时间序列中自相关与偏相关函数分析

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python自相关函数

python自相关函数
Python自相关函数是一种用于统计学和时间序列分析的函数。

它用于测量时间序列中的自相关性，也就是一个信号与自身在不同时间点上的相关性。

在时间序列分析中，自相关函数常用于确定时间序列的季节性和趋势。

Python中可以使用numpy库中的correlate函数来计算自相关函数。

该函数有两个参数，第一个参数是输入的时间序列，第二个参数是延迟值，即要比较的时间点之间的距离。

例如，以下代码计算了一个长度为10的时间序列的自相关函数，并输出了自相关系数：
import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
corr = np.correlate(x, x, mode='full')
print(corr)
输出结果为：
[385 352 321 292 265 240 217 196 177 160 145 132 121 112 105 100 97 96 97 100 105 112 121 132 145 160 177 196 217 240 265 292 321 352 385]
数组中的第一个元素表示延迟为0的自相关系数，第二个元素表示延迟为1的自相关系数，以此类推。

在这个例子中，我们可以看到自相关函数在延迟值为0时达到最大值，然后随着延迟值的增加而逐渐减小。

总的来说，Python自相关函数是一个非常有用的工具，可以帮助我们分析时间序列数据，了解信号在不同时间点上的相关性，以及判断数据中是否存在季节性和趋势。

时间序列分析(第一章、第二章)2

自协方差函数的周期性分析

例 3.1
AR(4)模型1的谱密度
2.5 2 lamda=2.07 lamda=1.1
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
0
5
10
15
20
25
AR(4)模型1、2、3的谱密度
4
3
2
1
0
-1
-2
-3 0
10
20
30
40
50
60
70
80
§2.3
AR( p) 序列的谱密度
Yule-Walker方程自协方差的收敛性自协方差的正定性时间序列的完全可预测性
谱密度的自协方差函数反演公式
定理3.1的证明
白噪声列与平稳解的关系
Yule-Walker方程
Yule-Walker系数的最小相位性(2)
Levinson递推公式
偏相关系数
AR序列的偏相关系数
AR序列的充分必要条件
定理4.3的证明(1)
定理4.3的证明(2)
定理4.3的证明(3)
定理4.3的证明(4)
本节内容的应用意义
§例5.1 AR(1)序列
X t 0.85X t 1 t ,
250
300
350
400
450
4 gamma=3.6036 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
5
10
15
20
25
8 7 6 5 4 3 2 1 0 f(0)=7.0736

时间序列自相关方程

时间序列自相关方程时间序列自相关方程是一种用于描述时间序列数据内部关联性的方法。

它可以帮助我们理解数据的趋势和周期性，并预测未来的变化。

本文将介绍时间序列自相关方程的基本概念、应用和局限性。

一、什么是时间序列自相关方程时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点的集合。

自相关方程是通过计算时间序列数据点与其自身滞后一定时间的数据点之间的相关性来描述数据的内在关联性。

时间序列自相关方程可以表达为：R(t) = Cov(X(t), X(t-h)) / (Var(X(t)) * Var(X(t-h)))，其中R(t)表示时间t和时间t-h之间的自相关系数，Cov表示协方差，Var表示方差。

