反例在数学教学中的运用
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。
本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。
本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。
本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。
本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。
【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。
而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。
反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。
在数学教学中，反例的作用不容小觑。
反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。
二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。
在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。
学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。
仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。
所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，使用反例是一种非常重要的教学策略。
反例指的是通过给出一个不符合条件、不成立或者错误的例子来证明一些命题或者定理不成立。
通过引入反例，可以帮助学生深入理解数学概念，培养逻辑思维和推理能力，提高解题能力。
首先，通过反例可以帮助学生理解一些概念的本质和条件。
例如，在初中数学中学习平行线的性质时，反例可以帮助学生理解不平行线的特征。
通过给出两条不平行的线段，可以引导学生观察、分析两条线段的性质，从而找到平行线的共同特征，加深对平行线定义的理解。
其次，通过反例可以帮助学生发现并纠正错误的观念。
在初中数学中，学生常常会产生一些错误的观念，导致在解题中出现错误。
通过引入反例，可以让学生认识到这些观念的错误性，从而及时进行修正。
例如，在学习二次方程的求解过程中，学生可能会错误地认为只有两个实数解。
通过给出一个无解的二次方程，学生可以发现其错误的观念，并学会正确区分二次方程的解的个数。
此外，通过反例可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力。
数学是一门重视逻辑思维和推理能力的学科，而反例正是基于逻辑思维和推理能力来构造的。
通过反例的引入，学生需要运用已有的数学知识和逻辑推理，从而构造一个不成立的例子。
这样的训练可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决数学问题的能力。
最后，通过反例可以激发学生的思考和探究欲望。
数学是一门探究性很强的学科，而反例的引入可以给学生提供一个思考和探究的契机。
通过分析和讨论反例，学生可以进一步深入理解一些数学概念，并激发他们探索更多的例子和情况，培养他们的自主学习能力。
综上所述，在初中数学教学中，反例是一种有效的教学策略。
通过使用反例，可以帮助学生理解数学概念的本质和条件，纠正错误的观念，培养逻辑思维和推理能力，激发学生的思考和探究欲望。
因此，在教学过程中，我们应该更加注重反例的运用，使学生能够全面、深入地理解数学知识。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用初中数学教学中的反例是一种教学方法，通过引入反例，展示错误的思路和结论，帮助学生更好地理解和掌握数学概念和原理。
反例在初中数学教学中的运用有以下几个方面：1. 验证和理解定理：通过引入反例，可以验证和理解定理的条件和结论。
在学习平行线性质时，可以引入一组平行线的反例，让学生发现平行线具有不相交的性质，从而理解平行线的定义和性质。
2. 理解数学概念和特性：通过引入反例，可以帮助学生理解和区分数学概念和特性。
在学习三角形的分类时，可以引入一组具有边长比例相等但不全等的三角形的反例，让学生理解边长比例相等不是全等的必要条件。
3. 纠正错误观念和认识：通过引入反例，可以帮助学生纠正错误的观念和认识。
在学习数列的有界性时，可以引入一个无界数列的反例，让学生认识到数列有界性的重要性以及无界数列的性质。
4. 引导学生思考和解决问题：通过引入反例，可以激发学生的思考和解决问题的能力。
在学习方程解的性质时，可以引入一个只有一个解的反例，让学生思考为什么这个方程只有一个解，从而培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
5. 加深对数学原理的理解和应用：通过引入反例，可以加深学生对数学原理的理解和应用。
在学习函数性质时，可以引入一个不满足函数定义的反例，让学生理解函数定义的必要性和应用范围，从而提高对函数性质的理解和运用能力。
