浙江省绍兴县柯桥区鲁迅中学城南校区2015届高三上学期期中质量检测数学(理)试题 Word版含答案
浙江省鲁迅中学城南校区高三数学上学期期中检测试题
浙江省鲁迅中学城南校区2012-2013学年上学期高三年级期中检测数学试题（文科）考生须知：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟 一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合M={x |1<x }，N={x |12>x }，则M ∩N= （ ） A ．∅ B ．{x|x<0} C ．{x|x<1} D ．{x|0<x<1} 2．已知集合}{|,,nM m m i n N i ==∈为虚数单位，则下面属于M 的元素是 （ ）.(1)(1)A i i ++- .(1)(1)B i i +-- .(1)(1)C i i +- 1.1iD i+- 3．将函数)32sin(π+=x y 的图象经过怎样的平移后所得图象关于点)0,12(π-中心对称（ ） A ．向右平移6π B ．向右平移12π C ．向左平移12π D ．向左平移6π4．“1>x ”是“x x >2”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．等差数列}{n a 中，a 4+a 10+a 16=30，则a 18-2a 14的值为 （ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 6．已知m,n 为两条不同直线,,αβ为两个不同平面，且βα⊥⊥n m ,，则下列命题中不正．．确．的是（ ） A.若n m //，则βα// B. 若βα⊥，则n m ⊥C.若m,n 相交，则,αβ相交D.若,αβ相交，则m,n 相交7. 已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图像可能是 （ ）8．与向量a v =31），b v=（1，32 （ ）A ．1313(,)+- B ．1313(,)-+C ．13131313(,),(,)+-+---D ．13131313(,),(,)-+-+--9．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()()0,()∈⎧=⎨∉⎩M x M f x x M （其中M 是实数集R 的非空真子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足=∅I A B ，则函数()1()()()1+=++U A B A B f x F x f x f x 的值域为 （ ）A ．{}0 B ．}{1 C ．{}0,1 D ．∅10.函数()295y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列公比的数是 （ ） A ．34B ．2C ．3D ．5二、填空题（每小题4分，共28分）11. 已知向量(3,2),(1,0)=-=-a b ,且向量λ+a b 与2-a b 垂直,则实数λ的值为 .12．已知x 为正实数，且22+=x xy ，则212x y +-的最小值为 ． 13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b 、、a ，若C a A c b cos cos )2(=-，则角A=14.:cm 某个几何体的三视图如下,单位则此几何体的体积为____.15．已知数列{}n a 的通项公式为23n a n =-,将数列中各项进行分组如下。
【真题】15年浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|y=+}，B={y|y=log2x，x∈A}，则（∁R A）∩B 等于（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]2．（5分）设等差数列{a n}的前n和为S n，若已知a3+3a5﹣a6的值，则下列可求的是（）A．S5B．S6C．S7D．S83．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（）A．y=cos4x B．y=cosx C．y=sin（x+）D．y=sinx5．（5分）设为向量，若+与的夹角为60°，与的夹角为45°，则=（）A．B．C．D．6．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）7．（5分）已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A．B．C．D．8．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的三边a，b，c成等比数列，则cos2B+cosB+cos（A﹣C）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定10．（5分）已知向量均为单位向量，它们的夹角为60°，实数x，y满足|x+y|=，那么x+2y的最大值为（）A．3 B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4分）已知，向量与垂直，则实数λ=．12．（4分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若公比为，且满足a3•a11=16，则log2a16=．13．（4分）已知lga=lg（2a+b）﹣lgb，则ab的最小值为．14．（4分）若不等式≤k的解集是空集，则正整数k的取值集合为．15．（4分）若实数x，y满足，则z=|x|﹣2y的最大值为．16．（4分）等差数列{a n}中，a1=1，公差为d，a3＞0，当且仅当n=3时，|a n|取到最小值，则d的取值范围是．17．（4分）在△ABC中，已知•=9，sinB=co sA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB 上的点，且=x•+y•，则+的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．18．（14分）已知集合A={x|＜1}，B={x|log6（x+a）＜1}．（1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分的条件，求实数a的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x﹣1，x∈[，]．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若存在x∈[，]，使得f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求证：a=c．21．（15分）数列{a n}中，a3=1，a1+a2+…+a n=a n+1（n=1，2，3…）．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n及数列{a n}的通项公式；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）S n，试求数列{c n}的前n项和T n．22．（15分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若函数f（x）在（﹣∞．﹣1]单调递减，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围，并证明+＜4．四、B卷23．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须先A后B的次序经过A，B两城市（A，B 两城市可以不相邻），则有不同的游览路线种．24．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（）A．﹣27C93B．27C93C．﹣9C94D．9C9425．将五名插班生安排到A，B，C三个班级，要求每个班级至少安排一人．（1）求A班恰好安排三人的概率；（2）求甲、乙不安排在同一个班级的概率．2014-2015学年浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|y=+}，B={y|y=log2x，x∈A}，则（∁R A）∩B 等于（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]【解答】解：∵集合A={x|y=+}={x|}={x|1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜1，或x＞2}，又B={y|y=log2x，x∈A}={y|0≤y≤1}，∴（∁R A）∩B=[0，1），故选：B．2．（5分）设等差数列{a n}的前n和为S n，若已知a3+3a5﹣a6的值，则下列可求的是（）A．S5B．S6C．S7D．S8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a3+3a5﹣a6=a3+3（a3+2d）﹣（a3+3d）=3（a3+d）=3a4，∴S7===7a4，故选：C．