1. 趋势分析：通过计算时间序列数据点与其滞后数据点之间的自相关系数，可以得到数据的趋势信息。

如果自相关系数接近于1，则表示数据存在较强的正向趋势；如果自相关系数接近于-1，则表示数据存在较强的负向趋势。

2. 周期性分析：时间序列数据通常会呈现出一定的周期性。

通过计算时间序列数据点与其滞后数据点之间的自相关系数，可以判断数据的周期性。

如果自相关系数在某个滞后期内达到峰值，则表示数据存在该滞后期的周期性。

3. 预测分析：时间序列自相关方程可以用于预测未来的数据变化。

通过计算时间序列数据点与其滞后数据点之间的自相关系数，可以确定未来数据与过去数据的关系，从而进行预测。

三、时间序列自相关方程的局限性时间序列自相关方程在一些情况下可能会存在局限性。

1. 数据的非平稳性：如果时间序列数据存在趋势或季节性等非平稳性，那么自相关方程可能无法很好地描述数据的关联性。

2. 数据的非线性关系：自相关方程假设时间序列数据的关联性是线性的，但实际上数据的关联性可能是非线性的。

在这种情况下，自相关方程可能无法准确描述数据的关联性。

3. 数据的噪声干扰：时间序列数据往往会受到各种噪声的干扰，这些噪声可能会对自相关方程的计算结果产生影响。

时间序列自相关方程是一种用于描述时间序列数据内部关联性的方法。

《时间序列分析》讲义第三章平稳时间序列分析

k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p

计量经济学重点知识整理

计量经济学重点知识整理计量经济学是经济学中重要的一个分支，主要研究经济现象和经济理论的数理化方法。

本文将整理计量经济学中的重点知识，帮助读者系统地理解和掌握这门学科。

一、计量经济学简介计量经济学是运用统计方法和经济模型对经济问题进行定量分析的学科。

它利用数理统计学的工具，根据经济理论和实证研究的需要，对经济现象进行测度和解释。

计量经济学方法的特点是同时考虑了外生性和内生性变量之间的关系，能够揭示其中的因果关系。

二、计量经济学的基本原理1. 线性回归模型线性回归模型是计量经济学中最基本的模型之一，用于描述因变量与自变量之间的线性关系。

常见的线性回归模型有简单线性回归模型和多元线性回归模型。

对于简单线性回归模型，可以通过最小二乘法估计模型参数，求得最佳拟合曲线。

而多元线性回归模型则通过矩阵运算推导出参数的估计公式。

2. 假设检验在计量经济学中，假设检验是一种重要的统计方法，用于验证经济理论的假设。

常见的假设检验包括 t 检验、F 检验和卡方检验等。

通过构建原假设和备择假设，并计算相应的统计量，可以对经济理论提出的假设进行检验，从而得出结论。

3. 时间序列分析时间序列分析是计量经济学中的一个重要分支，用于研究随时间变化的经济现象。

常见的时间序列分析方法包括自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的计算，以及平稳性检验、白噪声检验、单位根检验等。

这些方法可以帮助我们了解时间序列数据的性质，并进行有效的预测。

4. 面板数据分析面板数据是计量经济学中常用的一种数据类型，指同一时期内多个个体或单位的多个观测数据。

面板数据分析方法可以更好地解决普通截面数据和时间序列数据的缺陷，提高分析的效果。

常见的面板数据模型包括固定效应模型和随机效应模型，通过估计模型参数，可以得到各个因素对经济变量的影响。

三、计量经济学的应用领域1. 消费者行为分析计量经济学方法可以应用于消费者行为的分析，通过对消费者支出和收入等因素的测度和分析，揭示消费者行为背后的规律。

计量经济学试题时间序列分析与ARIMA模型

计量经济学试题时间序列分析与ARIMA模型计量经济学试题：时间序列分析与ARIMA模型1. 引言时间序列分析是计量经济学中重要的分析方法之一，能够揭示变量随时间变化的规律，并为未来趋势的预测提供依据。

ARIMA模型（差分自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一，具有较强的建模和预测能力。

本文将介绍时间序列分析方法以及ARIMA模型的理论基础，并通过试题案例讲解其具体应用。

2. 时间序列分析方法概述时间序列是按时间顺序排列的一系列数据点，其特点是数据之间存在一定的时间关联性和趋势性。

时间序列分析方法可用于研究时间序列的规律，并对未来的变化进行预测。

常用的时间序列分析方法包括：平稳性检验、自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析、白噪声检验、差分运算等。

3. ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是一种广义的线性时间序列模型，它结合了自回归（AR）模型、差分（I）运算和滑动平均（MA）模型。

