2016年秋北师大版七年级数学上册典中点第4章阶段强化专训二巧用角平分线的有关计算.doc
综合解析北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形综合训练练习题(含答案详解)
七年级数学上册第四章基本平面图形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( )∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAMA．12C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC2、8：30时，时针与分针的夹角是（）A．60︒B．70︒C．75︒D．85︒3、若A∠-∠是（）∠为钝角，B为锐角，则A BA．钝角B．锐角C．直角D．都有可能4、如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则BD的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm5、用边长为1的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，则阴影部分的面积是原正方形面积的（ ）A ．12B ．38 C ．716 D ．9166、永定河，“北京的母亲河”．近年来，我区政府在永定河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，图中A ，B 两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度．这一做法的主要依据是（ ）A ．两点确定一条直线B ．垂线段最短C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．两点之间，线段最短7、若12018'∠=︒，22015'30''∠=︒，320.25∠=︒，则（ ）A ．123∠>∠>∠B ．213∠>∠>∠C ．132∠>∠>∠D ．312∠>∠>∠ 8、如图，BC =12AB ，D 为AC 的中点，DC =3cm ，则AB 的长是( )A ．72cm B ．4cm C ．92cm D ．5cm9、如图，在直线l 上有A ，B ，C 三点，则图中线段共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10、若70α=︒，则α的补角的度数是（ ）A ．130︒B ．110︒C ．30D ．20︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使AC=2BC ，在AB 的反向延长线上取一点D ，使DA=2AB ，那么线段AC 是线段DB 的_________________倍.2、如图，C 是AB 的中点，D E 、分别在AC BC 、上，且5,9AD BE AE BD +=+=，则CB =______．3、在数轴上，点A （表示整数a ）在原点O 的左侧，点B （表示整数b ）在原点O 的右侧，若|a ﹣b |＝2022，且AO ＝2BO ，则a ＋b 的值为___．4、小美同学从A 地沿北偏西60方向走200m 到B 地，再从B 地向正南方向走100m 到C 地，此时小美同学离A 地________．5、计算：''45361514+=________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）如图，指出OA 是表示什么方向的一条射线？（2）仿照（1）中射线画出表示下列方向的射线：①南偏东30（用射线OB 表示）；②北偏西50︒（用射线OC 表示）；③西南方向（用射线OD 表示）．2、如图，点A在线段CB上，12AC AB=，点D是线段BC的中点．若3CD=，求线段AD的长．3、如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=23AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．4、如图，平面上有A、B、C、D共4个点，根据下列语句画图．(1)画线段AC、BD交于点F；(2)连接AD，并将其反向延长；(3)作直线AB、直线CD，两直线相交于P点．5、如图，已知线段a，b，其中a＞b(1)用圆规和直尺作线段AB，使AB＝2a+b(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图2，点A、B、C在同一条直线上，AB＝6cm，BC＝2cm，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据角平分线定义即可求解.【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．∴12故选C.【考点】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键.2、C【解析】【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】钟面平均分成12份，∴钟面每份是36012︒÷=30°，8点30分时针与分针相距2.5份，∴8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5＝75°，故选：C ．【考点】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数等于钟面角．3、D【解析】【分析】根据题意找到范围值钝角是大于90°小于180°的角，锐角是大于0°小于90°的角，然后找到对应的差的范围值为大于0°小于180°，然后对照选项即可．【详解】解：因为A ∠为钝角，B 为锐角，所以90180A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，所以0180A B ︒<∠-∠<︒,所以锐角，直角，钝角均有可能．故选D ．【考点】考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能够求差所对应的范围值，此为解题的关键．4、B【解析】【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【详解】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．【考点】本题考查了线段和的意义和线段中点的意义，熟练掌握两个概念并灵活运用进行线段的计算是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据正方形性质及图形的特点求出空白图形的面积，故可求解．【详解】如图，图形1的面积为14×1×1=14；图形2的面积为12×14×1×1=18；图形3的面积为12×12×14×1×1=116；图形4的面积为12×14=18∴阴影部分面积为1-14-18-116-18=716故选C．