2018-2019学年苏教版选修1-1 第3章 导数及其应用 滚动训练(四)
人教版(2019)选修一《1.5_弹性碰撞和非弹性碰撞》2024年同步练习卷(13)+答案解析
人教版（2019）选择性必修第一册《1.5弹性碰撞和非弹性碰撞》2024年同步练习卷（13）一、单选题：本大题共7小题，共28分。
1.超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。
某兴趣小组在超市对同款购物车以下简称“车”的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为原来静止的小物块。
已知车的净质量均为，将1号车以速度向右推出，先与2碰撞结合为一体后再撞击3，最终三车合为一体。
忽略一切摩擦和阻力，则第二次碰撞过程中损失的机械能为()A.18JB.36JC.54JD.72J2.质量为m的子弹，以水平速度射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中．在子弹进入木块过程中，下列说法正确的是()A.子弹动能减少量等于木块动能增加量B.子弹动量减少量等于木块动量增加量C.子弹动能减少量等于子弹和木块内能增加量D.子弹对木块的冲量大于木块对子弹的冲量3.质量为和未知的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移-时间图象如图所示，则可知碰撞属于()A.非弹性碰撞B.弹性碰撞C.完全非弹性碰撞D.条件不足，不能确定4.在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B质量均为1kg，现A球向静止的B球运动，并发生正碰，已知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为4J，则碰前A球的速度等于()A. B. C. D.5.质量相等的三个物体在一光滑水平面上排成一直线，且彼此隔开一定距离，如图所示，具有初动能的第一号物块向右运动，依次与其余两个静止物块发生碰撞，最后这三个物块粘成一个整体，这个整体的动能等于()A. B. C. D.6.如图所示，一质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上固定一个竖直支架，轻绳一端固定在支架上，另一端固定一质量为m的小球，轻绳长为l，将小球向右拉至轻绳水平后，从静止释放，则()A.系统的动量守恒B.小球运动到最低点时小车速度为零C.小球不能向左摆到原高度D.小车向右移动的最大距离为7.如图所示，方盒A静止在光滑的水平面，盒内有一小滑块B，盒的质量是滑块的2倍，滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为若滑块以速度v开始向左运动，与盒的左、右壁发生无机械能损失的碰撞，滑块在盒中来回运动多次，最终相对于盒静止，则()A.最终盒的速度大小是B.最终盒的速度大小是C.滑块相对于盒运动的路程为D.滑块相对于盒运动的路程为二、多选题：本大题共3小题，共12分。
2018—2019学年第二学期七年级数学期末检测试题1江苏版苏科版七下含答案解析
2018—2019学年第二学期七年级数学期末检测试题之七年级数学期末考试重组10套【江苏版】01第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，下列不等式中，变形正确的是A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．3x+5y=8xy B．（﹣x3）3=x6C．x6÷x3=x2D．x3•x5=x83．如图，与是同位角的为A．B．C．D．4．下列命题是真命题的是( )A．如果，则B．如果|a|=|b|，那么a=bC．两个锐角的和是钝角D．如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点5．世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7B．7.6×10﹣8C．7.6×10﹣9D．76×10﹣106．下列各式能用平方差公式计算的是A．B．C．D．7．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为A．9 B．6 C．7 D．88．已知不等式组有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A．B．C．D．10我们知道：、、、、……，通过计算，我们可以得出的计算结果中个位上的数字为（）A．3 B．9 C．7 D．1第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在试卷规定的区域内．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．不等式的解集为______.12直接写出计算结果：______；________．13将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为.14如图，，，则=____°．15已知代数式与是同类项，则_______，________.16若三角形三条边分别是2，x，其中x为整数，则x可取的值有______个17已知，，则2x3y+4x2y2+2xy3=_________.18．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．三、解答题（本大题共8小题，共96分）19计算：；．20解不等式：，并把解集表示在数轴上．21因式分解：（1）；（2）25（a+b)2－9(a－b)2 ．22请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：∠1=∠2．证明：∵CE平分∠ACD （），∴∠=∠（），∵AB∥CD（），∴（），∴∠1=∠2（）．23解方程组：（1）；（2）24如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：的顶点都在方格纸的格点上，先将向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点、、分别是A，B、C的对应点，试画出．连接、，则线段、的位置关系为______，线段、的数量关系为______；平移过程中，线段AB扫过部分的面积为______平方单位25某隧道长1200米，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火车完全在隧道里的时间是50秒，求火车的速度和长度．26已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图△；、分别是和的三等分线（即，），如图△；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．（1）若，求的度数；（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出+与的数量关系．2018—2019学年第二学期七年级数学期末检测试题之七年级数学期末考试重组10套【江苏版】01第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，下列不等式中，变形正确的是A．B．C．D．【来源】江苏省扬州市高邮市2017-2018学年期末【答案】C【解析】【分析】根据不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变，可得答案.【详解】、不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，故本选项错误；、不等式的两边同时乘以再减去，不等式仍成立，即，故本选项错误；、不等式的两边同时乘以，不等式的符号方向改变，即，故本选项正确；、不等式的两边同时除以，不等式仍成立，即，故本选项错误.故选：.【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.2．下列计算正确的是（）A．3x+5y=8xy B．（﹣x3）3=x6C．x6÷x3=x2D．x3•x5=x8【来源】江苏省常州市2016-2017学年期末【答案】D【解析】A、3x+5y，无法计算，故此选项错误；B、（﹣x3）3=﹣x9，故此选项错误；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、x3•x5=x8，故此选项正确．故选：D．3．如图，与是同位角的为A．B．C．D．【来源】江苏省扬州市高邮市2017-2018学年期末【答案】C【解析】【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角.【详解】解：根据同位角的定义得与是同位角，故选：D．【点睛】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．下列命题是真命题的是( )A．如果，则B．如果|a|=|b|，那么a=bC．两个锐角的和是钝角D．如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点【来源】江苏省丹阳市2017-2018学年下学期期末【答案】A【解析】分析：根据不等式的性质对A进行判断；根据绝对值的意义对B进行判断；根据锐角在大小对C进行判断；根据中点的定义对D进行判断．【解答】解：A、因为，所以，所以A选项正确；B、|a|=|b|，则a=b或a=-b，所以B选项错误；B、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以B选项错误；C、两个锐角的和有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，所以C选项错误；D、线段上一点到该线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点，所以D选项错误．故选：A．点睛：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．