平面向量基础知识及练习

平面向量基础知识

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是

||

AB AB ±u u u r

u u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：

∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行包含两个向

量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r

)；④三点

A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r

、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量的坐标，

＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终

点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如：若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r

______

四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如

下：()()1,2a a λλ=r r

当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向

与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r

，注意：λ≠0。 五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2

π

时，，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量

||||cos a b θr r

叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θr r 。规

定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如：△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________

3．在上的投影为||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。

如：已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______

4．a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a r

与b 在a 上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=r r r r ；②当，同向时，?＝a b r r ，

特别地，22,a a a a a =?==r r r r r ；当与反向时，?＝－a b r r

；

③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b θ?=r r

r r ；④||||||a b a b ?≤r r r r 。

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线

的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r

，那么向量AC u u u r 叫

做a r 与b r

的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r

那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____；③

()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ 2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r

，12)y y ±。

如：已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2

A B AB x y =u u u r 且，,(,)22x y ππ

∈-，则x y +=

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如：设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB =u u u r u u u r

，3AD AB =u u u r u u u r ，则C 、D 的坐标分别是__________

④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r 。⑤向量的模

：222

2||||a a a x y ===+r r r 。

七．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r

，a b b a ?=?r r r r ；

2．结合律：(

)

(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()()

a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；

3．分配律：()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

。

八．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=r r r r 2

2()(||||)a b a b ??=r r r

r 1212x y y x ?-＝0。

如： 设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r

，则k ＝_____时，A,B,C 共线

九．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=.

平面向量单元练习

1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 （ ） A ．a 与λa 的方向相反 B ．|-λa |=|λ|·a C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|-λa |≥|a | 2、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）

① 00ρρρ=?a ②a b b a ρρρρ?=?③22a a ρρ=④)()(c b a c b a ρ

ρρρρρ?=?⑤b a b a ρρρρ?≤?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3、如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A.→

--AB ＝→

--DC B.→--AD ＋→--AB ＝→--AC C.→--AB －→--AD ＝→--BD D.→

--AD ＋→

--CB ＝→

4、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r

, 则BC =u u u r （ ）

A ．（1，1）

B ．（－1，－1）

C ．（3，7）

D ．（-3,-7）

5、已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93

--6、D 是ABC ?的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r

（ ）

A.12

BC BA -+u u u r

u u u r B. 12

BC BA --u u u r

u u

u r C. 12

BC BA -u u u r

u u

u r D. 12

BC BA +u u u r

u u

u r

7、 设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3

b α=r ，且//a r b ρ

，则锐角α为（ ）

A ．030

B ．060

C ．075

D ．045

8、已知)2sin ,2(),sin ,1(2

x b x a ==→

→

，其中),0(π∈x 。若→

→→

→=?b a b a ，则tanx 的值等于（ ）

A ．1

B ．-1

C ．3

D ．

2

2

9、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 （ ）

A. 6

B. 2

C. 25

D. 7 10、已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 （ ）

A.重心 外心 垂心

B.重心 外心 内心

C.外心 重心 垂心

D.外心 重心 内心

11、若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，

且a r 与b r 的夹角为3

π

，则a b +=r r ． 12、已知2==→

→b a ，()()

22-=-?+，则与的夹角为 ． 13、已向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ．

14、设向量a r 与b r 的夹角为θ，(33)a =r ，，2(11)b a -=-r r

，，则cos θ= ． 15、若有以下命题：

① 两个相等向量的模相等；② 若和都是单位向量，则=；③ 相等的两个向量一定是共线向量；④ //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量；⑥ 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是 。 16、 已知4||=，2||=，且与夹角为120°，求

⑴)()2(+?-； ⑵|2|-； ⑶当k 为何值时，?)()2(→

→

→

→

-⊥+b a k b a

17、已知向量)2,1(),sin 2cos ,(sin =-=→

→

b a θθθ

（1）若,//→→b a 求θtan 的值；（2）若的值。求θπθ,0,ππ→

→=b a

18、设函数→

→?=b a x f )(,其中,),1,2sin 1(),2cos ,(R x x b x m a ∈+==→

→

且y=f(x)的图像经过点

)2,4

(π

。（1）求实数m 的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期；（3）求函数f(x)的最小值及

此时x 值的集合。

A

B

D