【考点】本题利用了正方形的性质求解．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的．6、D【解析】【分析】根据线段的性质分析得出答案．【详解】由题意中改直后A，B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度，其注意依据是：两点之间，线段最短，故选：D．【考点】此题考查线段的性质：两点之间线段最短，掌握题中的改直的结果是大大缩短了河道的长度的含义是解题的关键．7、A【解析】【分析】由度分秒的换算法则，分别把每个角度化为度分秒形式，再进行判断，即可得到答案．解：∵12018'∠=︒，22015'30''∠=︒，320252015'∠=︒=︒．， ∴123∠>∠>∠．故选：A ．【考点】本题考查了角度的单位换算，角度的大小比较，解题的关键是掌握角度的单位进制是60进制．8、B【解析】【分析】先根据已知等式得出AB 与AC 的等量关系，再根据线段的中点定义可得出AC 的长，从而可得出答案．【详解】 ∵12BC AB = ∴1322AC AB BC AB AB AB =+=+=，即23AB AC = ∵D 为AC 的中点，3DC cm =∴26AC CD cm == ∴2264()33AB AC cm ==⨯= 故选：B ．【考点】本题考查了线段的和差倍分、线段的中点定义，掌握线段的中点定义是解题关键．9、B【详解】线段有：AB 、AC 、BC .故选：B.10、B【解析】【分析】直接根据补角的定义即可得．【详解】70α=︒ α的补角的度数是180********α︒-=︒-︒=︒ 故选：B ．【考点】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．二、填空题1、23【解析】【详解】画出图形，设BC a =则2,2,3AC a DA a DB a ===，从而23AC DB = 2、72 【解析】【分析】根据线段的和与差及线段的中点的定义即可得出答案．【详解】解：9AE BD +=9AD DE BE DE ∴+++=即29AD BE DE ++=5AD BE +=529DE ∴+=2DE ∴=527AB AD BE DE ∴=++=+=C 是AB 的中点，1722BC AB ∴== 故答案为：72． 【考点】本题考查了两点间的距离的求法，以及中点的特征和应用，要熟练掌握．3、-674【解析】【分析】根据绝对值和数轴表示数的方法，可求出OA ，OB 的长，进而确定a 、b 的值，再代入计算即可．【详解】∵|a ﹣b |＝2022，即数轴上表示数a 的点A ，与表示数b 的点B 之间的距离为2022，∴ AB＝2022，∵且AO＝2BO，∴OB＝674，OA＝1348，∵点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，∴a＝﹣1348，b＝674，∴a+b＝﹣1348+674＝﹣674，故答案为：﹣674．【考点】本题考查数轴表示数，代数式求值以及绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义是解决问题的前提．4、【解析】【分析】先作出示意图，再由方向角和AB、BC的距离求得AC的距离．【详解】解：如图：∠B＝60°，AB＝200m，BC＝100m，则由勾股定理可得：AC．故答案为【考点】本题主要考查了方向角的含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．︒5、6050'【解析】【分析】根据角度的加法运算的计算方法把度与度相加，分与分相加即可．【详解】解：453615146050︒故答案为：6050'【考点】本题考查的是角度的四则运算，掌握“角度的加法运算及角度的60进位制”是解本题的关键．三、解答题1、（1）OA表示北偏东方向的射线；（2）作图见解析.【解析】【分析】（1）根据方位角定义，即可解答；（2）①根据方位角定义，画出图形即可；②根据方位角定义，画出图形即可；③根据方位角定义，画出图形即可.【详解】（1）OA表示北偏东方向的射线；（2）①②③作图如下：【考点】本题考查了方向角，熟记方向角的定义是解答此题的关键.2、1【解析】【分析】AB，点D是线段BC的中点，CD＝3，可以求得BC的长，从而可以求得根据点A在线段CB上，AC＝12CA的长，从而得到AD的长．【详解】∵点D是线段BC的中点，CD＝3，∴BC＝2CD＝6，AB，AC+AB＝CB，∵AC＝12∴AC＝2，AB＝4，∴AD＝CD﹣AC＝3﹣2＝1，∴=1AD【考点】本题考查线段的和差计算，解题的关键是准确识图求出各线段的长．DE=3、5cm【解析】【分析】根据条件可求出AB与CD的长度，利用中点的性质即可求出AE与AD的长度，从而可求出答案．【详解】AC，∴CB=10 cm，AB=15+10=25 cm．解：∵AC=15 cm，CB=23AB=12.5 cm．又∵E是AB的中点，D是AC的中点，∴AE=12AC=7.5 cm，∴DE=AE﹣AD=12.5﹣7.5=5 cm．∴AD=12【考点】本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练运用线段之间的熟练关系，本题属于基础题型．4、 (1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】根据已知语句，作出相应的图形即可．(1)连接AC，BD，交于点P，如图所示；(2)连接AD，反向延长AD，如图所示；(3)作直线AB，直线CD，交于点P．【考点】此题考查了直线、射线、线段，弄清各自的定义是解本题的关键．5、 (1)见解析；(2)DB＝2cm.【解析】【分析】(1)作射线AP，在射线AP上依次截取AM＝MN＝a，NB＝b，据此可得；(2)先求出线段AC的长，再由中点得出DC的长，依据DB＝DC﹣BC可得．【详解】解：(1)如图所示，线段AB即为所求．(2)∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝AB+BC＝8cm，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝12AC＝4cm，∴DB＝DC﹣BC＝2cm．【考点】考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图和线段的和差计算．。
华师大版七年级数学上册典中点第四章阶段强化专训二
