平面向量

专题四:平面向量

瓶窑中学赵辛

【考点审视】：向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.有关向量的命题，具有很强的时代气息，深受命题者的喜爱.综观近几届高考，向量由只考关于向量概念或运算小题，到考察以向量为背景的解析几何大题.尤其与圆锥曲线的综合有一定难度.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，运用空间向量的坐标和数量积解决角度、长度的问题，比传统立体几何方法更简便快捷.向量与三角函数有着密切的联系，一个以向量和三角函数为载体的数学问题能考察中学数学多方面的内容，更能考察学生的创新意识和创造性解决问题的能力，所以向量内容在高考中的分值会逐渐增加.平面向量大题在以前高考卷很少单独出现，估计以后将会成为高考的一个命题点.但在高考中,平面向量与其他章节的综合题已经出现，因此，在复习中一方面要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习.做到概念清、运算准，对于定比分点、图形平移等要掌握公式及寻求规律；另一方面，也要注意综合能力的训练，平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考重点，复习中要注意培养准确运算能力和灵活运用知识的能力.

【疑难点拨】

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2

x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.

⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.

①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋||；

②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且

=+||||||b a +；

③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）

+++=.(□ABCD 中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ.

这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.

⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则

)1|.(cos ||==?=?e a θ

③?⊥b a 0=?b a （∵θ=90°，)0cos =θ

④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中?=?=或=是错误的，故=或=是?=0的充分而不必要条件.

⑤当与同向时?=||||?(θ=0,cos θ=1);

当与反向时，?=-||||?(θ=π,cos θ=-1)，即∥的另一个充要条件是

|||||b a ?=?.

特殊情况有2=?=2

|a .

或||a ==22y x +.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则

|a =221221)()(y y x x -+-

⑥||||b a ?≤?。（因1cos ≤θ） ⑦数量积不适合乘法结合律.

如).()(??≠??（因为??)(与共线，而)(??与共线） ⑧数量积的消去律不成立.

若、b 、是非零向量且?=?并不能得到=这是因为向量不能作除数，即

c

是无意义的.

6．与平面向量基本定理及平移有关的问题

⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.

⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。 ⑶点的平移公式：

点),(y x P 按给定平移向量),,(k h =平移后得新点),(y x p '''的坐标公式为

???+='+=';

,

k y y h x x

反之，由新点求旧点公式变为

?

?

?-'=-'=;,

k y y h x x 由新旧两点求平移向量公式为

?

?

?-'=-'=.,

y y k x x h ⑷图象（图形）平移：

给定平移向量=(),k h ，由旧解析式求新解析式，用公式

?

?

?-'=-'=k y y h x x ,

代入旧解析式中，整理得到； 由新解析式求旧解析式，用公式

???+='+='k

y y h x x ,

代入新式，整理得到。

应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(y x 、平移后的坐标),(y x ''、平移向量坐标),(k h 都在同一坐标系中。

确定平移向量一般可采用如下两种方法：

其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)6

3sin(2+-

=π

x y 化简，即可配凑为：

),18(3sin 23π

-=-x y 则公式为??

???-=-

=3

18''

y y x x π此时平移向量为).3,18(--π

其二，待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出.,k h 【经典题例】

【例1】b a ,是不共线的两个向量,

已知,2,,2k -=+=+= 若D B A ,,三点共线,求k 值.

【思路分析】由于D B A ,,三点共线,因此必存在实数λ,使λ=,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于k ,λ的方程,从而求k .

解:略∴k =-1. 【点评】

用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题. 【例2】证明三角形三条高线交于一点. 【思路分析】此题可利用“形”、“数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受. 证明：如图建立直角坐标系， 设)0,(),,0(),0,(231x y x ===y OP ,0(,=)

0,321=+=?∴⊥yy x x CA BP CA BP (321x x AB CP +-=?,0=?∴

所以CP 是AB 上的高，故ABC ?的三条高交于一点P .

【点评】本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题. 【例3】已知向量321,,OP OP OP

满足条件OP OP =++321,1||||||321===OP OP ,

求证:△321P P P 是正三角形.

【思路分析】观察条件中的两个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图1.又据条件易知O 为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图 2.也可联想三角知识进行坐标选取.如

)sin ,(cos ),sin ,(cos ),sin ,(cos 321γγββαα===OP OP 使得选取具有任意性.且

巧妙运用了三角变形.证明321P P P ?为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法. 证法一：如图1略. 证法2如图2略.

