一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性
一类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破
＝ ｅ ｖ
ｘ ａ ∈ Ｑ
ｄ ｎ
证
取 ｈ ） 是 下 面 椭 圆 方 程 （ ∈ｃ ｘ
ｘ ｎ ∈
我们的主要结果 如下 ：
ｆ ＝Ｉ， ＩＤ Ｉ △ｈ Ｏ ／ ． Ｑ Ｉ
定 理 １ 若 ｐ≤１ｐ≤１０ ｄ ， ＜ ，则对 于 小初 值 ｕ ｌ ，２ ，＜ １ １ ２ ｏ （ ， ）方程组（ ） ｘｖ ， ） １ 的解整体存在．
Ｆｂ ２ Ｏ ｅ ． ０ｌ
一
类半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破
春 玲
（ 内蒙古 民族 大学 ， 内蒙古 通辽 ０ ８０） ２００
摘
要 ：研 究了一类带有非线性边界条件的半线性抛物型方程组解的整体存在及爆破 问题． 通过构造乃 杠 组的上 、 －， ｚ 下解 ，
得到 了解整体存在的一个充分条件及解在 有限时刻爆破 的一个充分条件．
爆破． 本 文 引 入 下 列 记号 ： 。（ ＋ ｐ）１Ｐ） 一 ２ ｑ ：， 记 ＝ １ ｑ－ ，（一 １１ｐ） ． ） ／ （ 一ｑ ０＝ １ｑ－ １ １ ｐ （ ｐ）ｑｑ）ｋ ｌ（－ ｌ ） ， １１Ｐｐ ｃ， 【 （ ＋ ：ｐ／ － １１ ． Ｉ ，＋ ＝１ ｐｐ 。 （一 １ ｔ ２ ） （ ）－ － ： ’ １ ＋ ｊ １！
一
Ｖｔ △ ≥ ０ 一 ≥ 一 Ａｖ， ∈ Ｑ， ０ ｘ ｔ ＞
取 ＝ｘ ， ｝ ． Ａ ａ ＭＡ ｍ｛ ［
取 ｇ） （满足 ｔ
（） ２
）
（） ５
Ｊ 一 ≥≥ 一 ， ａ， — ｏ ｅ ，＞ Ｏ ａ ｕ ｅｑ ｏ ｔ
ｎ Ｏ ｎ —一 —
ｇＩ Ｍ ｔ０ ＝ ＞ （ ）
第２ ６卷 第 ２期
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程是储存自然信息地载体,自然现象地深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强地优越性.微分方程是一个庞大地体系,它地基本问题就是解地存在性和唯一性.该学科地主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程地适定性问题地普适地方法和理论.这是与常微分方程有显著差异地地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类地依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学地角度,方程地类型一般总是对应于一些普遍地理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性地方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象地角度,我们又可以根据不同地运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联地,这就造成方程地概念有许多重叠现象.根据数学地特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：线性与拟微分方程,研究这类方程地主要工具是分析方法；椭圆型方程,它地方法是先验估计泛函分析手段；抛物型方程,主要是方法,算子半群,及正则性估计；双曲型方程,对应于方法；一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.从自然界地运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：稳态方程（非时间演化方程）；耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充地自然运动.相变与混沌是它们地主要内容；文档收集自网络，仅用于个人学习保守系统,如具有势能地波方程.该系统控制地运动是与外界隔离地,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们地主要特征；文档收集自网络，仅用于个人学习守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似地性质,可视为物质流地守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.文档收集自网络，仅用于个人学习下面具体来介绍三类经典方程：三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型地建立,解问题地解法以及三类典型方程地基本理论.文档收集自网络，仅用于个人学习关于三类典型方程定解问题地解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和函数方法.文档收集自网络，仅用于个人学习关于三类典型方程地基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解地唯一性和稳定性地相关结论.