5．世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7B．7.6×10﹣8C．7.6×10﹣9D．76×10﹣10【来源】江苏省常州市2016-2017学年期末【答案】B【解析】根据科学记数法的书写规则，，a只含有一位整数，易得：0.000 0000 76=7.6×10﹣8，故选：B．6．下列各式能用平方差公式计算的是A．B．C．D．【来源】江苏省淮安市淮安区2017-2018学年期末【答案】B【解析】【分析】运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.【详解】中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；中是相同的项，互为相反项是与，符合平方差公式的要求，故本选项正确；中不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误.故选：.【点睛】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.7．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为A．9 B．6 C．7 D．8【来源】江苏省淮安市淮安区2017-2018学年期末【答案】D【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成，依次列方程可求解.设这个多边形边数为，则，解得.故选：.【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要回根据公式进行正确运算、变形和数据处理.8．已知不等式组有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】江苏省盐城市射阳县2016年期末【答案】C【解析】∵不等式组有解，∴,故选：C点睛：本题是反向考查不等式组的解集，也就是在不等式组有实数解的情况下确定不等式中字母的取值范围，解答本题时，把不等式的解集在数轴上表示出来，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.9．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A．B．C．D．【来源】江苏省泗阳县2016-2017学年期末考试【答案】D【解析】试题分析：根据方程组解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．两方程相减即可得出答案：∵是方程组的解，∵.两个方程相减，得a﹣b=4.考点：1.二元一次方程组的解；2.求代数式的值；3.整体思想的应用．10我们知道：、、、、……，通过计算，我们可以得出的计算结果中个位上的数字为（）A．3 B．9 C．7 D．1【来源】江苏省宿迁市宿豫区2017-2018学年期末【答案】C【解析】分析：由、、、、……可知3n的个位数分别是3，9，7，1，…，四个数依次循环，用的指数2019除以4得到的余数是几就与第几个数字的个位数字相同,由此解答即可.详解：由题意可知,3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环,∵2019÷4=504…3,∵的末位数字与33的末位数字相同是7.故选C..点睛：此题考查了尾数特征及规律探究:数字的变化类,通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在试卷规定的区域内．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．不等式的解集为______.【来源】江苏省丹阳市2017-2018学年下学期期末【答案】x>-1 ，【解析】分析：不等式移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：不等式1-x<2，移项合并得：-x<1，解得：x>-1．故答案为：x>-1点睛：此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．请在此填写本题解析!12直接写出计算结果：______；________．【来源】江苏省南京玄武区2016年期末考试【答案】【解析】,.故答案为：,.13将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为.【来源】江苏省南京玄武区2016年期末考试【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.【解析】试题分析：命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．考点：命题的改写点评：任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．14如图，，，则=____°．【来源】江苏省扬州市江都区2016-2017学年期末【答案】【解析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．连接AC并延长,标注点E,∵∠DCE=∠D+∠DAC, ∠BCE=∠B+∠BAC, ∠BCE+∠DCE=106°,∠A+∠B=47°, ∴∠BCE+∠DCE=∠D+∠DAB+∠B=106°,∴∠D=106°-47°-47°=12°.故答案为：12.15已知代数式与是同类项，则_______，________.【来源】江苏省宿迁市宿豫区2017-2018学年期末【答案】3 1【解析】分析：根据同类项的定义列方程组求解即可.详解：由题意得，，解之得，.故答案为：3，1.点睛：本题考查了利用同类项的定义求字母的值，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程（或方程组）求解即可.16若三角形三条边分别是2，x，其中x为整数，则x可取的值有______个【来源】江苏省淮安市淮安区2017-2018学年期末【答案】3【解析】【分析】根据已知边长求第三边的取值范围为：，进而解答即可.【详解】设第三边长为，则，，故取、、.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.17已知，，则2x3y+4x2y2+2xy3=_________.【来源】江苏省宿迁市宿豫区2017-2018学年期末【答案】-25【解析】分析：先用提公因式法和完全平方公式法把2x3y+4x2y2+2xy3因式分解，然后把，代入计算即可.详解：∵，，∴2x3y+4x2y2+2xy3=2xy(x2+2xy+y2)=2xy(x+y)2=2×() ×52=-25.故答案为：-25.点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,整体代入法求代数式的值，,熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.18．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．【答案】ab【解析】试题解析：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图∵和∵列出方程组得，解得，∵的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2-4×（）2=ab．考点：平方差公式的几何背景．三、解答题（本大题共8小题，共96分）19计算：；．【来源】江苏省常州市2017-2018年第二学期期末联考【答案】；．【解析】分析：（1）先根据零指数幂、绝对值的意义、负整数指数幂的意义逐项化简，然后合并同类项即可；（2）第一项根据完全平方公式计算，第二项根据平方差公式计算，然后合并同类项即可. 详解：原式；原式．点睛：本题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键.20解不等式：，并把解集表示在数轴上．【来源】江苏省泰州市姜堰区2016-2017学下学期期末【答案】x≤﹣2【解析】【试题分析】不等式的两边同时乘以6，去分母得：；去括号得：移项得：系数化为1得：解集在数轴上表示见解析.【试题解析】去分母得：；去括号得：移项及合并得：系数化为1得：不等式的解集为x≥－2，在数轴上表示如图所示：21因式分解：（1）；（2）25（a+b)2－9(a－b)2 ．【来源】江苏省兴化市2017-2018学年期末【答案】(1) 6ab(2bc-1)；（2）4(4a+b)(a+4b)【解析】分析：（1）根据本题特点，直接使用“提公因式法”分解即可；（2）根据本题特点，先用“平方差公式”分解，再提公因式即可.详解：（1）原式=6ab·2bc-6ab·1=6ab(2bc-1)；（2）原式=[5(a+b)]2-[3(a-b)]2=(5a+5b+3a-3b)(5a+5b-3a+3b)=(8a+2b)(2a+8b)=4(4a+b)(a+4b).点睛：熟练掌握“综合提公因式法和公式法分解因式的方法”是解答本题的关键.22请将下列证明过程补充完整：已知：如图，AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：∠1=∠2．证明：∵CE平分∠ACD （），∴∠=∠（），∵AB∥CD（），∴（），∴∠1=∠2（）．【来源】江苏省盐城市射阳县2016年期末【答案】已知，2，ECD ，角平分线的性质或定义，已知，∠1=∠ ECD ，两直线平行，内错角相等，等量代换【解析】试题分析：由角平分线定义和平行线的性质及等量代换即可证明.试题解析：证明：∵CE平分∠ACD （已知），∴∠2 =∠ECD （角平分线的性质或定义），∵AB∥CD（已知），∴∠1= ∠ECD （两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．