证法三：据|1|=1||32==OP OP ，

令).sin ,(cos ),sin ,(cos ),sin ,(cos 321γγββαα===OP OP 由OP OP =++321得??

?=++=++0

sin sin sin 0

cos cos cos γβαγβα

可求得|1|=3||32==OP OP ，所以321P P P ?为正三角形. 证法四：设,,,321OP OP === 由已知得2

1

-

=?∴|1|=3||32==OP OP ，所以321P P P ?为正三角形。 证法五：同证法四求得21

-

=?，于是cos 21OP P ∠21|

|||-=b a 所以?=∠12021OP P ，由此可证321P P P ?为正三角形.

【点评】以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、

几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.

图1

【例4】如图，已知点G 是△ABO 的重心， ⑴求++;

⑵若PQ 过△ABO 的重心G ，且,,==,n m ==求证：

.31

1=+n

m 【思路分析】充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知

向量表示即可.

解：⑴.0=++

⑵显然).(2

1

+= 因为G 是ABC ?的重心，

所以=32=)(3

1

+?

由

P 、G 、Q 三点共线,有,共线,所以,有且只有一个实数λ, .λ=

而-=,3

1

)31()(31b a m a m b a +-=-+=

=-= b n a b a b n )31(31)(31-+-=+-,

所以m 31)31(+-

=])3

1

(31[n -+-λ.又因为、不共线,所以

??????

?-=-=-)

31(3

13

131n m λλ,消去λ,整理得3mn =n m +,故311=+n m . 【点评】建立m 与n 的关系关键是由Q G P ,,三点共线得出.为此要熟练运用已知向量表示未知向量.

【例5】如图,直三棱柱ABC —111C B A ,底面ABC ?中,1==CB CA ,∠90=BCA °,棱

21=AA ，MN 分别是11B A ,1AA 的中点. z

⑴求BN 的长;

⑵求cos 〈1,1CB 〉的值; ⑶求证B A 1⊥M C 1.

【思路分析】以C 为原点建立空间坐标系,写出有关点的坐标,并进行有关运算. 解:如图,以C 为原点建立空间直角坐标系O-xyz . ⑴依题意得B =(0,1,0),N =(1,0,1).

∴||=222)01()10()01(-+-+-

=3.

⑵依题意得A 1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), B 1(0,1,2). ∴1=(1,-1,2),1CB =(0,1,2).

,311=?CB |1|=6,|1CB |=5,

∴cos 〈1,1CB |

|||1111CB BA ?=

10

30

⑶依题意得1C (0,0,2),M(

)2,21,21 B A 1=(-1,1,-2),M C 1=(,21)0,2

1

.

C A 11?=002

1

21=++-.

∴A 1⊥C 1，∴B A 1⊥C M 1.

【点评】利用题中已知条件,选取恰当点建立空间坐标系,并写出相应点的坐标是这类题的关键.

【例6】四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,}4,1,2{--=,

={4,2,0},={-1,2,-1}.

⑴求证:PA ⊥底面ABCD;

⑵求四棱锥P —ABCD 的体积;

⑶对于向量},,,{},,,{},,,{333222111z y x c z y x b z y x a ===定义一种运算: (×)b ?=.123312231213132321z y x z y x z y x z y x z y x z y x ---++

试计算(AB ×AD )AP ?的绝对值的值;说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)?的绝对值的几何意义. 【思路分析】根据所给向量的坐标,结合运算法则进行运算. 解:⑴∵0422=+--=?AB AP ∴AP ⊥AB

又∵,0044=++-=?AD AP AP ⊥AD,∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD 。

⑵设AB 与AD 的夹角为θ，则

,105

34

161614028|

|||cos =

++++-=

?=

AD AB θ

V=

|31||?|θsin ?|?|=16141105

9110532=++- ⑶|(AB ×AD )AP ?|=|-4-32-4-8|=48. 它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.

猜测:| (×)?|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱锥的体积）。

【点评】本题考察空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量夹角运算公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.

【例7】如图,已知椭圆

116

242

2=+y x ,直线l ：+12x ,18=y P 是l 上一点，射线OP 交椭圆与点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ ||OP |=2

||OR .当点P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

【思路分析】将OR OQ OP ,,看作向量，则它们共线而切同向，利用向量共线的充要条件，结合平面向量的坐标表示可迅速解题.