具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它地古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数地基本性质、函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者地研究则需要知道空间地相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它地变换、特殊地求解方法、基本解、方程式和方程组地最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项地方程式地最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题地求解方法、初值问题地能量不等式与解地适定性、以及混合问题地能量模估计与解地适定性.文档收集自网络，仅用于个人学习椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解地适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则地求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件地具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有地特殊性质,将证明所求解是唯一地,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据地连续依赖性问题文档收集自网络，仅用于个人学习学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切地基础.首先有必要解释一下解地适定性.简单地说,一个偏微分方程是适定性地,若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据地微小改变地响应也是很小地改变（连续依赖性）.前两个准则是一个有意义地物理模型所要求地,第三个准则是实验观察地基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义地问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别地重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算地如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度地数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学地重要性,适定性成为偏微分方程理论地核心内容.文档收集自网络，仅用于个人学习因此,偏微分方程地学习应以三类线性偏微分方程地适定性问题为主要研究对象.同时,考虑到偏微分方程理论地两个特点：一是与应用、与物理地紧密联系；二是与数学其它分支地联系.以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值地特点.文档收集自网络，仅用于个人学习针对特点一：首先,数学物理方程是自然科学和工程技术地各门分支中出现地偏微分方程,这些方程给出了所考察地物理量关于自变量（时间变量和空间变量）地偏导数地关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面地基本方程都属于数学物理地范畴,数学物理方程侧重于模型地建立和定解问题地解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身地数学理论,所以偏微分方程理论地研究是能够更好地将其运用于物理当中.文档收集自网络，仅用于个人学习针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中地基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支地研究问题地范围与方向以影响.文档收集自网络，仅用于个人学习鉴于此,对于应用数学而言,掌握和研究偏微分方程地目地主要应该放在以下几个方面：（）建立模型.在经典物理中,具有普遍意义地自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应地自然现象建立数学模型.如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中地物理定律就属于这种情况.在近代物理中,情况有一些变化.咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律是隐而不见地,此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来地.然而,到了现代数学阶段,大多数面临地问题仅依靠物理或数学地单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行.因此,只有系统全面地掌握偏微分方程地理论与方法,才能训练出从方程解地性质反推出模型地形式地能力,这里方程解地性质是由实验数据与观测资料所提供.