3．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0∴“a2＞2a”成立即“a＞2”⇒“a2＞2a”为真命题；而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0∴a＞2不一定成立即“a2＞2a”⇒“a＞2”为假命题；故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件故选：A．4．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（）A．y=cos4x B．y=cosx C．y=sin（x+）D．y=sinx【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象，再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数y=cosx的图象，故选：B．5．（5分）设为向量，若+与的夹角为60°，与的夹角为45°，则=（）A．B．C．D．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵+与的夹角为60°，与的夹角为45°，由正弦定理可得：==．故选：B．6．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选：D．7．（5分）已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得x≥4当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得∴不等式的解集为故选：D．8．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的三边a，b，c成等比数列，则cos2B+cosB+cos（A﹣C）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定【解答】解：∵在△ABC中，若a，b，c成等比数列，∴b2=ac，利用正弦定理可得sin2B=sinAsinC．∴cos（A﹣C）+cosB+cos2B=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）+cos2B=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+（1﹣2sin2B）=1．故选：B．10．（5分）已知向量均为单位向量，它们的夹角为60°，实数x，y满足|x+y|=，那么x+2y的最大值为（）A．3 B．C．D．【解答】解：∵向量均为单位向量，它们的夹角为60°，∴=1，=1×1×cos60°=．∵|x+y|=，∴=，化为x2+y2+xy=3，设x+2y=t，则x=t﹣2y，∴（t﹣2y）2+y2+（t﹣2y）y=3，化为3y2﹣3ty+t2﹣3=0，∵y∈R，∴△=9t2﹣12（t2﹣3）≥0，解得，∴t即x+2y的最大值为2．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4分）已知，向量与垂直，则实数λ=．【解答】解：由题意知λ =λ（﹣3，2）+（﹣1，0）=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）=（﹣1，2），又因为两向量垂直，所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=．故答案为解得．12．（4分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若公比为，且满足a3•a11=16，则log2a16=5．【解答】解：设等比数列的首项为a1，由公比为，且满足a3•a11=16，得：，即，所以，所以==5．故答案为5．13．（4分）已知lga=lg（2a+b）﹣lgb，则ab的最小值为8．【解答】解：由lga=lg（2a+b）﹣lgb，可得lga+lgb=lg（2a+b），得ab=2a+b，解得：ab≥8，当且仅当2a=b时取等号．则ab的最小值为：8．故答案为：8．14．（4分）若不等式≤k的解集是空集，则正整数k的取值集合为{1} ．【解答】解：不等式≤k的解集是空集，等价为3x2+2x+2≤k（x2+x+1），即（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集是空集，若k=3，不等式等价为x≥1，此时不满足条件．若3﹣k＜0，即k＞3，不等式（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集不是空集，不满足条件，若3﹣k＞0，即k＜3，若（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集是空集，则等价为判别式△=（2﹣k）2﹣4（3﹣k）（2﹣k）=（2﹣k）（3k﹣10）＜0，解得k＞或k＜2，∵k＜3，∴k＜2，∵k是正整数，∴k=1，故答案为：{1}15．（4分）若实数x，y满足，则z=|x|﹣2y的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|﹣2y，得y=|x|，作出直线y=|x|，平移直线y=|x|，由图象可知当直线y=|x|经过点C时，直线y=|x|的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（，），此时z max=||﹣2×==，故答案为：16．（4分）等差数列{a n}中，a1=1，公差为d，a3＞0，当且仅当n=3时，|a n|取到最小值，则d的取值范围是．【解答】解：∵a3＞0，当且仅当n=3时，|a n|取到最小值，∴a4＜0，且a4+a3＜0，∴解得，故答案为：．17．（4分）在△ABC中，已知•=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB 上的点，且=x•+y•，则+的最小值为3．【解答】解：∵•=9，∴bccosA=9，=sinA，∵6=S△ABC∴tanA=，∴sinA=，cosA=．∴bc=15．∵sinB=cosA•sinC，∴b=c，，解得．∴a2=b2+c2﹣2bccosA=32+52﹣18=16．∴a=4．∵=x•+y•，∴=+，∴x+y=1．∴3y=12﹣4x＞0．解得0＜x＜3．则+===f（x），f′（x）=﹣+=，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=时，f（x）取得最小值，=3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．18．（14分）已知集合A={x|＜1}，B={x|log6（x+a）＜1}．（1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分的条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2，或x＞3}；B={x|0＜x+a＜6}={x|﹣a＜x＜6﹣a}；若A∪B=R，则：；解得2＜a＜3；∴a的取值范围为（2，3）；（2）x∈A是x∈B的必要不充分条件；∴x∈B能得到x∈A，而x∈A得不到x∈B；∴B⊊A；∴6﹣a≤﹣2，或﹣a≥3；∴a≥8，或a≤﹣3；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[8，+∞）．19．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x﹣1，x∈[，]．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若存在x∈[，]，使得f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）（x）=2sin2（x+）﹣cos2x﹣1=2（sin2x﹣cos2x）=所以：由x∈[，]．所以：，得，故递增区间为；（2）∵，∴，使得f（x）＜m成立，只需满足m＞f（x）min即可，进一步求出f（x）的最小值为，∴m＞120．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求证：a=c．【解答】（1）解：由已知得B=60°．由正弦定理，得，∵A∈（0°，120°），∴60°﹣A∈（﹣60°，60°），则，因此．（2）证明：由已知，得．又b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac，将代入此式得，化简此式得（a2+c2）2+ac（a2+c2）﹣6a2c2=0，即（a2+c2+3ac）（a2+c2﹣2ac）=0．∵a2+c2+3ac＞0，∴a2+c2﹣2ac=0，得a=c．21．（15分）数列{a n}中，a3=1，a1+a2+…+a n=a n+1（n=1，2，3…）．