23解方程组：（1）；（2）【来源】江苏省盐城市射阳县2016年期末【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）方程组利用加减消元法求出解即可（2）先①+③得x与y的方程④，然后将②④联立求出x和y的值，最后将x和y的值代入①中求出z即可；试题解析：（1），①7得，③②2得，④③④得，，∴，将代入方程①，解得.∴原方程组的解为.（2）①+③得，，②2得，⑤，+⑤得，将代入方程②，解得，将，代入方程①，解得，∴原方程组的解为.24如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：的顶点都在方格纸的格点上，先将向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点、、分别是A，B、C的对应点，试画出．连接、，则线段、的位置关系为______，线段、的数量关系为______；平移过程中，线段AB扫过部分的面积为______平方单位【来源】江苏省扬州市高邮市2017-2018学年期末【答案】(1)作图见解析，（2）平行；相等；（3）15【解析】【分析】直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；利用平移的性质得出线段、的位置与数量关系；利用三角形面积求法进而得出答案．【详解】解：如图所示：，即为所求；线段、的位置关系为平行，线段、的数量关系为：相等．故答案为：平行，相等；平移过程中，线段AB扫过部分的面积为：．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．25某隧道长1200米，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火车完全在隧道里的时间是50秒，求火车的速度和长度．【来源】江苏省南京玄武区2016年期末考试【答案】火车速度20m/s, 长度200m【解析】试题分析: 设火车的车身长为x米，速度是ym/s，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可．试题解析:设火车的车身长为x米，速度是ym/s，根据题意可得：，解得，答：火车的车身长为200米，速度是20m/s.26已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图△；、分别是和的三等分线（即，），如图△；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．（1）若，求的度数；（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出+与的数量关系．【来源】江苏省盐城市射阳县2016年期末【答案】（1）；（2），过程见解析；（3）【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出+，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可（3）试题分析：试题解析：（1），∵、分别是和的角平分线，∴∴.（2）在△中，+，，（3）点睛：本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.5 1.5.1 1.5.2 课后
9．若做变速直线运动的物体 v(t)＝t2，在 0≤t≤a 内经过的路程为 9， 则 a 的值为________．
答案 3
解析 将区间[0，a]分为等长的 n 个小区间，第 i 个区间记为i－n 1a，ina (i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则 Δt＝an，所以 v(ti)＝ina2，sn＝∑i＝n1 ina2·an＝an33(1＋22＋…＋n2)
第三页，编辑于星期日：点 二十分。
3．在求由 x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及 y＝0 围成的曲边梯形的 面积 S 时，在区间[a，b]上等间隔地插入 n－1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于 S； ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S； ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S； ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定． A．1 B．2 C．3 D．4
解 将区间[0,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝
1,2，…，n)．
第 i 个小区间的面积 ΔSi＝f2i－n 1·2n，
所以 Sn＝∑ i＝n1f2i－n 1·2n＝2n∑ i＝n1
4i－12 n2
答案15
第十五页，编辑于星期日：点 二十分。
＝n83∑i＝n1 (i－1)2
解析 所围成的四边形为直角梯形，x＝0 时，y＝1，x＝2 时，y＝3， 所以 S＝12×(1＋3)×2＝4.
答案
解析11
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8．已知某物体运动的速度 v＝2t－1，t∈[0,10]，若把区间 10 等分，取 每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值 为________．
2019年精选苏教版小学四年级下册科学第三单元 物体的运动1.一切都在运动中拔高训练-含答案解析十四
2019年精选苏教版小学四年级下册科学第三单元物体的运动1.一切都在运动中拔高训练-含答案解析十四第1题【判断题】判断物体是运动的还是静止的，主要是看他动不动。
A、正确B、错误【答案】：【解析】：第2题【判断题】一个物体是运动的还是静止的，取决于所选取的参照物。
( )A、正确B、错误【答案】：【解析】：第3题【判断题】坐在行驶的汽车里，以椅子为参照物，司机动了，方向盘也动了。
( )A、正确B、错误【答案】：【解析】：第4题【判断题】世间万物都在运动，没有绝对静止的物体。
A、正确B、错误【答案】：【解析】：第5题【填空题】房屋、树木相对于______没有运动，相对于______等在运动。
【答案】：【解析】：第6题【填空题】自己坐在教室里，相对于课桌，自己处于______状态；相对于太空，自己处于______状态。
【答案】：【解析】：运动是______的，静止是______的。
【答案】：【解析】：第8题【填空题】“小小竹排江中游，巍巍青山两岸走”中，前一句是以______作参照物，后一句是以______作参照物。
【答案】：【解析】：第9题【填空题】坐在汽车上，如果我们觉得路旁的树木、房屋往后退，这时选定的参照物是______。
如果我们以路旁的树木、房屋为参照物，那么汽车在______，我们自己也自______，如果车上的乘客为参照物，我们自己是______的。
如果以汽车本身为参照物，乘客是______的。
【答案】：【解析】：我们坐在缓慢行驶的汽车上，看到路两旁的树向后退，判断汽车应在向______运动。
【答案】：【解析】：第11题【填空题】选择不同的______，判断物体是否运动的结论也______。
【答案】：【解析】：第12题【填空题】参照物不仅对判断物体______是必要的，对判断物体______也是不可缺少的。
【答案】：【解析】：第13题【解答题】某某说他家屋前的梧桐树已经在那里生长了几十年了，是绝对静止的。
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：基础滚动小练第17讲 导数的综合应用
第17讲导数的综合应用1.(2019镇江期末,6)抛物线y2=8x的焦点到双曲线x216-y29=1渐近线的距离为.2.(2019扬州期中,9)已知条件p:x>a,条件q:1-xx+2>0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.3.(2019无锡期中,4)设函数f(x)=asin x+bx+x2,若f(1)=0,则f(-1)= .4.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD⃗⃗⃗⃗⃗ .若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则λ= .5.已知过点(2,5)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4,则直线l的方程为.6.(2019常州期末,11)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,点(1,0)是函数y=f(x)图象的对称中心,则ω的最小值为.7.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f '(-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是.8.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E是PD上的点.求证:(1)AD∥平面PBC;(2)平面EAC⊥平面PCD.9.(2019江苏宿迁期末,15)已知三角形ABC的面积是S,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3S.3(1)求sin A的值;(2)若BC=2√3,当三角形ABC的周长取得最大值时,求三角形ABC的面积S.答案精解精析1.答案65解析 抛物线y 2=8x 的焦点为F(2,0), 双曲线x 216-y 29=1的一条渐近线为3x-4y=0, 则焦点到渐近线的距离d=√32+(-4)=65.2.答案 (-∞,-2]解析 条件q:1-xx+2>0等价于(1-x)(x+2)>0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1;因为p 是q 的必要不充分条件,所以q 是p 的真子集,所以a ≤-2. 3.答案 2解析 f(1)=asin 1+b+1=0,所以asin 1+b=-1, f(-1)=-asin 1-b+1 =-(asin 1+b)+1=1+1=2. 