这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型地基本要求;文档收集自网络，仅用于个人学习（）从已知地方程和模型推导出新地发现和预言.这个方面可以说是科学发展最重要地环节之一;（）从控制自然现象地微分方程中得到问题地机理和解释;（）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合地性质和结论.虽然这类工作不能提供新地科学结果,但能使我们加深对问题地理解,体现自然美与数学美地有机结合.文档收集自网络，仅用于个人学习在总结了偏微分方程理论所研究地内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它地物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么.事实上,同一个方程有许多不同地来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用地原因之一.同时对于不同地来源进行类比研究可以更好地解释物理过程地某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来地物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来地物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型地有效性,另一方面可以更好地理解已知地物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中地意义.文档收集自网络，仅用于个人学习然后,要善于去思考,总结,归纳.逐步提高分析、解决实际问题地能力.至于与数学其他学科地联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析地概念,思想,和定理,解地表达形式也是有积分形式地或级数形式地,解空间地结构则用到许多线性代数地知识.文档收集自网络，仅用于个人学习最后,学好泛函分析也是同等重要地,因为偏微分方程解地唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析地理论和方法.所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析地许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）,也要同样学好泛函分析.文档收集自网络，仅用于个人学习参考文献王明新，偏微分方程基本理论；马天，偏微分方程理论与方法；王明新，数学物理方程.。
关于奇异半线性椭圆型方程组的正整体解的存在性
福建农林大学学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ａ ｇ ｃｌ ｒ ｎ ｏ ｓ ｙＵ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃ ｄｔｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｊ ｎＡ ｒ ｕ ｕｅａｄＦｒ ｔ ｎｖ ｓｙ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｎ Ｆｉ ｉ ｔ ｅｒ ｅ ｔ ｎ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｉ ｖ ｎ ｉ ｏ ｕ ｉｎ；ｅｌ ｔ ｑ ａ ｏ ｉ ｅ ｉ ｔ ｈ ｒ ｍ ｙ ｗｏ ｄ ：ｐ ｓｔ ｅ ｅ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｉ ｒ ｏ ｌ ｐ ｃ ｅ ｕ ｔ ｎ；ｆ ｄ ｐ ｎ ｅ ｅ ｉｉ ｉ ｘ ｏ ｔｏ
近 年来在非 线性 数学 、 物理 、 物等学 科 中涌 现 出大 量非 线 性椭 圆型 方程 ， 内外 许 多数 学 工作 者 对 生 国 这类 方程 解 的存 在性 、 一性 、 唯 多解 性 及 其性 态 进 行研 究 ．９２年 Ｆ ｒｓｏ１ 表 了关 于 半 线性 椭 圆型 方 １９ ｕｕｈ 发 Ｌ 程 组 的正整体 解存 在性 的研究 论文 ． 近年来 国 内不 少 学 者 。 对 非 线 性椭 圆型 方程 组 的正 整体 解 的存在 性 进行研 究 ． 研究 在原 方程 中增 加 了奇异 项 ｕ ， 而增 加 了问题 的难度 和复 杂性 ， 本 从 但其 适用 面也 更广 ．
Ｙ（） Ｒ＋ ， ∈Ｃ （ ）且 满 足如下 常微 分方 程及 其初始 条件 ： ｔ ∈Ｃ （ ） Ｒ＋ ，
＝
（ ， （），Ｙ ｔ Ｉ （ ｔ ） ｔ ｔＹ ｔ Ｉ （） ） Ｙ （） 一，≥０ （ ＝１２ ｉ ，）
函数 ｕ 是式（ ） １ 的正整体解 ， 。 Ｃ （ 使得 ｕ 在 Ｒ 的每一点均取正值 （ ＝ ，） 且（ ｕ） 即ｕ ∈ Ｒ ） 。 ｉ １２ ， ｕ ， 满足 式 （ ）正整 体解 ｕ 径 向对称 的 ， １． 是 即如 果 ｕ 满 足 ｕ（ ）＝ｕ（ Ｉ （ ＝１２ ， ｕ是 式 （ ） Ｉ ） ｉ ，）且 １ 的正 整 体 解． 设 ： ： ０ ∞）Ｒ ： ０ ∞） 那么 ， Ｒ＋ ＝（ ， ， ＋ ＝［ ， ， 一个径向对称的函数 ｕ ＝ （ Ｉ是式 （ ） （） Ｙ Ｉ ） １ 的整体解 ， 当且仅当