专训二：立体图形的展开与折叠一个立体图形的平面展开图的形状由展开的方式决定，不同的展开方式得到的平面展开图是不一样的，但无论怎样展开，平面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状．正方体的展开图1．(中考·德州)如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()(第1题)2．如图所示的图形都是由6个大小一样的正方形拼成的，哪些是正方体的平面展开图？(第2题)长方体的展开图3．如图是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题．(1)如果面A是长方体的上面，那么哪一面会在下面？(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面？(第3题)其他立体图形的展开图4．如图是一些几何体的平面展开图，请写出这些几何体的名称．(第4题)立体图形展开图的相关计算问题5．(中考·青岛)如图所示，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，则第n个几何体中，只有两个面涂色的小立方体共有________个．(第5题)6．如图所示形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗？如果能，它的体积有多大？(第6题)专训二1．B2．解：题图①②③④⑥都是正方体的平面展开图．3．解：(1)如果面A是长方体的上面，那么面C会在下面．(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时从前面看是面B，向里折时从前面看是面D.4．解：①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④三棱柱；⑤圆柱；⑥圆锥．点拨：棱锥和棱柱的共同点是棱锥、棱柱都是以底面多边形的边数来命名的，如三棱锥是指底面为三角形的棱锥，而五棱柱是指底面为五边形的棱柱．它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行，而棱锥的侧棱交于一点．5．(8n－4)点拨：从下往上数两个面涂色的小立方体个数，图①中：第一层4个，第二层0个；图②中：第一层4个；第二层4个，第三层4个；图③中，第一层4个，第二层4个，第三层4个，第四层8个，故第n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n＋4(n－1)]个，即(8n－4)个．6．解：能围成，体积为40×70×65＝182 000(cm3)．答：体积为182 000 cm3.。
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：曲线上的动点问题
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：曲线上的动点问题简介本文档是针对北师大版七年级数学上册第4章专训三的题解答，主题为曲线上的动点问题。
该章节主要涉及曲线方程与点的坐标、曲线上两点的距离、中点坐标的计算等内容。
题解答1. 题目：已知曲线方程 $y = 2x + 1$，点 A 的坐标为 (1, 3)，点B 在曲线上。
求点 B 的坐标。
解答：由已知可得，点 B 的坐标为 (x, y)。
根据曲线方程 $y =2x + 1$，代入点 B 的坐标得到 $y = 2x + 1$。
因此，点 B 的坐标为(x, 2x + 1)。
2. 题目：已知曲线方程 $x = t^2$，点 C 的坐标为 (1, 2)，点 D的 x 坐标为 4。
求点 D 的 y 坐标。
解答：由已知可得，点 D 的坐标为 (4, y)。
根据曲线方程 $x =t^2$，代入点 D 的坐标得到 $4 = t^2$。
解方程得到 $t = \pm 2$，因此点 D 的 y 坐标为 $2^2 = 4$ 或 $(-2)^2 = 4$。
所以，点 D 的 y 坐标为 4。
3. 题目：已知曲线上两点 A(1, 3) 和 B(-2, -1)，求线段 AB 的中点的坐标。
解答：线段 AB 的中点的坐标可以通过两点的坐标求得。
横坐标的中点坐标为 $(1 + (-2))/2 = -1/2$，纵坐标的中点坐标为 $(3 + (-1))/2 = 1$。
所以，线段 AB 的中点的坐标为 (-1/2, 1)。
4. 题目：已知曲线方程为 $x^2 + y^2 = 25$，点 P 在曲线上，点 P 到坐标原点的距离为 5。
求点 P 的坐标。
解答：根据已知条件可得 $x^2 + y^2 = 25$，点 P 的坐标为 (x, y)。
根据勾股定理，点 P 到坐标原点的距离为 $\sqrt{x^2 + y^2}$。
因此，可得方程 $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$。
解方程得到 $x^2 + y^2 = 25$，所以点 P 的坐标为 (x, y)。
难点解析北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形专项训练试卷(含答案详解版)
七年级数学上册第四章基本平面图形专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，小林利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使CD AB =．若点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．CD DE =B ．AB DE =C ．12CE CD = D ．2CE AB =2、如图，下列说法正确的是（ ）A ．点O 在射线AB 上B ．点B 是直线AB 的一个端点C ．射线OB 和射线AB 是同一条射线D ．点A 在线段OB 上3、下列四个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角的是（ ）A．B．C．D．4、A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对5、下列各角中，是钝角的是（）．A．14周角B．23平角C．平角D．14平角6、轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48°，那么从A同时观测轮船的方向是（）A．南偏东48°B．东偏北48°C．南偏东42°D．东偏北42°7、七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和28、下列说法不正确的是（）A．直线比射线长B．射线是直线的一部分C．线段是直线的一部分D．线段是射线的一部分9、点M 、N 都在线段AB 上，且:2:3=AM MB ，:3:4AN NB =，若2MN =cm ，则AB 的长为（ ）A ．60cmB ．70cmC ．75cmD ．80cm10、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD =20°，则∠BOC 的大小为（ ）A ．140°B ．160°C ．170°D ．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：1039036'︒-︒=__________．