因为20816d ≤≤，HK所以2014(1)16b ≤--≤，所以2(1)14b -≤，11b -≤≤ 解法三：因为PH PM MH ≤+，22PM MK MH =≤，所以3PH MH ≤=所以PH ==≤，所以2(1)14b -≤，11b ≤≤20. (1)因为一个顶点为(2,1)，所以必有另三个顶点(2,1)--，(1,2)-，(1,2)-，将(2,1)，(1,2)-代入3y ax bx =+，得65=a ，617-=b ． …………………4分所以3517()66f x x x =-．因为21()(1517)6f x x '=-，令()0f x '>，得x >x < 所以函数()f x单调增区间为(,-∞和)+∞．……………………6分（2）设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为(0)y kx k =≠，则对角线BD 所在的直线方程为1y x k=-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=，所以222222(1)(1)k bAO x y k x k a-=+=+=+⋅，同理，22221111[1()]b b k k k BO k a k a--++=+-⋅=-⋅，又因为22AO BO =，所以3210k k b b k-++=．……………………………10分即2211()0k b k k k +--=，即211()()20k b k k k ---+=．令1k t k-= 得220t bt -+=因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根，又1k t k-=∈R ．所以280b ∆=-=，即b =±14分因为20k b x a -=>，0a >，所以b k <；又 10bk a-->，所以1b k <-，故0b <．因此b =-反过来b =-t =1k k-=，于是2k =，12k -=；或2k =，12k -=于是正方形ABCD 唯一确定．……………………………………………………16分数学附加题参考答案与评分标准A 因为CD ＝AC ，所以∠D ＝∠CAD ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠EBC ＝∠CAD ，所以∠EBC ＝∠D ．……………………………………5分因为∠ABC ＝∠ABE ＋∠EBC ，∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ．所以∠ABE ＝∠EBC ，即BE 平分∠ABC ．……………………………………10分B 设),(P 00y x 为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点00(,)P x y '''，则 000000x x a y b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…………………………………………… 2分 0000,,x a x y b y '=⎧⎨'=⎩ 所以 0000,,x x ay y b '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩……………………………………………4分又因为点),(P 00y x 在圆C :122=+y x 上，所以 ,12002=+y x …………6分所以 2200221x y a b ''+=，即 12222=+by a x ．由已知条件可知，椭圆方程为1422=+y x ，……………………………8分所以 ,12=a 24b =，因为 ,0>a ,0>b所以 ,1=a 2b =。

2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学(附答案)

2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑ 的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。

请把答案填写在答题纸相应位置上）1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是．7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角的大小为．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是．11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab的取值范围是． 13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论： ①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）OMDA B C 14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

江苏省南京市2010届高三数学综合训练练习5 苏教版

南京市2010届高三数学综合训练5班级_________学号________姓名___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。

2. 已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为3. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是6. 在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 8. 某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10. 在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 . 11. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

