江苏省启东市2017-2018学年高中数学 第2章 函数 2.2 函数的简单性质 单调性1学案苏教版1 精
江苏省铜山县高中数学 第二章 函数 2.2.1 函数的单调
2.2.1函数的简单性质第一课时 函数的单调性（预习部分）一．教学目标（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．（4）使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.二．教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三．教学过程（一）问题情境1. 情境：第2.1.1节开头的第三个问题中，()f t θ=。
2. 问题1：说出气温在哪些时段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的怎大气温逐步升高”这一特征。
（二）探究新知问题1：观察下列函数的图象（如图1），并指出图象变化的趋势。
2y x x R =+∈(3) )t/h (2)R问题2：你能明确地说出“图象呈逐渐上升的趋势”的意思？问题3：如何用数学语言来准确表述函数的单调性呢？（三）推进新课一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆。
如果对于区间内的任意两个值1,212,x x x x <当时，都有()()12,f x f x <那么就说()y f x =在区间I 上是_____________。
I 称为()y f x =的_____________。
如果对于区间内的任意两个值1,212,x x x x <当时，都有 ()()12,f x f x >那么就说()y f x =在区间I 上是_____________。
I 称为()y f x =的_____________。
______________________________________________________函数()y f x =在区间I 上具有单调性，______________________________统称为单调区间。
(四）预习巩固 见必修一教材第40页练习1，2，3，6，7，82.2.1函数的简单性质第一课时 函数的单调性（课堂强化）（四）典型例题题型一：考查单调性例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：（1）22y x =-+ （2）1(0)y x x =≠提问：①函数1(0)y x x =≠在整个定义域是否为单调减函数？②（1）中(1,)+∞是否为函数的单调递区间？变式：观察函数()2111yx y x =-=--与的图象，指出它们是否为定义域上的单调函数。
江苏省启东市高中数学 第2章 函数 2.3 映射的概念学案
§2.3映射的概念一、 学习目标1. 了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射2. 通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系 二、 温故习新在初中我们已学过一些对应的例子：（1）看电影时，电影票与座位之间存在着一一对应的关系； （2）对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A 与此相对应；（3）坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对（x,y ）和它对应； （4）任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应； （5）高一（16）班的每一个学生与学号一一对应。
这些例子有什么共同特点呢？1.一般地，设A ，B 是两个 ，如果按某种 ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有 与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的 。
2.映射与函数有什么区别和联系？三、 释疑拓展题型一：判断是否为映射【例1】判断下列对应是不是映射B A f →:？（1）A={三角形}，B={圆}，对应法则:f 作三角形的外接圆。
（2）xx f R B R A 1:,,→== （3）下列对应中，哪些是 从A 到B 的映射．变式跟踪1判断下面的对应是不是集合A 到集合B 的映射?能否建立集合A 到集合B 的函数? (1)),0(,+∞==B R A ，:f 求平方； (2)R B A=+∞=),,0(，:f 求算术平方根；(3)),0(,+∞==B R A ,x x f →:(4) {}3,,,2),(*<+∈∈<=y x N y Z x x y x A ,{}2,1,0=B ,y x y x f +→),(:题型二：元素的问题【例2】设集合{}R y x y x B A ∈==,),(，f 是A 到B 的一个映射，并满足),(),(:y x xy y x f --→。
（1） A 中的哪一个元素对应B 中的元素)4,3(？ （2） 试探索B 中哪些元素可以由A 中元素对应而得；（3） 求B 中元素),(b a 在A 中有且只有一个与它对应时，a ，b 满足的关系式。
2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第二章 第二节 函数的单调性与最值
2．讨论函数f(x)＝x2a－x 1(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解：法一(定义法)： 设－1<x1<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝xa21－x11－xa22－x21 ＝ax1x22－x21－ax11－xa22x－2x121＋ ax2 ＝axx221－－x11xx212－x2＋11.
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结束
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(五)” (单击进入电子文档)
＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.
故函数 f(x)的最大值为 2.