反例在初中数学教学中的运用可以帮助学生真正理解和掌握数学概念和原理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学学习的效果和质量。
教师在运用反例时应注意引入的反例要具有代表性和启发性，能够引发学生思考和讨论，同时也需要合理安排教学环节，使得学生能够在实践中发现和理解数学原理。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用一、反例的定义反例是指能够证明一个命题为假的实例。
当我们判断一个命题是否为真时，可以通过举一个反例来证明它的反面。
反例在数学教学中，是一种常用的方法，它能够帮助学生更好地理解和运用数学概念，并帮助学生建立正确的思维方式。
二、反例在数学教学中的作用1. 帮助学生理解数学概念的本质在数学教学中，很多概念都是抽象的，学生很难从定义中直接理解其含义。
此时，可以通过举一个反例来让学生更好地理解这个概念的本质。
在初中代数中，我们知道两个负数的相乘结果是正数，但很多学生无法理解这个现象。
可以通过举例子让学生看到负数相乘的结果是正数，这样学生就能更好地理解这个概念。
2. 帮助学生发现和纠正错误的观念学生在学习数学的过程中，常常会有一些错误的观念。
在初中几何中，有些学生会认为平行线必然会相交，这是他们对平行概念的错误理解。
此时，可以通过举一个反例来帮助学生发现和纠正这个错误的观念，从而提高他们对数学知识的正确理解。
3. 帮助学生提高问题解决能力在解决数学问题时，有些问题是需要通过找到一个反例来证明其错误的。
在初中数学中，有一类问题是关于数列的，学生需要判断给定的数列是否满足某种性质。
此时，可以通过找到一个反例来证明这个数列不满足该性质，从而解决问题。
四、反例在数学教学中的评价反例在数学教学中是一种非常有效的教学方法。
它能够帮助学生更好地理解数学概念的本质，发现和纠正错误观念，提高问题解决能力。
通过举例子来验证一个命题的反面，可以让学生从不同的角度思考问题，培养学生的创新思维。
反例的运用也需要注意适度，不能过分依赖反例，而忽视了正例的证明和理解。
要在教学中灵活运用反例和正例相结合的方法，帮助学生全面理解和掌握数学知识。
高等数学教学中的反问题及反例
高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。
在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。
二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。
在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。
例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。
三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。
在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。
例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。
通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。
同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。
五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。
实践数学教学反例(3篇)
第1篇摘要：本文通过分析实践数学教学中的反例，探讨当前数学教学中存在的问题，并提出相应的改进措施，旨在提高数学教学质量，促进学生全面发展。
一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生逻辑思维、空间想象、问题解决等方面具有重要意义。
然而，在实际的数学教学中，我们常常会遇到一些反例，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也制约了数学教学的深入发展。
本文将从以下几个方面对实践数学教学中的反例进行分析。
二、反例一：重理论轻实践在数学教学中，有些教师过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实践操作能力培养。
这种教学方式导致学生在面对实际问题时，往往束手无策。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“三角形面积计算”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有让学生动手操作验证。
当学生遇到实际问题时，如计算不规则图形的面积，他们无法运用所学知识解决问题。
改进措施：教师在讲解理论知识的同时，应注重实践操作环节，让学生通过动手操作、实验探究等方式，加深对知识的理解。
三、反例二：忽视学生个体差异在数学教学中，每个学生都有自己的学习特点和需求。
然而，有些教师忽视了学生的个体差异，采用“一刀切”的教学方式，导致部分学生跟不上教学进度，产生厌学情绪。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“分数乘法”时，教师按照统一进度进行讲解，对于基础薄弱的学生来说，他们很难跟上教师的节奏，导致学习效果不佳。