2、在数轴上，点A （表示整数a ）在原点O 的左侧，点B （表示整数b ）在原点O 的右侧，若|a ﹣b |＝2022，且AO ＝2BO ，则a ＋b 的值为___．3、如图，150,40,AOB COD OE ∠=︒∠=︒平分AOC ∠，则2BOE BOD ∠-∠=_______°．4、如图，经过刨平的木板上的A ，B 两个点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 _______________．5、如图，已知点O 在直线AB 上，OC ⊥OD ，∠BOD ：∠AOC ＝3：2，那么∠BOD ＝___度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知线段()a b c a b >、、，画线段AB ，使AB a b c =-+．2、如图所示，点C 、D 在线段AB 上，点E 、F 分别是AC 、DB 的中点．（1）设7cm,4cm EF CD ==，求线段AB 的长；（2）设AB a ，EF b =，用,a b 表示线段CD 的长．3、如图，C 是线段AB 外一点，按要求画图：（1）画线段AB 的中点O ，画射线CO ；（2）连接BC，AC，则线段BC，AC的大小关系是________；=；（3）反向延长CA至点D，使CD AC（4）用量角器度量得BAC∠的角的平分线AM．∠的大小为_________（精确到度）；画出BAC4、根据下列语句在图中画图，并回答相应问题；已知：∠AOB．（1）作射线OA的反向延长线OE；（2）向上作射线OC，使∠AOC＝90°；（3）作一条射线OD，使∠COD＝∠AOB；（4）图中小于平角的角共有_____个角．5、如图，已知线段a，b，其中a＞b(1)用圆规和直尺作线段AB，使AB＝2a+b(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图2，点A、B、C在同一条直线上，AB＝6cm，BC＝2cm，若点D是线段AC的中点，求线段BD 的长．-参考答案-一、单选题【解析】【分析】根据线段中点的性质逐项判定即可．【详解】解：由题意得：D是线段CE的中点，AB=CDCE=CD=DE,即B、D正确，C错误．∴CD=DE，即选项A正确；AB=12故答案为C．【考点】本题考查了尺规作图和线段中点的性质，其中正确理解线段中点的性质是解答本题的关键．2、D【解析】【分析】根据直线、射线、线段的定义解答即可.【详解】点O不在射线AB上，故A错误；直线没有端点，故B错误；射线OB与射线AB的端点不同，不是同一条射线，故C错误；点A在线段OB上，故D正确.故选：D【考点】本题考查的是直线、线段、射线的相关知识，掌握其定义是关键.【解析】【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是C选项中的图，A，B，D选项中的图都不能同时用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故选：C．【考点】此题考查角的表示方法，掌握表示角的要求：若角的顶点位置只有一个角，可以用一个字母表示，若不止一个角，需用三个字母表示或数字表示．4、C【解析】【分析】由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A，C两点的距离．【详解】第一种情况：C点在线段AB上时，故AC=AB－BC=1cm；第二种情况：当C点在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm，故选C．【考点】本题考查两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．【解析】【分析】直接利用角的定义逐项分析即可得出答案．【详解】解：A. 14周角=1360904⨯︒=︒，不是钝角，不合题意；B. 23平角=21801203⨯︒=︒，是钝角，符合题意；C. 平角=180°，不是钝角，不合题意；D. 14平角=1180454⨯︒=︒，不是钝角，不合题意．故选：B【考点】此题主要考查了角的概念，正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键．6、A【解析】【分析】直接利用方向角的定义结合已知得出答案．【详解】解：轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48°，那么从A同时观测轮船在C处的方向是南偏东48°，故选：A．【考点】此题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．7、D【解析】【分析】解答此题要熟悉中国和日本七巧板的结构，中国七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形；日本七巧板的结构：三个等腰直角三角形，一个直角梯形，一个等腰梯形，一个平行四边形，一个正方形，根据这些图形的性质便可解答．【详解】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．【考点】此题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力．8、A【解析】【分析】根据直线，射线和线段的概念逐个判断即可．【详解】解：A 、直线和射线都是无限延伸的，没法比较长度，选项错误，符合题意；B 、直线向两端无限延伸，射线向一端无限延伸，射线是直线的一部分，选项正确，不符合题意；C 、直线向两端无限延伸，线段有两个端点，长度是固定的，线段是直线的一部分，选项正确，不符合题意；D 、射线向一端无限延伸，线段有两个端点，长度是固定的，线段是射线的一部分，选项正确，不符合题意．故选：A ．【考点】此题考查了直线，射线和线段的概念，解题的关键是熟练掌握直线，射线和线段的概念．9、B【解析】【分析】根据:2:3=AM MB ，得到25AM AB =，由:3:4AN NB =，得到37AN AB =，从而得到MN AN AM =-3217535AB AB AB =-=，由此求解即可． 【详解】如图，∵:2:3=AM MB ，∴25AM AB =， ∴:3:4AN NB =， ∴37AN AB =， ∴MN AN AM =-3217535AB AB AB =-=，即3535270AB MN ==⨯=（cm ）． 故选B ．【考点】本题主要考查了线段的和差计算，解题的关键在于能够根据题意弄清线段之间的关系．10、B【解析】【详解】解：根据∠AOD =20°可得：∠AOC =70°，根据题意可得：∠BOC =∠AOB +∠AOC =90°+70°=160°. 故选B ．二、填空题1、1224'︒【解析】【分析】将103︒写成10260'︒，进而相减即可求得答案．【详解】1039036'102609036=1224'''︒-︒=︒-︒︒故答案为： 1224'︒︒=的进制是解题的关键．