2023年贵州省六校联盟高考数学适应性试卷(理科)(四)+答案解析(附后)
2023年贵州省六校联盟高考数学适应性试卷（理科）（四）1. 设是不大于6的正整数，，，求( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足为虚数单位，则复数z的共轭复数的虚部为( )A. B. 7i C. D.3. 从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01，02，…，57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第3个同学的编号为( )0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676注：表中的数据为随机数表第一行和第二行A. 36B. 43C. 57D. 464. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于的不同数字的个数有( )A. 240B. 360C. 600D. 7205. 已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是( )A.若，，，则 B. 若，，则C. 若，则D. 若，，则6. 已知，则( )A. B. C. 7 D.7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则( )A. 16B. 64C. 112D. 328. 某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生含一名主任医师、5名女医生含一名主任医师中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )A. B. C. D.9. 已知椭圆的右焦点为，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，则E的方程为( )A. B. C. D.10. 已知正实数x，y满足，则的最小值为( )A. B. C. 2 D.11. 已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，且，则( )A. 5B. 4C. 3D. 012.已知向量，且，则______ .13. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为______ .14. 在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象如图④记该正弦型函数的最小正周期为T，若椭圆的长轴长为，则______ .15. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，设直线AP，BQ的斜率分别为，，则当取得最小值时，双曲线C的离心率______ .16.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.求数列和的通项公式；令，求证：…17. 据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.18. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点.已知点G满足，求证B，E，G，F四点共面；求平面与平面BEF所成的锐二面角的余弦值.19. 平面内动点M与定点的距离和它到定直线的距离之比是1：求点M的轨迹E的方程；过点F作两条互相垂直的直线，分别交轨迹E于点A，C和B，D，求四边形ABCD 面积S的最小值.20. 已知函数若在点处的切线方程为，求实数a的值；设在的条件下，若满足，求证：21. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，且曲线经过坐标原点O，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求的极坐标方程；点极坐标为，B为上的一点，且满足，求22. 已知函数解不等式；若，对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，，故选：可求出集合U，然后进行并集和补集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，全集的定义，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以所以复数z的共轭复数的虚部为故选：先利用复数的乘法化简得到复数z，进而求得其共轭复数求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，选出的第1个同学的编号为36，第2个同学的编号为47，第3个同学的编号为故选：根据题意，由随机数表分析数据，找到选出的第3个同学的编号，即可得答案．本题考查简单随机抽样，涉及随机数表的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：小于的不同数字的个数有两类：第一类：开头的，剩余5个数字全排列有种；第二类：开头的，剩余5个数字全排列有种．