南京市2010届高三数学考前综合训练题

南京市2010届高三数学考前综合训练题1．定义：在数列{a n }中，若a n 2－a n －12＝p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{a n }是“等方差数列”，则数列{a n 2}是等差数列； ②{(－1)n }是“等方差数列”； ③若{a n }是“等方差数列”，则数列{a kn }（k ∈N *，k 为常数）也是“等方差数列”； ④若{a n }既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中判断正确的序号是． 2．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin(θ－ϕ)＝1010，0＜ϕ＜π2，求ϕ的值． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3．（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值；（2）若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求角A 的大小．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若AB →²BC →＝－32，b ＝3，求a ＋c 的值；（2）求2sin A －sin C 的取值范围．6．如图1所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1、P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC ．（1）求证：P A ⊥BC ；（2）试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面P AD ，并说明理由．8．如图所示，两个全等的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，CRST －图1 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' PQ 图2 ABC A 1B 1C 1P QP A BCD T AB C D A 1B 1C 1D 1R 1S 1T 1 S R PQC 1R 1S 1T 1有一条公共的棱CC 1，且平面BCC 1B 1与平面CTT 1C 1在同一平面内，平面CDD 1C 1与平面CRR 1C 1在同一平面内，P 、Q 分别是棱B 1C 1、CC 1的中点．（1）求证：PQ ⊥平面CRS 1T 1；（2）求证：B 1D ∥平面BTS 1R 1．9．如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点，G 为DF 的中点．（1）求证：EF ⊥平面B 1BDD 1；（2）过A 1、E 、G 三点平面交DD 1于H ，求证：EG ∥A 1H ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是坐标为（0，1），直线l 1的方程为y ＝－1．（1）若动圆C 过点P 且与直线l 1相切，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）设A （0，a ）（a ＞2）为y 轴上的动点，B 是（1）中所求轨迹上距离A 点最近的点，求证：以AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为定值，并求此定值． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A （0，3），左、右焦点分别为B 、C ，离心率为12．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC 的倾斜角为α，直线PB 的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，求证：①点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上； ②P A ＝PB ＋PC ．12．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1（a ＞0，b ＞0），经过点M （33，0）的直线l 与曲线E 交于点A 、B ，且MB →＝－2MA →．（1）若点B 的坐标为（0，2），求曲线E 的方程；（2）若a ＝b ＝1，求直线AB 的方程．13．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？14．某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米．为节省材料，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，且当AC 最短时，BC 的长度为多少米？BCAC A B A 1 B 1 C 1D 1E G FDH15．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．（1）过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ (0＜θ＜π2)，试用θ 表示线段AB 的长度l (θ )；（2）一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．16．已知各项均为实数的数列{a n }是公差为dS 4＝2S 2＋8．（1）求公差d 的值；（2）若数列{a n }的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．17．（1）已知函数f (x )＝x x ＋1．数列{a n }满足：a n ＞0，a 1＝1，且a n ＋1＝f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝22[1a n ＋(2＋1)n ]．求数列{b n }的通项公式；并判断b 4＋b 6是否仍为数列{b n }中的项？若是，请证明；否则，说明理由．（2）设数列{c n }是首项为c 1，公差d ≠0的等差数列．求证：“数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项”的充要条件是“存在整数m ≥－1，使c 1＝md ”．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n(n ∈N*)，b n ＝3a n ．（1）试证数列{a n －13³2n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．（2）在数列{b n }中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．（3）①试证在数列{b n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得b 1，b r ，b s 成等差数列；并求出正整数r ，s 之间的关系．②在数列{b n }中，是否存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列？若存在，确定正整数r ，s ，t 之间的关系；若不存在，说明理由．19．已知函数f （x ）＝|x |x ＋2．（1）判断函数f （x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f （x ）＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 20．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数．（1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；（2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值． 21．设定义在R 上的奇函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，a ，b ，c ，d ∈R ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值23．（1）求函数y ＝f (x )的表达式；（2）判断函数y ＝f (x )的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间[－2，2]上，并说明理由；（3）设x n ＝1－2－n ，y m ＝2(3－m－1)（m ，n ∈N*），求证：|f (x n )－f (y m )|＜43．南京市2010届高三数学考前综合训练题参考答案1．①、②、③、④．2．(1)因为a 与b 互相垂直，所以a ·b ＝0．所以sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以（2cos θ）2＋cos 2θ＝1．解得cos 2θ＝15．则sin 2θ＝45．因为θ∈(0，π2)，所以sin θ＞0，cos θ＞0，所以sin θ＝255，cos θ＝55．(2)因为0＜ϕ＜π2，0＜θ＜π2，所以－π2＜θ－ϕ＜π2，所以cos(θ－ϕ)＝1－sin 2(θ－ϕ)＝31010，所以cos ϕ＝cos[θ－(θ－ϕ)]＝cos θcos(θ－ϕ)＋sin θsin(θ－ϕ)＝22．所以ϕ＝π4． 3．(1)因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35．所以sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310．(2)由(1)，知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310．因为B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，a ＝b sin A sin B ＝65．所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×653×3＋4310＝36＋9350．4．（1）由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，12ab sin C ＝3，即ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4．解得a ＝2，b ＝2．（2）由题意，得32＋sin(2π3－2A )＝2sin2A ．即sin(2A －π6)＝12．因为A ∈(0，2π3)，所以2A －π6∈(－π6，7π6)．所以2A －π6＝π6或2A －π6＝5π6．