本题考查了角度的计算，理解160'2、-674【解析】【分析】根据绝对值和数轴表示数的方法，可求出OA，OB的长，进而确定a、b的值，再代入计算即可．【详解】∵|a﹣b|＝2022，即数轴上表示数a的点A，与表示数b的点B之间的距离为2022，∴ AB＝2022，∵且AO＝2BO，∴OB＝674，OA＝1348，∵点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，∴a＝﹣1348，b＝674，∴a+b＝﹣1348+674＝﹣674，故答案为：﹣674．【考点】本题考查数轴表示数，代数式求值以及绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义是解决问题的前提．3、110【解析】【分析】根据角平分线的意义，设∠DOE=x，根据∠AOB=150°，∠COD=40°，分别表示出图中的各个角，然后再计算2∠BOE-∠BOD的值即可．解：如图：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，设∠DOE=x，∵∠COD=40°，∴∠AOE=∠COE=x+40°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°-2（x+40°）=70°-2x，∴2∠BOE-∠BOD=2（70°-2x+40°+x）-（70°-2x+40°）=140°-4x+80°+2x-70°+2x-40°=110°，故答案为：110．【考点】本题考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷．4、经过两点有且只有一条直线【解析】【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线，∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．故答案为：经过两点有且只有一条直线．【考点】本题考查了直线的性质，牢记“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．5、54【解析】【分析】根据平角等于180°得到等式为：∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，再由∠COD=90°，∠BOD：∠AOC＝3：2即可求解．【详解】解：∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，设∠BOD=3x，则∠AOC=2x，由题意知：2x+90°+3x=180°，解得：x=18°，∴∠BOD=3x=54°，故答案为：54°．【考点】本题考查了平角的定义，属于基础题，计算过程中细心即可．三、解答题1、线段CD即为所求，详见解析【解析】【分析】画以点A为端点的射线，截取AB＝a，AC＝b，BD＝c，进行作图．【详解】如图所示：画以点A 为端点的射线，截取AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝c ，因此线段CD 即为所求．【考点】本题考查射线、线段的作法，理解题意是关键．2、（1）10cm ；（2）2CD b a =-【解析】【分析】（1）根据点E 、F 分别是AC 、DB 的中点，可得AE EC =，DF FB =，从而3AE FB cm +=，即可求解；（2）根据题意可得AE FB a b +=-，从而EC DF a b +=-，又由EF EC CD DF b =++=，即可求解．【详解】解：∵点E 、F 分别是AC 、DB 的中点，∴AE EC =，DF FB =，（1）∵7cm,4cm EF CD ==，而EF EC CD DF =++，∴3cm EC DF +=，∴3AE FB cm += ，∴3710cm =++=+=AB AE EF FB ，即10cm AB =；（2）∵AB a ，EF b =，=++AB AE EF FB ，∴AE FB a b +=-，∴EC DF a b +=-，∵EF EC CD DF b =++=，∴()2CD b a b b a =--=-，即2CD b a =-．【考点】本题主要考查了线段的中点和两点之间的距离，解题的关键是利用线段的中点求出AE FB +．3、（1）作图见解析；（2）BC >AC ，作图见解析；（3）作图见解析；（4）68︒，作图见解析【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出O 点位置，进而得出答案；（2）利用刻度尺测量得出线段BC ，AC 的大小关系；（3）反向延长CA ，就沿着AC 所在的直线进行作图；（4）用量角器度量得BAC ∠的大小即可，根据角平分线的作法得出AM ．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：刻度尺测量可知：BC＞AC；（3）如图所示：（4）用量角器度量得BAC∠的大小为68︒，【考点】本题考查了作图−复杂作图、直线、射线、线段的定义等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．4、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9【解析】【分析】（1）根据题意画图即可，作射线OA的反向延长OE；（2）根据题意利用三角板画图即可，使∠AOC＝90°；（3）根据题意利用量角器画图即可，使∠COD＝∠AOB；（4）根据已知的图形，将所有的角表示出来，平角除外，即可求得答案．【详解】（1）如图，作射线OA的反向延长OE；（2）如图，（3）如图（4）图中小于平角的角有,,,,,,,,AOB AOC AOD BOC BOD BOE COD COE DOE ∠∠∠∠∠∠∠∠∠,共计9个角；故答案为：9．【考点】本题考查了画射线，角的定义，理解题意，掌握角的定义是解题的关键．5、 (1)见解析；(2)DB ＝2cm.【解析】【分析】(1)作射线AP ，在射线AP 上依次截取AM ＝MN ＝a ，NB ＝b ，据此可得；(2)先求出线段AC 的长，再由中点得出DC 的长，依据DB ＝DC ﹣BC 可得．【详解】解：(1)如图所示，线段AB 即为所求．(2)∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝AB+BC＝8cm，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝12AC＝4cm，∴DB＝DC﹣BC＝2cm．【考点】考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段的尺规作图和线段的和差计算．。
秋七年级数学上册 第四章 基本平面图形 3 角作业课件 (新版)北师大版
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 2:59:45 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：圆上的动点问题
