2017届江西省高考原创押题卷(二)数学文.doc

2017年高考原创押题卷（二）数学(文科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝xy ＝2－x 2x ＋1，则A ∩B ＝( )A.{}0，1 B.{}－1，0，1 C.{}0，1，2D.{}－1，0，1，22．若z ＝1＋i ，则2＋iz －z的实部为( )A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1 3．为估计椭圆x 24＋y 2＝1的面积，利用随机模拟的方法产生200个点(x ，y )，其中x ∈(0，2)，y ∈(0，1)，经统计有156个点落在椭圆x 24＋y 2＝1内，则由此可估计该椭圆的面积约为 ( )A ．0.78B ．1.56C ．3.12D ．6.24 4．已知△ABC 中，点D 为BC 的中点，若向量＝(1，2)，||＝1，则·＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 5．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明．如图21所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个相等的直角三角形和中间的那个小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”．若正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积分别为25，1，则cos 2∠BAE ＝ ( ) A.725 B.925 C.1625 D.2425图216．若函数f ()x ＝x ＋abx 2＋c的图像如图22所示，则下列判断正确的是( )图22A ．a >0，b >0，c >0B ．a ＝0，b >0，c >0C ．a ＝0，b <0，c >0D ．a ＝0，b >0，c <07．已知某几何体的三视图如图23所示，则该几何体的表面积是( )图23A ．8＋2πB ．8＋3πC ．8＋3＋3πD ．8＋23＋3π 8．若0<a <b <1，则a b ，b a ，log b a ，log 1a b 的大小关系为( )A ．a b >b a >log b a >log 1a bB ．b a >a b >log 1a b >log b aC ．log b a >a b >b a >log 1a bD ．log b a >b a >a b >log 1ab9．已知数列{}a n 满足a n ＝5n －2n ，且对任意n ∈N *，恒有a n ≤a k .执行如图24所示的程序框图，若输入的x 值依次为a k ，a k ＋1，a k ＋2，输出的y 值依次为12，12，12，则图中①处可填( )图24A ．y ＝2x －2B ．y ＝x 2＋3x －16C ．y ＝||2x ＋3＋1D ．y ＝x 2＋7x －12 10．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0与抛物线D ：x 2＝4y 的一个公共点，若存在过点P 的直线l 与圆C 及抛物线D 都相切，则实数a 的值为( )A ．2 B. 2 C ．3 D ．－511．如图25所示，在三棱锥ABCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为( )图25A.16π3B.20π3C.323π27D.2015π2712．已知正数a ，b ，c ，d ，e 成等比数列，且1c ＋d －1a ＋b ＝2，则d ＋e 的最大值为( )A.39 B.33 C.239 D.13第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}a n 的公差d ≠0，若a 21＋a 2＝1，a 22＋a 3＝1，则a 1＝________．14．若对任意实数k ，直线kx ＋y －2＋a ＝0恒过双曲线C ：y 2a 2－x 2＝1(a >0)的一个焦点，则双曲线C 的离心率是________．15．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若存在(x 0，y 0)∈D ，使得y 0＋1≥k (x 0＋1)，则实数k 的取值范围是________．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x 2－ax ，x ≤0，若方程f ()x ＝x ＋a 有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图26所示，在△ABC 中，cos 2A －C 2＝14＋sin A sin C ，BC ＝2，点E为AC 中点，边AC 的垂直平分线DE 与边AB 交于点D . (1)求角B 的大小； (2)若ED ＝62，求角A 的大小．图2618．(本小题满分12分)汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？图27(2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图27所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍． 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )＝，＝－t19.(本小题满分12分)如图28所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，点E 是线段PC 上一点，AB ＝3，BE ＝6，且BE ⊥PC.(1)试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD ，并求AFFB 的值；(2)求三棱锥P BEF 的体积．图2820．