答案：2
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角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．(2016·苏州调研)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当
x2>x1>1 时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f －12，
即 aa>>12， ， a－2－1≤0，
解得 2<a≤3， 即实数 a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]
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[方法归纳] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、 基本不等式法、导数法、换元法． (2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同 一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往 是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等 式求解．此时应特别注意函数的定义域．
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江苏省启东中学2017-2018学年高中数学苏教版必修一学案：3.2.2对数函数1
§3.2.2 对数函数第 9 课时对数函数（ 1）教案27一、学习目标1.掌握对数函数定义及相关看法；2.领会对数函数图象的画法，依据图象掌握对数函数的性质．学习要点：对数函数定义及图象及其性质．学习难点：培育学生数形联合的意识，用联系的看法研究数学识题的能力．二、温故习新1、对数函数的看法：________________________________________________2、画出以下两组函数的图象，并察看各组函数的图象，找寻它们之间的关系：（ 1） y＝2x， y＝ log2x；（2） y＝（ 1 ）x， y＝log 1 x22思虑：一般地，对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0 且 a≠1)的图象之间有什么关系？3、对数函数y=log a x(a>0 且 a≠ 1)图象、性质y=log a x(a>1)y=log a x(0<a<1)图象定义域性质值域定点对称性单一性三、释疑拓展题型一求对数函数的定义域例 1：求出以下函数的定义域．① y=log 0.2 (4 x)② y=log (2 x 1) ( x22x3)1 x④ y= log2 4x 3③y1)ln( x变式训练：求出以下函数的定义域．① y log 2 x 3 ② y ln24x 31④ y x 4③ ylog 1 (2 x) log 2 ( x 2)2题型二、对数函数的单一性例 2．已知函数f (x) log a x, x 2,4 , (a 0, a 1) 的最大值比最小值大1，求实数a 的值．变式：已知函数 f x log a 1 x 是 0,上的单一减函数，则实数 a 的取值范围是．三、反应提炼1.以下函数：（1）y log a x 1 ；（2）y log a 2x ；（3）y 2log a x ；（ 4）y log a x（此中a0, a 1 ），此中是对数函数的序号有．2．已知函数 f x log a x a 0,a 1的图象经过点（9,2），则a．3．函数y 1 log a ( x 1) 的图象必定经过定点．4．以下函数中：①y log1(x 1)②y log 2 ( x 2) ③y log 1 ( 4 x 5)2 2④ ylog 31在 (0,1)上是增函数的是_______ ．x5．求以下函数的定义域（ 1） y＝log a x2 ； (2) y＝ log a(9－ x2)； (3) y＝log3x ； (4) y＝ log 2 x 2 x2 4 x 3 .4 x6．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的定义域为 R，求 a 的取值范围．。
江苏省铜山县高中数学 第二章 函数 2.2.1 函数的单调
2.2.1函数的简单性质第二课时 函数的单调性（预习部分）一．教学目标（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质（3）会求一些简单函数的值域（4）通过一些数学问题的探究，让学生体验问题解决的乐趣，激发学生学习的积极性．二．教学重点与难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义和一些简单函数的值域的探求教学难点：求函数的最大（小）值和值域三．教学过程（一）创设情景，揭示课题．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-（二）推进新课函数的最大值与最小值的定义 设函数)(x f y =的定义域为A ，若存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有恒0()()f x f x ≤成立，则称)(0x f 为)(x f y =的___________，记为______________。
若存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有恒0()()f x f x ≥成立，则称)(0x f 为)(x f y =的______________，记为_________________。
(三）预习巩固 见必修一教材第40页练习4，52.2.1函数的简单性质第二课时 函数的单调性（课堂强化）（四）典型例题题型一：利用单调性和图象求最值例1 下图为函数]7,4[),(-∈=x x f y 的图象，指出它的最大值、最小值。