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：圆上的动点问题本文档主要讨论北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：圆上的动点问题的内容。
该专题主要涉及圆的性质、圆上动点的运动规律和相关问题的解答方法。
1. 圆的性质圆是由一条与一个点的距离相等的线段构成的封闭曲线。
在圆上的任意两点到圆心的距离都相等，这一性质被称为圆的半径性质。
圆上的任意两条弧，它们所对应的圆心角相等。
根据圆的性质，我们可以解决一些与圆相关的几何问题。
2. 圆上动点的运动规律圆上的动点可以根据其位置和运动方式来描述其运动规律。
圆上的动点可以沿着圆周运动，也可以在圆周内外作直线运动。
根据动点的不同位置，我们可以讨论圆上动点的各种运动规律和问题。
2.1 圆周运动的动点圆周运动的动点沿着圆的周长运动。
可以根据动点从起始位置到达终点所经过的角度来描述运动的过程。
在圆周运动中，动点离开起始位置，按照一定的顺序绕圆心转动，最终回到起始位置。
2.2 圆内运动的动点圆内运动的动点可以在圆内部沿着直线运动，其运动轨迹不与圆相交。
圆内运动的动点可以从圆内部的任意一点出发，按照一定的规律沿着直线运动，但最终不会到达圆的周长。
2.3 圆外运动的动点圆外运动的动点可以在圆外部沿着直线运动，其运动轨迹与圆没有交点。
圆外运动的动点可以从圆外的任意一点出发，按照一定的规律沿着直线运动，其运动轨迹不与圆相交。
3. 圆上的动点问题解答方法解答圆上的动点问题时，可以根据题目中给定的条件和要求，利用圆的性质和动点的运动规律来解答。
具体的解答方法可以根据题目的不同进行调整。
总结北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：圆上的动点问题涉及圆的性质、圆上动点的运动规律和解答问题的方法。
通过研究这一专题，学生将能够理解圆的性质以及圆上动点的运动规律，进一步提高他们的几何解题能力。
以上为本文档的内容概述，希望能对读者理解北师大版七年级数学上册典中点第4章专训三：圆上的动点问题提供帮助。
2024-2025学年北师大版(2024)数学七年级上册 第四章 基本平面图形 强化练习
第四章基本平面图形一、线段、射线、直线1.如图，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合.如果甲尺确定是直的，那么乙尺一定不是直的.这个结论的数学依据是两点确定一条直线.2.如图，图中以B为一个端点的线段共有()A.2条B.3条C.4条D.5条3.下列说法正确的是()A.射线PA和射线AP是同一条射线B.射线OA的长度是12 cmC.直线ab，cd相交于点MD.两点确定一条直线4.直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC的交点.正确的有①③④(填序号).5.如图，下列不正确的几何语句是()A.直线AB与直线BA是同一条直线B.射线OA与射线OB是同一条射线C.射线OA与射线AB是同一条射线D.线段AB与线段BA是同一条线段6.如图，已知线段AB，点C在AB上，点P在AB外.(1)根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，线段PC；(2)在(1)问的基础上，写出图中的所有线段.7.(1)如图①，当线段AB上标出1个点时(A，B除外)，图中共有3条不同的线段.(2)如图②，当线段AB上标出2个点时(A，B除外)，图中共有6条不同的线段.(3)如图③，当线段AB上标出3个点时(A，B除外)，图中共有10条不同的线段.(4)当线段AB上标出n个点时(A，B除外)，线段AB上共有多少条不同的线段(用含有n的代数式表示)？二、线段的中点及相关计算1.如图，已知线段AB＝10 cm，M是AB的中点，点N在AB上，NB＝2 cm，那么线段MN的长为()A.5 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm2.(2023·茂名化州市期末)如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝12 cm，BC＝20 cm，CD＝16 cm，则MN的长为()A.24 cmB.22 cmC.26 cmD.20 cm3.如图，B，C两点把线段MN分成三部分，其比为MB∶BC∶CN＝2∶3∶4，点P是MN的中点.若MN＝36 cm，则PC的长为()A.1 cmB.2 cmC.2.5 cmD.3 cm4.如图，线段AB＝8，点M是线段AB的中点，C为线段AB上一点，N是线段AC的中点，且AC＝3.2，求M，N两点间的距离.5.如图，已知点C是线段AB上的一点，且AC＝2CB，点D是AB的中点，且AD＝6.(1)求CD的长；(2)若点F是线段AB上的一点，且CF＝1CD，求AF的长.26.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB＝12 cm，则线段BD的长为()A.10 cmB.8 cmC.10 cm或8 cmD.2 cm或4 cm三、角的比较与运算1.计算：(1)25.75°＝25°45'；(2)72.125°＝72°7'30″.2.如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是()A.30°B.60°C.90°D.120°3.如图，若射线OA的方向是北偏东40°，∠AOB＝90°，则射线OB的方向是()A.南偏东50°B.南偏东40°C.东偏南50°D.南偏西50°4.如图，O为直线AB上的一点，∠COB＝28°34'，则∠1等于()A.151°26'B.161°26'C.151°34'D.161°34'5.当分针指向12，时针恰好与分针成30°的角，此时是()A.8点B.9点C.11点或1点D.2点或10点6.(2023·惠州一中期末)已知∠1＝4°18'，∠2＝4.4°，则∠1＜∠2(填“＞”“＜”或“＝”).7.如图，关于图中四条射线的方向说法错误的是()A.OC的方向是南偏西25°B.OB的方向是北偏西15°C.OA的方向是北偏东35°D.OD的方向是东南方向8.下午5：30时，钟表表面的时针与分针的夹角是()A.10°B.15°C.20°D.25°9.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40'，则∠2的度数是()A.27°40'B.62°20'C.57°40'D.58°20'四、多边形和圆的初步认识1.(2023·佛山禅城区期末)从六边形的一个顶点出发，可连出的对角线条数为()A.3B.4C.5D.62.七边形一共有14条对角线.3.(2022·广东)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为π.π(结果保留π).4.