ARIMA模型的建立一般包括以下几个步骤：确定时间序列的平稳性、确定模型的阶数、拟合模型参数、模型检验与预测。

4. 时间序列分析与ARIMA模型的应用案例以某工业品生产量的时间序列数据为例，我们来演示时间序列分析与ARIMA模型的具体应用过程。

4.1 数据准备与描述性分析首先，我们收集了过去36个月的某工业品生产量数据，用于进行时间序列分析和ARIMA建模。

通过对数据的描述性统计分析，我们可以了解数据的分布特征、趋势以及季节性等信息。

4.2 平稳性检验为了应用ARIMA模型，首先需要检验时间序列的平稳性。

我们可以使用单位根检验（ADF检验）等方法判断时间序列是否平稳。

若时间序列不平稳，需要进行差分操作，直至得到平稳序列。

4.3 确定模型的阶数在ARIMA模型中，AR阶数表示自回归模型中的滞后阶数，MA阶数表示滑动平均模型中的滞后阶数。

通过观察自相关函数ACF和偏自相关函数PACF的图像，可以确定ARIMA模型的阶数。

自相关检验方法

自相关检验方法自相关检验是一种时间序列分析方法，用于检测一个时间序列是否存在自相关关系。

自相关意味着一个时间序列中过去的值会对未来的值产生影响，因此这种检验在研究时间序列数据的影响因素时非常有用。

在进行自相关检验前，需要首先了解一些基本概念。

时间序列是指同一现象在不同时间点观测所得到的数据。

自相关是指一个时间序列中过去的值与现在值之间的关系。

自相关系数是用来衡量自相关强度的指标，其值范围在-1到1之间。

如果自相关系数为正，则表明时间序列中过去的值与现在值呈正相关关系；如果自相关系数为负，则表示它们呈负相关关系；若为0，表示它们之间无自相关关系。

对于自相关检验，经典的方法是使用Ljung-Box检验和Durbin-Watson检验。

Ljung-Box检验用来检验时间序列是否存在自相关关系。

它计算出一系列自相关系数，然后比较它们与随机分布的期望值，从而得出时间序列是否有显著的自相关关系。

这个检验需要提供用于计算的自相关滞后数（lags），通常建议在10~20之间选择适当的值。

如果Ljung-Box统计量的p值小于显著性水平（例如0.05），则可以推断该时间序列存在自相关关系。

Durbin-Watson检验也是一种常用的自相关检验方法，它特别适用于AR(1)模型。

该检验利用AR(1)模型的自相关系数的特性，基于残差的一阶自相关系数来判断时间序列的自相关性。

Durbin-Watson检验的检验统计量为DW，其范围为0到4。

一般DW值在2左右表明无自相关关系，小于2表明有正自相关关系，大于2表明有负自相关关系。

在进行自相关检验时，还需要注意以下几点：1. 时间序列的长度和样本容量要充分，否则结果会不够可靠。

2. 自相关检验只能检测线性自相关，其他形式的自相关关系无法检测。

3. 对于复杂的时间序列，可能需要采用其他更为复杂的自相关检验方法。

总之，自相关检验是一种重要的时间序列分析方法，可以用来检测时间序列中的自相关关系。

时序预测中的ARIMA模型参数调整方法分享

时序预测中的ARIMA模型参数调整方法分享时序预测是指通过历史数据的分析和建模，来预测未来的趋势和变化。

在时序预测中，ARIMA（Auto Regressive Integrated Moving Average）模型是一种经典的时间序列预测模型，具有广泛的应用。

然而，ARIMA模型中的参数选择对预测结果具有重要影响。

本文将分享一些ARIMA模型参数调整的方法，希望对时序预测工作者有所帮助。

首先，ARIMA模型的参数包括三个部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和移动平均阶数（q）。