例2 求下列函数的最大（小）值：x x y 212-=）（ []3,1,12∈=x x y ）（ []3,1,13∈+=x x x y ）（变式1：求下列函数的最大（小）值：（1）223y x x =-+，[0,3]x ∈（2）x x y +-=12题型二：含参数的二次函数的最值例3 已知函数[]2122211y a ax x =--+-，的最小值为()f a(1)求()f a 的表达式；（2）若[]2,0a ∈-，求()f a 的值域。
高中数学 §2.1.3函数的简单性质1.单调性⑵教案 苏教版必修1
江苏省南京市第三中学高中数学§2.1.3函数的简单性质1.单调性⑵教案苏教版必修1课题：函数的简单性质-单调性⑵教学目标：1.理解函数最大值、最小值概念;2.会求一些简单函数的最大值、最小值;3.了解函数由单调性求函数最值的方法.重点难点：重点——函数最大值、最小值概念;难点——由函数单调性求函数最值．教学教程：一、问题情境看课本P21第三个实例中,你能说出全天的最高气温,最低气温分别是多少吗?又是怎样看出来的?二、学生活动问题1: 课本P21第三个实例中,全天的最高气温,最低气温分别是多少?怎样才能得出这个最高值和最低值?14时气温为全天最高值,4时气温为全天最低值.从图象上看,图象在14时位置最高,在4时位置最低.这两点就分别是函数θ=f(t),t∈[0,24]的最大值和最小值.问题2:如何定义函数的最大值、最小值?三、建构数学函数最大值、最小值定义:一般地,设y=f(x)的定义域为A.若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为y=f(x)的最大值(maximum value),记为y max=f(x0);若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为y=f(x)的最小值(minimum value),记为y min=f(x0);由图象很容易求出函数的最大值、最小值,但要注意是空心点还是实心点,还要注意端点处函数值的大小.四、数学运用1．例题例1 下图为函数y=f(x),x∈[－3,6]的图象,指出其最大值,最小值及单调区间.解:例2 求下列函数的最值(最大值,最小值)⑴y=x2+2x ⑵y=1x,x∈[2,4]此题若改成求函数值域,如何求解?在很多情况下,求出了函数的最大值、最小值,也就求出了函数的值域.例3 已知函数y=f(x)定义域[a,b],a<c<b,当x∈[a,c]时,f(x)是单调减函数;当x∈[c,b]时,f(x)是单调增函数,证明f(x)在x=c时取得最小值.课外作业1．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值、最小值分别为______．2．函数f (x )＝11－x －x 的最大值是________．3．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．4．函数y ＝2|x |＋1的值域是________． 5.函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝__________，b ＝__________.7．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．8．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． 10．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明；(3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．。
2017-2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)课件 北师大版必修1
命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的 取值范围.
－1<1－a<1，
解
f(1－a)<f(2a－1)等价于－1<2a－1<1，
解得 0<a<23，
1－a>2a－1，
即所求 a 的取值范围是 0<a<23.
知识点二 函数的单调区间
思考
我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝ 1 在区间 x
(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？ 答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝ 1 的减区间
x (－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝1x 的定义域.
跟踪训练2
求证：函数f(x)＝x＋
1 x
在[1，＋∞)上是增函数.
证明
命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0 时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.
证明
反思与感悟
因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助 题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需 要对抽象函数进行赋值.
解答
反思与感悟
若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小； 由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)< f(2a－1)，则a的取值范围又是什么？ 解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数， f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a<2a－1，即 a>23， ∴所求 a 的取值范围是(23，＋∞).