改进措施：教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同学生的学习需求。
四、反例三：过度依赖教材，忽视创新教育在数学教学中，有些教师过度依赖教材，按照教材内容进行讲解，忽视了创新教育的重要性。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“圆的周长和面积”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有引导学生进行创新思维训练。
改进措施：教师应关注创新教育，鼓励学生在学习过程中发挥想象力，提出自己的观点和想法，培养学生的创新思维。
五、反例四：忽视数学与其他学科的融合数学与其他学科之间存在着紧密的联系。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，反例的运用是非常重要的。
通过引入反例，可以帮助学生深入理解数学概念，解决问题和掌握定理等。
下面我们将详细介绍反例在初中数学教学中的运用。
一、反例的定义与意义反例指的是推翻一个命题或定理的例子，即通过举出一个特殊的例子，使得原本的命题或定理不再成立。
反例可以帮助学生发现并理解一些普遍规律之外的特殊情况，以便深入理解、把握数学的本质和规律。
反例的运用能够激发学生的思考和探索欲望，帮助他们从新的角度思考问题，培养分析问题、找到问题的本质的能力。
通过反例的引入可以帮助学生从错误中学习，发现和纠正自己的错误，进一步巩固对数学知识的理解和掌握。
二、反例在初中数学教学中的具体运用1. 引入新概念在引入新概念时，可以通过反例的方式揭示概念的重点和特征。
在引入相反数的概念时，可以通过给出一对不是相反数的数字，让学生发现这组数字并不满足相反数的定义，从而引导学生找出相反数的共同特征。
2. 解决问题在解决问题的过程中，反例常常帮助学生找到解题的思路和方法。
通过给出一些错误的方法或答案，从而让学生发现问题的关键和解题的难点。
当教授求两个有理数的和时，可以先引入一组不满足有理数加法交换律的数字，从而帮助学生发现并理解交换律的重要性。
3. 证明定理在教学定理证明的过程中，反例可以帮助学生理解定理的适用范围和条件。
通过给出一些违反定理条件的例子，让学生发现这样的条件对定理的成立是必不可少的。
在教学三角形内角和定理时，可以给出一个超过180度的三角形，让学生发现只有满足三角形内角和等于180度的条件，定理才成立。
4. 纠正错误学生在学习数学中常常会犯一些错误，通过引入反例可以帮助学生找到错误并进行纠正。
在学习分数的乘法时，学生可能会错误地认为分数的乘积一定比原来的数更大，通过给出一个分数的乘积比原来的数更小的例子，可以纠正学生的错误观念，帮助他们正确理解分数乘法的规则。
三、注意事项在运用反例时，需要注意以下几点：1. 反例需具体明确。
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用首先，反例可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
在数学中，许多概念是抽象的，不容易直接理解。
通过引入反例，学生可以看到具体的例子，帮助他们形象地理解概念。
例如，在学习数列的收敛性时，引入一个反例可以让学生观察到一个不收敛的数列，从而理解收敛的概念。
其次，反例可以帮助学生发现和理解数学规律和定理。
数学中有许多规律和定理，它们的证明往往需要使用严谨的逻辑推理。
通过引入反例，学生可以发现一些规律不总是成立，从而激发他们思考为什么这些规律不成立，以及真实的规律是什么。
例如，学习三角形的内角和时，学生可能会发现一个反例，一个三角形的内角和大于180度，这有助于他们理解三角形内角和定理的真实含义。
此外，反例可以帮助学生培养他们的逻辑思维和推理能力。
在引入反例时，学生需要运用逻辑思维来找到一个合适的例子，并用推理来解释为何这个例子是一个反例。
通过这个过程，学生可以加深他们对逻辑思维和推理的理解，并且能够更好地运用这些技能解决数学问题。
这对他们在解决其他问题时也非常有用。
此外，引入反例还能帮助学生识别和纠正他们的错误。
在学习数学中，学生可能会犯错误或产生误解。
通过引入一个反例，学生可以发现自己的错误，并更好地理解正确的概念、规律和定理。
这有助于他们避免类似的错误，并帮助他们在学习和应用数学时更准确地思考。
在教学中，教师可以灵活运用反例。
他们可以在讲解新概念时引入反例，以便更好地帮助学生理解和记忆概念。
同时，在复习和巩固知识时，教师也可以通过让学生寻找和讨论反例来检验他们对知识的掌握程度。
这不仅能够加深学生对数学的理解，还能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
然而，引入反例也需要一定的谨慎。
教师应该选择合适的反例，避免过于复杂或抽象的例子，以免给学生带来混淆。
此外，教师还应该确保学生充分理解反例的含义和作用，并与他们讨论为何这个例子是一个反例。
只有这样，学生才能真正受益于反例。
总的来说，反例在中学数学教学中具有非常重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反例在数学教学中的运用江西省湖口中学崔小昊[内容提要]当前，在数学教学过程中，教师对运用反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视。
虽然证明在数学学习中有重要的作用，但作为问题的另一方面，也应清楚反例在数学学习中的重要性。