则A ＝π6，或A ＝π2．5．（1）因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3．因为AB →²BC →＝－32，所以ac cos(π－B )＝－32，所以12ac ＝32，即ac ＝3．因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3．所以(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23．（2）2sin A －sin C ＝2sin(2π3－C )－sin C ＝2(32cos C ＋12sin C )－sin C ＝3cos C ．因为0＜C ＜2π3，所以3cos C ∈（－32，3）．所以2sin A －sin C 的取值范围是（－32，3）． 6．(1)证明：在正方形AA'A 1'A 1中，因为A 'C ＝AA '－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5．因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB ⊥BC ．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB ⊥BB 1．而BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1． (2)解：因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ )×BC ＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB ＝20．由(1)，知BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．7．（1）证法一：连结AC ，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以AD ⊥CD ．设AD ＝a ．因为AD ＝DC ＝12AB ，所以CD ＝a ，AB ＝2a ．在△ADC 中，∠ADC ＝90︒，AD ＝DC ，所以∠DCA ＝∠DAC ＝45︒，AC ＝2a ．在△ACB 中，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠CAB ＝45︒，所以BC ＝AC 2＋AB 2－2AB ⋅AC ⋅cos ∠CAB ＝2a ．所以AC 2＋BC 2＝AB 2．所以AC ⊥BC ．又因为BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ，所以BC ⊥平面P AC ．因为P A ⊂平面P AC ，所以P A ⊥BC ．证法二：连结AC ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ，所以四边形ADCE 为正方形．所以∠ACD ＝∠ACE ＝45︒．因为AE ＝CD ＝12AB ，所以BE ＝AE ＝CE ．所以∠BCE ＝45︒．所以∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45︒＋45︒＝90︒．所以AC ⊥BC ．又因为BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ，所以BC ⊥平面P AC ．因为P A ⊂平面P AC ，所以P A ⊥BC ．（2）当M 为PB 中点时，CM ∥平面P AD ．证法一：取AP 中点F ，连结CM ，FM ，DF ．则FM ∥AB ，FM ＝12AB ．因为CD ∥AB ，CD ＝12AB ，所以FM ∥CD ，FM ＝CD ．所以四边形CDFM 为平行四边形．所以CM ∥DF ．因为DF ⊂平面DAP ，CM ⊂/平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．证法二：在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ，连结PQ ，CM ．因为CD ∥AB ，所以∠QCD ＝∠QBA ．因为∠CQD ＝∠BQA ．所以△CQD ∽△BQA ．所以QC QB ＝CD AB ＝12．所以C 为BQ 的中点．因为M 为BP 的中点，所以CM ∥PQ ．因为PQ ⊂平面P AD ，CM ⊂/平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．证法三：取AB 中点E ，连结EM ，CE ，CM ．在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝DC ．所以四边形AECD 为平行四边形．所以CE ∥DA ．因为DA ⊂平面P AD ，CE ⊂/平面P AD ，所以CE ∥平面P AD ．同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点，得EM ∥平面P AD ．因为CE ⊂平面CEM ，ME ⊂平面CEM ，CE ∩EM ＝E ，所以平面CEM ∥平面P AD ，因为CM ⊂平面CEM ，所以CM ∥平面P AD ．8．（1）连接B 1C ，因为P 、Q 分别是棱B 1C 1、CC 1的中点，所以PQ ∥B 1C ．因为平面BCC 1B 1与平面CTT 1C 1在同一平面内，所以CR ⊥平面BCC 1B 1，又因为B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以CR ⊥B 1C ．因为PQ ∥B 1C ，所以PQ ⊥CR ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，CRST －C 1R 1S 1T 1中，∠B 1CC 1＝∠C 1CT 1＝45°，所以∠B 1CT 1＝90°，即CT 1⊥B 1C ．因为PQ ∥B 1C ，所以PQ ⊥CT 1．又因为CR ∩CT 1＝C ，CR ⊂平面CRS 1T 1，CT 1⊂平面CRS 1T 1，所以PQ ⊥平面CRS 1T 1．（2）连接B 1R 1、DT 、D 1T 1．因为DD 1＝∥TT 1，所以DD 1T 1T 为平行四边形，则DT ＝∥D 1T 1．由题意知C 1为D 1R 1，B 1T 1的中点，所以B 1R 1＝∥D 1T 1，则DT ＝∥ B 1R 1．所以DTR 1B 1为平行四边形，则B 1D ∥TR 1．又因为B 1D ⊂/平面BTS 1R 1， TR 1⊂平面BTS 1R 1，所以B 1D ∥平面BTS 1R 1．说明：关注几个图形的组合体中各种线面关系的研究．PA BC DM FE PA C D MQT ABCDA 1B 1C 1D 1R 1S 1T 1SRP Q9．（1）因为E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，因为底面A 1B 1C 1D 1为菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1，所以EF ⊥B 1D 1．因为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又因为EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥EF ．又B 1D 1∩DD 1＝D 1，B 1D 1⊂平面B 1BDD 1，DD 1⊂平面B 1BDD 1，所以EF ⊥平面B 1BDD 1．（2）延长FE 交D 1A 1的延长线于点H ，连接DH ，因为E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点，所以△EFB 1≌△EHA 1，所以HE ＝EF ，在△FDH 中，因为G 、F 分别为DF 、HF 的中点，所以GE ∥DH ．又GE ⊂/平面AA 1D 1D ，DH ⊂平面AA 1D 1D ，故EG ∥平面AA 1D 1D ．因为过A 1、E 、G 三点平面交DD 1于M ，所以面A 1MGE ∩面AA 1D 1D ＝A 1M ，EG ⊂面A 1MGE ，所以EG ∥A 1M ．10．（1）由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以（0，1）为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以动圆圆心C 的轨迹方程x 2＝4y ．（2）设点B （x ，y ）（y ≥0），则x 2＝4y ．因为A （0，a ）（a ＞2），所以AB 2＝x 2＋(y －a )2＝4y ＋y 2－2ay ＋a 2＝y 2＋2 (2－a )y ＋a 2．对称轴y ＝a －2＞0，所以当y ＝a －2时，AB 取得最小值，此时点B （±2a －2，a －2）．以AB 为直径的圆M 的圆心M 为（±a －2，a －1），半径r 2＝a －2＋1＝a －1．圆心M 到y 轴的距离为d ＝|±a －2|＝a －2，则圆M 在y 轴上截得的弦长为2r 2－d 2＝2．所以以AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为定值2． 11．（1）因为b ＝3，c a ＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得a 2＝12，b 2＝9，c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1．（2）①因为B （－3，0），C （3，0），A （0，3），所以△ABC 为等边三角形．经过A ，B ，C 三点的圆M 的方程为x 2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－2y ＝3．设点P （x ，y ），则k PC ＝tan α＝y x －3，k PB ＝tan β＝yx ＋3．因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23y x 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．所以点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上．②P A 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以P A 2＝12－4y ． PB 2＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ，PC 2＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ， 2PB ³PC ＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2，因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2PB ³PC ＝44y 2，由于y ＜0，所以2 PB ³PC ＝－8y ，从而(PB ＋PC )2＝PB 2＋2 PB ³PC ＋PC 2＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝P A 2．