4.答案√22解析 由题意可得λ>0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×(-12)=-2,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(1-λ2)=-1,解得λ=√22.5.答案 x-2=0或4x-3y+7=0解析 圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.直线l 被圆C 截得的弦长为4,则圆心C(1,2)到直线l 的距离为1.当过点(2,5)的直线l 的斜率不存在时,l:x=2符合题意;当斜率存在时,设为k,则l:y-5=k(x-2),即为kx-y+5-2k=0,此时√2=1,解得k=43,直线l:43x-y+73=0,即4x-3y+7=0.综上可得,直线l 的方程为x-2=0或4x-3y+7=0. 6.答案π2解析 ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数, ∴φ=k 1π+π2,k 1∈Z.∵点(1,0)是函数y=f(x)图象的对称中心, ∴sin(ω+φ)=0,可得ω+φ=k 2π,k 2∈Z, ∴ω=k 2π-φ=(k 2-k 1)π-π2,k 1,k 2∈Z. 又ω>0,∴当k 2-k 1=1时,ω有最小值,为π2. 7.答案 (-∞,-43),(0,+∞)解析 ∵f '(x)=3x 2-2mx,∴f '(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,∴由f '(x)=3x 2+4x>0解得x<-43或x>0,即单调增区间为(-∞,-43),(0,+∞). 8.证明 (1)∵AD ∥BC,BC ⊂平面PBC,AD ⊄平面PBC, ∴AD ∥平面PBC.(2)∵PC ⊥底面ABCD,AC ⊂底面ABCD, ∴PC ⊥AC,∵AD ∥BC 且AD=2BC=2,△ABC 是等腰直角三角形, ∴AC=√2BC=√2,CD=√2,∴CD 2+AC 2=AD 2,即AC ⊥CD,又∵PC ∩CD=C,∴AC ⊥平面PCD, ∵AC ⊂平面EAC, ∴平面EAC ⊥平面PCD. 9.解析 (1)由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S 得AB ·AC ·cos A=2√33×12AB ·AC ·sin A, 所以cos A=√33sin A.在三角形ABC 中,A ∈(0,π),得tan A=√3. 所以∠A=π3,所以sin A=√32.(2)解法一:在三角形ABC 中,设角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 因为a 2=b 2+c 2-2bccos A, 所以12=(b+c)2-2bc-2bccos π3,即(b+c)2-12=3bc ≤3(b+c2)2,当且仅当b=c 时取等号,所以b+c ≤4√3, 所以周长的最大值为6√3,此时b=c=2√3, 所以面积S=12bc ·sin A=3√3.解法二:在三角形ABC 中,由ABsinC =ACsinB =BCsinA 得ABsinC =ACsin(π3+C)=√3√32=4,所以周长l=BC+AB+CA=2√3+4sin C+4sin (π3+C) =2√3+4√3sin (C +π6), 由C ∈(0,2π3)得,当C=π3时,周长l 取得最大值6√3, 此时AC=AB=2√3,所以面积S=1AB·AC·sin A=3√3.2。
新教材2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5
5.1~5.3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法则及其几何意义1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=a e x+x ln x在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-12.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.考点2 函数的导数与单调性4.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()5.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=e x+a e-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a = ;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是 .6.(2020全国Ⅰ,20,12分,)已知函数f (x )=e x -a (x +2).(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.考点3 函数的导数与极值、最值 7.(2019天津,8,5分,)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 8.(2018江苏,11,5分,)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .9.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.10.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F 为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA, △FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.11.(2020全国Ⅲ,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12, f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.12.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.三年模拟练应用实践1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(√3),极小值为f(-√3)C.f (x )的极大值为f (-3),极小值为f (3)D.f (x )的极大值为f (-√3),极小值为f (√3) 2.(2021安徽皖江名校联盟高三上联考,)从一张圆形铁板上沿两条半径剪下一个扇形,将其制成一个无底的圆锥容器,当容器容积最大时,该扇形的圆心角是 ( ) A.23π B.πC.2√33π D.2√63π 3.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]已知函数f (x )=x ln(1+x ),则 ( )A.f (x )在(0,+∞)上单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点(-12,f (-12))处切线的斜率为-1-ln 2D.f (x )是偶函数4.(多选)[2021新高考八省(市)1月联考,]设函数f (x )=cos2x2+sinxcosx,则 ( )A.f (x )=f (x +π)B.f (x )的最大值为12C.f (x )在(-π4,0)上单调递增D.f (x )在(0,π4)上单调递减5.(多选)(2021江苏扬州大学附中高三上月考,)设f'(x )为函数f (x )的导函数,已知x 2f'(x )+xf (x )=ln x ,f (1)=12,则下列结论不正确的是 ( )A.xf (x )在(0,+∞)上单调递增B.xf (x )在(1,+∞)上单调递增C.xf (x )在(0,+∞)上有极大值12D.xf (x )在(0,+∞)上有极小值126.(2021江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l :y =kx +b 是曲线f (x )=ln(x +1)和曲线g (x )=ln(e 2x )的公切线,则b = ( ) A.2 B.12C.ln e2D.ln 2e7.(多选)(2021江苏扬州中学高二上开学检测,)已知函数f (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|+k ,给出下列四个命题,其中是真命题的有( )A.存在实数k ,使得函数恰有2个不同的零点B.存在实数k ,使得函数恰有6个不同的零点C.存在实数k ,使得函数恰有5个不同的零点D.存在实数k ,使得函数恰有8个不同的零点 8.(2021江西上饶高三上第三次月考,)设函数f (x )={(x -a )2+e ,x ≤2,x lnx+a +10,x >2(e 是自然对数的底数),若f (2)是函数f (x )的最小值,则a 的取值范围是 .9.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考,)已知函数f (x )={(2a -1)x +3a -4,x ≤t ,x 3-x ,x >t ,无论t 取何值,函数f (x )在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则实数a 的取值范围是 . 10.(2021浙江宁波北仑中学高二上期中,)f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是其导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为.11.(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考,)已知函数f(x)=lnax2+1.x-12(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2,试证明:x1+x2>2.12.