解：设).,(),,(),,(R R P P y x y x y x ===

∵OP 、OQ 同向，且|OQ ||OP|=OQ OQ OR OQ OQ OP OP OR ?=?=∴2

2

2

|

|||||||,||

???

?

???==∴,||||,||||22

2

2

y OQ OR y x OQ OR x P P 代入L 方程得1)812(||||2

2=+y x OQ OR

' 同向???

?

??

?==∴y OQ OR y x OQ OR x R R |||||||| 代入椭圆方程得1)16

24(||||2

222=+y x OQ OR ⑵

由①、②得y x y

x y x .(8

12162422+=+不全为0），∴点Q 的轨迹为椭圆

13

5)1(25)1(22=-+-y x （去掉原点）.

【点评】解析几何解答题中以向量知识为主线，用向量坐标形式表示已知条件可达到解题目的.

【例8】从抛物线2x y =外的一点P （a ，b ）向该抛物线引切线PA ，PB. ① 求切点A ，B 的坐标. （其中A 的x 坐标大于B 的x 的坐标）. ② 求?的值.

③ 当∠APB 为锐角时，求点P 的纵坐标的取值范围.

解：① 从2

x y =得'

y =2x ，因此设切点的x 坐标为1x ，切线方程便为

.22

11x xx y -=由于该切线通过P 点，从而.21b a a x -±=由于引出两条切线，故

b a -2>0所以切点的坐标为A ),22,(222b a a b a b a a -+--+

).22,(222b a a b a b a a B -----

② ))(14(2a b b PB PA -+=?

④ 若∠APB 为锐角,则有PB PA ?>0,所以4b+1<0因此P 的纵坐标的取值范围是b<-4

1 【热身冲刺】 一．选择题

1.已知向量和反向，则下列等式成立的是（ ）.

A.|| -||=|-|

B.||||b -=+

=+b |-| D.||||||b a b a +=+

2.已知向量),,(y x a =，其中}{}{,,8,6,4,2,,5,4,2,1∈∈y x 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.

A.16个

B.13个

C.12个

D.9个

3.函数x y 2sin =的图象按向量平移后，所得函数的解析式是,12cos +=x y 则等于（ ）.

A.???

??1,4π B.??

?

??-

1,4π

C.??

? ??-1,2π D.??

?

??1,2π 4.已知若),5,3(),2,(-==b a λa 和b 夹角为钝角,则λ的取值范围是（ ）

A.λ＞

3

10 B.λ≥

3

10 λ＜

3

10 λ≤

3

10 5.已知向量=()sin 2,cos 2αα，=),sin 3,cos 3(ββ与的夹角为60°，则直线

021sin cos =+

-ααy x 与圆2

1

)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ）. A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定

6.平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D,已知,0)()2(=-?-+则ABC ?的形状是( ).

A. 直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

7.已知ABC ?中,点D 在BC 边上,且,,2s r +=?=则s r +的值是（ ）.

A.

32 B.3

4

C.3-

D.0 8.已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比是( ).

A.

83 B.38 C.83- D.3

8- 9.下列说法正确的是( )

A. 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.

B. 单位正交基底中的基向量模为1,且互相垂直.

C. 不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底.

D. 只要对空间一点P 存在三个有序实数x,y,z,使O,A,B,C 四点满足

,z y x ?+?+?=则,,就构成空间的一个基底.

10.同时垂直于()()3,5,4,1,2,2==b a 的单位向量是( )

A.)32,32,31(-

B.()32,32,31--

C.(32,31,31-)

D.(32,32,31-)或(3

2,32,31--) 11.若)1,sin 2,cos 2(),1,sin 3,cos 3(θθααB A ,则||的取值范围是( )

A.[0,5]

B.[1,5]

C.(1,5)

D.[1,25]

12.已知,543,32,32321F F F +-=-+-=++=若321,,F F F 共同作用在一个物体上,使物体从点)1,2,1(1-M 移到点)2,1,3(2M ,则合力所做的功为( ) A. 10 B.12 C.14 D.16

二.填空题

13.若对n 个向量,,21a a …n a 存在n 个不全为零的实数 ,,21k k …，n k ，使得

++2211a k a k …，+a k n n =成立，则称向量,,21a a …n a 为“线性相关”.依此规定，

能说明)2,2(),1,1(),0,1(321=-==a a a “线性相关”的实数321,,k k k 依取 .（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）

14.若直线02=++m y x 按向量()2,1--=a 平移后与圆C :0422

2

=-++y x y x 相切,

则实数m 的值等于 .