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n及数列{a n}的通项公式；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n•b n +3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）S n，试求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1+a2+…+a n=a n+1，a3=1令n=1可得，a1=a2令n=2可得，a1+a2=a3=1∴；…．（2分）（2）∵a1+a2+…+a n=a n+1，即s n=a n+1=s n+1﹣s n=2s n∴s n+1∵a1=s1=∴{s n}是以为首项，以2为公比的等比数列∴即；…．（3分）=s n=2n﹣2∴a n+1∴…（3分）（3）∵b n=log2S n=n﹣2又∵c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）S n，∴∴…（3分）∵==设A=1•2﹣1+2•20+…+n•2n﹣2∴2A=1•20+2•2+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1两式相减可得，﹣A=2﹣1+20+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1=×2=×2=∴A=（n﹣1）•2n﹣1∴c1+c2+…+c n=+1•2﹣1+2•20+…+n•2n﹣2==∴…．（3分）22．（15分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若函数f（x）在（﹣∞．﹣1]单调递减，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围，并证明+＜4．【解答】解：（1），当x≥1或x≤﹣1时，f（x）=2（x+）2﹣1﹣，由函数f（x）在（﹣∞．﹣1]单调递减，则，可得k≤4．（2）方程f（x）=0，即为．∵x∈（0，1）时，单调递增，且；x∈[1，2）时，单调递减，且．∴要使方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，必须且只须．此时，．则．因为=在上单调递减，所以．即有+＜4．四、B卷23．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须先A后B的次序经过A，B两城市（A，B 两城市可以不相邻），则有不同的游览路线600种．【解答】解：已知AB必选，则从剩下的5个城市中，再抽取3个，有C53=10种不同情况，此时5个城市已确定，将其全排列，可得共A55=120种情况，又由A、B顺序一定，则根据分步计数原理，可得不同的游览线路有=600种．故答案为：600．24．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（）A．﹣27C93B．27C93C．﹣9C94D．9C94【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，则二项式的展开式的通项为T r=C9r（3x2）9﹣r（﹣）r=（﹣1）r•C9r•39+1﹣r x18﹣3r，令18﹣3r=0可得，r=6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7=（﹣1）6•C96•33=27C93，故选：B．25．将五名插班生安排到A，B，C三个班级，要求每个班级至少安排一人．（1）求A班恰好安排三人的概率；（2）求甲、乙不安排在同一个班级的概率．【解答】解：五名学生分成（1，1，3），（1，2，2）两组，然后再分配到三个班级，共有（C53+）•A33=150种，（1）A班恰好安排三人，选3人分到A班，另外两人平均分配到B，C两个班，共有C53A22=20种，故A班恰好安排三人的概率P==；（2）甲、乙安排在同一个班级，当为（1，1，3）时，另外三人平均分配到A，B，C两个班，共有C31A33=18种，当为（1，2，2）时，先选1个班级，另外三人分配到两个班，共有C21C32A22=12种，根据分类计数原理，甲、乙安排在同一个班级的共有18+12=30种，故甲、乙不安排在同一个班级的概率p=1﹣=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
《解析》浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞06．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|x＞4或x＜﹣1}，从而求∁R A={x|﹣1≤x≤4}再求（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}．解答：解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|﹣2≤x≤3}，∁R A={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}，故选C．点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据三角公式可得），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ），φ=kπ，k∈z，再由充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ）sinφ=0，即φ=kπ，k∈z，∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的运算公式，属于中档题．3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．解答：解：∵y=sin（2x+2）=sin2（x+1），∴将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，故选：C点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，根据三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用数列{a1a n}的后一项与前一项的差大于0得答案．解答：解：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，且数列{a1a n}为递增数列，∴a1a n﹣a1a n﹣1=a1（a n﹣a n﹣1）=a1d＞0．故选：D．点评：本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的性质，是基础题．6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断A；若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，即可判断B；运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断C；运用面面垂直的判定定理，即可判断D．解答：解：对于A．若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；对于B，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，故B错；对于C．若a∥b，则由线面平行的判定定理得，a∥β，再由线面平行的性质定理，可得a∥c，故C对；对于D．若a⊥b，a⊥c，如果b∥c，则α、β不垂直，只有b、c相交，才有α⊥β，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：三点A，B，C在圆O：x2+y2=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到对两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9，并求出．可以判断，所以，解该不等式即得x的取值范围．解答：解：根据已知条件知：；∴对两边平方可得：1=；∵x＞0，∴；∵A，B，C是不同三点；∴，∴；∴，解得2＜x＜4；∴正实数x的取值范围为（2，4）．故选C．点评：考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组．8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再=2，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率．解答：解：因为F（c，0），所以过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x﹣c，渐近线的方程是：y=x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（c﹣，﹣），=（﹣，﹣﹣），又，解得：b=3a，所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，所以e=．