复合函数求偏导解读

一元复合函数.因此，z对x的导数 d z 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz ,du,dv ，而不能
写成 z,u,v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
w w u w v. z u z v z
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u(x),v(x)
可导，则复合函数
zf[(x) ,(x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 d z .
dx
可得
d z zd u zd v. d x ud x vd x
(5)
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
定理8.5 设函数 u ( x ,y )v , ( x ,y ) 在点(x,y)处有偏
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导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则
复合函数 z f[(x ,y ),(x ,y )在]点(x,y)处的偏导数
z , z 存在，且有下面的链式法则： x y
zzuzv, x u x v x zzuzv. y u y v y
ex[y ysix ny )( co x y s)， (] zxexs y ixn y)(exc y o x sy)( y
e x[x ysix n y ) (co x y s )( ].
例2 设zf(x2y2,x)y，其中f(u,v)为可微函数，求
z ,z . x y 解 令ux2y2,vx，y可得
e u sv ix n e u cv o 1s
e x[x ysix n y ) (co x y s )( ].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 zexy six n(y)，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
z y e xs y ix n y ) (e xc y o x y s )( x
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du. dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v(x,y)有偏导数，
求复合函数 zf[x,(x,y)的]偏导数 z , z .
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u ( x ,y )v , ( x ,y ) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f[(x ,y ),(x ,y )],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
(1)
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
(*)
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z ，第二条是 x v z ，所以公 式(*)由两项组成.
免混淆，将公式(6)右端第一项写 f ，而不写为 z .
x
x
例1
设
z e u sv i,u n x,v y x y ,求
z x
,
z y
.
解法1 得
zzuzv x ux vx
eusivn yeuco v1 s
ex[y ysix ny )( co x y s)， (]
zzuzv y u y v y
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏
导数公式.
1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u ( x , y ) v , ( x , y ) w ,( x , y )
都有偏导数，求复合函数 z f [( x ,y )( x ,,y )( x ,,y ))
的偏导数 z , z . x y
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v.
(6)
y v y
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 zf[x,(x,y)中]的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而 f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避
(2) (3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u(x,y,z),
v(x,y,z)都有偏导数，求复合函数
w f[( x ,y ,z )( ,x ,y ,z )]
的偏导数 w,w,w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v, x u x v x
wwuw v,
(4)
y u y v y
zzuzv x ux vx
2xz yz， u v
zzuzv2yz xz， y u y v y u v 其中 z , z 不能再具体计算了，这是因为外层函数f u v 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z , 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数z 与u 的乘积.
u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x 同理可得到， z z u z v z w . y u y v y w y