15.已知ABC ?中,b a b CA a CB ?==,,＜0,ABC S ?

=,534

15

== 则与的夹角为 .

16.已知)4,6,5(),1,3,2(=--=b a ,则以a 、b 为边的平行四边形的两条高的长 . 三.解答题

17.在平行四边形ABCD 中,A ()1,1,()0,6=AB ,点M 是线段AB 的中点,线段CM 与BD 交于点P.

⑴若(),5,3=求点C 的坐标; ⑵当||=||时，求点P 的轨迹.

18.已知()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==b a 且a 与b 之间满足关系

:k -=

+其中k ＞0.

⑴用k 表示;?

⑵求?的最小值,并求此时与夹角θ的大小. C 1 A 1 19.如图，正方形11A ACC 与等腰直角 G △ ACB 互相垂直，∠ACB=0

90，E 、F C A

分别是AB 、BC 的中点，G 是1

AA 上的点. F E ⑴如果EG AC ⊥1试确定点G 的位置； B

⑵在满足条件⑴的情况下，试求cos ＜,1＞的值. 20.如图，已知三棱锥P-ABC 在某个

空间直角坐标系中，),0,,3(m m = P

).2,0,0(),0,2,0(n m ==

⑴画出这个空间直角坐标系，并指 A C 出AB 与Ox 轴的正方向的夹角.

·

· ·

⑵求证：BC AP ⊥； B ⑶若M 为BC 的中点，,2

3m n =

求直线AM 与平面PBC 所成角的大小. 答案

选择题答案：

1.C;

2.C;

3.B;

4.B;

5.C;

6.B;

7.D;

8.C;

9.B; 10.D; 11.B; 12.C 填空题答案:

13.只要写出-4c,2c,c 中一组即可. 14.3或13. 15.?150. 16.7213;77

462

3 解答题答案:

17.⑴设点C 坐标为（00,y x ），又)5,9()0,6()5,3(=+=+=即

),5,9()1,1(00=--y x ,6,1000==∴y x 即点)6,0(C .

⑵设),,(y x P 则)1,7()0,6()1,1(--=---=-=y x y x AB AP BP

)2

1

(321321AM -+=+=

+= =3)33,93()0,6())1(3),1(3(--=---=-y x y x

∴=ABCD 为菱形.

⊥.即

.0)33)(1()93)(7.(0)33,93()1,7(=--+--=--?--y y x x y x y x

).1(02221022≠=+--+∴y y x y x

故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径去掉与直线y=1的两个交点.

18. ⑴a k -=

+ 两边平方，得22||3||b k a b a k +=+，

)2(3222

22a b k a b a k b k +?-=?++∴

即k

b

k a k 8)13()3(2

222-+-=?),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==

.1,12

2

==∴b a .41

2k

k +=?

⑵,0)1(,02

≥-∴>k k 从而2

1

4241,

2122

≥≥+≥+k k k k k k ,∴?的最小值为21,此时2

1

cos =

=

θ,?=60θ,即与夹角为?60. 19. ⑴易知,,1CC BC AC BC ⊥⊥ 以C 为坐标原点，建立空间直角坐标 系C-x ，y ，z ，，设AC=CB=a.

AG=x ，则A （0，a ，0），1C （0，0，a ），

G （0，a ，x ），E （

02

,2a

a ）. ),2

,2(),,,,0(1x a

a EG a a AC -=-=

,01=?EG AC .02

2

=+-∴xa a

∴G 为1AA 的中点.

),0,0,2(),2,,0(a

F a a G

).,,(),2

,,2(1a a O AC a

a a -=--=∴

.2

2.2|,26||222

1a a a AC a AC a =-=?==∴

cos ∴〈AC ,1〉=.6

3

|)|(|)(11=

?÷?AC GF AC 20. ⑴以A 为坐标原点O ，以AC 为Oy 轴，以AP 所在直线为Oz 轴，与Ox 轴的正向夹角为30°；

⑵由0=?BC AP 去证；

⑶连AM 、PM,可证∠AMP 为AM 与平面PBC 所成角，又n=

,2

3m

=故所成角为45°.