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：首先证明通过线面垂直进一步证明所以BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，不影响线面的夹角．由于PA=AC=a，进一步求出结果，解答：解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，所以：PA⊥BDAC⊥BD．所以BD⊥平面PAC进一步求出：BM=DM过O点作OM⊥PC于M，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．若PA=AC=a所以：∠ACP=即为所求．故选：B点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理．属于基础题．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合A，B，C的表示形式及元素与集合的关系知：任意的x∈A，都有x∈C，而任意的x∈C，都有x∈A，所以A=C，同样的办法可得到A=B，所以A，B，C的关系为：A=B=C．解答：解：根据集合A，B知：对应∀x∈A，能得到x∈B，x∈C，即A中任意一个元素都是集合C的元素；根据集合C知：对应∀x∈C，都有x∈A，即C中任意一个元素都是集合A的元素；∴集合A，C的元素相同，即A=C；同理可得A=B；∴A=B=C．故选A．点评：考查描述法表示集合，以及元素与集合的关系，也可通过子集的概念：根据已知条件知，A⊆B⊆C⊆A，所以A=B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=﹣．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：∵角α终边经过点P（12，﹣5），∴x=12，y=﹣5，r=|OP|==13，则sinα==﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=10．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将其代入解析式lgx求出值为﹣1，﹣1＜0代入解析式10﹣x求出值．解答：解：，f[f（）]=f（﹣1）=10故答案为：10点评：本题考查分段函数求函数值，关键是判定出自变量所属的范围，属于基础题．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：令n=1，得a1=2，当n≥2时，2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2，由此推导出数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，从而得到．解答：解：令n=1，得2a1=3a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，由2S n=3a n﹣2n（n∈N*），得2S n﹣1=3a n﹣1﹣2（n﹣1），两式相减得2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2整理得=3，∴数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，∴，∴a n=3n﹣1．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为﹣1≤m≤2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围．解答：解：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，则由上图可知，若使y﹣mx≤2恒成立，则﹣1≤m≤2，故答案为：﹣1≤m≤2．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．解答：解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），∴f（x）=，当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，∴≤2或，又a＞0，∴0＜a≤4或a≥16．故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．点评：本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线方程，再利用直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，可得y1y2=，求出直线方程令y=0，可得直线AB恒过定点（﹣，0）．解答：解：∵抛物线y2=2px过点M（，），∴p=1，∴抛物线方程为y2=2x，设A（，y1），B（，y2），则∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，∴8=，∴y1y2=，直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，∴直线AB恒过定点（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，]．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：设3x+3y=t，由题设条件结合基本不等式得t的范围，将所求化简为﹣t2+t，利用二次函数区间的最值求范围．解答：解：设3x+3y=t≥2，∴3x+y≤，又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）2﹣2×3x+y，∴3x+y=＞0，∴t＞1；∴即t2﹣2t≤0，解得0≤t≤2；∴1＜t≤2；由已知，==3x+3y﹣3x+y=t﹣=﹣t2+t=（t）2+，∴t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；所以的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．点评：本题考查了繁分式的化简；关键是由已知得到t的范围，借助于二次函数求最值，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…（10分）所以≤…（13分）当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）点评：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出a n与S n；（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得Sn2=Sm•Sp，把S n代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，且a＞0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，则（a﹣1）2=a（a﹣2）或（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）或（a﹣1）2=a（a﹣3）或（a﹣2）2=a（a﹣3），又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，所以a n=5﹣n，S n==．（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由S m，S n，S p成等比数列得，S n2=S m•S p，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9﹣n）2，且mp≤=n2，则，当且仅当m=p时取等号．故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．点评：本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠MON是钝角．解答：（Ⅰ）解：由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，…（3分）所以直线AB的方程是y=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2，即b=2．…（5分）所以a2=b2+c2=5，故椭圆的标准方程为：．…（7分）（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，由韦达定理，得，，代入上式可以得到：=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=，…（12分）因为直线l与圆C2相切，则=1，所以m2=1+k2，…（14分）代入上式：=，所以∠MON是钝角．