所以P A ＝PB ＋PC ．12．（1）设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M (33，0)，故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．因为MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．所以x 0＝32，y 0＝－1．即A (32，－1)．因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ⋅02＋b ⋅22＝1，a ⋅(32)2＋b ⋅(－1)2＝1．解得a ＝1，b ＝14．所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1．（2）（法一）当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆：x 2＋y 2＝1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．CAB A 1 B 1C 1D 1E GF HD M因为MB →＝－2MA →，所以(x 2－33，y 2) ＝－2(x 1－33，y 1)，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3， y 2＝－2y 1．设线段AB 的中点为T ，则点T 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即(3－x 12，－y 12)．所以−→OT ＝(3－x 12，－y 12)，−→AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(3－3x 1，－3y 1)．因为OT ⊥AB ，所以−→OT ⋅−→AB ＝0，即3－43x 1＋3x 21＋3y 21＝0．因为x 21＋y 21＝1，所以x 1＝32，y 1＝±12．当点A 的坐标为(32，－12)时，对应的点B 的坐标为(0，1)，此时直线AB 的斜率 k ＝－3，所求直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；当点A 的坐标为(32，12)时，对应的点B 的坐标为(0，－1)，此时直线AB 的斜率k ＝3，所求直线AB 的方程为y ＝3x －1．（法二）当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆：x 2＋y 2＝1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为MB →＝－2MA →，所以(x 2－33，y 2) ＝－2(x 1－33，y 1)，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3， y 2＝－2y 1．因为点A ，B 在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，……①x 22＋y 22＝1，……②由①³4－②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3．所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0．由x 1＝32，得y 1＝±12．（以下同方法一）（法三）如图，设AB 中点为T ．则TM ＝TA －MA ＝16AB ，OM ＝33．根据Rt △OTA 和Rt △OTM ，得⎩⎪⎨⎪⎧TM 2＋OT 2＝13，TA 2＋OT 2＝1．即⎩⎨⎧136AB 2＋OT 2＝13，14AB 2＋OT 2＝1．解得AB ＝3，OT ＝12．所以在Rt △OTM 中，tan ∠OMT ＝OT TM ＝3．所以k AB ＝－3或3．所以直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1或y ＝3x －1．13．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋VR)．y '＝a (53πR －V R 2)＝5π aR 3－3a V 3R 2．令y '＝0得R ＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数；当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值．答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 14．设BC ＝x 米（x ＞1），AC ＝y 米，则AB ＝y －12．在△ABC 中，由余弦定理，得(y －12)2＝y 2＋x 2－2xy cos60︒．所以y ＝x 2－14x －1（x ＞1）．法一：y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥2＋3．当且仅当x －1＝34(x －1)，即x ＝1＋32时，y 有最小值2＋3．法二： y ′＝2x (x －1)－(x 2－14)(x －1)2＝x 2－2x ＋14(x －1)2．由y ′＝0得x ＝1＋32．因为当1＜x ＜1＋32时，y ′＜0；当x ＞1＋32时，y ′＞0，所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋3．答：AC 的最短长度为2＋3米，此时BC 的长度为（1＋32）米． 15．（1）l (θ)＝2sin θ＋2cos θ,，θ∈(0，π2)．（2）法一：铁棒能水平通过该直角走廊．理由如下：l '(θ)＝⎝⎛⎭⎫2sin θ'＋⎝⎛⎭⎫2cos θ'＝0⋅sin θ－2⋅cos θsin 2θ＋0⋅cos θ＋2⋅sin θcos 2θ＝2(sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ．令l '(θ)＝0得，θ＝π4．当0＜θ＜π4时，l '(θ)＜0，l (θ)为减函数；当π4＜θ＜π2时，l '(θ)＞0，l (θ)为增函数．所以当θ＝π4时，l (θ)有最小值42．因为42＞5．所以该铁棒能水平通过该直角走廊．法二：铁棒能水平通过该直角走廊．理由如下：l 2(θ)＝⎣⎡⎦⎤2(sin θ＋cos θ)sin θ⋅cos θ2＝4(1＋2sin θcos θ)sin 2θcos 2θ＝4(sin θcos θ)2＋8sin θcos θ＝4⎝⎛⎭⎫1sin θcos θ＋12－4＝4⎝⎛⎭⎫2sin2θ＋12－4．因为θ∈(0，π2)，所以2θ∈(0，π)，所以当2θ＝π2，即θ＝π4时，2sin2θ有最小值2．所以l 2(θ)有最小值32．l (θ)有最小值42．因为42＞5．所以该铁棒能水平通过该直角走廊． 16．（1）d ＝2；（2）考虑到d ＝2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．①当a 1＝0时， 02＋d ＋2d ＝0＋2＋4≤10，而02＋d ＋2d ＋3d ＝0＋2＋4＋6＞10，此时，数列至多3项； ②当a 1＞0时，可得数列至多3项；③当a 1＜0时，a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ≤10，即a 12＋3a 1＋2≤0，此时a 1有解．而a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ≤10，即a 12＋4a 1＋10≤0，此时a 1无解．所以a 1＜0时，数列至多有4项．（3）a 1＝－1时，数列为：－1，1，3，5；或a 1＝－2时，数列为：－2，0，2，4．17．(1)因为a n ＋1＝f (a n )＝a n a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n ＝1．因为1a 1＝1，所以1a n＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝1n 2．因为S n ＝22[1a n ＋(2＋1)n ]＝22n 2＋(1＋22)n ，当n ＝1时，S 1＝b 1＝2＋1，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝1＋2n ，所以b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．所以b 4＋b 6＝42＋1＋62＋1＝102＋2．令b t ＝102＋2(t ∈N *)，则102＋2＝2t ＋1，得t ＝10＋22与t ∈N *矛盾，所以b 4＋b 6不在数列{b n }中．(2)充分性：若存在整数m ≥－1，使c 1＝md ．设c r ，c t 为数列{c n }中不同的两项，则c r ＋c t ＝c 1＋(r －1)d ＋c 1＋(t －1)d ＝c 1＋(r ＋m ＋t －2)d ＝c 1＋[(r ＋m ＋t －1)－1]d 又r ＋t ≥3且m ≥－1，所以r ＋m ＋t －1≥1．即c r ＋c t 是数列{c n }的第r ＋m ＋t －1项．必要性：若数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项，则c s ＝c 1＋(s －1)d ，c t ＝c 1＋(t －1)d ，(s ，t 为互不相同的正整数)．则c s ＋c t ＝2c 1＋(s ＋t －2)d ．令c s ＋c t ＝c l ，得，2c 1＋(s ＋t －2)d ＝c 1＋(l －1)d (s ，t ，l ∈N *)，所以c 1＝(l －s －t ＋1)d ．令整数m ＝l －s －t ＋1，所以c 1＝md ．下证整数m ≥－1．若整数m ＜－1，则－m ≥2．令k ＝－m ，由题设取c 1，c k 使c 1＋c k ＝c r (r ≥1)，即c 1＋c 1＋(k －1)d ＝c 1＋(r －1)d ，所以md ＋(－m －1)d ＝(r －1)d ，即rd ＝0与r ≥1，d ≠0相矛盾，所以m ≥－1．综上数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项的充要条件是存在整数m ≥－1，使c 1＝md ．18．(1)由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1＝2n －a n ，所以a n ＋1－13³2n ＋1a n －13³2n ＝2n －a n －13³2n ＋1a n －13³2n ＝－(a n －13³2n )a n －13³2n ＝－1．又因为a 1－23＝13，所以数列{a n －13³2n }是首项为13,公比为－1的等比数列．