高中数学椭圆,知识题型总结
陈氏优学
教学课题
椭圆
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、
的距离之和等于常数(
)，这个动
点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：假设，那么动点的轨迹为线段；
假设
，那么动点
的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义
1．假设ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，那么顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意：
1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有
和
；
3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
；当焦点在
轴上时，椭圆的焦点坐标为
，
。
讲练结合二．利用标准方程确定参数
1．椭圆22
14x y m
+
=的焦距为2，那么m = 。 2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
〔1〕对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，
方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
〔2〕范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
〔3〕顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆〔a＞b＞0〕与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A
1
〔―a，0〕，
A 2〔a，0〕，B
1
〔0，―b〕，B
2
〔0，b〕。
③线段A
1A
2
，B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A
1
A
2
|=2a，|B
1
B
2
|=2b。a和b分别叫做椭圆的
长半轴长
和短半轴长。
〔4〕离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，那么c就越接近a，从而
越小，因
此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
椭圆的图像中线段的几何特征〔如下列图〕：
〔1〕，，；
〔2〕，，；
〔3〕,，；知识点四：椭圆与〔a＞b＞0〕的区别和联系标准方程
图形
性质焦点，，焦距
范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点，，轴长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
注意：椭圆，〔a ＞b ＞0〕的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系
都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相
同。
题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用
定理 在椭圆122
22=+b
y a x 〔a ＞b ＞0〕中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，
那么2
tan
221θ
b S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得
.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
典题妙解
例1 假设P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 P
y F 1 O F 2 x
P
法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221
∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222
424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y
∴
y y x x x x y y 1212121241
2
--=-++=-()
即，故所求直线为k x y AB =-
+-=1
2
240 点差法
1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为
2
2的椭圆C 相交于
A 、
B 两点，直线y =2
1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.
命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，根底性强，属★★★★★级题目.
知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好此题的关键.
技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.
解法一：由
e =2
2
=a c ,得21
222=
-a
b a ,从而a 2=2b 2,
c =b .
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 那么
x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－
弦长公式：假设直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且
12
,x x 分别为A 、B 的横坐标，那么
AB
＝
2
12
1k x x +-，〔假设
12
,y y 分别为A 、B 的纵坐标，那么
AB
＝
2121
1y y k -+
〕，假设弦AB 所在直线方
程设为x ky b =+，那么AB ＝2121k y y +-。
2、焦点弦〔过焦点的弦〕：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
e c
a
e M =
<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 222
22100+=>>()()
方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c
=-=-212
0()
②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b
a b P x y 22
2102+=>>()()
左焦半径
∴·左
左r x a c
c
a r ex c a a c
a ex 0202
0+
==+=+
右焦半径
右右r a c
x c
a
r a ex 2
00-=
⇒=-
题型四 参数方程
3. 椭圆参数方程
问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b 〔a>b>0〕为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。
那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨
⎩||cos ||sin cos sin ()ϕ
ϕ
ϕϕ
1
这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程〔1〕消参即
x
a
y b
x a y b ==⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=cos sin ϕϕ
22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
直线与椭圆位置关系：
x a y b
y kx b 222
21
+==+
②求椭圆上动点P 〔x ，y 〕到直线距离的最大值和最小值，〔法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切〕
例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 22
8840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值〔或最大值〕？
解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ
则d =
-+=
--|cos sin ||sin()|
2242342
θθθϕ 其中，当时，tan min ϕθϕπ=-=
==
22212
2
2d 此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313
即点坐标为，P P ()-
8313
法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''
即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →
设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩00
88
2
2
9280449802
2
2
2
y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()
此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322
22220002
103
10123x y a b e A B a b AB x P AB C x y x F AF BF +=>>=+=椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的
两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。（）设中点为（，），求的值。
（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。
_____
2、椭圆
22
12516
x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，那么|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___
3、椭圆2
214
x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。
4.设F 是椭圆322
x ＋24
2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,
求P 点坐标 最小值 .