…（15分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查角为钝角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x2+px+3﹣p，讨论判别式△的取值，从而判断f（x）≥0解的情况：△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）≥0满足在[﹣2，2]上恒成立；△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，对于方程x2+px+3﹣p=0的两根，大根，或小根，所以通过解不等式求出△＞0时p的取值范围，再合并﹣6≤p≤2即可得到p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须，（1），然后通过解该不等式组能够得出p的取值范围，并求出的范围，可判断f（x）的对称轴在区间[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（﹣）≥﹣2，该不等式结合不等式组（1）通过求p的取值范围，能够求出p=﹣6，将p带入前面不等式，同样通过求q的范围能够得到q=7，所以便得到满足条件的实数对只一对为（﹣6，7）．解答：解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3﹣p；∴f（x）=x2+px+3﹣p；x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立：（1）若△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）满足该条件；（2）若△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，则p需满足：，或；解得﹣7≤p≤﹣4，∴﹣7≤p＜﹣6；综合（1）（2）得﹣7≤p≤2；∴p的取值范围是[﹣7，2]；（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：，即（3）；∴；①+②得﹣7≤p≤﹣5；f（x）的对称轴为x=，；∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：，即，即q；结合（3）可得到p，q需满足：，解该不等式组得：p=﹣6，带入该不等式组可得q=7；所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（﹣6，7）．点评：考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，一元二次方程的求根公式，以及二次函数的对称轴，及顶点处的函数值，可结合二次函数f（x），|f（x）|图象求解本题．。
数学文卷·2015届浙江省绍兴一中高三上学期期中考试(2014.11)
绍兴一中 高三期中考试数学试卷(文)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=x x y x 212，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=112x y y ， 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．a+b=0是ab=1-成立的 条件 ( ) A ．充要 B ．充分不必要C ．必要不充分D ． 既不充分也不必要3．已知函数()210,1lg ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，记()()x f x f =1，()()()x f f x f 12=，()()()x f f x f 23=，K ，则()=102014f ( )A ．10B ．lg110C ．0D ．14．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则=-++51015105S S S S S ( )A. 27B. 27-C. 29D. 29-5．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则xy z 2313⎪⎭⎫⎝⎛=-的最小值为 （ ）A. 91B.271C.811 D. 16．已知双曲线]2,2[)0,0(12222∈>>=-e b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是 ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 7．下列命题中，真命题为 （ ）A ．终边在y 轴上的角的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k a a ,2|π； B ．在同一直角坐标系中，函数x y sin =的图象和函数x y =的图象有三个公共点；C ．把函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移6π个单位得到x y 2sin =的图象 D ．函数)2sin(π-=x y 在],0[π上是减函数。
浙江省宁波市2015届高三数学上学期期中试卷理含解析
2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞ 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣ 4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 5．（5分）（2015•中山二模）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ． 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B ． 若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β C ． 若α⊥β，m∥n 且n⊥β，则m∥α D ． 若m ⊂α，n ⊂β且m∥n，则α∥β 6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm37．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣1128．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= ．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N． 解答： 解：集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A ． 点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据题意，由指数与对数的性质逐一判定A 、B 、C 、D 选项，即可得出正确的答案．解答： 解：对于A ，a ＞1时，a 7＜a 9，∴﹣a 7＞﹣a 9，即（﹣a ）7＞（﹣a ）9，∴A 错误；对于B ，1＞b ＞0时，0＜b 9＜b 7＜1，∴b ﹣9＞b ﹣7，∴B 错误；对于C ，a ＞1＞b ＞0时，0＜＜1＜，∴lg ＜lg ，∴C 错误； 对于D ，a ＞1＞b ＞0时，lna ＞0，lnb ＜0，∴＞，∴D 正确．故选：D ． 点评： 本题考查了指数函数与对数函数的性质的应用问题，解题时要对每一个选项认真分析，以便作出正确的选择． 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析：由已知和平方关系可得sinα和cosα的值，进而可得tanα，代入二倍角的正切公式计算可得．解答：解：cosα+3sinα=，∴cosα=﹣3sinα+．∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+=1，解得，或．∴tanα=﹣2，或tanα=．当tanα=﹣2，tan2α==；tanα=，tan2α==，故选：A．点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为四棱锥，结合直观图判断棱锥的高与底面四边形的形状，判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，∴四棱锥的体积V=××2×2=2（cm3）．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键．7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣112考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，即可得出结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=﹣80；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，可得（﹣1）×（﹣2）5=32∴（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是﹣80+32=﹣48．