如图，把一个圆分成三个扇形，其中面积最大的扇形的圆心角度数为162°；若圆的半径为2，则最大扇形的面积为955.若经过n边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成6个三角形，则n边形的对角线的条数为()A.20B.19C.18D.176.如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点.(1)数一数，每一个多边形各被分成了多少个三角形？(2)总结一下，三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？7.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为1∶2∶3.(1)求这三个扇形的圆心角的度数；(2)若这个圆的半径为6，求这三个扇形的面积(结果保留π).8.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°.(1)求∠AOB的度数；(2)若OE＝1，求扇形EOF的面积.9.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形。
北师大版七年级上册数学 第四章复习 教案
第四章基本平面图形小结与复习【教学目标】进一步了解线段与角的度量、表示、比较，并能用数学符号表示角、线段。
【教学重难点】重点：线段、角的有关概念、性质、图形表示难点：刚开始教学几何知识，对几何知识的概念不理解，对几何图形的识别不熟悉，对几何语言的运用不习惯【教学方法】小组合作教学【教学过程】模块一知识回顾一、线段、射线、直线1、线段射线和直线的比较概念线段射线直线图形表示方法向几个方向延伸端点数可否度量2、直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线。
3、线段（1）线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度。
（3）线段长短的比较方法：叠合法和度量法（4）线段的中点线段的中点是指在上且把线段分成两条线段的点。
线段的中点只有个。
1）文字语言：点M 把线段A B 分成_____的两条线段A M 与B M，点M 叫做线段AB 的中点。
12）用几何语言表示：∵点M是线段AB的中点∴AM=B M= A B （或A B=2A M=2B M）2例如：如图所示，点M、N分别是线段AB、BC的中点A MB N C①若A B=4c m，B C=3c m，则M N=③若A B=4c m，BN=1c m，则A N= 二、角。
②若A B=4c m，N C=2c m，则A C=。
④若M N=6c m，则A B=。
1、角的概念（1）角的定义：角是由两条______________的射线所组成的图形。
两条射线的________是这个角的顶点。
（2）角的（动态）定义：角也可以由一条射线绕着它的________旋转而成的图形。
（3）一条射线绕着它的_________旋转，当终边和始边成一条_________时，所成的角叫做_________；终边继续旋转，当它又和始边_________时，所成的角叫做_________2、角的表示方法：角用符号：“___”表示，读作“角”，通常的表示方法有：（1）用三个大写字母表示，其中表示顶点的字母必须写在__________，在不引起混淆 的情况下，也可以只用__________表示角。
2016年秋北师大版九年级数学上典中点第四章阶段强化专训一.doc
专训一：平行线分线段成比例常见应用技巧证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1．(改编·上海)如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB.(1)求证：AD AB ＝DE BC； (2)若AD ∶DB ＝3∶5，求CF ∶CB 的值．(第1题)技巧2 等积代换法证比例式2．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P ，求证：PE PF ＝PA PB. (第2题)技巧3 等比代换法证比例式3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.求证：AD AB ＝AF AD.(第3题)证线段相等技巧4等比例过渡证线段相等(等比例过渡法)4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.(第4题)证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5．如图，已知AC∥FE∥BD，求证：AEAD＋BEBC＝1.(第5题)专训一1．(1)证明：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 为平行四边形．∴DE ＝BF.∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC. ∵EF ∥AB ，∴AE AC ＝BF BC. 又∵DE ＝BF ，∴AE AC ＝DE BC. ∴AD AB ＝DE BC. (2)解：∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8.∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8.∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.2．证明：∵DE ∥BC ，∴PD PB ＝PE PC. ∴PD·PC ＝PE·PB.∵DF ∥AC ，∴PF PC ＝PD PA. ∴PD·PC ＝PF·PA.∴PE·PB ＝PF·PA.∴PE PF ＝PA PB. 3．证明：∵EF ∥CD ，∴AF AD ＝AE AC. ∵DE ∥BC.∴AD AB ＝AE AC .∴AD AB ＝AF AD. 4．证明：∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC .∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝DB ，即AD DB ＝1.∵CF ∥BA ，∴DE EF＝AE EC ＝AD DB＝1. ∴DE ＝EF.5．证明：∵AC ∥EF ，∴BE BC ＝BF BA①. 又∵FE ∥BD ，∴AE AD ＝AF AB ②.①＋②，得BE BC ＋AE AD ＝BF BA ＋AF AB ＝AB AB ＝1，即AE AD ＋BE BC ＝1.。
七年级数学上册第4章基本平面图形全章热门考点整合专训课件新版北师大版
4．如图，射线OQ平分∠POR，射线OR平分∠QOS，有 以下结论：①∠POQ＝∠QOR＝∠ROS；②∠POR＝ ∠QOS；③∠POR＝2∠ROS；④∠ROS＝2∠POQ.