(2020江苏苏州中学高二月考,)已知OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+4√2(x>0).为方便游客观光,拟过曲线C上的某点P分别修建与公x2路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,设PM=x百米,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.(1)求f(x)的解析式;(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.迁移创新13.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=a ln x+bx+c(a≠0)有极小值.(1)试判断a,b的符号,并求f(x)的极小值点;(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a<4ac-b 24a.5.1~5.3综合拔高练五年高考练1.D ∵y'=a e x+ln x +1,∴y'|x =1=a e+1,∴2=a e+1,∴a =e -1.∴切点为(1,1), 将(1,1)代入y =2x +b ,得1=2+b , ∴b =-1,故选D . 2.答案 y =3x解析 ∵y'=3(x 2+3x +1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k =y'|x =0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y =3x. 3.答案 (e,1)解析 设A (x 0,y 0),由y'=1x ,得k =1x 0,所以在点A 处的切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x 0=1x 0(-e-x 0).所以ln x 0=ex 0,令g (x )=ln x -ex(x >0),则g'(x )=1x +ex2,则g'(x )>0,∴g (x )在(0,+∞)上为增函数.又g (e)=0,∴ln x =ex 有唯一解x =e .∴x 0=e .∴点A 的坐标为(e,1).方法总结求曲线y =f (x )过点(x 1,y 1)的切线问题的一般步骤:①设切点为(x 0, f (x 0)); ②求k =f '(x 0);③得出切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0);④由切线经过已知点(x 1,y 1)求得x 0,进而得出切线方程.4.D 令y =f (x )=-x 4+x 2+2.∵f (x )=-x 4+x 2+2,∴f '(x )=-4x 3+2x ,令f '(x )>0,解得x <-√22或0<x <√22,此时, f (x )递增;令f '(x )<0,解得-√22<x <0或x >√22,此时,f (x )递减.由此可得f (x )的大致图象.故选D . 5.答案 -1;(-∞,0]解析 ∵f (x )=e x +a e -x为奇函数, ∴f (-x )+f (x )=0,即e -x +a e x +e x +a e -x=0,∴(a +1)(e x +e -x)=0,∴a =-1. ∵f (x )是R 上的增函数, ∴f '(x )≥0恒成立, ∴e x -a e -x ≥0,即e 2x -a ≥0,∴a ≤e 2x ,又∵e 2x>0,∴a ≤0.当a=0时, f(x)=e x是增函数,满足题意,故a≤0.易错警示当f'(x)>0时, f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时, f'(x)≥0恒成立,不能漏掉等于0,但要检验f'(x)=0时得到的参数a是否满足题意.6.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x-2,则f'(x)=e x-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)f'(x)=e x-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a≤1e,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在1个零点,不合题意.(ii)若a>1e,则f(ln a)<0.由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上存在唯一零点.由(1)知,当x>2时,e x-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e x2·ex2-a(x+2)>e ln(2a)·(x2+2)-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)上存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.综上,a的取值范围是(1e,+∞).方法总结已知函数的零点求参数的取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.7.C(1)当x≤1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,∴f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a2,要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,综合①②可知,a≥0时, f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,ln x>0, f(x)=x-a ln x≥0恒成立,即a≤xlnx恒成立.令g(x)=xlnx ,g'(x)=lnx-1(lnx)2,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.解后反思求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立⇔f (x )min ≥a , f (x )≤a 在R 上恒成立⇔f (x )max ≤a ;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围. 8.答案 -3解析 ∵f (x )=2x 3-ax 2+1,∴f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).若a ≤0,则x >0时, f '(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (0)=1,∴f (x )在(0,+∞)上没有零点,∴a >0.当0<x <a3时, f '(x )<0, f (x )为减函数;当x >a3时, f '(x )>0, f (x )为增函数,∴x >0时, f (x )有极小值,为f (a3)=-a 327+1.∵f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f (a3)=0,∴a =3.∴f (x )=2x 3-3x 2+1,则f '(x )=6x (x -1).x -1 (-1,0) 0(0,1) 1 f '(x ) + - f (x ) -4 增1 减 0∴f (x )在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3. 9.答案 -3√32解析 解法一:由f (x )=2sin x +sin 2x ,得f '(x )=2cos x +2cos 2x =4cos 2x +2cos x -2, 令f '(x )=0,得cos x =12或cos x =-1,可得当cos x ∈(-1,12)时, f '(x )<0, f (x )为减函数;当cos x ∈(12,1)时, f '(x )>0, f (x )为增函数,∴当cos x =12时, f (x )取最小值,此时sin x =±√32.又∵f (x )=2sin x +2sin x cos x =2sin x (1+cos x ),1+cos x ≥0恒成立,∴f (x )取最小值时,sin x =-√32, ∴f (x )min =2×(-√32)×(1+12)=-3√32. 解法二: f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x +2sin x cos x =2sin x (1+cos x ),∴f 2(x )=4sin 2x (1+cos x )2=4(1-cos x )·(1+cos x )3.令cos x =t ,t ∈[-1,1],设g (t )=4(1-t )(1+t )3,∴g'(t )=-4(1+t )3+12(1+t )2(1-t )=4(1+t )2(2-4t ). 当t ∈(-1,12)时,g'(t )>0,g (t )为增函数;当t ∈(12,1)时,g'(t )<0,g (t )为减函数.∴当t =12时,g (t )取得最大值274,即f 2(x )的最大值为274,得f (x )的最大值为3√32,又f (x )=2sinx +sin 2x 为奇函数,∴f (x )的最小值为-3√32.解法三:∵f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x )=8sin x 2cos 3x2.∴f 2(x )=64·sin 2x 2·cos 2x 2·cos 2x 2·cos 2x2 =643·3sin 2x 2·cos 2x 2·cos 2x 2·cos 2x2 ≤6433sin 2x2+cos 2x2+cos 2x2+cos 2x244=274.当且仅当3sin 2x2=cos 2x2,即sin 2x 2=14,cos 2x2=34时等号成立,∴f 2(x )的最大值为274,则f (x )的最大值为3√32,又f (x )=2sin x +sin 2x 为奇函数,∴f (x )的最小值为-3√32.10.