其中，p代表自回归项数，d代表时间序列的阶数，q代表移动平均项数。

调整这三个参数是ARIMA模型中最关键的一步。

下面将介绍一些常用的方法和技巧。

1. 观察自相关和偏自相关图在选择ARIMA模型的参数时，首先要对时间序列的自相关和偏自相关进行观察。

自相关图是用来检测序列是否存在自相关性的一种方法，而偏自相关图则是用来检测序列的部分相关性。

通过观察这两个图，可以初步确定ARIMA模型的参数范围。

2. ACF和PACF图ACF图（自相关函数图）和PACF图（偏自相关函数图）是评价时间序列自相关性和偏自相关性的重要工具。

在调整ARIMA模型的参数时，可以根据ACF和PACF图来确定p和q的初步取值。

一般来说，如果ACF图在滞后k时截尾，而PACF图在滞后k时截尾，那么可以初步确定p=k，q=k。

3. 网格搜索网格搜索是一种通过遍历多种参数组合来确定最佳参数的方法。

在ARIMA模型中，可以通过网格搜索来确定p、d和q的最佳组合。

通过编写循环程序，遍历不同的p、d和q的取值，计算每一组参数的AIC或BIC值，从中选择使得AIC或BIC值最小的参数组合。

4. 自动化工具除了手动调整参数外，也可以使用一些自动化工具来进行参数调整。

比如，Python中的pmdarima库提供了自动化的ARIMA模型调参功能。

通过调用auto_arima函数，可以自动确定最佳的ARIMA模型参数。

第二时间序列分析的基本概念

特征统计量
均值
t EX t xdFt (x)
方差
DX t
E(Xt t )2
2
(x t ) dFt (x)
自协方差函数 (t, s) E( X t t )( X s s ) 自相关函数 (t, s) (t, s)
(t,t) (s, s)
由此可见，时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差推广差时间序列自协方差函数具有对称性：
ˆ k 1,k 1
j 1 k
1 ˆkjˆ j
j 1
其中
ˆ11 ˆ1 ˆk 1, j ˆkj ˆ ˆ k 1,k 1 k ,k 1 j
j 1,2, k
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例如，根据上述递推公式，我们有：
ˆ11 ˆ1
ˆ22
ˆ 2 ˆ12 1 ˆ12
(1)s
0
ts ts
则称此序列为白噪声序列。上一页下一页返回本首页
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。
2.独立同分布（iid）序列定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，
t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。
一、两种不同的平稳性定义
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我们研究的通常是宽平稳序列，在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳序列。
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二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布随机过程是一族随机变量，类似于随机变
量，可以定义随机过程的概率分布函数和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。

关于时间序列分析

1.全然概念(1)一般概念：系统中某一变量的瞧测值按时刻顺序〔时刻间隔相同〕排列成一个数值序列，展示研究对象在一定时期内的变动过程，从中寻寻和分析事物的变化特征、开展趋势和规律。

它是系统中某一变量受其它各种因素碍事的总结果。

(2)研究实质：通过处理推测目标本身的时刻序列数据，获得事物随时刻过程的演变特性与规律，进而推测事物的今后开展。

它不研究事物之间相互依存的因果关系。

(3)假设根底：惯性原那么。

即在一定条件下，被推测事物的过往变化趋势会连续到今后。

暗示着历史数据存在着某些信息，利用它们能够解释与推测时刻序列的现在和今后。

近大远小原理〔时刻越近的数据碍事力越大〕和无季节性、无趋势性、线性、常数方差等。

(4)研究意义：许多经济、金融、商业等方面的数据根基上时刻序列数据。

时刻序列的推测和评估技术相对完善，其推测情景相对明确。

尤其关注推测目标可用数据的数量和质量，即时刻序列的长度和推测的频率。

2.变动特点(1)趋势性：某个变量随着时刻进展或自变量变化，呈现一种比立缓慢而长期的持续上升、下落、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不等。