注重反例教学培养学生思维的严密性、灵活性及注重反例构造培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。
反例构造还是诱发学生创造力的很好载体。
[关键词] 数学教学；反例；思维；反例构造在数学教学中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。
这种与命题相矛盾的例子称为反例。
反例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。
因此在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。
一、注重反例教学，培养学生思维的严密性数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。
1、反例用于强化概念在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。
对此，教师在教学中，不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。
例如，学习《等腰直角三角形》时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。
一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。
此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。
另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。
因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。
面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。
对此，可举反例如下：如图1所示，三棱锥ABCS-中，SC,ACBCSAAB。
显然底面为正2==3====SB三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥ABC S -却不是正三棱锥。
2、反例用于纠正错解面对学生解题中所出现的共性错解，教师一般不要急于点破，而应示以反例，曲中窥直，用反例说明解法有误，从而引导学生去追寻问题错误的根源，并指导学生纠正错误，最终让师生共同品尝成功的“甘甜”。
例如，学生在学习了等比数列前n 项和公式后，在求等比数列前n 项和时往往直接应用公式qq a S n n --=1)1(1，而不考虑公比是否等于1。
对此，教师可以设计这样一道题，求和：ααααn cos cos cos cos ++++ 32.多数学生都能熟练地套用公式，但大多数学生都忽略了0=αcos 和1=αcos 这两种情况应另类考虑，经教师提醒后，学生终于认识到0=αcos 时，{αn cos }不是等比数列；当1=αcos 时，{αn cos }虽是等比数列，但q =1，因此求和时也不能套用上面的公式。
这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性。
二、注重反例教学，培养学生思维的灵活性因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以注重反例教学不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，提高思维的灵活性。
1、反例用于强调条件学生在学习公式、法则、定理时，往往侧重于记忆其结论，不注意它们的使用范围，以致使用时生搬硬套、错误百出的现象极为严重。
因此，教师在讲授时，要反复强调公式、法则、定理中的限制条件，指出它们的应用范围，并可根据学生的知识水平，适当地举出一些反例，以突出“限制条件”的重要性。
例如，用均值不等式2b a +≥ab （+∈R b a ,，当且仅当b a =时取等号），3c b a ++≥3abc （+∈R c b a ,,，当且仅当c b a ==时取等号）求最值时，必须满足两个条件：其一是必须保证不等式的右边为常数；其二是必须能取到等号。
例1：已知+∈R b a ,且12=+b a ，求ab 的最大值。
错解： ∵2b a +≥ab ∴ab ≤2)2(b a + ……① 当且仅当b a =时，即31==b a 时 ab ≤91)2(23131=+ ∴31==b a 时，ab 的最大值是91. 但若41=a ，21=b 时，ab =81，很明显8191<，因而91并不是ab 的最大值。
其错误的原因就在于①式右边不是常数。
正解： ∵12=+b a∴b a ⋅)2(≤2122=+b a ∴ab ≤81 当且仅当b a =2时，即41=a ，21=b 时取等号， ∴ab 的最大值是81. 例2：0>x ，243xx +的最小值。
错解： ∵0>x∴224243x x x x x ++=+≥642332=⋅⋅⋅xx x ……② ∴243xx +的最小值为6. 显然，此解法是错误的，因为②式取等号的条件是242xx x ==，而满足此等式的x 是不存在的。
故②式不能取等号，只能得出6432>+xx . 正解： ∵0>x∴224232343x x x xx ++=+≥33293423233⋅=⋅⋅⋅x x x 当且仅当2423xx =即3923⋅=x 时取等号， ∴243xx +的最小值为393⋅. 2、反例用于畅通思路当学生遇到难题时，思维非常容易受阻，迫使他们寻求新的解法，从而提高思维的灵活性。