故选：B．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先计算甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回的情况种数，再计算甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况种数，进而代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：∵袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，共12颗，故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有=220种不同情况；其中甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况有：3×4×5=60种，故甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率P==，故选：D点评：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数零点的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：函数f（x）=x（x﹣1），有两个不同的零点x=0和x=1，g（x）=x（x+1）有两个不同的零点x=0和x=﹣1，则f（x）和g（x）恰有一个共同的零点x=0，但f（x）+g（x）=2x2，有两个相同的零点，∴充分性不成立．若f（x）+g（x）=2x（x﹣1），则满足有两个不同的零点x=0和x=1，但当f（x）=x （x﹣1），g（x）=x（x﹣1）时，f（x）和g（x）恰有2个共同的零点，∴f（x）和g（x）恰有一个共同的零点，不正确，∴必要性不成立．即“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数零点的定义和性质是解决本题的关键，本题可以使用特殊值法进行判断．10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的对称性，可得结论．解答：解：∵F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，∴根据椭圆的对称性，即可知S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个，故选：B．点评：本题考查椭圆的简单性质，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= 2 ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把等式两边同时乘以z﹣2，求得z，然后利用复数代数形式的除法运算化简，最后代入复数模的公式求解．解答：解：由=i，得（1﹣i）z=﹣2﹣2i，∴，∴|z|=．故答案为：2．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+5y，得y=x+表示，平移直线y=x+，当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max=2×3+5×5=31．当直线y=x+经过点C时，直线y=x+的截距最小，此时z最下，由得，即C（3，3），此时z min=2×3+5×3=21．即z的取值范围是[21，31]故答案为：[21，31]点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1=0 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别设出A和B的坐标，代入抛物线解析式和方程中，分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①，x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．故答案为：5x+3y+1=0．点评：此题考查学生会求动点的轨迹方程，考查抛物线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望解答：解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，∴随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 5P故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d，可得弦心距d=，利用弦长公式求出半径r的值，可得圆C的面积．解答：解：两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d==2，∴弦心距d=∴半径r==∴圆C的面积是π•r2=27π，故答案为：27π．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条平行直线间的距离公式，属于中档题．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），求出，利用数量积公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．解答：解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），∵=3，∴M（a，0），∴=（a，﹣b）•（4a，﹣b）=4a2+b2，∵，∴cos∠BAM===∴cos∠BAM最小值为，∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，∴sin∠BAM的最大值是为．点评：本题考查通过结论坐标系解决向量问题；利用基本不等式求最值，属于一道中档题．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．解答：解：如图所示，∵=x+y，且x+2y=1，∴﹣=y（﹣2），∴=y（+），取AC的中点D，则+=2，∴=2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC=．故答案为：，点评：本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA 的关系，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案．解答：解：（ I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•=5c∴3a=7c，∵，∴3sinA=7sinC，∴3sinA=7sin（A+B），∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•+7cosA∴﹣sinA=cosA，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a=7c，∴BD==，∴，∴c=3，则a=7，∴．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，由此能证明BM∥平面PCD．（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD，（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD 于点F，∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角，由此能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．解答：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．…3分又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．…5分（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD．…7分不妨设PA=AB=1，则PC=．由于tan，所以CD=．…9分（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．…12分由题意知PE=3EC，ME=，EF==，所以tan∠EFM==，即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…15分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．则，，．若设=（x1，y1，z1）和=（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．同理，得=（2，﹣，1）．