其中正确的有( ) A A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．从多边形的一个顶点出发的所有对角线把多边形分成 4个三角形，这个多边形的对角线的总条数是( B ) A．8 B．9 C．10 D．11
当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示． 因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM＝12AC.
又因为AC＝AB＋BC，AB＝12 cm，BC＝6 cm，
所以 AM＝12AC＝12(AB＋BC)＝12×(12＋6)＝9(cm)． 所以线段AM的长为3 cm或9 cm.
13．已知一条射线OA，若从点O引两条射线OB，OC，使 ∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
15．(原创题)两人开车从A市到B市要走一天，计划上午 比下午多走100 km到C市吃饭，由于堵车，中午才赶 到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇 汽车赶了400 km，傍晚才停下休息，一人说，再走 从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A， B两市相距多少千米？
解法一：如图，设小镇为D，傍晚两人在E处休息， 易知 AD＝13AC＝12DC，DE＝400 km，BE＝12CE. 因为DE＝DC＋CE，所以DE＝2AD＋2BE＝2(AD＋BE)． 所以 AD＋BE＝12DE＝12×400＝200(km)． 所以AB＝AD＋BE＋DE＝200＋400＝600(km)． 答：A，B两市相距600 km.
解：当OC在∠AOB的内部时， 如图①， ∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°； 当OC在∠AOB的外部时， 如图②，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°. 综上可知，∠AOC的度数为40°或80°.
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专训二：巧用角平分线的有关计算
名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分
线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．
角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)
1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON
的度数．
巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折
过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？
(第2题)
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题
(方程思想)
3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
(第3题)
巧用角平分线解决角的推理证明问题
(转化思想)
4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF
有怎样的关系？说明理由．
(第4题)
角平分线与线段中点的结合
5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求
∠MON的度数．
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β＜90°)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿
(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．
(第5题)
专训二
1．解：(1)如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
所以∠BOM＝12∠AOB＝12×100°＝50°，∠BON＝12∠BOC＝12×60°＝30°，所以∠MON＝
∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.
(第1题)
(2)如图②，当OC落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所
以∠BOM＝12∠AOB＝12×100°＝50°，∠BON＝12∠BOC＝12×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM
＋∠BON＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.
点拨：本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现
了分类讨论思想的运用．
2．解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.
同理∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.
又因为这四个角的和是180°，所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝12×180°＝90°.即两折痕
BC与BD间的夹角为90°.
点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．
3．解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝12∠AOB＝
1
2
(∠AOC＋∠BOC)＝32x.
又因为∠DOC＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝32x－x，
解得x＝38°.
所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.
点拨：根据图形巧设未知数用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程求出角的度
数体现了方程思想的运用．
4．解：∠DOE＝∠COF.理由如下：
因为OD平分∠AOB，
所以∠DOB＝12∠AOB.
因为OF平分∠BOC，
所以∠BOF＝12∠BOC，
所以∠DOB＋∠BOF＝12∠AOB＋12∠BOC＝12∠AOC，即∠DOF＝12∠AOC.又因为OE
平分∠AOC，所以∠EOC＝12∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，
∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.
点拨：欲找出∠DOE与∠COF的关系只要找到∠DOF与∠COE的关系即可．而OD，
OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有
∠AOC＝2∠COE，即可转化成∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．
5．解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC，
所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝12∠AOC－12∠BOC＝12(∠AOB＋∠BOC)－12∠BOC
＝12∠AOB＝45°.
(2)∠MON＝12∠AOB＝α2.
(3)∠MON＝12∠AOB＝45°.
(4)从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大
小变化无关．
(5)可设计的问题为：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，N分别是线
段AC，BC的中点，求线段MN的长．
(第5题)
解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，
所以MC＝12AC，NC＝12BC.
所以MN＝MC－NC＝12(AC－BC)＝12AB＝12a.
规律：线段MN的长度总等于线段AB长度的一半，而与线段BC的长度变化无关．