知识点四：椭圆
与〔a ＞b ＞0〕的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点 ，
，
焦距
范围
，
，
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 ，
，
轴
长轴长=
，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径，，
注意：椭圆，〔a＞b＞0〕的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系
都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a ＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下列图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程Ax2+By2=C〔A、B、C均不为零〕表示椭圆的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆。
当时，椭圆的焦点在x轴上；
当时，椭圆的焦点在y轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方
程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量〞；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，那么c相同。
与椭圆〔a＞b＞0〕共焦点的椭圆方程可设为〔k＞－b2〕。此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：
①假设把曲线方程中的x换成―x，方程不变，那么曲线关于y轴对称；
②假设把曲线方程中的y换成―y，方程不变，那么曲线关于x轴对称；
③假设把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，那么曲线关于原点对称。
8．如何解决与焦点三角形△PF
1F
2
〔P为椭圆上的点〕有关的计算问题？
与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、
、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为c2=a2－b2，a＞c＞0，用a、
b 表示为，当越小时，椭圆越扁，e 越大；当越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且0
＜e ＜1。
课后作业
1F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，那么点P 的轨迹为( )
A 圆
B 椭圆
C 线段
D 直线
2、椭圆
22
1169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，那么∆CDF 1的周长为______ 3方程
22
111x y k k
+=+-表示椭圆，那么k 的取值范围是( ) A -1
(1)长轴长为10，短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)
5、假设⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，那么⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________
6.椭圆22
221(0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。
假设∠F 1PF 2=60°，那么椭圆的离心率为_________
7、正方形ABCD ，那么以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 椭圆方程为 ___________________.
8椭圆的方程为22
143
x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积 9.假设椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，那么满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为
10.椭圆
1361002
2=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是 11．椭圆)5(1252
22>=+a y a
x 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，那么△2ABF 的周长
12.在椭圆252x +92
y =1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍
13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4=x ,那么这个椭圆的方程为 。 14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,那么椭圆的离心率e =___________.
15、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,准线方程为18±=y ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,那么椭
圆方程为 ___________________.
(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点 的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ） A 。椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动 点 Q 的轨迹是( ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断 动点M 的轨迹。 5. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。（3，4）U(4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分又不必要条件
3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。 4. 已知方程22 2=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: （1）两个焦点的坐标分别为（0,5)和（0，－5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程。 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 . 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭 圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 5 2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-; （2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学 - 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义 :平面内与两定点 F 1、F 2 距离和等于常数 2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 两个定点 叫做椭 圆的焦 点；两焦 点间的 距离叫 做椭圆的 焦距 2c . 椭圆的几 何性质 : 以 22 x 2 y 2 1 a b 0 为例 a 2 b 2 22 xy 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x,y 都适合不等式 2 1, 2 1，即 ab x a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用 于求最 值、轨迹检验等问题 . 2.对称性 :关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 4. 长轴、短轴： 5. 离心率 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： A 1 a,0 、 A 2 a,0 、 B 1 0, b 、 B 2 0,b . A 1A 2 叫椭圆的长轴， A 1A 2 2a, a 是 长半轴长； B 1B 2 叫椭圆的短轴， B 1B 2 2b,b 是短半轴长 . 1） 椭圆焦距与长轴的比 e a c 0, 0e 2） Rt OB 2F 2 , B 2F 2 OB 2 2 OF 2 ，即 a 2 b 2 2 c 2 .这是椭圆的特征三角形，并 cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 . 椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当 e 接近于 1 时， c 越接 近于 22 a ，从而 b a c 越小，椭圆越扁； 当 e 接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b 22 ac 越大，椭圆越接近圆。 2b 2 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ， 2b a 7.设 F 1、 F 2 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 P 、 F 1、F 2 三点不在同一直线上时，
高中数学椭圆的基本知识
椭圆的基本知识 一、基本知识点 知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积 1、定义1：（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为________。 2、定义2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点，定直线为准线，定值为______。 3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，定值为)01(12 ＜＜m e m --=。 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中2 2 2 b a c -=。 2、当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中2 2 2 b a c -=。 知识点三：椭圆的参数方程 )0(122 22＞＞b a b y a x =+的参数方程为________________。 知识点四：椭圆的一些重要性质 （1）对称性：椭圆的标准方程是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足b y a x ≤≤,。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点； ②椭圆)0(122 22＞＞b a b y a x =+与坐标轴的四个顶点分别为___________________________。 ③椭圆的长轴和短轴。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e ==22。 ②因为0＞＞c a ，所以e 的取值范围是10＜＜e 。 （5）焦半径：椭圆上任一点),(00y x P 到焦点的连线段叫做焦半径。对于焦点在x 轴上的椭圆，左焦半径01ex a r +=，右焦半径02ex a r -=。 （6）准线方程：c a x 2 ±= （7）焦准距：焦点到准线的距离，用p 表示，记作c b p 2 =。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练 第一部分：复运用的知识 一）椭圆几何性质 椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于 常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭 圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩 形里（封闭曲线）。该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。 椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴 的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半 轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小 确定，与焦点所在的坐标轴无关。当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。 椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。 二）运用的知识点及公式 在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式： 1、两条直线. 2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个 不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。 1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的 中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.