所以a n －13³2n ＝13³(－1)n －1,即a n ＝13[2n －(－1)n ]，所以b n ＝2n －(－1)n ．(2)假设在数列{b n }中，存在连续三项b k －1，b k ，b k ＋1(k ∈N*, k ≥2)成等差数列，则b k －1＋b k ＋1＝2b k ，即[2k －1－(－1)k －1]＋[2k＋1－(－1)k ＋1]＝2[2k －(－1)k ]，即2k －1＝4(－1)k －1]．①若k 为偶数，则2k －1＞0，4(－1)k －1＝－4＜0，所以，不存在偶数k ，使得b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列． ②若k 为奇数，则当k ≥3时，2k －1≥4，而4(－1)k －1＝4，所以，当且仅当k ＝3时，b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．综上所述，在数列{b n }中，有且仅有连续三项b 2，b 3，b 4成等差数列． (3)①要使b 1，b r ，b s 成等差数列，只需b 1＋b s ＝2b r ，即3＋2s －(－1)s ＝2[2r －(－1)r ]，即2s －2r ＋1＝(－1)s －2(－1)r －3， (﹡)(ⅰ)若s ＝r ＋1，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1＝0，右端(－1)s －2(－1)r －3＝(－1)s ＋2(－1)s －3＝3(－1)s －3，要使(﹡)式成立，当且仅当s 为偶数时成立．又s ＞r ＞1，且s ，r 为正整数，所以当s 为不小于4的正偶数，且s ＝r ＋1时，b 1，b r ，b s 成等差数列． (ⅱ)若s ≥r ＋2时，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1≥2r ＋2－2r ＋1＝2r ＋1，由(2)可知，r ≥3，所以r ＋1≥4，所以左端2s －2r ＋1≥16(当且仅当s 为偶数、r 为奇数时取“＝”)；右端(－1)s －2(－1)s－3≤0．所以当s ≥r ＋2时，b 1，b r ，b s 不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s ，且s ＝r ＋1，使得b 1，b r ，b s 成等差数列． ②假设存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列．首先找到成等差数列的3项：由第(3)小题第①问，可知，b 1，b 2n －1，b 2n (n ∈N*，且n ≥2)成等差数列，其公差d ＝b 2n －b 2n－1＝[22n －(－1)2n ]－[22n －1－(－1)2n －1]＝22n －1－2．所以b t ＝b 2n ＋d ＝22n －(－1)2n ＋22n －1－2＝3³22n －1－3．又b t ＝2t －(－1)t ，所以3³22n －1－3＝2t －(－1)t ，即2t －3³22n －1＝(－1)t －3． (﹡﹡)因为t ＞2n ＞2n －1，所以t ≥2n ＋1，所以(﹡﹡)式的左端2t －3³22n －1≥22n ＋1－3³22n －1＝22n －1≥8，而(﹡﹡)式的右端(－1)t －3≤－2，所以(﹡﹡)式不成立．综上所述，不存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列． 19．（1）方法一：因为f (x )＝|x |x ＋2，所以当x ＞0时，f (x )＝x x ＋2．因为当x ＞0时f ′(x )＝2(x ＋2)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二：因为f (x )＝|x |x ＋2，所以当x ＞0时，f (x )＝xx ＋2．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，使0＜x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2) (x 2＋2)．因为x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0．所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．（2）方法一：原方程即为|x |x ＋2＝kx 2…………(*)．①x ＝0恒为方程*的一个解．②当x ＜0且x ≠－2时方程*有解，则－x x ＋2＝kx 2，k ＝1－x 2－2x ．设g (x )＝1－x 2－2x ，h (x )＝k ．g ′(x )＝2x ＋2(－x 2－2x )2，所以令g ′(x )＜0，得x ＜－1且x ≠－2；g ′(x )＞0，得－1＜x ＜0．所以g (x )在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增．而g (－1)＝1，所以当x ∈(－∞，－2)时，g (x )∈(－∞，0)；当x ∈(－2，0)时，g (x )∈[1，＋∞)．当x ＞0时方程*有解，则x x ＋2＝kx 2，k ＝1x 2＋2x．设g (x )＝1x 2＋2x ，h (x )＝k ．因为g ′(x )＝－2x －2(x 2＋2x )2，x ＞0，所以g ′(x )＜0．所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＞0．所以当x ∈(0，＋∞)时，g (x )∈(0，＋∞)．所以k ∈(1，＋∞)时，函数g (x )与h (x )的图象有三个交点．所以当k ∈(1，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解．方法二：原方程即为|x |x ＋2＝kx 2…………(*)．①x ＝0恒为方程*的一个解．②x ≠0且x ≠－2时方程*有解，即当x ＞0时，k ＝1x 2＋2x有解；当x ＜0且x ≠－2时，k ＝1－x 2－2x有解．所以k ≠0．设函数h (x )＝1k ，g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＞0，－x 2－2x ，x ＜0且x ≠－2．因为g (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2－1，x ＞0，－(x +1)2＋1，x ＜0且x ≠－2．所以当x ∈(－∞，－2)和(－2，－1)时，函数g (x )单调递增；当x ∈(－1，0)时，函数g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )单调递增．所以当x ∈(－∞，－2)时，g (x )∈(－∞，0)；当x ∈(－2，0)时，g (x )∈(0，1]；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )∈(0，＋∞)．所以当1k∈(0，1)时，即k ∈(1，＋∞)时，函数g (x )与h (x )的图象有三个交点．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解． 20．（1）对于函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，当x ∈[1，2]时，f 1(x )＝1．当x ＜1或x ＞2时，f 1(x )＞|(x －1)－(x －2)|＝1恒成立，故f 1(x )是“平底型”函数．对于函数f 2(x )＝x ＋|x －2|，当x ∈(－∞，2]时，f 2(x )＝2；当x ∈(2，＋∞)时， f 2(x )＝2x －2＞2．所以不存在闭区间[a ，b ]，使当x ∉[a ，b ]时，f (x )＞2恒成立．故f 2(x )不是“平底型”函数．（2）因为函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，则存在区间[a ，b ] ⊆[－2，＋∞)和常数c ，使得mx ＋x 2＋2x ＋n ＝c 恒成立.所以x 2＋2x ＋n ＝(mx －c )2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，－2mc ＝2， c 2＝n ．解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1时，g (x )＝x ＋|x ＋1|．当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝2x ＋1>－1恒成立．此时g (x )是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1时，g (x )＝－x ＋|x ＋1|．当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－2x －1≥1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝1．此时，g (x )不是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．所以m ＝1，n ＝1．21．（1）因为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，则b ＝d ＝0．所以f (x )＝ax 3＋cx ．因为当x ＝－1时，f (x )取得极大值23，f ′(x )＝3ax 2＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0，－a －c ＝23．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，c ＝－1．所以f (x )＝13x 3－x ．（2）存在满足题意的两点．由（1），得f ′(x )＝x 2－1．假设存在两切点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，x 1，x 2∈[－2，2]．则f ′(x 1)• f ′(x 2)＝－1．所以(x 21－1)(x 22－1)＝－1．因为(x 21－1)，(x 22－1)∈[－1，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21－1＝－1，x 22－1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 21－1＝1，x 22－1＝－1．解得⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝±2，或⎩⎨⎧x 1＝±2，x 2＝0．所以两切点的坐标分别为(0，0)，(2，－23)或(0，0)，(－2，23)．（3）因为当x ∈[12，1）时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[12，1）上递减。