…12分所以cos＜＞==，故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…15分点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l 1，l 2交于点F ，其斜率k 1，k 2满足k 1k 2=﹣．设l 1交椭圆Γ于A 、C 两点，l 2交椭圆Γ于B 、D 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC 的长|AC|关于k 1的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（Ⅰ）由已知条件推导，a+c=3，由此能求出椭圆Γ的方程． （Ⅱ）由已知条件推导出F （1，0）．将通过焦点F 的直线方程y=k （x ﹣1）代入椭圆Γ的方程，（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+（4k 2﹣12）=0，由此利用韦达定理结合函数的单调性能求出四边形ABCD 的面积的最大值解答：（本题满分15分） 解：（Ⅰ）设右焦点F （c ，0）（其中），依题意，a+c=3，解得a=2，c=1．…（3分）∴，∴椭圆Γ的方程是．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．将通过焦点F的直线方程y=k（x﹣1）代入椭圆Γ的方程，得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，其判别式△=（8k2）2﹣16（k2﹣3）（3+4k2）=144（k2+1）．特别地，对于直线l1，若设A（x1，y1），C（x2，y2），则=，k1∈R且k1≠0．…（10分）又设B（x3，y3），D（x4，y4），由于B、D位于直线l1的异侧，∴k1（x3﹣1）﹣y3与k1（x4﹣1）﹣y4异号．∴B、D到直线l1的距离之和：==．…（12分）综合可得，四边形ABCD的面积：．∵，∴，∴，当时，f （t ）单调递减，∴当，即时， 四边形ABCD 的面积取得最大值．…（15分）点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合运用．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R ，函数f （x ）=lnx ﹣，其中x ∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f （x ）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx 的图象上取点P n （n ，lnn ）（n ∈N *），记线段P n P n+1的斜率为k n ，S n =++…+．对任意正整数n ，试证明：（ⅰ）S n ＜； （ⅱ）S n ＞．考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出k n ，再利用（Ⅰ）的结论对S n 放缩即可得出结论． 解答：解：（Ⅰ）λ=2时，，求导可得…（3分）所以，f （x ）在（1，+∞）单调递增，故f （x ）的最小值是f （1）=0．…（5分）（Ⅱ）依题意，． …（6分）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x ＞1时f （x ）＞0，即．于是 ，即知．…（8分）所以 ． …（9分）（ⅱ）取λ=3，则，求导可得当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即．…（12分）注意到，对任意正整数n ，，于是，即知．…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．21。
浙江省绍兴市柯桥区柯桥中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题(新)
2015学年柯桥中学高二第一学期期中试卷考试时间：120分钟；一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知(1,2),(1,0),(3,)A B C a -三点在同一条直线上，则a 的值为（ ） A.2- B.4 C.4- D.22．若直线2(1)20a x ay ++-=与直线210ax y ++=垂直，则a 的值为（ ） A ．－2 B ．0 C ．－2或0D ．222±3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ C.//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ 4.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BC 与1AB 所成角的大小为（ ） A.2πB.3πC.4πD.6π5 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原图形的面积是（ ） A.22+B.221+ C. 222+ D. 21+ 6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．94C ．3D ．927.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为( ) A ．π28 B ．π8 C ．π24 D ．π48．若直线y x b =+与曲线234y x x =-有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.122,122⎡-+⎣B.12,1⎡⎤-⎣⎦C.1,122⎡-+⎣D.122,3⎡⎤-⎣⎦9．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 10．已知ABC ∆的三边长分别为5AB =，4BC =，3AC =，M 是AB 边上的点，P是平面ABC 外一点，给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA PB PC ==； ③若5PC =，PC ⊥平面ABC ，则PCM ∆面积的最小值为152； ④若5PC =，P 在平面ABC 上的射影是内切圆的圆心O ，则PO 长为23； 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共24分）11.直线3230x y +-=与610x my ++=互相平行，则它们间的距离等于________ 12.若两圆122=+y x 和25)()4(22=-++a y x 有三条公切线，则=a _______13．已知直线,a b 和平面α，且,a b a α⊥⊥，则b 与α的位置关系是__________ 14．已知圆锥母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为____________ 15.在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后1BD =，则二面角B AC D --的平面角的余弦值_________16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是它的体对角线1BD 上一动点，则PA PC +的最小值___________三、解答题（15+15 +15+15+16=76）17.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y +-=．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程．18．如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