2017-2018学年高中数学选修2-2教学案：第1章 1-3 1-3-
_1.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性[对应学生用书P13]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝1 x.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－1x2<0. 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.[对应学生用书P14][例1](1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝a x－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨]先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析](1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝a x ln a－a－x ln a(－x)′＝(a x＋a－x)ln a，当a>1时，ln a>0，a x＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为增函数．当0<a<1时，ln a<0，a x＋a－x>0，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为减函数．[一点通]判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .解析：显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数； 函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数． 答案：③2．证明：函数y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数． 证明：显然函数的定义域为{x |x >0}， 又f ′(x )＝(ln x ＋x )′＝1x ＋1，当x >0时，f ′(x )>1>0，故y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．3．判断y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：因为y ′＝3ax 2，又x 2≥0.(1)当a >0时，y ′≥0，函数在R 上是增函数； (2)当a <0时，y ′≤0，函数在R 上是减函数； (3)当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性．[例2] (1)y ＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x .[思路点拨] 先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f ′(x )>0，f ′(x )<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析] (1)y ′＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1或x <13，因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，⎝⎛⎫－∞，13. 再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33， 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. [一点通] (1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)． (3)要特别注意函数的定义域．4．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 解析：由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)5．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为________． 解析：∵f (x )＝x ln x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )>0，则ln x ＋1>0，即ln x >－1. ∴x >1e，答案：⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 6．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．[思路点拨] 解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是增函数， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))恒成立．∴a 的取值范围是a ≤16.[一点通] (1)已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集； ②利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调，则f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．(2)两个非常重要的转化： ①m ≥f (x )恒成立⇔m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇔m ≤f (x )min .7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝________. 解析：∵f (x )＝x 3－mx 2＋m －2， ∴f ′(x )＝3x 2－2mx .令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23m ，又∵函数f (x )的单调递减区间为(0,3)， ∴23m ＝3，即m ＝92. 答案：928．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．答案：(－∞，－1]9．已知函数f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x 3，∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1. 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数． ∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数， a 的取值范围是[－1，＋∞)．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．函数y ＝x 3－x 2－40x ＋80的增区间为________，减区间为________． 解析：y ′＝3x 2－2x －40＝(3x ＋10)(x －4)，由y ′>0，得x >4或x <－103；由y ′<0，得－103<x <4.所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－103和(4，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－103，4. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－103和()4，＋∞ ⎝⎛⎭⎫－103，4 2．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________．解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x <0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， 所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为________．解析：y ′＝x －1x，由y ′<0，得x <－1或0<x <1.又∵x >0，∴0<x <1.即函数的单调减区间为(0,1)． 答案：(0,1)4.(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是________．