江苏省南京市2010届期末迎一模高三数学期末模拟试卷(一)

南京市2010届期末迎一模高三数学期末模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为_____． 3．抛物线214x y =的准线方程为_______． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为_______.6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为_________.8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m +=>,如果直线2y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________.12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题：（1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//；（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是（填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = ．14.如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ．15．某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率.A 1AB CPMNQ B 1C 116．已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式.17. 已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值； (2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．2009-2010学年度第一学期高三数学期末模拟一解答一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为__4___． 3．抛物线214x y =的准线方程为___1x =-____． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为280x y -+=． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为___2____. 6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = 101 ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为____.（(9,8)-）8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为2()3(2)12f x x =--+．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．（2）10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = 7 ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m+=>,如果直线y 与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________. 12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题：（1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//；（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是（1）、（2）、（3）（填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S =221-+n ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．14．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ．证明：（1）∵AC=BC ， P 是AB 的中点 ∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内 ∴CC 1⊥AB ， ∵CC 1∩PC =C ∴AB ⊥面PCC 1；又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 7分（2）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ，∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点，∴K 为PB 1的中点．又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ ∴PC 1∥面MNQ ． 14分 15．（本题满分14分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率. 解：（1）由题意可知0.15,1501000xx ==； 4分（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000(173177)(100150)400-+-+=名，则设应在第三车间级抽取m 名工人，则50,201000400mm ==． 8分（3）由题意可知400y z +=，且185,185y z ≥≥，满足条件的(,)y z有(185,215),(186,214)，……(215,185)，共有31组．设事件A ：第三车间中女工比男工少，即y z <，满足条件的(,)y z 有(185,215),(186,214)，……(199,201)，共有15组．故15()31P A =． 13分 A 1ABCP MNQ B 1C 1答：（1）150x =，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531. 16．（本题满分15分）已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式. 解：（1）由x =a 时不等式成立，即2(1)(1)0a a -+<，所以2(1)(1)0a a +-<，所以1a <且1a ≠-．所以a 的取值范围为(,1)(1,1)-∞-- ． 6分（2）当0a >时，11a>-，所以不等式的解：11x a -<<；当10a -<<时，11a <-，所以不等式的解：1x a<或1x >-；当1a <-时，11a >-，所以不等式的解：1x <-或1x a>．综上：当0a >时，所以不等式的解：11x a-<<；当10a -<<时，所以不等式的解：1x a<或1x >-；当1a <-时，所以不等式的解：1x <-或1x a>． 15分 17. （本题满分15分）已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2．(1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值；(2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．解：（1）易得A 的坐标)0,2(-,B 的坐标)0,2(M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标)24,(2t t --，线段AM 的中点P )44,22(2t t --，直线AM 的斜率t t k =+-=22421又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率ttk -+-=2222 ∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=∴1C 的坐标为)0,863(-t 5分同理2C 的坐标为)0,863(+t∴4321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值 8分（2）圆1C 的半径为1AC 8103+=t 圆2C 的半径为83102tBC -=)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825min π=S 15分。

