(新)人教版高中数学必修5第一章《解三角形》导学案(全套)

学案 1 正弦定理 （1）

教学目标：

1、掌握正弦定理及其推导过程；

2、能利用正弦定理解三角形及判断三角形解的个数．

教学重点：利用正弦定理解三角形．

教学难点：正弦定理的证明．

教学过程：

一、问题情境：

1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与C

c sin 之间的大小关系？ 2．猜想：对任意三角形ABC 上述关系是否成立？如何证明?

二、讲授新课：

1．正弦定理：_________________________________．

2．利用正弦定理，可解决两类三角形问题：

（1）已知两角与一边，求另两边与另一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角．

3．三角形的元素与解三角形：

（1）把三角形的_________________和它们的_________________叫做三角形的元素．

（2）已知三角形的_________________求其他____________的过程叫做解三角形.

三、知识运用：

例1．在ΔABC 中 已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.

例2．在ΔA BC 中 ，已知060,67,14===B b a ，解ABC ?.

例3．在ΔABC 中 ，已知045,3

32,2===

B b c ，解AB

C ?.

探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不一样，分析类型（２）产生多解的原因.

四、课堂练习：

1.在ABC ?中，一定成立的是（ ）

A.B b A a sin sin =

B.B b A a cos cos =

C.A b B a sin sin =

D.A b B a cos cos =

2.在ABC ?中，45A = ,60B = ,10a =,则b =（ ）

A. C.3 D.3.在ABC ?中,?=60A ,24,34==b a ，则B 等于（ ）

A.?45或?135

B.?135

C.?45

D.以上都不对

4.在ABC ?中，45,75AB A C =?=?，则=BC （ ）

A ．33-

B ．2

C ．2

D ．33+

5．不解三角形，下列判断正确的是（ ）

A.7a =,14b =,30A = ,有两解

B.30a =,25b =,150A = ,有一解

C.6a =,9b =,45A = ,有两解

D.9b =,10c =,60B = ,无解

6．在ΔABC 中 ，已知060,32,2===B b a ，解三角形ABC .

学案 2 正弦定理 （2）

教学目标：

1、掌握公式的变式及三角形面积公式；

2、能灵活运用正弦定理解决三角形相关问题，比如判断三角形的形状.

教学过程：

一、回顾练习：

（1）在ABC ?中，已知B=60°，2=

a ，3=

b ，求A .

（2）在ABC ?中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .

二、正弦定理的变形及面积公式：

1．正弦定理的变形

①__________________________________________________

②__________________________________________________

③__________________________________________________

2．三角形的面积公式：

__________________________________________________

三、例题分析：

例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.

例2．在ΔABC 中， 30B = ，AB =2AC =，求三角形的面积.

例3．① 在ΔABC 中，已知

C

c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ② 在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.

四、课堂练习：

1．在ABC ?中,?=30A ,3=a ，则ABC ?的外接圆半径为（ ）

A ．23

B ．3

C ．33

D ．6

2．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则C

B A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔAB

C 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________

::=c b a .

4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求角Ｃ.

5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：

① C B A 222sin sin sin =+； ② c

C b B a A cos cos sin ==

学案 3 余弦定理

教学目标：

1．掌握余弦定理的两种表示形式；

2．证明余弦定理的向量方法；

3．运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

教学过程：

一、问题探究：

问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵AC = ， ∴AC AC ?=

同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-

， 2222cos c a b ab C =+-．

二、讲授新知：

1．余弦定理：_________________________________；

_________________________________；

_________________________________．推论：_________________________________；

_________________________________；

_________________________________．

2．利用余弦定理，可解决两类三角形问题：

（1）已知三边，求三角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

试试：

（1）△ABC中，a=2

c=，150

B= ，求b．

（2）△ABC中，2

a=，b=，1

c，求A．

三、典型例题：

例1．在△ABC中，已知a=b=45

B= ，求,A C和c．

变式：在△ABC中，若AB AC＝5，且cos C＝

9

10

，则BC＝________．

例2．在△ABC中，已知三边长3

a=，4

b=，c=

变式：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．

四、课堂练习：

1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）

A ．60

B ．75

C ．120

D ．150

3.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．

4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝

1314，求最大角的余弦值．

5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ? 的值.

学案 4 正、余弦定理在三角形中的应用（1）

题型一 利用正、余弦定理求边、角

例1 已知ABC ?中， 6b =，c =30B =

，求边a 的值.

题型二 判定三角形的形状

例2 在ABC ?中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，试判断三角形的形状.