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )<0的解集为________．解析：令φ(x )＝f (x )x ，则φ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减， 又x 2f ⎝⎛⎭⎫1x <f (x )，∴xf ⎝⎛⎭⎫1x <f (x )x . 即f ⎝⎛⎭⎫1x 1x <f (x )x，∴φ⎝⎛⎭⎫1x <φ(x )． 故1x >x .又∵x >0，∴0<x <1. 答案：(0,1) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 4－2x 2＋3；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0<x <π)． 解：(1)函数f (x ) 的定义域为R .f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )>0，则4x (x ＋1)(x －1)>0， 解得－1<x <0或x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，则4x (x ＋1)(x －1)<0. 得x <－1或0<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0<x <π，∴cos x ＋1>0， 由f ′(x )>0得0<x <π3；由f ′(x )<0得π3<x <π，故函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，π3，单调减区间为⎝⎛⎭⎫π3，π. 7．设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.又f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0， ∴f ′(e)＝a －1e ＝1e ，故a ＝2e.(2)由(1)知：f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． 当a ＞0时，令f ′(x )＝0解得：x ＝1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由表可知：f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是单调减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是单调增函数． 综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 8．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x 在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，因为f (x )在(1,4)上单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1.因为2<x ＋1<5，所以a ≥5.因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1. 因为x＋1>7，所以a≤7.综上可知，实数a的取值范围是5≤a≤7.。
江苏省启东市高中数学 第2章 函数 2.2.8 函数的奇偶性
2.2.8 函数的奇偶性一、学习目标1．理解函数的奇偶性概念，掌握判断奇偶性的方法，加强对数形结合思想的渗透；2．初步学会运用函数图形理解和研究函数的性质．二、温固习新1．设函数f(x)的定义域为A如果对于任意的A x ∈，都有_______________，那么称函数f(x)是偶函数； 如果对于任意的A x ∈，都有_______________，那么称函数f(x)是奇函数． 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．2．一般地，奇函数的图象关于_________对称，反过来，如果一个函数的图象关于_________对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于_________对称，反过来，如果一个函数的图象关于_________对称，那么这个函数是偶函数．3．探究：讨论下列函数的奇偶性（1）)0(≠+=k b kx y (2))0()(2≠++=a c bx ax x f4．判断函数奇偶性的步骤：（1）判断函数________是否关于________对称；（2）验证f(x)与________之间的关系；（3）给出结论．三、释疑拓展题型一 判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：（1）11)(--+=x x x f （2）2432)(x x x f +=（3）R x ax x f ∈=,)(2 （4）(]1,1,1)(2-∈+=x x x f变式跟踪1：判断判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f +=3)( （2）x x xx f -+=31)( （3）⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0),1()(x x x x x x x f （4）2|2|1)(2-+-=x x x f题型二 利用奇偶性求解析式例2．(1)已知)(x f 是R 上的奇函数，当()0,∞-∈x 时，)1()(x x x f +-=，求)(x f 的解析式．(2)若)(x f ，)(x g 是定义在R 上的函数，)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且11)()(2+-=+x x x g x f ，求)(x f 的表达式．变式跟踪2: 若)(x f ，)(x g 是定义在R 上的函数，)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且)1)(1()()(2++=+x x x g x f ，分别求)(x f 和)(x g 的表达式．(2)已知函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞且满足x xf x f =+)1()(2，求)(x f 的表达式，并判断)(x f 的奇偶性．三 利用奇偶性求参数的值例3．已知函数3)1()2()(2+-+-=x m x m x f 是偶函数，求实数m 的值．变式跟踪3：已知8)(35-++=bx ax x x f ，若10)2(=-f ，则)2(f =______．四、反馈提炼1．已知20112009()5b f x x ax x =+-+，8)2(=-f ，则)2(f =_____． 2．设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a ______． 3．若函数12)23()(22++++-=m x x k k x f 是奇函数，则k =____，m =____．4．下列结论正确的序号是___________．①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0；③定义域为R 的增函数一定是奇函数；④图象过原点的单调函数一定是奇函数．5．设奇函数)(x f 的定义域为[−5，5]．若当[]5,0∈x 时，)(x f 的图象如右图，则不等式0)(<x xf 的解是___________．6．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是单调增函数，已知0,021<>x x ，且)()(21x f x f <，那么下列不等式中一定正确的是_________．①021<+x x ；②021>+x x ；③)()(21x f x f ->-；④0)()(21<-•-x f x f7．判断下列函数的奇偶性 ①x x y 12+=； ②()),0(122≠+=x xx x f ； ③y=xx ++-1912； ④[)1,1,2-∈=x x y ．8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，13)(2-+=x x x f ，求)(x f 的解析式．。
江苏省启东中学2017届高三数学二轮复习专题：第一讲 解决函数的图像与性质问题