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－2x ＝0关于椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a>b>0的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求k 的值及平行四边形OAPB 的面积．21．(本小题满分12分)已知函数f ()x ＝ln ()x ＋1＋a ||x －1. (1)若当x ≥1时，f ()x ＋2a<0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)讨论f ()x 的单调性．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t ∈R )．以直角坐标系原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝3.(1)求出直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，点C 是曲线C 1上与A ，B 不重合的一点，求△ABC 面积的最大值．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＝4. (1)求证：a 1＋b 2≤2；(2)若对任意a ，b ∈R ，||x ＋1－||x －3≤ab 恒成立，求实数x 的取值范围．参考答案·数学(文科)2017年高考原创押题卷（二）1．A 2.A3．D [解析]满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <1的点()x ，y 构成长为2，宽为1的长方形区域，面积为2，设椭圆与两正半轴围成的面积为S ，则S 2≈156200，所以椭圆的面积4S ≈156200×2×4＝6.24，故选D.4．C [解析]由点D 为BC 中点，得·＝12(＋)·12＝12·12(－)＝14＝14×()1－5＝－1，故选C.5．A [解析]由图可知a >b ，且a 2＋b 2＝25，()a －b 2＝1，所以a ＝4，b ＝3，sin ∠BAE ＝ba 2＋b 2＝35，所以cos 2∠BAE ＝1－2sin 2∠BAE ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725，故选A.6．D [解析]由f ()0＝0可得a ＝0，所以选项A 不正确；若b >0，c >0，则bx 2＋c >0恒成立，f ()x 的定义域是R ，与图像相矛盾，所以选项B 不正确；若b <0，c >0，当x >0时，由bx 2＋c <0得x >－cb ，即x >－cb时恒有f ()x <0，这与图像相矛盾，所以选项C 不正确．故选D.7．D [解析]由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱柱构成的组合体，其表面积由两个半圆，圆柱的半个侧面，棱柱的两个侧面及棱柱的两个底面组成，故该几何体的表面积S ＝π×12＋π×1×2＋2×2×2＋2×12×3×2＝8＋23＋3π，故选D.8．D [解析]因为0<a <b <1，所以0<a b <b b <b a <1，log b a >log b b ＝1，log 1a b <0，所以log b a >b a >a b >log 1ab ，故选D.9．A [解析]由a n ＝5n －2n 可得a n ＋1－a n ＝5－2n ，当n ≤2时，a n ＋1－a n >0，当n ≥3时，a n＋1－a n <0，所以a n ≤a 3，即k ＝3，因为a 3＝7，a 4＝4，a 5＝－7，所以输入的x 值依次为7，4，－7.当x ＝4或－7时，y ＝12，所以只需把x ＝7代入选项中各函数，得到y ＝12的就是正确选项．对于选项A ，当x ＝7时，y ＝2×7－2＝12，故选A.10．C [解析]由题意可知直线l 为圆C 及抛物线D 在点P 处的公切线，因为点P 在抛物线D 上，所以设点P ⎝⎛⎭⎫t ，t 24.由x 2＝4y ，得y ＝x 24，y ′＝x 2，所以直线l 的斜率k 1＝t 2，又圆心C 的坐标为()1，2，所以直线PC 的斜率k 2＝t 24－2t －1＝t 2－84()t －1，由k 1k 2＝t 3－8t8t －8＝－1，解得t ＝2，所以点P 的坐标为()2，1，代入方程x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，得a ＝3，故选C.11．D [解析]取CD 的中点E ，设三棱锥ABCD 外接球的球心为O ，△ACD 与△BCD 外接圆的圆心分别为O 1，O 2，则O 1E ＝13AE ＝13×32×CD ＝33，则四边形OO 1EO 2是边长为33的正方形，所以三棱锥ABCD 外接球的半径R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝()2O 1E 2＋⎝⎛⎭⎫12CD 2＝⎝⎛⎭⎫632＋12＝153，所以该三棱锥外接球的体积V ＝43πR 3＝2015π27，故选D.12．A [解析]设该数列的公比为q ，则q >0，由1c ＋d －1a ＋b ＝2可得1c ＋d －q 2c ＋d ＝2，所以c＋d ＝1－q 22.由c ＋d >0可得0<q <1，d ＋e ＝()c ＋d q ＝q －q 32.设f ()q ＝q －q 32，则f ′()q ＝1－3q 22，所以f ()q 在⎝⎛⎭⎫0，33上单调递增，在⎝⎛⎭⎫33，1上单调递减，所以f ()q ≤f ⎝⎛⎭⎫33＝39，故选A. 13．－1或2 [解析]a 21＋a 2＝1，a 22＋a 3＝1，两式相减得()a 2＋a 1()a 2－a 1＋a 3－a 2＝0，即d ()a 2＋a 1＋d ＝0，因为d ≠0，所以a 2＋a 1＝－1，即a 2＝－1－a 1，代入a 21＋a 2＝1，得a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.14.53 [解析]直线kx ＋y －2＋a ＝0恒过定点()0，2－a ，该点就是双曲线C 的一个焦点，所以a 2＋1＝()2－a 2，解得a ＝34，故双曲线C 的离心率e ＝a 2＋1a 2＝53.15．