八年级数学上册等腰梯形的性质及证明(人教版)

启发与思考中设计了五个问题，旨在引导学生应用正确的方法证明猜想；并引导学生在对问题探索过程中发现规律、总结规律；第三是引导学生在探索过程中养成良好的思维习惯和思维方法；第四是使学生的直觉思维（猜想、感性的）上升为形象思维(正确、理性的)。
其中问题一是引导学生运用分析法（执果索因）探索证明方法，并使学生领会这一常用的数学方法。
在实际教学中，估计学生可以很容易的填出（一）中的前两种、(二)中的第一种，其它情况可由教师引导填出。
教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍。
引出辅助线后，证明比较简单，可由小组推荐代表到黑板板演，比一比那个组的证法最规范。
下面的证明是针对第一种情况第一个图的证明，其它情况的证明略。
三、分析探索、寻求证明：
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
求证：∠B=∠C
启发与思考：
问题一：证明两角相等通常采用什么办法？
创设问题情境，鼓励学生讨论中的三个问题由教学多媒体集成。
1.是起到创设问题情景的作用。
2.是为了引入新课。
分组讨论，进行问题类比是为学生创造合作的学习环境，提供探索问题的方法。并使学生在类比中产生直觉思维（建立猜想）。
3.使学生理解几何问题中转化的数学思想。
教学重点：
等腰梯形的性质。
教学难点：
1．等腰梯形的性质。2.添加辅助线进行问题的转化。
教学关键：
准确（适当）地添加辅助线。
教学方法：
启发引导探索发现
教学用具：
教学多媒体
教学内容
设计意图
教
学
过
程
一、创设问题情境，鼓励学生讨论:
1．什么是等腰三角形？有什么性质？
2．什么是等腰梯形？
第三可以使学生在探索中发现研究梯
教
学
过
程
证明：如图，过点D作DE∥AB,交BC于点E。
∴∠B=∠DEC
∵AD∥BC
∴AB=DE
又∵AB=DC
∴DE=DC
∴∠DEC=∠C
∴∠B=∠C
问题五：上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？(教师引导学生总结。)
第一种添加辅助线的方法：
1．可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究。
B C
启发与思考：
1．是不是可以类比性质定理的方法进行证明？
2．都有什么方法？（重点突出如何添加辅助线）
学生很容易将性质定理证明的方法迁移到此题，会得出许多证法。除此以外，可以引导学生如下图的方法添加辅助线进行证明。E
证明可由学生完成。
A D
证明略
B C
五、总结规律，促使知识内化：
a)注意“转化”的数学思想，并能够应用它。
3．等腰梯形与等腰三角形比较，等腰梯形有什么性质？（猜想）
（板书课题：等腰梯形的性质定理及证明）
二、问题类比，提出猜想：
将学生分组，讨论上述第三个问题。很快得出一个猜想（命题）：
命题：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以证明。）
2．本节课案的教学设计立足于“探究发现式”教学模式。
3．本课案力求突出三条线：问题线、探究线和思维线。以问题激发学生的求知欲望，使学生建立猜想（直觉），并带领学生一步步深入探究，以问题引导学生的思维发散和聚拢，并使学生在探索过程中获取的认识上升为理性认识。也就是使学生掌握研究梯形问题的一般规律和方法，也就是使学生掌握运用分析法、运用转化的思想解决梯形问题，从而使学生掌握梯形问题中添加辅助线的一般规律和方法。
问题二是使学生重温“转化”这一重要的数学思想；使学生的探索在正确的思想指导下进行；并且可以自然的引出下面的问题。
问题三是引导学生发现解决“转化”的途径和方法。
问题四是一个开放性的问题，同时是教学中的难点和关键，所以提出这个问题是必然的。
第二是通过对这个开放性的问题的探索，可以很好的培养学生的发散思维，可以很好的培养学生的数学能力。
教
学
过
程
（可能的答案：1.证明所在的两三角形全等。
2.证明是等腰三角形。
3．证角平分线，等等。）
依据学生的回答，让学生观察图形，发现可能采用的证法与所给的已知条件相距甚远。因此，引出新的问题：
问题二：对于研究新问题（未知的、复杂的问题），通常采用什么数学思想解决？
(回答是肯定的：“转化”的思想。也就是将未知的转化为已知的，将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究。)
教学中将学生分组讨论，并证明。
可能的添法：
(一)、过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形。如图所示:
ADA D
C
BEC B E C
A D E E A D
B C B C
(二)、过上底的端点作下底的垂线或过下底的端点作上底延长线的垂线。如图所示：
A D E A D F
B E F C B C
第二是使发散的思维转向聚拢。
巩固练习的实质是等腰梯形的判定定理的证明。因为其证明与性质定理的证明类似，引用它可以促使知识的正迁移，使知识与技能及时得到巩固和深化。其次是为下节判定出规律，使学生掌握解决问题的一般性的方法。
作业的目的与总结的目的相同。
设计说明：
1．本课案设计教学时间为一课时。
4．本课案设计的实质是想培养学生良好的思维习惯，即培养学生思维的深刻性、灵活性及批判性；培养学生分析问题、解决问题的数学能力；培养学生勇于探索的精神，提高学生的探究能力，也就是使学生具有一定的创新精神和实践能力。
5．本课案的另一个想法是使学生学会合作学习，使学习成绩在合作中提高，使学生在合作中获得成功，使学生在合作中体会成就感。
2．可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）。
这两种方法均可用问题一中的2进行证明。
第二种添加辅助线的方法：
可理解为构造两个三角形，并证明这两个三角形全等，从而使问题得证。
四、巩固练习，促进知识正迁移：
已知：如图，梯形ABCD, A D
AD∥BC,∠B=∠C
求证：AB=CD
等腰梯形的性质及证明
课题
等腰梯形的性质及证明
教
材
简
介
等腰梯形与直角梯形是并列的梯形，梯形与平行四边形又是并列的四边形。等腰梯形的性质是梯形问题的重点，深刻的理解等腰梯形的性质，有助于知识的内化，有助于形成知识系统，有助于发展学生的数学思维。
教
学
目
标
1.使学生掌握等腰梯形的性质定理及证明。
2.使学生理解适当的添加辅助线是解决问题的关键。
b)注意研究梯形问题中常见的添加辅助线的一般规律。（问题四及练习中的方法。）
c)注意学会分析问题、解决问题的一般性方法。
六、作业：
a)阅读教材。
总结在梯形问题中常用的转化方法。（即怎样添加辅助线，为什么这样添加？）
形问题常用的添加辅助线的规律，并使学生形成研究梯形问题的基本技能。
问题五是使学生理解添加辅助线的实质，并引导学生总结在一般情况下添加辅助线的规律，促使知识内化，从而使学生在探索中获得的认识上升为理性认识。
板书设计：
§4.8等腰梯形的性质定理及证明
一、设问题情境:
二、问题类比，提出猜想：
三、分析探索、寻求证明：
四、巩固练习，促进知识正迁移：
五、总结规律：
六、作业：
教学后记：
问题三：怎样转化？
(添加辅助线。)
问题四：怎样添加辅助线？可以将问题转化为大家熟悉的图形，并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究。
这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系。并利用已知图形的性质及已知条件进行证明。