答案 4√15解析 解法一:由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO 并延长交AB 于H ,连接DO 、DH ,则DO ⊥平面ABC.令OH =x cm,则OC =2x cm,DH =(5-x )cm,得OD =√(5-x )2-x 2=√25-10x cm,AB =2√3x cm .则V D -ABC =1312·2√3x ·3x ·√25-10x=√3x 2·√25-10x =√15x 2√5-2x cm 3,令f (x )=√15x 2√5-2x , 则f '(x )=√152x √5-2x +x 2·-1√5-2x=√15(10x -5x 2)√5-2x,则当x ∈(0,2)时, f (x )单调递增,当x ∈(2,2.5)时, f (x )单调递减,所以当x =2时,体积取最大值,为√3×4×√5=4√15 cm 3.解法二:由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,设△ABC 的边长为a (a >0)cm,则△ABC 的面积为√34a 2 cm 2,△DBC的高为(5-√36a)cm,则正三棱锥的高为√(5-√36a)2-(√36a)2=√25-5√33a cm, ∴25-5√33a >0, 所以0<a <5√3,所以所得三棱锥的体积V =13×√34a 2×5√33=√312×-5√33cm 3.令t =25a 4-5√33a 5,0<a <5√3,则t'=100a 3-25√33a 4,令t'=0,得a =4√3,此时所得三棱锥的体积最大,为4√15 cm 3.11.解析 (1)f '(x )=3x 2+b. 依题意得f '(12)=0,即34+b =0.故b =-34.(2)证明:由(1)知f (x )=x 3-34x +c , f '(x )=3x 2-34.令f '(x )=0, 解得x =-12或x =12.f '(x )与f (x )的情况为x -∞,-12 -12-12,12 12 12,+∞ f '(x ) + 0- 0+ f (x )↗c +14↘c -14↗因为f (1)=f (-12)=c +14,所以当c <-14时, f (x )只有大于1的零点.因为f (-1)=f (12)=c -14,所以当c >14时, f (x )只有小于-1的零点.由题设可知-14≤c ≤14. 当c =-14时, f (x )只有两个零点-12和1.当c =14时, f (x )只有两个零点-1和12.当-14<c <14时, f (x )有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈(-1,-12),x 2∈(-12,12),x 3∈(12,1). 综上,若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,则f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 12.解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f '(x )=a e x -1-1x .(1)当a =e 时,f (x )=e x-ln x +1,f '(1)=e-1,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(e+1)=(e-1)(x -1),即y =(e-1)x +2. 直线y =(e-1)x +2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)当0<a <1时,f (1)=a +ln a <1.当a =1时,f (x )=e x -1-ln x ,f '(x )=e x -1-1x .当x ∈(0,1)时,f '(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f '(x )>0.所以当x =1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1,从而f (x )≥1.当a >1时,f (x )=a e x -1-ln x +ln a ≥e x -1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).三年模拟练1.A 结合题中图象列表如下:x (-∞, -3) -3 (-3, 0)0 (0,3) 3(3, +∞) xf'(x ) + 0 - 0 + 0 - f'(x ) - 0 + + 0- f (x ) ↘ 极小值↗ ↗ 极大值↘由表知,A 正确,故选A. 2.答案 D信息提取 (1)将一张圆形铁板上沿两条半径剪下的扇形制成一个无底的圆锥容器;(2)求容器容积最大时,扇形的圆心角.数学建模 本题以生活中制作的圆锥容器为背景,构建函数模型,借助导数研究圆锥容积的最值,在解题过程中可画出草图,通过图形直观地探求解题思路.设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,圆形铁板的半径为R ,得到r 2+h 2=R 2,写出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值,得到结果.解析 设圆锥的底面半径为r ,高为h ,圆形铁板的半径为R ,如图,则r 2+h 2=R 2, 设圆锥的体积为V ,则V =13πr 2h =13π(R 2-h 2)h =13π(R 2h -h 3),则V 关于h 的导数V'=13π(R 2-3h 2),令V'=0,得h 2=13R 2,易知当h =√33R 时,圆锥的体积最大,此时r =√63R ,α=2πr R =2√63π,故选D.3.AC 对于选项A,∵f (x )=x ln(1+x ),∴f '(x )=ln(1+x )+xx+1,当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0恒成立,因此f (x )在(0,+∞)上单调递增,故A 正确;对于选项B,令f (x )=x ln(1+x )=0,可得x =0或ln(1+x )=0,解得x =0,故B 不正确; 对于选项C,∵f '(x )=ln(1+x )+x 1+x,∴f '(-12)=ln 12-1=-ln 2-1,故C 正确;对于选项D,由于f (x )的定义域为(-1,+∞),定义域不关于原点对称,故D 不正确. 4.AD f (x +π)=cos [2(x+π)]2+sin (x+π)cos (x+π)=f (x ), 故A 正确; 令2cos2x 4+sin2x=m ,则m sin 2x -2cos 2x =-4m ,故√m 2+4sin(2x +θ)=-4m ,其中sin θ=√m 2+4,cos θ=√m 2+4,∴|√m 2+4|≤1⇒m 2≤415,故-2√1515≤m ≤2√1515,∴f (x )max =2√1515,故B 错误;f '(x )=-4sin2x (4+sin2x )-2cos2x ·2cos2x(4+sin2x )2=-16sin2x -4(4+sin2x )2,令φ(x )=-16sin 2x -4,则φ(x )在(-π4,0)上单调递减,且φ(-π4)=12>0,φ(0)=-4<0, ∴存在唯一的x 0∈(-π4,0)使φ(x 0)=0,且当-π4<x <x 0时,φ(x )>0, f '(x )>0, f (x )单调递增,当x 0<x <0时,φ(x )<0,f '(x )<0,f (x )单调递减,故C 错误;f '(x )=-16sin2x -4(4+sin2x )2<0在(0,π4)上恒成立,∴f (x )在(0,π4)上单调递减,故D 正确. 故选AD .5.AC 由x 2f'(x )+xf (x )=ln x 得x >0,则xf'(x )+f (x )=lnx x,即[xf (x )]'=lnx x,设g (x )=xf (x )(x >0),则g'(x )=lnx x ,令g'(x )>0,得x >1,令g'(x )<0,得0<x <1,即g (x )=xf (x )在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故当x =1时,函数g (x )=xf (x )取得极小值,极小值为g (1)=f (1)=12.故选AC.6.C 设直线l 与曲线f (x )=ln(x +1)相切于点A (x 1,y 1),直线l 与曲线g (x )=ln(e 2x )相切于点B (x 2,y 2),∵f (x )=ln(x +1), ∴f'(x )=1x+1,由f'(x 1)=1x1+1=k ,可得x 1=1-k k,则y 1=f (x 1)=ln(x 1+1)=-ln k ,即点A (1-k k,-lnk),将点A 的坐标代入直线l 的方程可得-ln k =k ·1-kk +b ,可得b =k -ln k -1①,∵g (x )=ln(e 2x )=2+ ln x ,∴g'(x )=1x ,由g'(x 2)=1x 2=k ,可得x 2=1k ,则y 2=g (x 2)=2-ln k ,即点B (1k,2-lnk),将点B 的坐标代入直线l 的方程可得2-ln k =k ·1k+b =b +1,∴b =1-ln k ②,联立①②可得k =2,b =1-ln 2=ln e2.故选C.7.ACD 令(x 2-1)2-|x 2-1|+k =0,得-k =(x 2-1)2-|x 2-1|,令g (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|,当x ≤-1或x ≥1时,g (x )=x 4-3x 2+2,当-1<x <1时,g (x )=x 4-x 2.当0≤x <1时,由g (x )=x 4-x 2,得g'(x )=4x 3-2x =2x (2x 2-1),当x ∈(0,√22)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(√22,1)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,所以g (x )有极小值,为g (√22)=-14,当x ≥1时,由g (x )=x 4-3x 2+2,得g'(x )=4x 3-6x =2x (2x 2-3), 当x ∈(1,√62)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(√62,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )有极小值,为g (√62)=-14.