柯桥区鲁迅中学城南校区高三（理）数学学科期中质量检测卷范培养 复核人：蒋钰香考生须知：本卷共3大题，22小题，满分150分，时间120分钟选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}21|{x x y x A -+-==，},log |{2A x x y y B ∈==，则B A C R )(等于（ ）A ．)1,0[B ．)1,0(C ．]1,0(D ．]1,0[2．设等差数列}{n a 的前n 和为n S ，若已知6533a a a -+的值，则下列可求的是（ ） A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S3．已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（ ）A ．x y 4cos =B ．x y cos =C ．)4sin(π+=x y D ．x y sin =5．设,为向量，若+与的夹角为060，+与的夹角为045=（ ）A ．33 B ．36C ．21D ．326．定义在R 上的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．)7()6(f f >B ．)9()6(f f >C ．)9()7(f f >D ．)10()7(f f >7．已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x xx f ，则1)]([≥x f f 的解集为（ ）A ．]2,(--∞B ．),24[+∞C ．),24[]1,(+∞--∞D ．),4[]2,(+∞--∞ 8．若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则α2sin 的值为（ ）A ．181 B ．181- C ．1817 D ．1817- 9．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ABC ∆的三边c b a ,,成等比数列，则)cos(cos 2cos C A B B -++的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定10．已知向量,均为单位向量，它们的夹角为060，实数y x ,满足3||=+y x ，那么y x 2+的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．32D ．5非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．已知向量)0,1(),2,3(-=-=，且向量+λ与2-垂直，则实数=λ_____。
12．设正项等比数列{}n a 中，若公比为32，且满足16113=⋅a a ，则=162log a ______。
13．已知b b a a lg )2lg(lg -+=，则ab 的最小值为__________。
14．若不等式k x x x x ≤++++122322的解集是空集，则正整数k 的取值集合为____________。
15．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-≤010325y x y x y ，则y x z 2||-=的最大值为___________。
16．已知等差数列{}n a 满足11=a ，公差为d ，03>a ，当且仅当3=n 时，||n a 取得最小值，则公差d 的取值范围是________________。
17．在ABC ∆中,已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=,P 为线段AB 上的点,且y x ⋅+⋅=yx x 343+的最小值为__________。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。
18．（本小题满分14分）已知集合}1)(log |{},1)21(|{662<+=<=--a x x B x A x x 。
⑴若R B A = ，求实数a 的取值范围；⑵若A x ∈是B x ∈的必要不充分的条件，求实数a 的取值范围。
19．（本小题满分14分）已知函数12cos 3)4(sin 2)(2--+=x x x f π，]2,4[ππ∈x 。
⑴求()f x 的单调递增区间； ⑵若存在[,]42x ππ∈，使得m x f <)(成立,求实数m 的取值范围。
20．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知角C B A ,,成等差数列。
⑴若23=b ，求c a +的取值范围； ⑵若cb a 1,1,1也成等差数列，求证：c a =。
21．（本小题满分15分）数列}{n a 中，13=a ，)(121++∈=+++N n a a a a n n 。
⑴求21,a a 的值；⑵求数列}{n a 的前n 项和n S 及数列}{n a 的通项公式n a ；⑶设n n S b 2log =，若数列}{n c 满足n n n n S n n b b c ⋅+++=⋅⋅++)2)(1(143，试求数列}{n c 的前n 项和n T 。
22. （本小题满分15分）已知函数kx x x x f ++-=22|1|)(。
⑴若函数)(x f 在]1.(--∞单调递减，求实数k 的取值范围；⑵若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围，并证 明41121<+x x 。
柯桥区鲁迅中学城南校区高三（理）数学学科期中质量检测卷答题卷一 选择题(每小题5分，共50分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（每小题4分，共28分）11． _ _12． _13． _14． _15． _16． __17．三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知集合}1)(log |{},1)21(|{662<+=<=--a x x B x A x x 。
⑴若R B A = ，求实数a 的取值范围；⑵若A x ∈是B x ∈的必要不充分的条件，求实数a 的取值范围。
班级： 姓名： 学号：19．（本小题满分14分）已知函数12cos 3)4(sin 2)(2--+=x x x f π，]2,4[ππ∈x 。
⑴求()f x 的单调递增区间； ⑵若存在[,]42x ππ∈，使得m x f <)(成立,求实数m 的取值范围。
20．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知角C B A ,,成等差数列。
⑴若23=b ，求c a +的取值范围； ⑵若cb a 1,1,1也成等差数列，求证：c a =。
21.（本小题满分15分）数列}{n a 中，13=a ，)(121++∈=+++N n a a a a n n 。
⑴求21,a a 的值；⑵求数列}{n a 的前n 项和n S 及数列}{n a 的通项公式n a ；⑶设n n S b 2log =，若数列}{n c 满足n n n n S n n b b c ⋅+++=⋅⋅++)2)(1(143，试求数列}{n c 的前n 项和n T 。
22. （本小题满分15分）已知函数kx x x x f ++-=22|1|)(。
⑴若函数)(x f 在]1.(--∞单调递减，求实数k 的取值范围；⑵若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围，并证 明41121<+x x 。
柯桥区鲁迅中学城南校区高三（理）数学学科期中质量检测卷答案一、选择题ACABB DDDBC 二、填空题11．71-12．5 13．8 14．}1{ 15．38- 16．)52,21(-- 17．3三、解答题18．3|{>=x x A 或}2-<x ，}6|{a x a x B -<<-=⑴由⎩⎨⎧>--<-362a a ，得32<<a ；⑵即A B ⊆，由26-≤-a 或3≥-a ，得8≥a 或3-≤a 。
19．)32sin(2)(π-=x x f⑴由2326πππ≤-≤x ，得1254ππ≤≤x ，故递增区间为]125,4[ππ； ⑵ [,]42x ππ∈，]32,6[32πππ∈-∴x ，则)(x f 的最小值为16sin 2=π，1>∴m20．由已知得060=B 。
⑴由正弦定理160sin 23sin sin sin 0====B b C c A a ，得 )60cos(3)120sin(sin sin sin 00A A A C A c a -=-+=+=+，)120,0(00∈A ，)60,60(60000-∈-∴A ，则]1,21()60cos(0∈-A ，因此]3,23(∈+c a 。
⑵由已知c a b 112+=，得ca acb +=2。
又ac c a ac c a b -+=-+=22022260cos 2，将ca acb +=2代入此式得ac c a ca ac -+=+222)2(，化简此式得06)()(2222222=-+++c a c a ac c a ，即 0)2)(3(2222=-+++ac c a ac c a 。
0322>++ac c a ，0222=-+∴ac c a ，得c a =。
21．⑴2121==a a ；⑵由n n n n S S a S -==++11，得n n S S 21=+，2111==a S ，}{n S ∴是首项为21，公比为2的等比数列，因此212221--=⋅=n n n S ，从而⎪⎩⎪⎨⎧≥==-2,21,213n n a n n 。
⑶22log 22-==-n b n n ，222)2111(2)2)(1(1--++-+=+++=∴n n n n n n n c 。
因此21221)21(2)211141313121(11+-=--++-+++-+-=--n n n T n n n 。
22．⑴⎩⎨⎧-≤≥-+<<-+=11,1211,1)(2x x kx x x kx x f 或。
由]4,(]1,(k--∞⊆--∞可得4≤k 。
⑵方程0)(=x f ，即为⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-<<-=---=21,1210,1|1|x x x x x x x x k 。
)1,0(∈x 时，x1-单调递增，且)1,(1--∞∈-x ；)2,1[∈x 时，x x 12+-单调递减，且]1,27(12--∈+-x x 。