第一讲 解决函数的图像与性质问题主备人：杨黄健 审核人:黄群力一．学习目标：1.函数的概念与函数的定义域、值域、函数解析式，近几年来多在应用题中对函数解析式与定义域进行考查，要求学生根据题意建立数学模型，写出函数解析式，这种把实际问题转化为数学问题的能力是考查的重点方向.2.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性，要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性.二．温故习新1.若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是______________．2. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，给出以下四个命题： （1）函数()f x 是周期函数； （2）函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； （3）函数()f x 为R 上的偶函数； （4）函数()f x 为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号）3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-?上单调递增,若实数a满足1(2)(a f f ->-，则a 的取值范围是______________．4.已知函数2()23f x x x =-+的定义域为[],a b （其中a b <），值域为[]2,2a b ，则符合条件的数组(),a b 为______________．5.设函数()f x x x a =-，若对任意的[)1212,2,,x x x x ?ス，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 三．释疑拓展例1 已知函数()f x 为R 上的偶函数.若0x ³时，2()1()f x x ax a R =-+?.① 求0x <时，()f x 的解析式；②若函数()f x 有4个零点，求实数a 的取值范围.③设m R Î，函数()f x 在[)0,+?上单调递增，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小.例2 已知函数1()f x a x =- （1）求证:函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数.（2）若(2)2f x x <在(1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围.（3）若函数()y f x =在[],m n 上的值域是[],m n ()m n ≠,求实数a 的取值范围.例3 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+.（1）当 1a =时，解不等式()f x >1.（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值.（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.四.巩固提升题:1．设函数()1x f x x=+，则使得f （x 2﹣2x ）＞f （3x ﹣6）成立的x 的取值范围是______________．2.已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x f f x ====丨，，若存在00x B x A ∈∉，则实数b 的取值范围是______________．3.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,,10()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a R ∈.若 59()()22f f -=,则(5)f a 的值是 . 4．已知函数)(x f 及)(xg )(D x ∈，若对于任意的D x ∈，存在o x 使得)()(),()(o o x g x g x f x f ≥≥恒成立且)()(o o x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”已知函数),()(2R q P q Px x x f ∈++=, x x x x g 1)(2+-=是定义在区间]221，⎢⎣⎡上的“兄弟函数”，那么函数)(x f 在区间]221，⎢⎣⎡上的最大值为 .5．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是______________．6．已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则(8)f =____________．7．函数()y f x =满足对任意x R ∈都有()2()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，(1)4f =，则(2016)(2017)(2018)f f f ++= ______________．8．已知()||x f x xe =，又2()()()g x f x tf x =-（t R ∈），若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围是 ．9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +为奇函数，()(]00,0,1f x =∈当时， ()2l o g f x x =，则在区间(8，9)内满足方程()122f x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实数x 为______________．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时()248f x x x =-+．若在区间[],a b 上，存在m (m ≥3)个不同的整数i x (i =l ，2，…，m )，满足()()11172m i i i f x f x -+=-≥∑， 则b －a 的最小值为______________．11.已知函数()x x f x e e -=+。
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1
2.2函数的简单性质 单调性(1)
教学目标：
（1）理解函数单调性概念及几何意义；
（2）会根据函数图像写出函数单调区间；
（3）掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调性；
（4）能证明一些简单函数的单调性。
【温故习新】
1. 观察一次函数xy，二次函数2xy和2xy的图象,并回答下列问题.
① 它们的图象有什么变化规律? 这些变化规律如何用函数值的变化来反映?
② 如何理解图象是上升的？
③增函数与减函数的定义：
2. 下列说法正确的有 个。
① 若Ixx21,，当21xx时，)()(21xfxf，则)(xfy在I上是增函数；
② 函数2xy在R上是单调函数 ；
③ 函数xy1在定义域上是增函数 ；
④xy1的单调区间是),0()0,(。
3. 若函数)(xf是R上的减函数，且)()(21xfxf，则1x与2x的大小关系
是 。
4. 123)(xxf在区间 上是 函数。
【释疑拓展】
2
例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
（1）2()2fxx （2）xxxf11)(
（3）()1fxax （4）)5(1)(xxxf
例2 判断函数xxxf3)(的单调性并证明.
变式: 已知5,1,11)(xxxf。 ① 判断其单调性并写出证明过程； ② 求函数的值
域。
小结：证明函数单调性的一般步骤：
（1）取值：即设21,xx为给定区间内的任意两个值，且21xx。
（2）作差：即作差)()(21xfxf，通过因式分解、配方、有理化等，形成有利用判断差
的符号的形式。
3
（3）定号：确定)()(21xfxf的符号，当符号不确定时，可通过进行分类讨论。
（4）判断：根据定义作出结论。
例3（1）已知函数2)1(2)(2xaxxf在区间]3,(上是减函数，求实数a的取值范
围；（2）已知2)1(2)(2xaxxf的单调递减区间是]3,(，求实数a的取值范围.
【反馈提炼】
1. 已知mxxxf2)(2，则)2(),0(),2(fff的大小关系
是 。
2. 设定义在),0(上的减函数)(xf满足)2()(faf，则实数a的取值范
围 。
3.函数32)(2mxxxf，当,2x是增函数，当2,x时是减函数，则
)1(f
。
4. 函数12)(2axxxf在)1,(上是减函数，则a的取值范围
是 。
5. 在下列函数中，在区间2,0上为增函数的有 。（填序号）
①xy3； ②12xy； ③xy1； ④xy
6. 若)(xf在R上是单调递减的，且)3()2(fxf，则x的取值范围是 。