2020版高考数学大一轮复习-1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案(文)(含解析)新人教A版

1 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词和存在量词的意义． 3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.

逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 2

p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真

2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)

概念方法微思考 3 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？ 提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( × ) 题组二 教材改编 2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( ) A．1B．2C．3D．4 答案 B 4

解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题． 3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠 4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是( ) A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0 C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0 答案 A

6．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 答案 1 解析 ∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，

∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1. ∴m的最小值为1. 5

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1．命题p：若sinx>siny，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或qB．p且qC．qD．綈p 答案 B

解析 取x＝π3，y＝5π6，可知命题p是假命题； 由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题． 2．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) 答案 B 解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立， ∴p为真命题，綈p为假命题． ∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q为假命题，綈q为真命题． 根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.

3．已知命题p：∃x∈R，使sinx＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③

解析 因为对任意实数x，|sinx|≤1，而52>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．故②③正确． 6

思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p，q的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m2D．∀n∈R，n2答案 B

解析 对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B. (2)下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2 答案 B 解析 当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定 例2(1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为( ) A．∃x∈R，ex－x－1≥0 B．∃x∈R，ex－x－1>0 C．∀x∈R，ex－x－1>0 D．∀x∈R，ex－x－1≥0 答案 C 解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 7

C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 答案 C 解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立． (2)对全称(存在性)命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定． 跟踪训练1(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cosx＝1 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0 答案 C 解析 因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C. (2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( ) A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 答案 B 解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0， 所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B. 8

题型三 命题中参数的取值范围 例3(1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________． 答案 [e,4] 解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．

(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________． 答案 14，＋∞ 解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，

得0≥14－m，所以m≥14. 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

答案 12，＋∞

解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，