k ≤2 [解析]不等式组表示的平面区域D 为图中阴影部分所示，其中A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)．由()x 0，y 0∈D ，y 0＋1≥k (x 0＋1)，得y 0＋1x 0＋1≥k .y ＋1x ＋1表示点()x ，y ，(－1，－1)连线的斜率，数形结合，得12≤y ＋1x ＋1≤2，所以k≤2.16．{a |a ＝－1或0≤a <1或a >1} [解析]当直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切时，设切点坐标为(t ，ln t )，则切线斜率k ＝(ln x )′x ＝t ＝1t ＝ 1 ，所以t ＝1，切点为()1，0，代入y ＝x ＋a ，得a ＝－1.当x ≤0时，由f ()x ＝x ＋a ，得()x ＋1()x ＋a ＝0.①当a ＝－1时，ln x ＝x ＋a ()x >0有1个实根，此时()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有1个实根，满足条件；②当a <－1时，ln x ＝x ＋a ()x >0有2个实根，此时()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有1个实根，不满足条件；③当a >－1时，ln x ＝x＋a ()x >0无实根，此时要使()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有2个实根，应有－a ≤0且－a ≠－1，即a ≥0且a ≠1.综上得实数a 的取值范围是{a |a ＝－1或0≤a <1或a >1}． 17．解：(1)由cos 2A －C 2＝14＋sin A sin C ，得1＋cos ()A －C 2＝14＋sin A sin C ，整理得cos ()A －C －2sin A sin C ＝－12，即cos ()A ＋C ＝－12，2分所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.5分(2)连接DC ，由DE 垂直平分边AC ，得AD ＝DC ，∠DCE ＝∠DAE ，所以CD ＝AD ＝DEsin A ＝62sin A.8分 在△BCD 中，由BC sin ∠BDC ＝CD sin B 及∠BDC ＝2A ，得2sin 2A ＝CD sin π3，所以CD ＝3sin 2A ，10分所以62sin A ＝3sin 2A ，解得cos A ＝22.因为A 是三角形的内角，所以A ＝π4.12分18．解：(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A ，1分 由已知得P (A )＝b ＋35100＝35，所以a ＝25，b ＝25，p ＝40，q ＝60.4分K 2的观测值k ＝100×（25×35－25×15）240×60×50×50≈4.167>3.841，5分故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.6分(2)由折线图中所给数据计算，得t ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，∑i ＝15()t i －t 2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，∑i ＝15()t i －t ()y i －y ＝(－4)×(－0.22)＋(－2)×(－0.22)＋0×(－0.02)＋2×0.18＋4×0.28＝2.8,8分故＝＝2.840＝0.07，＝－t ＝0.42－0.07×6＝0, 10分所以所求回归方程为＝0.07t.故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍. 12分19．解：(1)如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG.∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG. 3分又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ，∴F 即为所求的点. 5分又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴PB ⊥BC ，∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝x ，则PB ＝9＋x 2，PC ＝18＋x 2，由PB ·BC ＝BE·PC ，得9＋x 2×3＝18＋x 2×6，∴x ＝3，即PA ＝3，∴PC ＝33，CE ＝3， ∴PE PC ＝23，∴AF AB ＝GE CD ＝PE PC ＝23，∴AF FB ＝2. 8分(2)三棱锥P BEF 的体积就是三棱锥EPBF 的体积，点C 到平面PBF 的距离BC ＝3，由PE PC ＝23，可得点E 到平面PBF 的距离为2. 10分 ∵△PBF 的面积S ＝12×BF ×PA ＝12×1×3＝32，∴三棱锥P BEF 的体积V ＝13×32×2＝1.12分20．解：(1)圆x 2＋y 2－2x ＝0关于圆心()1，0对称，与坐标轴的交点为()0，0，()2，0， 所以椭圆C 的一个焦点为()1，0，一个顶点为()2，0，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－12＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2＋4y 2＝12，得()3＋4k 2x 2＋8kx －8＝0， 此时Δ＝64k 2＋32()3＋4k 2>0. 6分设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，P ()x 0，y 0，则x 0＝x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2＋2＝－8k 23＋4k 2＋2＝63＋4k 2.