根据分类加法计数原理可知，共种．故选：分为开头的以及开头的，分别计算得出结果，根据分类加法计数原理加起来，即可得出答案．本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，l与n可能平行，也可能异面，A错误；对于B，l与可能平行、也能相交，B错误；对于C，l与m可以平行、也可以相交或异面，C错误；对于D，若，，必有，D正确；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查直线、平面的位置关系，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为，所以，可得，可得，，则故选：由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的三角函数公式可求，的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值．本题考查了两角和的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设的公比为q，由已知，可得，解得，所以故选：根据已知列出关于，q的方程组，求解得出，q的值，即可得出答案．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：需要从我市某医院某科室的4名男医生含一名主任医师、5名女医生含一名主任医师中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，，，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：故选：设事件A表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，利用古典概型分别求出，，再利用条件概率能求出在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设，，则根据题意可知：，，又A，B两点在椭圆E上，，两式相减可得，，，，，解得，，椭圆E的方程为故选：设，，利用点差法可得a，b的关系，从而可求得a，b，即可得解．本题考查椭圆的几何性质，点差法的应用，方程思想，属基础题．10.【答案】A【解析】解：正实数x，y满足，表示线段AB上的点，设关于直线的对称点为，则由对称性可得，解得，故表示P到y轴距离d与到O的距离PO之和．由对称性可得，故原式，结合图象可知当与y轴垂直时上式取最小值，故选：由题意可得表示线段AB上的点，表示P到y轴距离d与到O的距离PO之和，由对称性解出关于直线的对称点为的坐标，数形结合可得．本题考查式子的最值，由式子的几何意义转化为数形结合是解决问题的关键，属中档题．11.【答案】C【解析】解：的图象关于直线对称，，由知，，，，即，是偶函数，，即，由知，，即，，，所以，从而，即，所以的周期为4，，，，，即，故选：依题意可得，结合已知可得，即为偶函数，进而得到，即的周期为4，再根据所给条件计算可得．本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，所以，解得，故答案为：先求得的坐标，再利用向量相等求解．本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．13.【答案】1【解析】解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，由图形可知，当直线过P，A两点时，斜率最大，即z取得最大值，又由，解得，，即，此时，即z的最大值为故答案为：画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，利用斜率公式，即可求解．本题考查线性规划问题，直线的斜率的几何意义，数形结合思想，属中档题．14.【答案】【解析】解：设圆柱底面圆的半径为r，因为椭圆截面与底面的夹角为，若椭圆的长轴长为，则，即，正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以故答案为：根据正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长求解．本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．15.【答案】【解析】解：由双曲线，可得，，设，则，且，所以，则，令，则，则，可得在上为减函数，在上为增函数，所以当时，M最小，此时故答案为：设，则，求得，得到，令，得到，求得，得出函数的单调性和最值，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，函数思想，属中档题．16.【答案】解：设公差为d的等差数列满足，，，所以：，解得；故设数列首项为，公比为q的等比数列，满足既是和的等差中项，又是其等比中项，所以，解得，故证明：；故【解析】直接利用等比中项和等差中项建立方程组，进一步求出数列的通项公式；利用放缩法和数列的求和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，放缩法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．