江苏省南京市2010届高三数学综合训练练习2 苏教版

南京市 2010届高三数学综合训练2班级_________学号________姓名___________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B =，则a 的值为______ _______.2.若函数2sin()4y a ax π=+的最小正周期为π，则正实数a =______ _______.3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)(2)2f f +-=，则(2)(3)f f -=______ _______.4.3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______ _______. 5.已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是______ _______.6.右边的流程图最后输出的n 的值是______ _______.7.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若)3()2(f f <，则实数a 的取值范围是_________.8.若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当2n n b a =时，数列{}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =____ ____时，数列{}n d 也是等差数列. 9.i 是虚数单位，若32()4a bii a b R i+=+∈-、，则a b +的值是______ ______. 10.通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____ _______. 11.正三棱锥S ABC-中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______ _______.12.点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为______ _______.13.等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-时，AMMB=______ ___ _. 14.已知实数x s t 、、满足：89x t s +=，且x s >-，则2()1x s t x st x t+++++的最小值为____.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ；（2）求证：EG ∥平面11AA D D .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、.（1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =，向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b .ABCD A 1B 1C 1D 1EGF17.（本小题满分14分）甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：()2sin ,[0,12]f t t t =+∈，乙水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：]12,0[,65)(∈--=t t t g .问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin60.279≈-）.18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；若直线:3l y x =-被圆A 和圆B截得的弦长之比为6. （1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P 点坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数m p 、使得：11m m m p m m m p a a a a a a +++++++=，请找出所有的有序数对(,)m p ，并证明你的结论.20.（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.21.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --.（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标.22.已知边长为6的正方体1111ABCD A B C D -，,E F 为AD CD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点.（1）求1A H 与平面EFH 所成角的余弦值；（2）设点P 在线段GH 上，且GPGHλ=，试确定λ的值，使得1C P 的长度最短.FE EG 1B 1A CDAB 1C 1D PH参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1.02.23.2-4.2π5.(2,0)±6.97.),1(+∞8.12nc c c n++⋅⋅⋅+ 9. 1910.11(,)917--12.5 13.3 14.6 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.）15.（本小题满分14分）证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF A C ，因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥，所以11EF B D ⊥，（3分）因为直四棱柱1111ABCD A B C D -，所以11111DD A B C D ⊥平面，又因为1111EF A B C D ⊂平面，所以1DD EF ⊥；又1111B D DD D =，所以EF ⊥平面11B BDD .（7分）（2）延长FE 交11D A 的延长线于点H ，连接DH ，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11EFB EHA ∆≅∆，所以HE EF =，在FDH ∆中，因为G F 、分别为DF 、HF 的中点，所以//GE DH ，（10分）又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂，故EG ∥平面11AA D D .（14分）16. （本小题满分14分）解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B y x ++=+，由)//(y x z +，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=，（4分）即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=-CAB A 1B 1C 1D 1EGFH D所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos B C B C B CB C B C B C++=+==-；（7分）（2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-，则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，（10分）化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =，解得40()b b ==或舍，所以4b =.（14分）17.（本小题满分14分）解：设甲、乙两水池蓄水量之和为()()()H t f t g t =+，（1分）当[0,6]t ∈时，()()()2sin 5(6)sin 1H t f t g t t t t t =+=++--=++，（3分）'()cos 10H t t =+≥，所以()H t 在[0,6]t ∈上单调递增，所以max [()](6)7sin 6H t H ==+；（7分）当]12,6(∈t 时，()()()2sin 5(6)sin 13H t f t g t t t t t =+=++--=-+，（9分）'()cos 10H t t =-≤，所以()H t 在]12,6(∈t 上单调递减，所以6sin 7)(+<t H ；（13分）故当t =6h 时，甲、乙两水池蓄水量之和()H t 达到最大值，最大值为7+sin6百吨.（14分）（注：取最大值为6.721也算对） 18.（本小题满分16分）解：（1）由3l k =-，得直线l 的倾斜角为150︒，则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=，故直线l 被圆A 截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B 截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=，（3分）据题意有：126L L ==（5分）化简得：2163270e e -+=，解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈；故椭圆C 的离心率为14e =.（7分）（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ；当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截；故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421，故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =，（9分）则点)0,7(B 到直线L 的距离2217kn km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =，（11分）据题意有：1234L L =，即有22221216()9()AB r D r D -=-，整理得1243D D =，即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，（13分）关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）.（16分）（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分） 19. （本小题满分16分）解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由421)31(21121213=+-+-==d d a a a 可得21q d =⎧⎨=⎩或659q d =⎧⎪⎨=⎪⎩，（3分）又数列{}n a 各项均为整数，故21q d =⎧⎨=⎩；所以1110,122,13n n n n a n N n *--≤⎧=∈⎨≥⎩；（6分）（2）数列{}n a 为：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,4,8,16,---------当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为负数时，显然10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+<，所以10m m m p a a a ++⋅⋅⋅<，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以8p ≤，2p =时，经验算只有(3)(2)(1)(3)(2)(1)-+-+-=-⋅-⋅-符合，此时7m =； 4,6,8p =时，经验算没有一个符合；故当1,,,m m m p a a a ++均为负数时，存在有序数对(7,2)符合要求.（8分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，11m m N *≥∈且，1110111222m m m p m m m p a a a --+-++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+111112(122)2(21)m p m p --+=++⋅⋅⋅+=- (1)11101111121121222(2)2(2)2p pm m m p m ppm pm m m p a a a +--+--++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅因为121p +-是比1大的奇数，所以1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+能被某个大于1的奇数（121p +-）整除，而(1)112(2)2p p m p+-⋅不存在大于1的奇约数，故1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+1m m m p a a a ++≠；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，不存在符合要求有序数对；（11分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中含有0时，有10m m m p a a a ++⋅⋅⋅=，所以10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+=，（方法一）设负数项有(9)k k N k *∈≤,且，正数项有()l l N *∈，则1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅应是1,(1),(2),,2,1,0,1,2,,2l k k k ------⋅⋅⋅--，故有(1)212l k k +=-；经验算： 1k =时，1l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为1,0,1-，9,2m p ==； 2k =时，2l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为2,1,0,1,2--，8,4m p ==；5k =时，4l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，5,9m p ==；3,4,6,7,8,9k =时，均不存在符合要求的正整数l ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，1,0,1-，符合，此时9,2m p ==；含2个负数项时，2,1,0,1,2--，符合，此时8,4m p ==；含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时， 5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，符合，此时5,9m p ==；含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；综上，存在四组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)，(7,2)符合要求. （16分）（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）20.（本小题满分16分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-. （4分）（2）假设存在，即存在(1,)3ax ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（6分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； 2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解；综上：3a >.（9分）（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或；（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3ax =处取得极大值，()13a f a >⇒>a >因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >；（注：343>a 也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立；若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（），得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当2a >()y H x =有5个不同的零点.（16分）21.解：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,3311d c b a d c b a ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=+=+1133d c b a d c b a 解得1,2,2,1-=-===d c b a ，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦. （5分）（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33111221知，)3,3('-C ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131323231知，)1,1(-D . （10分）22.解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,(6,6,4)H ,1(6,0,0)A . （1）设(1,,)n x y =，(2,2,0)EF =-,(4,6,2)EH =-则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n =；1(0,6,4)A H =，111cos ,27n A H n A H nA H⋅===设1A H 与平面EFH 所成角为θ，则cos θ=. （5分）（2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)GH =-,设(5,5,2)GP GH λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，()()2222215155(26)546458C P λλλλλ=++-+-=-+，当1627λ=时，1C P 的长度取得最小值. （10分） 26.（必做题）（本小题满分10分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2分）（2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y=++++=+，3334322a C m m ==⇒=， 4402(1)811ii a==+=∑；（5分）（3）由(,1)(,)nf n m f n t =可得2(1)(1)()nnn nm m m m m t t+=+=+，即21m m m m t +=+⇒=⇒201020101(1(1)1000f =+=+. 2341234201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---tt m t f ，所以原不等式成立. （10分）。