易知g (x )为偶函数,所以可作出函数g (x )的大致图象如图所示:由图可知,直线y =-k 与y =g (x )的图象可以是2、4、5、8个交点.即存在实数k ,使得函数恰有2、4、5、8个不同的零点.故选ACD. 8.答案 [2,6]解析 当x ≤2时,函数f (x )的图象的对称轴为直线x =a ,∵f (2)是函数f (x )的最小值,∴a ≥2.当x >2时,f (x )=xlnx +a +10,f'(x )=lnx -1ln 2x,令f'(x )=0,得x =e,当x ∈(2,e)时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,当x ∈(e,+∞)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增,∴f (e)是函数的极小值,∵f (2)是函数f (x )的最小值,∴f (e)≥f (2),即f (e)=e+a +10≥(2-a )2+e,解得-1≤a ≤6. 综上,2≤a ≤6. 9.答案 (-∞,12]解析 对于函数f (x )=x 3-x ,其导数为f'(x )=3x 2-1,当x <-√33或 x >√33时,f'(x )>0,当-√33<x <√33时,f'(x )<0,所以f (x )一定存在单调递增区间,若无论t 取何值,函数f (x )在区间(-∞,+∞)总是不单调,则f (x )=(2a -1)x +3a -4不能为增函数,所以2a -1≤0 ,解得a ≤12. 10.答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 构造函数g (x )=f (x )x 2,该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为函数f (x )为偶函数,所以g (-x )=f (-x )(-x )2=f (x )x 2=g (x ),所以函数g (x )为偶函数.易得g'(x )=x 2f '(x )-2xf (x )x 4=xf '(x )-2f (x )x 3,当x >0时,xf'(x )-2f (x )>0,则g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上为增函数, 因为f (1)=1,所以g (1)=f (1)12=1,由f (x )>x 2可得f (x )x 2>1,即g (x )>g (1),所以g (|x |)>g (1),所以|x |>1,解得x <-1或x >1.因此,不等式f (x )>x 2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 11.解析 (1)易得函数f (x )的定义域为(0,+∞). 对函数f (x )求导得f'(x )=1x -ax.当a ≤0时,f'(x )>0恒成立,即f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,令f'(x )>0,得0<x <√aa, 令f'(x )<0,得x >√aa , 故f (x )在(0,√a a )上单调递增,在(√aa,+∞)上单调递减.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,f (x )在(0,√aa)上单调递增,在(√aa ,+∞)上单调递减.(2)证明:当a =1时,f (x )=ln x -12x 2+1,f'(x )=1x-x =1-x 2x,此时f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f (x )极大值=f (1)=12>0,又f (1e )<0,f (e)<0,不妨设x 1<x 2,则有0<x 1<1<x 2,令F (x )=f (x )-f (2-x ),x ∈(0,1), 则F'(x )=f'(x )+f'(2-x )=1-x 2x+1-(2-x )22-x=2(1-x )2x (2-x ).当x ∈(0,1)时,F'(x )>0,F (x )单调递增,∵x 1∈(0,1),∴F (x 1)=f (x 1)-f (2-x 1)<F (1)=0,∴f (x 1)<f (2-x 1), 又∵f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (x 2)<f (2-x 1),∵x 2>1,2-x 1>1,f (x )在(1,+∞)上单调递减, ∴x 2>2-x 1,即x 1+x 2>2.12.解析 (1)由题意可设点P 的坐标为(x ,x +4√2x 2)(x >0), 易得直线OB 的方程为x -y =0, 则点P 到直线x -y =0的距离为|x -(x+4√2x 2)|√2=|4√2x 2|√2=4x2,因为PM 的造价为5万元/百米,PN 的造价为40万元/百米, 所以f (x )=5x +40·4x 2=5(x +32x 2)(x >0).(2)因为f (x )=5(x +32x 2)(x >0), 所以f'(x )=5(1-64x3)=5(x 3-64)x 3,令f'(x )=0,得x =4,列表如下:x (0,4) 4 (4,+∞) f'(x ) - 0 + f (x )单调递减 极小值单调递增所以当x =4时,函数f (x )有极小值,也是最小值,最小值为f (4)=5×(4+3242)=30. 故当x =4时,总造价最低,最低造价为30万元.13.解析 (1)由题意得, f'(x )=a x+b =a+bx x,x >0.∵函数f (x )=a ln x +bx +c (a ≠0)有极小值,∴b >0,a <0, f (x )的极小值点为-a b. (2)证明:由(1)知,m =f (-ab ),m +a -4ac -b 24a =f (-ab )+a -4ac -b 24a=a ln (-ab )-a +c +a -c +b 24a =a ln (-ab )+b 24a=a [ln (-ab )+14(b a )2]. 令-ab =t ,g (t )=ln t +14t 2,t >0,则g'(t )=1t -12t 3=2t 2-12t 3.令g'(t )=0,得t =√22(负值舍去), ∴g (t )在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,∴g (t )≥g (√22)=ln (√22)+12>0. ∵a <0,∴ag (t )<0, ∴m +a <4ac -b 24a.解题模板利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,将此形式用一个新的变量表示,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:a ln (-ab )+b 24a =a ln (-ab )+14(b a )2,将两变量a 、b 化为-ab的形式,构造函数解决问题.。
2019秋人教版高中数学选修1-1课时分层作业 十九 3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
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课时分层作业十九导数的几何意义（40分钟80分）一、选择题(每小题5分,共40分)1.（2019·长沙高二检测）曲线f（x）=x3+2x+1在点（0,f(0）)处的切线的方程为（）A。
y=x—1 B。
y=x+1C.y=2x-1 D。
y=2x+1【解析】选D。
因为f′(0)===（(Δx）2+2）=2，所以曲线f (x)=x3+2x+1在点（0,f（0))处的切线的斜率为2,所以切线方程为y-1=2（x-0），即y=2x+1。
2.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ）A.（0，0）B.（2,4)C。
D。
【解析】选D.因为y=x2,所以k=y′===(2x+Δx)=2x,所以2x=tan=1，所以x=，则y=。
【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135°D。
60°【解析】选B。
Δy=(-1+Δx)3-×(—1)3=Δx-Δx2+（Δx）3,=1—Δx+（Δx)2，==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.3。
已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为( ）A.—2 B。
—1 C。
1 D。
2【解析】选D.Δy=f（x+Δx）—f(x）=（x+Δx）2+2（x+Δx)-x2—2x=x·Δx+（Δx)2+2Δx，所以=x+Δx+2,所以f ′（x)==x+2.设切点坐标为（x0,y0）,则f ′（x0)=x0+2。
由已知x0+2=4,所以x0=2.4。
已知曲线y=x4+ax2+1在点（—1，f(—1））处切线的斜率为8,则f（-1)= ( )A.7 B。
-4 C.—7 D。
4【解析】选B。
因为曲线y=x4+ax2+1在点（-1,f（-1))处切线的斜率为8，所以f′(-1）=8.又因为f′(—1）===[(-2+Δx)（（—1+Δx)2+1+a）]=—2(a+2),所以-2（a+2）=8,解得a=-6,所以f（-1）=1—6+1=-4.5.（2019·广州高二检测）已知函数f(x）满足f=x3-3x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B。
苏教版(2019)选修第一册突围者第3章第二节课时2双曲线的几何性质
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的标准方程，属于容易题.