由可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，的可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P【解析】根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；根据及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列．本题主要考查离散型随机变量分布列，属于基础题．18.【答案】解：如图，取中点H，连接AH，HF，因为H，F分别为，的中点．所以，且，所以ABFH是平行四边形，所以因为，所以又，所以，所以G是DH的中点．又因为E是AD的中点，所以，所以，所以B，E，G，F四点共面．如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，由，令，则，平面的一个法向量为，设平面BEF的一个法向量为，由，令，则，，平面BEF的一个法向量为，所以，，，所以平面与平面BEF所成锐二面角的余弦值为【解析】取中点H，证明所以ABFH是平行四边形，得出然后得出，即可得出；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后求出平面的法向量与平面的法向量，，计算即可得出答案．本题考查四点共面问题，考查二面角的求法，属中档题．19.【答案】解：设，由题意有且，化简得，即当其中一条直线的斜率不存在时，则、一条为长轴长、另一条为过F的通径长，令，则，可得，故通径长为3，而长轴长为，易得当，直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为k，则直线为，，化简整理得，设，，则，，，则直线的斜率为，同理，，令，则，当，即时等号成立，而，则四边形ABCD面积S的最小值为【解析】利用两点距离公式及已知列方程，化简整理即可得轨迹E的方程；讨论直线的斜率是否存在，设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积，求最值即可．本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．20.【答案】解：由题知：，，即切点为，所以该点处切线的斜率，则，故证明：由知，则等价于，故，设，，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，即当时，，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，即，令，则，由，得，所以当，，则在上为增函数，因为，所以，又，由于，则，则，即【解析】根据导数的几何意义以及切线的性质进行求解．根据已知，利用放缩法建立不等式，再通过构造函数，利用导数的单调性证明不等式．本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：由曲线的参数方程消去参数后得，的普通方程为，由曲线过原点且得；故的普通方程为，把，，代入得的极坐标方程为由题意，在极坐标系中，，点B在曲线上，设在中，由余弦定理有，即，化简得故或【解析】先根据参数方程消去参数得到普通方程，再利用极坐标的公式可得极坐标方程；设出B的坐标，利用余弦定理可求出答案．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】解：由，当时，，得，即；当时，，得成立，即；当时，，得，即；综上，不等式的解集是对任意的，存在，使得成立，等价于对任意的，存在，使得成立，即的值域是的值域的子集，，当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为因为，所以的值域为所以，解得所以a的取值范围是【解析】分别求解，，三种情况下的解集，综合即可得结果；对任意的，存在，使得成立，等价于的值域是的值域的子集，分别求得和的值域，即可得结果．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．。
论椭圆型方程边值问题与变分问题的等价性
Ｉｉ Ｆ
ｇ ｋ
（） ２
［ Ｖ ・ ｖ ）＋ Ｖ ｐ ｑ ｄ 一 （ Ｖ ｐ ｗ ・ ｗ＋ ｗ ］ｏ Ｖ
一
（ ＋ｏ ）Ｉ ｐ ＂ ｕ
（） ３
＝
式 中， ＝Ｆ ＋ －是逐段光滑的平面闭曲线 ， Ｆ 。 ／ ＇ ２ Ｄ是 厂所包围的开区域 ， Ｄ ＋ 在 ，上 ， Ｐ＝ｐ ｘＹ （ ，）＞０ ， ｑｘ） （ ，）≥０ ＝ （ ） ， ， ，）≥０ ＝ ，）且 Ｐ Ｅ ， Ｙ ， Ｃ ， ｇ Ｅ Ｃ， 边界 上 ， ＝ｇ ，） 在 边 界 在 ｇ （ ）， ， 上 ， （ ，）则方程 的解 ｕ＝ 所满足的充 ｋ＝ 菇Ｙ ． 。
（，＝［ Ｖ＋ ］＋～ｄ ｒ ） ｐ ｑａ ， ｕ Ｖ ￣ｏ
① 收稿 日 ： １ ０ － １ 期 ２ ２－ ３ ２ ０ 作者 简介 ： 夏必腊 （９ ３一 ， ， １６ ） 男 安徽庐江人 ， 副教授 ， 硕士研究生 ， 研究方向 ： 动力系统稳定性理论
第 ３期
于是有
夏 必腊 ， ： 椭 圆型 方程 边值 问题 与 变分 问题 的 等价性 等 论
Ｉ ，
＝ｇ （ ｕ ，ｐｄ ｌ＋
，
１
）Ｉ 一
令 ＝／一ｕ ， ｄ 则 满足下列齐次边界条件的 ，