因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，即16k 2()3＋4k 22＋12()3＋4k 22＝1， 整理得k 2＝14，k ＝±12. 9分 点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝255，||AB ＝1＋k 2·()x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·64k 2()3＋4k 22－4×（－8）3＋4k 2＝46()1＋k 2()2k 2＋13＋4k 2＝352，所以△OAB 的面积S 1＝12·d ·||AB ＝12×255×352＝32， 所以平行四边形OAPB 的面积S 2＝2S 1＝3.12分21．解：(1)当x ≥1时，f ()x ＋2a<0恒成立，即ln (x ＋1)＋a ()x ＋1<0恒成立，即a<－ln ()x ＋1x ＋1恒成立．设g ()x ＝－ln ()x ＋1x ＋1，则g′()x ＝ln ()x ＋1－1()x ＋12. 2分 令ln ()x ＋1－1＝0，得x ＝e －1，所以g ()x 在(]1，e －1上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增， 所以g ()x ≥g ()e －1＝－1e ，所以a<－1e，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－1e . 5分 (2)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．①当x ≥1时，f ()x ＝ln ()x ＋1＋a ()x －1，f ′()x ＝1x ＋1＋a ， 由x ≥1可得a<1x ＋1＋a ≤12＋a. 当a ≥0时，f′()x >0，f ()x 在[)1，＋∞上单调递增；当12＋a ≤0，即a ≤－12时，f′()x ≤0，f ()x 在[)1，＋∞上单调递减；当－12<a<0时，由f′()x <0得x>－1－1a ，由f ′()x >0得1≤x<－1－1a， 所以f ()x 在⎝⎛⎭⎫－1－1a ，＋∞上单调递减，在⎣⎡⎭⎫1，－1－1a 上单调递增.7分 ②当－1<x<1时，f ()x ＝ln ()x ＋1－a ()x －1，f ′()x ＝1x ＋1－a ，由－1<x<1可得1x ＋1－a>12－a.当12－a ≥0，即a ≤12时，f′()x >0，f ()x 在(－1，1)上单调递增；当12－a<0，即a>12时，由f′()x <0得－1＋1a <x<1，由f′()x >0得－1<x<－1＋1a， 所以f ()x 在⎝⎛⎭⎫－1＋1a ，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1a 上单调递增.9分 综上可得，当a ≤－12时，f ()x 在(－1，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减；当－12<a<0时，f ()x 在－1，－1－1a 上单调递增，在－1－1a ，＋∞上单调递减；当0≤a ≤12时，f ()x 在(－1，＋∞)上单调递增；当a>12时，f ()x 在－1，－1＋1a 上单调递增，在－1＋1a，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.12分22．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0.2分 由ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝3，得ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，把⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋3y 2＝3，即x 23＋y 2＝1.4分 (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12，不妨设A ()0，1，B ⎝⎛⎭⎫－32，－12， 所以||AB ＝⎝⎛⎭⎫0＋322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322. 6分因为点C 是曲线C 1上一点，设C(3cos φ，sin φ)， 则点C 到直线l 的距离d ＝||3cos φ－sin φ＋12＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＋12≤32＝322，8分 当cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1时取等号．所以△ABC 面积S ＝12·d ·||AB ≤12×322×322＝94， 即△ABC 面积的最大值为94.10分 23．解：(1)证明：a 1＋b 2≤|a|1＋b 2＝2||a 4＋4b 24≤a 2＋4＋4b 24＝2.4分 (2)由a 2＋4b 2＝4及a 2＋4b 2≥24a 2b 2＝4||ab ，可得||ab ≤1，所以ab ≥－1，当且仅当a ＝2，b ＝－22或a ＝－2，b ＝22时取等号.6分 因为对任意a ，b ∈R ，||x ＋1－||x －3≤ab 恒成立，所以||x ＋1－||x －3≤－1.当x ≤－1时，||x ＋1－||x －3＝－4，不等式||x ＋1－||x －3≤－1恒成立；当－1<x <3时，||x ＋1－||x －3＝2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，2x －2≤－1，得－1<x ≤12； 当x ≥3时，||x ＋1－||x －3＝4，不等式||x ＋1－||x －3≤－1不成立.9分综上可得，实数x 的取值范围是xx ≤12.10分。