反例在教学中的地位、作用及功能

错 误 的 ， 具 有 说 服 力 而 又简 明 的 方 法 就 是 举 出 反 例 ， 推 极 去
欧几 里 得 的 证 明为 ： 如果 说 素 数 仅 有 有 限 多 个 ， 么 ， 那 就 可 以把 它 们 统统 写 出 来 ， 作 Ｐ ， … ， 此 外 ， 没 有 更 记 ，Ｐ ， Ｐ ， 再
的条 件 、 论 之 间 的 充 分 性 、 要 性 得 以揭 示 ． 结 必 数 学是 一 门严 密 的科 学 ， 它有 自己独 特 的思 维特 点 和逻 辑
例 如 ， 想 证 明 “ 个 无 理 数 的 商 仍 是 无 理 数 ” 结 论 要 两 的
不成立 ， 要举出一个相 反例子驳 倒它 就行 ， 为 １ 只 因 ２÷６＝
一
切 Ｐ ， ２… ，， ）或 者 它 包 含 比它 们 都 大 的 素 因 子 ， ，Ｐ ， Ｐ 大 ， 不
有 限个 ” 的命 题 是错 误 的 ， 就 证 明 了“ 数 有无 限多 个 ” 也 素 ． 这 个 证 明 出奇 制 胜 ， 是 再 简 明 也 没 有 了 ， 在 数 学 中 学 概 念 与 定 理 ， 数 学 作 出 优 雅 性 为
和 艺术 性
很 多数 学 中 的概 念 与 定 理 结 构 复 杂 、 件 结 论 交 错 ， 条 使
人 不 容 易理 解 ． 例 则 可 以使 概 念 更 加 确 切 与 清 晰 ， 定 理 反 使
１４ ６ ０年 ， 马 认 为 自 己 找 到 了 能 表 示 部 分 素 数 的 公 式 费 ２ ＋１ 称 为 费 马 数 ） 设 Ｆ ２ ＋１ 则 当 ｎ＝０ １ ２ ３ ４ ５ （ ． ＝ ， ， ， ， ， ， 时 ， 分 别 给 ３ ５ １ ， ５ ， ５ ３ ， ， ， ７ ２ ７ ６ ５ ７都 是 素 数 ． 于 ， 由 太
大 的素 数 了 ， 而 Ｐ，Ｐ ， ， 或 者 是一 个 素 数 （ 显 然 比 然 ， … Ｐ 它
一
翻 它． 例 实 际 上 是 与 命 题 相 矛 盾 的 特 例 ． 数 学 发 展 的 历 反 在 史 上 ， 当 的反 例 推 动 了 数 学 的 发 展 ． 常 有 这 样 的 情 况 ， 恰 常
叫 做构 造性 证 明．
论 哪种 情 况 ， 有更 大 的素数 存 在． 个 反 例 表 明 “ 数 仅 有 总 这 素
个 重 要 的 猜想 ， 学 家 用 了很 长 的 时 间 未 能 证 明 它 ， 果 数 结
有 人 举 出反 例 否 定 了这 样 的猜 想 ， 问 题 得 到 了解 决 ． 使
斯 学 派 的希 帕 索 斯 就 发 现 等 腰 直 角 三 角 形 的直 角 边 与 斜 边 不 可 通 约 ． 个 发现 实质 是 毕 达哥 拉 斯 学 派 认 为 的 “ 切 量 这 一 都 能 用 有 理 数 表 示 ” 反 例 ． 反例 使 人 们 对 数 的 认 识 大 大 的 这 提 高 了 一 步 ． 学 史 证 明 ， 数 学 中探 索 的 重 大 课 题 与 数 学 数 对 猜 想 ， 举 出反 例 予 以推 翻 ， 给 出严 格 证 明 予 以 肯 定 是 同 能 与
在 教 学 中 ， 例 可 以 帮助 教 师 准 确 地 传 授 知 识 ， 深 学 生 对 反 加 概 念 的 理 解 ， 发 学 生 的创 造 力 ． 诱
一
、
反 例 在 数 学 思 维 中 的作 用
１ ．反例 是 一 种 简 明 有 力 的 否定 方 法 我 们 知 道 ， 证 明 一 个 命 题 正 确 ， 须 经 过 严 密 的 推 要 必 证 ， 要 否 定 一 个 命 题 却 只 需 要 能 举 Ｉ 一 个 与 结 论 矛 盾 的 而 叶 ｜
４ ９ ９ ２ ７＝ ４ ２ ４ ７ ９ ６ １×６ ０ ４ ７是 合 数 ． 样 ， 说 明 了 费 马 猜 ７０ １ 这 便
想不成立．
积 分 的新 积 分 理 论 的产 生 ， 别 在 数 学 发 展 转 折 时 期 ， 型 特 典 的 反 例 起 着 举 足 轻 重 的作 用 ． 元 前 ５ ０年 左 右 ， 达 哥 拉 公 ０ 毕
等 重要 的．
从 上 面 这 个例 子 可 以看 出 ， 例 在 教 学 中 有 着 重 要 的 反 地位． 反例 在数 学思 维 和 数学 教 学 中有 着 非 常 重 要 的 作 用 ．
利 用 反 例 可 以发 现 原 有 理 论 的局 限 性 ， 动 数 学 向 前 发 展 ． 推
都 是素 数． １３ ７ ２年 ， 拉 举 出 反 例 ： ｎ：５ 时 ， ：２ ＋１＝ 欧 当 Ｆ
连 续 的 ， 来 ， 们 举 出一 个 反 例 ， 而 引 出 了 一 致 收 敛 的 后 人 从
概 念 ． 里 克 雷 函 数 在 黎 曼 意 义 下 不 可 积 ， 发 了 异 于 黎 曼 狄 启
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反例在教学巾韵地位、 作用及功雒
◎周 亚 琴 （黑 河 学 院 １４ ０ ６ ３ ０）
在 数 学 中 ， 证 明一 个 命 题 成 立 ， 须 严 格 地 在 所 给 的 要 必 条 件 下 ， 逻 辑 推 理 的方 法 推 导 出 结 论 ． 证 明一 个 命 题 是 用 要
３ ．利 用反 例 可 以发 现 原 有 理 论 的 局 限 性 ． 动 数 学 向 推 前发 展
举 反 例 可 直 接 促 进 数 学 新 概 念 、 定 理 与 新 理 论 的 形 新 成 和发 展 ． 如 “ 续 函数 项 级 数 的和 函数 ” 柯 西 认 为还 是 比 连 ，
大 ， 没 有 再 进 行 验 证 就 直 接 猜 测 ： 于 一 切 自然 数 ｎ Ｆ 他 对 ，