椭 圆方 程
一
Ｖ ・（ ）＋ｑ ＝ｆ （ Ｙ ＰＶ ｗ ，）∈ Ｄ （ ） ５
Ｗｉ ＝ｇ
（） ６ （） ７
２ 主要 定 理 与 证 明
根据对称正定算子方程的变分原理， 只有齐次 边界条件的微分方程才有变分原理． 事实上 ， 非齐 次边界条件的微分方程边值问题也有变分原理 下 面给 出椭 圆型 方程 的变分 原 理． 定 理 设 有椭 圆型 偏微 分方 程 Ｖ ・ ｐ７ ）＋ｑ 厂 （ ） （ ｕ ｕ＝ ，）∈Ｄ （ ） ， １ 其边界条件为
共振情况下一类半线性波动方程广义解的存在唯一性
（． １） １
对于 ２ 阶常微分方程的可解性， 在文献 【 ４ 中， ３ 】 受文献 ［ 的启发， — １ 】 作者分别考虑了高阶非线性
方程：
ｕ
‘ ＋ ａ ‘ ＋一） ∑ ｉ。 （１ ‘ 州 ， ＝ （ 珏 ｐ） ） ｔ
ｔ —ｕ ： ＝ｈｔ ） ｉｔ 一Ｖ （） （ ｔ 札 ，
其中 （ ．表示 Ｒ ・） ， 中的 Ｅ ｃｉｅｎ内积．由 （ ・和 （ ・诱导 的范数分 别表示为 Ｉ．ｌｌ １ ｕｌ ａ ｄ ｔ） ， ・） ， １ １ ・． １
（ １ ． ５ ）
（． １） ６
受文献 ［ ２ ７９ 的启发， １ ， ｒ］ ， 我们研究一类 由偏微分方程：
＋ ａ ｉ（ ）一 ｉ ｔ
共振情况下一类半线性波动方程广义解的存在唯一性
刘 凯， 维 国 李
中国石油大学 （ 华东）数学与计算科学学院，东营 ２ ７ ６ ５０ １
摘要： 利用全局反函数定理和 Ｇａｅｋｎ方法 ， ｌｒ ｉ 考虑了一类半线性波动方程组广义解的存在性， 在非线性
项 ｆｔＸ乱 满足共振的条件下， （ ，） ， 得到了方程组解的存在唯—性结果．
刘
凯， 共振情况下一类半线性波动方程广义解的存在唯～ 『 等： 生
１１ ８
本文利用全局反 函数定 理和 Ｇ ｌ ｋｎ方法， 到了共振条件下方程 （．） ａｅ ｉ ｒ 得 １ 周期 Ｄｒ ｈｅ ６ ｉｃｌ ｉ ｔ边值 问
假
且
题广义解的存在唯一性 的结果 ． 这里， “∈Ｈ 是 （． １ ）的广义解是指 ： ６
没 一
一 （ ＋ ａ（） （，“ ＝ ，， 仳 Ｅ ｉ ｉ一 ）） （ ＂ ， ｒ ） ￡， ， ２ （＜ 么） ）
奇摄动半线性椭圆型方程的Dirichlet问题
第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
华东 师 范大学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＥａｔＣｈｎ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｓ ｉａＮｏ ｍａ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｏ Ｕｎ ｙ Ｓ
Ｎｏ ５ ．
Ｓｅ ． ２ ８ ｐｔ ００
中 图 分 类 号 ：Ｏ１５ １ ７．４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｄｉ ｉｈｌ ｔｐｒ ｂ ｅ ｏ ｅ ｉｌｎ ａ ｉ ｇ ｌ ｒ ｒ ｃ ｅ ｏ ｌ ｍ ｆｓ ｍ —ｉ ｅ ｒ ｓ ｎ ｕ ａ
ｐ ｒ ｕ ｂ ｔｏ ｌｉ ｔｃ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｌｐ ｉ ｑｕ ｔｏ ｓ
（０ ； 理 信 息 科 学 教 育 部 重 点 实 验 室 开 放 课 题 ０Ｐ １０ ４ ）地
ＺＨ Ｕ ｅ — Ｚｈ ｎ ｂｏ ¨． Ｎ Ｉ Ｍ ｉ — ｎ ｎｇ ｋａ ｇ ’
（ ．Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆ Ｍａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｅ ｓ Ｃ ｉ ａ Ｎｏ ｍａ ｎ ｖ ｒ ｉ １ ｐ ｒｍｅ ｔ ｔ ｅ ｔ ， ａ ｔ ｈ ｎ ｒ ｌＵ ｉｅ ｓ ｙ，Ｓ ａ ｇ ａ ０ ０ ２ Ｃ ｉａ ｏ ｃ ｔ ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ６ ， ｈｎ ； ２ ２ ．Ｄｉ 。 “。 ￡ｓ ｃ Ｅ Ｉ ｉ ｆ 。 ｈ Ａ Ｕ ｉ ｅ ｓ ｉ ， Ｊ ｓ。 ，（ ，ｐ ￡ｆ。 以 ｆ Ｐ， －ｎ ｔ “ Ｐ ，Ｓ 口 ｇ 口 ｎ ｖ ｒｉ Ｐ Ｓ ＴＵ， ｈ ｈ ｉ ０ ０ ０ Ｃ ｉ口 ｔ ｔ Ｓ ａ ｇ ａ ０ ３ ， ｈｎ ） ２
文 章 编 号 ： ０ ０ ５ ４ （ ０ ８ ０ — ０ ２０ １ ０ — ６ １ ２ ０ ） ５０ ７ — ６
奇 摄 动 半 线性 椭 圆型 方 程 的 Ｄｉｉｈｅ 问题 ｒｃ ｌｔ
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关键词：椭圆型方程 ；不动点；零解 ；有界正解；算子 中 图分类 号 ：０ ７ ． 文 献标识 码 ：Ａ １５２ ５ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８１ ０ ０ ２ １ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ４ ３ ｓ ０ ２ ００
１ 引言及预备知识