例：设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数为E ，面数为F ，则它们之间的关系一定正确的是（ ）。
①E nF 2= ②E mV 2= ③2+=+E F V ④E mF 2=A)、③ B)、①③ C)、①②③ D)、①②③④大部分同学一遇到题目中只有字母，无数字时，就不知从何处下手。
实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。
分析：由欧拉公式知③是正确的，且在四个答案中都有。
那么还有哪些是正确的呢？由于正多面体只有5种，可举几个正多面体为例验证一下。
有的同学用的是正四面体，发现n =3，m =3，F =4，E =6，V =4，则①、②、④也都正确，认为全部正确，选(D).其实在正六面体中，n =4，m =3，F =6，E =12，V =8，此时④中的mF =18，E 2=24, mF ≠E 2，所以该题的正确答案选(C).又如图2所示，有一长方体1111D C B A ABCD -，其长cm AB 5=，宽cm AD 4=，高cm AA 31=，求由顶点A 沿着表面到对角顶点1C 的最短路线的长。
开始时，有较多学生误认为长、宽和高之和123451=++=++CC BC AB 为所求路线之长。
当教师举出自A 沿棱AB 和右侧面对角线1BC 和1C 所得路线长为1210435221<=++=+BC AB 时，学生们清醒地意识到原来的解答有误，并兴趣盎然地探求新的解题思路。
类似地出现： 108.9344354221<≈+=++=+DC AD 及 3444.941345322111+<≈+=++=+C A AA 教师进一步稍加点拨，学生们受反例的启发，思路又自然地被引向展开侧面的深层考虑。
由图3可知，A 沿着表面到1C 的最短路线的长为cm 745)43(22=++. 三、注重反例教学，培养学生思维的深刻性 反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以运用反例时不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何举出反例的思维过程充分展现给学生，使反例的提出与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。
例如，“x sin y =在第一象限内是增函数”这一说法正确吗？大部分同学在刚开始学习正弦函数时，对于上述命题很难做出正确的判断。
认为从正弦函数图像中可以看出该命题是正确的。
其实这一说法是错误的。
因为，当我们取π351-=x ，62π=x 这里虽有21x x <，可是)()(21x f x f >。
那错在什么地方？就错在忽视了x sin y =的单调增区间是)22,22(ππππ+-k k ，所以当两个角在同一象限但不在同一单调区间内时，上述命题的说法则是错误的。
又如，若2a ，2b ，2c 成等差数列， 问c b +1，c a +1，ba +1是否也成等差数列。
这时，同学们可能会立刻用自己学过的等差数列知识来求证。
比如有位同学是这样解：∵2a ，2b ，2c 成等差数列∴2b -2a =2c -2b整理得：(b +a )(b -a )=(c +b )(c -b )即:ab bc b c a b +-=+- 图2A1C 1图31C 11C 1再在两边同时除以(a +c )得:))(())((c a b a b c c b c a a b ++-=++- 把上式拆成:ca b a c b c a +-+=+-+1111 ∴c b +1，c a +1，ba +1也成等差数列。
初看此解的过程好像是正确的，但你只要仔细想一下就会发现问题的所在。
若a =c =-b 时，虽然2a ，2b ，2c 还是成等差数列，但(b +a )，(c +b )都等于零，分母是不能为零的，所以结论是不成立的。
再如，学生学习《三垂线定理及逆定理》时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件。
教学中可用如下反例来启发学生，如图4所示，在正方体1111D C B A A B C D -中，因为B A 1∥1CD ，1CD ⊥D C 1，所以D C 1⊥B A 1，又11B A 是B A 1在平面11D B 内的射影，故D C 1⊥11B A 。
事实上，因为11B A ∥11D C ，︒=∠4511D DC ，所以D C 1与11B A 所成的角为45º，并不垂直。
造成上述错误的原因是忽视了“D C 1不在平面11D B 内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻。
四、注重反例构造，培养学生思维的发散性教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构造反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构造并不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构造反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。