高中数学椭圆题型归纳
高中数学椭圆题型归纳 一．椭圆の标准方程及定义 1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P 到另一个焦点の距离为（） A．2 B．3 C．5 D．7 2、已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数m の值为． 3．求满足下列条件の椭圆の标准方程 （1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，） （2）经过两点（2，），（） 4．求满足下列条件の椭圆方程： （1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于； （2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）； （3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4． 5．设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为．
二、离心率 1、已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是． 2．设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（） A．B．C．D． 3．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，] 三、焦点三角形 1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°． ①求△PF1F2の周长 ②求△PF1F2の面积．
2．已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2． （1）求椭圆方程； （2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点P，使?=0，若存在，请求 出点Pの坐标；若不存在，请说明理由． 四、弦长问题 1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围． （2）求被椭圆截得の最长弦の长度． 2、设F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜率为1の直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求Eの离心率； （2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程． 五、中点弦问题 1、已知椭圆+=1の弦ABの中点Mの坐标为（2，1），求直线 ABの方程，并求ABの长．
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
高中数学椭圆总结(全)
椭圆 一．知识清单 1.椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2 +By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3 参数方程：焦点在x 轴，? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数） 4 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax 5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 2 1:-=；上准线c y l 22:=
高中数学 椭圆 知识点与例题
椭圆 知识点一：椭圆的定义 第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=. 注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； ②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； ③椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程 ()()10222 22 2=+++ +-y x y x 化简的结果是 2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3、椭圆 19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3
4、椭圆 22 12516 x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程 5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 6、若方程 22 153 x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 7、椭圆 22 14x y m +=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 10、求与椭圆2 2 4936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。 11、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
高考数学椭圆的知识总结
高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义： 平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222 a b c =+）⇔ { cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦 点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶 点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c e a =， 椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥ （2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200 221x y a b +>； ②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆 22 15x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形） 5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐 标，则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212 1 1y y k -+ ， 若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。 6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 如（1）如果椭圆22 1369 x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中 点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；
高中数学椭圆的经典知识总结
高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）⇔{ cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为 参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22 15x y m + =恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； 4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 如（1）已知椭圆1 16 25 22 =+ y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答： 10/3）； （2）椭圆13 42 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值 最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2(-） ； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan ||2 S b c y θ ==， 当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
椭圆必记知识点及基本题型
椭圆必记知识点及基本题型 椭圆是平面几何中的一种重要曲线，在数学中有广泛的应用。 了解椭圆的基本知识点以及掌握椭圆的基本题型对于学习几何学和 数学分析至关重要。本文将介绍椭圆的定义、性质以及常见的题型。 一、椭圆的定义及性质 椭圆是一个平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点的集合。这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。椭圆的中点称为圆心，中点到焦点的距离称为焦距。椭圆的长轴垂直于 短轴。 椭圆的数学表示形式是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1或(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1，其中(h,k)表示椭圆的圆心坐标。a和b分别表示椭圆的长轴长和短轴长，在椭圆上的任意一点P，PF1 + PF2 = 2a。 椭圆有许多重要性质，包括： 1. 椭圆的离心率e满足0 < e < 1。 2. 椭圆的短轴长等于长轴长的根号(1-e²)，其中e为离心率。
3. 在椭圆上任意一点P处，切线与椭圆的长轴和短轴的夹角的正切值等于∣b/a∣。 二、椭圆的基本题型 1. 已知椭圆的长轴长和离心率，求椭圆的方程和焦点坐标。 解法：根据椭圆的定义，可以通过长轴长a和离心率e求得椭圆的短轴长b，然后根据椭圆的数学表示形式得到椭圆的方程。焦点的坐标可以通过焦距计算得到。 2. 已知椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标和离心率。 解法：根据椭圆的方程，可以通过观察系数的变化来确定椭圆的长轴长和短轴长，从而计算得到焦点的坐标。离心率可以通过焦距计算得出。 3. 已知椭圆的方程和一点P，求点P在椭圆上的切线方程。 解法：根据椭圆的方程，可以得到点P在椭圆上的坐标，然后求得切线斜率。由于切线与椭圆的长轴和短轴的夹角的正切值等于∣b/a∣，可以根据切线斜率求得切线方程。 4. 已知椭圆的焦点和一个点P，求椭圆上到点P的最短距离。
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ∆=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ⋅=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e