10．D
【分析】
根据等轴双曲线，可得a=b，根据交点坐标，可求得c值，根据a，b，c的关系，即可得答案.
【详解】
∵等轴双曲线的一个焦点为 ，∴ ，且a=b，
又 ，
∴ ，即 ，
∴双曲线的标准方程为 ．
故选：D
11．D
【分析】
据 ，解得 ， ，则
的面积为1.正确.
故选：ACD.
【点睛】
考查双曲线的渐近线方程，焦点，以及双曲线上的几何性质.题目涉及知识点较为广泛.
5．D
【分析】
由双曲线的性质易求.
【详解】
由 ，知 ， ，所以左顶点与右焦点间的距离为 ．
故选：D.
6．C
【分析】
设双曲线的右焦点为 ，连接 ，根据双曲线的对称性得到 ，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设双曲线的右焦点为 ，连接 ，
因为双曲线上的点 与 关于 轴对称，根据双曲线的对称性，可得 ，
所以 .
故选：C.
7．A
【详解】
试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为 ，所以距离为 .
考点：双曲线与渐近线．
8．A
【分析】
利用两条渐近线的夹角求出渐近线 的倾斜角，再根据条件验证即可得解.
A．2B．4C．5D．8
6．如图，双曲线 ： 的左焦点为 ，双曲线上的点 与 关于 轴对称，则 的值是（）
A．3B．4C．6D．8
7．双曲线 的焦点到渐近线的距离为()
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 线 的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的标准方程为（）
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间． 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】 显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
高考复习专题03 导数及其应用选择填空题(含解析)三年高考试题
1．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣12．【2019年新课标3理科07】函数y在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．⊈D．3．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x5．【2018年新课标2理科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2018年浙江05】函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．8．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f （x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．19．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．B．C．D．110．【2017年浙江07】函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a ＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．13．【2019年江苏10】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．14．【2019年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．15．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是．16．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．17．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．18．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．19．【2017年江苏11】已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．1．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1【解答】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．2．【2019年新课标3理科07】函数y在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．⊈D．【解答】解：由y＝f（x）在[﹣6，6]，知f（﹣x），∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4），因此排除A，D．故选：B．3．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．4．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．5．【2018年新课标2理科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．6．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x或0＜x，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x或x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．7．【2018年浙江05】函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．8．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f （x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，＝（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．9．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．B．C．D．1【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C．10．【2017年浙江07】函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．11．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a ＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x，若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．13．【2019年江苏10】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．【解答】解：由y＝x（x＞0），得y′＝1，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．14．【2019年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．15．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是．【解答】解：存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|，可得2a（3t2+6t+4）﹣2，即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，可得0＜a，可得a的最大值为．故答案为：．16．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．17．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝2ln（x+1），∴y′，当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．18．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．【解答】解：曲线y＝（ax+1）e x，可得y′＝ae x+（ax+1）e x，曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．19．【2017年江苏11】已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x2+20，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a，故答案为：[﹣1，]．。
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滚动训练(四) 一、填空题 1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________. 考点 四种命题 题点 否命题 答案 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题. 2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是________. 考点 导数的几何意义 题点 求切线方程 答案 y＝0或4x＋y＋4＝0 解析 设切点坐标为(x0，x20)， ∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)， ∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2， ∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)， 即y＝0或4x＋y＋4＝0. 3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________. 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率
答案 62 解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)， 虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)， ∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°， ∴tan 30°＝bc，∴c＝3b， 又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca＝3b2b＝62. 4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________. 考点 椭圆的标准方程 题点 椭圆定义的理解
答案 x225＋y29＝1或y225＋x29＝1
解析 由题意知 2c＝8，ca＝0.8，解得 a＝5，c＝4， 又b2＝a2－c2，∴b2＝9， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1. 5.F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1→·PF2→的最大值是________. 考点 椭圆的几何性质 题点 椭圆中的最值问题 答案 1
解析 设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1→·PF2→＝(－3－x)(3－x)＋y2
＝x2＋y2－3＝34x2－2，注意到－2≤34x2－2≤1，因此PF1→·PF2→的最大值是1. 6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.
考点 导数的几何意义 题点 求切线方程 答案 x－y－2＝0 解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0. 7.若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________. 考点 导数的几何意义 题点 求切点坐标 答案 (1,1) 解析 y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，
由导数的几何意义知y′＝2x＋ax≥22a＝4，则a＝2， 当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1， 故所求的切点坐标是(1,1). 8.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 考点 导数的几何意义 题点 由切线方程求参数 答案 1 解析 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1， 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)， 又点(2,7)在切线上，可得a＝1. 9.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________. 考点 导数的几何意义 题点 求切线方程
答案 1或164 解析 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上， (1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2得f′(0)＝2，则切线方程为y＝2x.由
y＝2x，
y＝x2＋a，得x2－2x＋a＝0，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.① 又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，② 由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍去)， ∴k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x. 由 y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0. 依题意，Δ＝116－4a＝0，∴a＝164. 综上，a＝1或a＝164. 10.曲线f(x)＝exx－1在x＝0处的切线方程为__________________. 考点 导数的几何意义 题点 求切线方程 答案 2x＋y＋1＝0 解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，
f′(x)＝x－1ex′－exx－1′x－12＝x－2exx－12，
故切线的斜率k＝f′(0)＝0－2e00－12＝－2， 则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋1＝0. 二、解答题 11.求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x；(3)y＝cos xex. 考点 导数的运算 题点 求函数导数 解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝ln x＋1x′＝(ln x)′＋1x′＝1x－1x2.
(3)y′＝cos xex′＝cos x′ex－cos xex′ex2 ＝－sin x＋cos xex. 12.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程. 考点 导数的几何意义 题点 求切线方程 解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5， ∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1， ∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 13.已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 考点 导数的几何意义 题点 由切线方程求参数范围 解 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞). (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， k≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞). 三、探究与拓展 14.若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________. 考点 导数的几何意义 题点 由切线方程求参数
答案 －∞，2－1e∪2－1e，2 解析 f′(x)＝1x＋a(x>0). ∵函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线， ∴方程1x＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解， 即a＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解. ∴a＜2. 若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝ln x＋ax相切，设切点为(x0,2x0).
则 1x0＋a＝2，2x0＝ln x0＋ax0，解得x0＝e，此时a＝2－1e. 综上可知，实数a的取值范围为－∞，2－1e∪2－1e，2. 15.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 考点 导数的几何意义 题点 由切线方程求参数 解 (1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0， 即3a－6－6a＝0，∴a＝－2. (2)存在. ∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)， ∵g′(x0)＝6x0＋6， ∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将点(0,9)代入，得x0＝±1， 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 即有x＝－1或x＝2， 当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9. ∴公切线是y＝9 又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0或x＝1. 当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10， ∴公切线不是y＝12x＋9. 综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.