最 近几 年 ，在生 物学 、生态学 、燃 烧理 论 、人 口动态 方 面出现 的很多 现象 能够用 半线性 椭 圆型 方程描
述， 许多数学工作者对拟线性椭圆型方程 （ ） 组 特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程 （ ） 组 的解 （ 弱 解） 的存在性与不存在性、唯一性 、多解性、正则性、部分正则性以及解 的其它性态进行 了研究“ ．文献
证明 设 Ｘ：ｃ一） （ ，Ｘ 中所有非负 ，且在 Ｏ 上为零的函数构成正锥 Ｂ，且 Ｂ为 Ｘ的闭凸集．作算 ｆ ２ ｆ ２ 子 ： Ｂ， Ｂ 使得 “ Ｂ，Ｔ ＝上 （ ） ＋Ｌ （， ） 其 中：Ｕ 一 ） ∈ ｕ 『ａｘｕ － ｘ ｆ ， ＝（△ 为紧正算子．从而 ： Ｂ为 Ｂ
常数 ｃ ０ ＞ ，使得对于任意 （ ， ） Ｑ× ，有０ （， ） ． ｘ ｕ∈ Ｒ ｆ ｘ ｃ
， ． 、
…
的可解性 ．其中 ：ＱＣＲ 为有界光滑域 ；ａ ） （ ） （ ∈ｃ－ ，且 ａｘ ０ ｆ ｘ ｕ 关于各变元连续．假设存在 ６ （） ： （， ）
２ 主 要 结 果 及证 明
第 ３ 卷 第 ２ Ｏ 期
２ ０ 正 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｃ ｅ ｃ ｆ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｃｏ ｌｇ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｅ ｃ ｅ ｓ ｌｅ ｅ ａ ｄ ｉ ｅ ｓｔ
Ｖｏ ． Ｏ Ｎ ． １ ３ ｏ２
采 证法 满足 理的 ． 不满 理的 件， 存在 ｃ［ ｌ ｃ （ ＝，， ， 用反 证明 引 条件 若 足引 条 则 ） ０ ｌ ｎ １２…） ， Ｂ
＝悯 ，使 得
“ ＝ｔＴ ｕ ） ． － （ ） ＋ｆＬ （ ， ｎ ． （ ＝ｔＬ ｘ ｕ －ｆ ｘ Ｕ ） ａ （ ２）
作 者简 介 ：金启胜 （ ９２ ，男 ，安徽 桐城 人 ，讲师 ，硕 士 ，从 事微分 方程研 究 ．Ｅ ｍａ ：ｊ ｑｓｅｇ０ ８ ａｏ．ｌ １７一） － ｉ ｉ ｉ ｎ２０ Ｃ ｈｏ ｒ ｌ ｎ ｈ ￣ Ｃ
第 ２期
金 启 胜 ：一 类 半 线 性 椭 圆型 方 程 边 值 问 题 的 可 解 性
收 稿 日期 ：２ ０ — １ ２ ０ ９ １－７
∈ 边 上后 Ｑ 积 ，利 格第公 推 两 乘 “在 上 分 并用 林一 式 出
ＩＩ ， 为 Ｄ 因
Ｉｌ ： 以 ， 用Ｐｎｒ不 式 ｔｌ ｒ ） 。 。 ｒ （ ｚ 利 ０。 等 得Ｌ＇ ｉｅ ￣ ｌ ｕ 】
￣ｌ Ｒ ｌ ． ｕ ｌ Ｉ
定 １ ＩＩ 贝程值题 理 若（ ｍ以Ｉ， 边问｛ ＝ｘ） ０ ａ ＜ 方 ）。 ｌ （ ：
中： 为 Ｄｒ ｈ ｔ ｉｃｌ 条件下 一 ｉ ｅ Ａ算子在 Ｑ里的第一特征值．
（【 ） 零． ｒ，只 解 ∈１ 有 其Leabharlann ０ 】证 程 明方 ｛ ：
［ 讨 了 题“ １ 论 问 ｛ｕ ］ 中 － Ａ ： 。 正 的 在 与 存 性 文 ［ 研 了题 解 存 性 不 在 ． 献］ 究 问 ２ 中 ｛。 。 “ ｘｆ的在．文用动理探半性圆方 Ａ ＋ 。 ｓ “ ＝ ∈ 解存性本利不点论讨线椭型程 ｕ ： ＋ Ｑ ｔ ？ ）
１Ａ＝ｘ ＋（“ ＸＱ Ｉ ｕａ） ｆ ， ∈ “： —０ （ｕ ｘ ） ∈
５ ｌ
） ， Ｉ ｌｘ ０ ｌ ＜ 所以 Ｄ ＝ ．于是对于任意 Ｑ，Ｄ ＝ ， “ｄ ∈ “ ０ 结合“ ０ 所以方程边值问题 ｌ ，
｛ ：
紧正算子．
“
［ ） 零． ０只解 ， 有 １ ］
证・ 毕
定 理２ ￣ｌｘＩ 则问 （ ） 一 界正 ｔ ） ， 题 １ 存在 个有 解． ａ ｌ （ ≤
引 理 （ 动 点 定 理 ） 设 Ｘ 是 一 个 Ｂ ｎ ｃ 不 。 “ ａ ａｈ空 Ｉ Ｂ是 Ｘ 的 一 个 Ｊ 于 集 ，看 Ｔ是 Ｂ刽 Ｂ 的一 个 映 司， 划凸
射 ，Ｒ９－＋￣ －
， 使得对于满足 ＝Ｒ的任意 ∈ Ｂ， “ ｉ （）０ １， 有 ≠ ｕ（ ｆ ） 则 有一个不动点 ∈ ｆ Ｂ，
显然 ， 以 ） ｒ （ 为线 性算 子 ，取 （ ，由 （ － ９ ＝ ２）得 ｌＩ ｕ１
：
￣（ ） ＋ｆ ａｘ ｏ ９ ｎ
ｌ ｎｌ ｌ ｌ “
（ ３）
因。 为
ｃ 以 ， 所
， ｚ
又 （为 正 性 子且 紧 线 算 ， ）
所 以
ｎ ）
为 集， 列紧 必要的 过取 话通 子列， 得ｆ ｔ ［ １ 使得 （） 收 所以 可 。 ０ 】 ａ ｏ 敛． Ｃ ∈ 且 ‰ｌ１对 ∈，， ｘ９ Ｏ 曰 ｌ． 。 ＝ 式 （） 取 得 ＝ Ｌａ ）。 故 。 ， ３ 两边 极限 －（ ｃ ， ０ 这与Ｊ Ｉ１ 盾． ｘｏ ｌ ｌ 矛 所以Ｔ 足引 条 ＝ 满 理的 件． 由于 满足引理的条件 ，所以Ｔ有一个不动点 Ｂ，且 ｌ （ ∈ ｕ Ｒ Ｒ为ｉ 常数 ） ｌ Ｉ Ｆ ＿ ，即
Ｍａ ． ｒ ２Ｏｌ Ｏ
３月
文章 编号 ：１０ — ９ ３ ２ １ ）０ — ０ ０ ０ ０ ７ １８ １（ ０ ０ ２ ０ ５ — ３
一
类半线性椭 圆型方程边值 问题 的可解 性
金 启 胜
（ 安庆职 业技 术学 院 数学 教研室 ，安 徽 安庆 ２６ ０ ） ４０ ３
摘 要 ：在 自然科 学、社 会科 学 方面 出现 的很 多问题 能够 用半缌 ｝椭 圆型 方程描述 ，利 用不动 点理 生