(2)周期性：某因素由于外部碍事随着自然季节的交替出现顶峰与低谷的规律。

(3)随机性：个不为随机变动，整体呈统计规律。

(4)综合性：实际变化情况一般是几种变动的叠加或组合。

推测时一般设法过滤除往不规那么变动，突出反映趋势性和周期性变动。

3.特征识不熟悉时刻序列所具有的变动特征，以便在系统推测时选择采纳不同的方法。

(1)随机性：均匀分布、无规那么分布，可能符合某统计分布。

(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多数服从正态分布。

)(2)平稳性：样本序列的自相关函数在某一固定水平线四面摆动，即方差和数学期瞧稳定为常数。

样本序列的自相关函数只是时刻间隔的函数，与时刻起点无关。

其具有对称性，能反映平稳序列的周期性变化。

特征识不利用自相关函数ACF：ρk =γk/γ其中γk是y t的k阶自协方差，且ρ0=1、-1<ρk<1。

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关键词自相关函数偏相关函数时间序列
ＡｎａｙｅＡｕｏａｉｎｌｚｔ－ｏｒｌｔｏｎｒｉｌｏｒｌｔｏｓ
ＦｕｔｏｎｔｍｅＳｒｅｎｃｉｎｉｉｅｉｓ
ＡｂｔａｔＣｏｒｌｔｏｖｕｎｃｉｎｒｆａｔｈｓｒｃｒｅａｉｅｆｔｏｅｌｃｓｏｗｏｅｈｅｃｒｅａｉｈｅｅｅｙｔＯｖａｕｅｉｔｅｔｍｅｓｒｅｄｓｔｏｒｌｔｏｎｏｆｔｖｒＷｌｎｈｉｅｉｓａｌｉｅｙｗｉｈｈｉｅ— ｄｉｔｎｃＡｕｔ —ｃｒｅａｉｓｆｎａｙｓｓｖｒｔｔｅｔｍ — ｓａｅ．ｏ— ｏｒｌｔｏｎｕｎｃｉｎｄｉｔｈｅｃｒｅａｉａｕｅａｔｅｔｏｅｐｃｓｔｏｒｌｔｏｎ０ａｖｌｎｄｈｎｅｒａｂｙｏｎｅｉｈｅｔｍｅｓｒｅｂｒｉｌｃｒｌｔｏｎｓｕｔｏｅｉｉｔｓｔｆｅｔｏｆｔｔｒ．Ｂｅｉｅｓｎｔｉｅｉｓ．ｕｔｐａｔａ — ｏｒｅａｉｆｎｃｉｎｌｍｎａｅｈｅａｆｃｈｅｏｈｅｓｓｄ。ｔｅａａｅｔｃｎｅｔｏｎ．ｈＷＯｃｒｌｔｖｕｔｏｎｅｌｃｏｅｉｏｍａｔｏｈｙｈｖｅｎｅｒｓｏｎｃｉＴｅｔｏｒｅａｉｅｆｎｃｉｓｒｆｅｔｍｒｎｆｒｉｎｓ，ｈｅｌａｙｅｆｃｓｔｙａｌｐｌｙｋｅｆｅｔｉｅｙａｐｔｏｆｔｍｅｓｒｅｎａｙｓｓｎｅｖｒｓｅｃｉｅｉｓａｌｉ．
Ｋｅｗｏｄａｔ－ｃｒｅａｉｎｕｃｉｎｐｒｉｌｃｒｅａｉｎｕｃｉｎｔｅｉｓａａｙｉｙｒｓｕｏｏｒｌｔｓｆｎｔｏａｔ－ｏｒｌｔｓｆｎｔｉｓｒｎｌｓｏａｏｏｍｅｅｓ
偏相关函数难以由定义直接计算得到，但是，由公式推导可以发现，ｋ阶偏相关函数即是
按ｋ阶自回归模型对ｅ作线性最小方差估计时的最后一项系数．由此可以得到计算偏相关函
数的递推公式：
＾
．＿、
ｐ＋ ★ １一
维普资讯
第２卷第ｌ期７２００７年３月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＡＬＴＨＥ０ＲＹＡＮＤＡＰＰＬｌＣＡＴｌ０ＮＳ
Ｖｏ＿７Ｎｏ１ｌ２．Ｍａ＂０７ｚ．２０
时间序列中自相关与偏相关函数分析。
＋１¨ ．１＝
ｐ＋１． ★ 一ｊｊ
ｌ一
ｐｊ．ｊ
Ｊ１
＋．１，一．一＋．１．卜，，１＋件１，
于宁莉易东云涂先勤（国防科学技术大学数学与系统科学系，长沙，１０３４０７）
摘要相关函数表现出时间序列中任意两个值之间的相关性是如何随着时间间隔而改变的．自相关函数
刻画了时间序列相邻变量之间的相关性，相关函数则是排除了其它中间变量的影响，实地反映两个变量偏真之间的相关性，且二者紧密相连．并同时两个相关图所反映的信息在时间序列分析各个方面发挥着关键作用．
ＹｕＮｉｇｉＹｉＤｏｇｙａｑｎｎｌｎｕｎＴｕＸｉｏｉ
（ｔｎｌｎｖｒｉｙｏｅｅｓｃｎｌｇＣｈｎｓａ４０７）ＮａｉａｉｅｓｔｆＤｆｎｅＴｅｈｏｏｙ。ａｇｈ，１０３ｏＵ
１自相关和偏相关函数的定义、推导方法
定义１设已有零均值平稳序列｛｝的一组观测数据ｅ，。… ，，ｅｅ，ｅ则对的有偏估计为：
＾． ¨一
一
１ ∑ 川，称为本自差函则本自关函为：｛｝样协方数，样相数
’ ｌ … 一＋ｌ＝，
’ ‘
－
朱健民教授推荐收藕１期：０６年６月８【３２０］
维普资讯
第１期
时间序列中自相关与偏相关函数分析
５５
其中Ｅ（ｅ，，一）・ＩＨ … ｅ ¨ 是关于条件密度函数ｆｅ，ｔＩ，，＋）的条件期望．ｔ（，ｅｅ … ｅ一Ｈ
’ 。
ｔ１一
＾
＾
＾
＾
｛｝ — Ｔ／ｏｋ：０１２，．，ｋｒ，，， …
定义２对于平稳时间序列｛｝ｋ阶偏相关函数定义为ｅ关于ｅ，
相关函数
＝
一
“，＋的条件
Ｅ（，－Ｉ－，， — １ｅｆｅ一 … ｅ）ｅ一ｆ１＋