2010届高三数学高考二轮专题复习：数列通项的求法(教案+习题+解析)

所以
，
类型2递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例5.已知数列满足，，求。
解析：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
点评：由和确定的递推数列的通项可如下求得：
由已知递推式有，，，依次向前代入，得
，
简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。
2010年高三数学第二轮专题复习——数列通项的求法
考纲要求：
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）;
2.能够依据数列的前几项归纳出其通项公式；
3.会应用递推公式求数列中的项或.通项；
4.掌握已知的一般方法和步骤.
考点回顾：
回顾近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考查，往往与等差、等比数列或者与数列其它知识综合考查.一般作为考查其他知识的铺垫知识，因此，如果这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的.
题型3.应用与的关系求通项
有些数列给出{ }的前n项和与的关系式 = ，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。
例3.已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.
分析：由前n项和与的关系即可求得.
解析：由
当时，有
……，
经验证也满足上式，所以
点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
7.在数列中，，则 =（）
A.5 B.-5 C.1 D.-1
8.已知数列满足，则（）
A.2010 2009 B.2011 2010 C.2009 2008 D.2009 2009
9.已知数列的通项公式分别为，（a、b为常数）且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为（）

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14．某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？
15．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（2）设数列{cn}是首项为c1，公差d≠0的等差数列．求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥－1，使c1＝md”．
18．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，bn＝3an．
（1）试证数列{an－ ×2n}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中判断正确的序号是．
2．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0， )．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ－)＝，0＜＜，求的值．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝．
（1）判断函数f1(x)＝|x－1|＋|x－2|和f2(x)＝x＋|x－2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数g(x)＝mx＋是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m和n的值．
21．设定义在R上的奇函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，a，b，c，d∈R．当x＝－1时，f(x)取得极大值．
（1）求公差d的值；
（2）若数列{an}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；
（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．
17．（1）已知函数f(x)＝．数列{an}满足：an＞0，a1＝1，且＝f( )，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝ [ ＋( ＋1)n]．求数列{bn}的通项公式；并判断b4＋b6是否仍为数列{bn}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
9．如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点．
（1）求证：EF⊥平面B1BDD1；
（2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EG∥A1H．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P是坐标为（0，1），直线l1的方程为y＝－1．
（1）若动圆过点P且与直线l1相切，求动圆圆心C的轨迹方程；
19．已知函数f（x）＝．
（1）判断函数f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f（x）＝kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．
20．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a，b]D和常数c，使得对任意
x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2 [a，b]时，f(x2)＞c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数．
（1）求函数y＝f(x)的表达式；
（2）判断函数y＝f(x)的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间[－， ]上，并说明理由；
（3）设xn＝1－2－n，ym＝ (3－m－1)（m，n∈N*），求证：|f(xn)－f(ym)|＜．
8．如图所示，两个全等的正方体ABCD－A1B1C1D1，CRST－C1R1S1T1有一条公共的棱CC1，且平面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内，平面CDD1C1与平面CRR1C1在同一平面内，P、Q分别是棱B1C1、CC1的中点．
（1）求证：PQ⊥平面CRS1T1；
（2）求证：B1D∥平面BTS1R1．
（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为
(0＜＜ )，试用表示线段AB的长度l()；
（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．
16．已知各项均为实数的数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，且满足S4＝2S2＋8．
（1）若 · ＝－，b＝，求a＋c的值；
（2）求2sinA－sinC的取值范围．
6．如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB＝3，BC＝4，作BB1//AA1，分别交A1A1'、AA1'于点B1、P，作CC1//AA1，分别交A1A1'、AA1'于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1．
求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；
②PA＝PB＋PC．
12．已知曲线E：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2 ．
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；
（2）若a＝b＝1，求直线AB的方程．
13．要设计一容积为V的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R为何值时造价最低？
南京市2010届高三数学考前综合训练题
1．定义：在数列{an}中，若an2－an－12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{an}是“等方差数列”，则数列{an2}是等差数列；
②{(－1)n}是“等方差数列”；
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”；
（1）在三棱柱ABC－A1B1C1中，求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC－A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比．
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，ADAB，AD＝DC＝ AB，BCPC．
（1）求证：PABC；
（2）试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．
（2）设A（0，a）（a＞2）为y轴上的动点，B是（1）中所求轨迹上距离A点最近的点，求证：以AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求此定值．
11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β－α＝时，
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b的值；
（2）若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求角A的大小．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（2）在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（3）①试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．
②在数列{bn}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由．