§6-3电磁场的能流密度与动量
电磁场的能流密度
电磁波的能流密度(坡印廷)矢量
S
EH
E H
平面电磁波能流密度
平均值
S
1 2 E0 H 0
振荡偶极子的平均
辐射功率
S
p p02 4 4
12πu
1
二 电磁场的能量原理
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . • 体积V内电磁能为:
1
W
We
Wm
2
(D E
dW dt
(E H ) d Q P
dW dt
(E H ) d Q P
意义：由外界流入系统的电磁能，除了对系
统内的带电体作功外，还使系统的电磁能增加。
能量守恒表达式。设想将系统的边界扩展到 无限远处。电荷和电流分布在有限空间内，无限 远处的电磁场应等于零，所以右边第一项面积分 必定等于零，上式变为
P
Q
τ
E
j0dV
d dt
τ
wdV
6
三 电磁场的动量和光压
根据量子理论，电磁波具有波粒二象性，能量 由许多分立的、以光速运动的光子所携带。
光子能量E=h，h=6.62617610-34 Js普朗克常量。
相对论的质能关系，光子能量 E=mc2
光子
E h
质量 m c2 c2
物体表面所受压强为
p
2 c S入
2 EH c
平均压强指所受压强在
1
一个周期内的平均值
p c E0H0
对于全吸收，S反 = 0， 物体表面所受压强为
p
1 c
第6节能量和能流
回答： 1 电磁能量究竟是怎样传输的？ 2 导线在电磁能量传输中的作用？
讨论方法——选取导线中的一小段，放大
1）电容性带电——电源接通后，在导线 皮上存在的电荷稳定分布。
R
2）导线附近的场：
由安培环路定理
Ij I (e S E H 4 2r 2 r e ) 2r (et e ) I Ij e er 2 2 t 4 r 2r 其中沿 er 能流不能进入负载，为热损耗。
二、电磁场的能量与能流： f v ( E v B) v v E j E
由麦氏方程 j H D t D D j E ( H ) E E ( H ) E t t 利用 (E H ) H ( E) E ( H ) B E t B D 得到 (E H ) j E (H E ) t t
定义：电磁场能流密度是矢量。
大小：单位时间，通过单位横截面的能量
方向：电磁场内任意一点能流密度的方向 是该点能量传输的方向。 计算穿过任意面元 d 的能量
S d
穿过任意封闭面积的能量：
规定 能量流入为正，流出为负。
面元 d 的外法线方向为正。
流入能量
S d
能量守恒与转化定律数学形式：
单位时间从 流出的电磁能量
=电磁能量增加率+带电粒子能量增加率 数学形式：
w S d f v dV dV V V t
称为守恒定律的积分式。 利用高斯公式，变成微分式：
第4讲 电磁场的能量与动量
第四讲 电磁场的能量与动量
4.2 电荷系统的动量和能量
根据作用力等于动量的时间变化率，有 v v v dv d v dG p (4 − 2) F = m = ( mv ) = dt dt dt 式中Gp为带电粒子的动量，由(4-1)和(4-2)，有 r v v v dG p = q ( E + v × B) (4 − 3) dt 另一方面，带电粒子的动能
r r F = qE
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第四讲 电磁场的能量与动量
[Ampere定律]恒定电流元受到磁场作用力
r r r dF = J × Bdv 若电荷为连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体 积所受的力密度为 r r r r f = ρE + J × B (4 − 1)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
−∫
s
第四讲 电磁场的能量与动量
注意：频域Poyinting定理不是时域 Poynting 定 理Fourier变换而来，而是对应于一个周期内能 量的平均值。
σ = σ ∗ = 0，ε = ε ∗，μ = μ∗
Im ( wm ) = 0， ( we ) = 0 Im (4 − 15)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
电磁场的动量和动量流
⎜⎜⎝⎛ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
>>
I
⎤ ⎥ ⎦
( ) − ε0
∂ ∂t
GG E×B
真空：H
=
1
G B,
μ0
GG D = ε0E
G
G
ρ = ∇ ⋅ D = ε0∇ ⋅ E
G J
=
∇
×
G H
−
G ∂D
∂t
=
1 μ0
∇×
G B
−ε0
G ∂E ∂t
G
∇ ⋅ DG = ρ,
∇ ∇
⋅B =0 G
kG(eG3 )
另一方面：
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB +
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
BG(eG2 )
( ) G >>
E⋅T
=
−ε 0
GG E⋅E
G E+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
G E
⋅
>>
Ι
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
∂ ∂x
Ex2
+
E
2 y
+
Ez2
G ex
=
⎡ ⎢Ex ⎣
∂Ex ∂x
+
Ey
∂Ex ∂y
+
§6-3电磁场的能流密度与动量
E H H E E H
因此
dW dt
(E (V )
H )dV
(V )
j0
EdV
利用矢量场论的高斯定理
A dS AdV
S V
(E H ) d j0 EdV
产生加速度。
假定Δt 如此之短，可以认为粒子的
位置几乎未离开O点，但却已获得速
度u=at，此后粒子以速度u匀速前进。 为简单起见．设u<<c ，即粒子的运
动是非相对论性的。
考虑脉冲后又经过时间间隔τ的情况。这时脉冲 前后的波前已传播到以O为中心、半径分别为 c(Δt+τ)和cτ的同心球面上，而粒子到达了O’的位
S 1 2
r0 r 0
E02
电磁波中的能流密度正比 于电场或磁场振幅的平方
3.2 带电粒子的电磁辐射
一个匀速运动的带电粒子产生的电场都是径向的，
不是横波，它不会发射电磁波，因为电磁波是横
波。要发射电磁波，粒子一定要有加速度。
设带电粒子q在时间t＝0 以前静 止在原点O处，在t＝0 到Δt 区间 在沿z 方向受到一个方脉冲力而
引入一个新的矢量S，其定义如下
S E H —— 坡印廷矢量
于是 dW P Q S d
dt
()
在体积V内单位
时间内增加的 电磁能dW/dt
此体积内单 位时间电源 作的功P
焦耳损 耗Q
坡印廷 矢量的 面积分
讨论坡印廷矢量
能量守恒的观点看：
S d
偶极振子附近电场分布
电磁场的能流密度
2
B
1 2
0
0
r
E t
根据d<<R的条件，电容器边缘效应可以忽略。
侧面电场强度为E，由
B
1 2
0
0
r
E t
得电容器侧
面处的磁感应强度为
B
1 2
0 0R
E t
S
EH
1
0
EB
1 2
0
RE
E t
通过侧面流入电容器的能量为
S d
S 2Rd
0R 2 Ed
E t
12
结果的讨论
t 时刻电容器极板间的电场强度为E，电容器内
电场能量为
We
1 2
0
E
2
1 2
0
E
2
R
2
d
充电时电场强度在增大，电场能量在增加，而能
量增加率
dWe dt
t
(
1 2
0
E
2
R2d
)
0R
2
Ed
E t
与先前结果一致。说明电容器极板间能量的增加
是由于能量从电容器外部空间通过其侧面流入所致。
V
V
j0
EdV
j0
j0 EdV ( j02 j0 K)dV
S
V
V
j0 (E K )
E j0 K
( j02 j0 K )dV j02Sl j0 KSl
第六章麦克斯韦电磁场理论电磁波电磁单位制
第六章 麦克斯韦电磁场理论 电磁波 电磁单位制第1节 麦克斯韦电磁理论一、电流密度（复习）电流密度⎪⎩⎪⎨⎧=⊥dS dI j j 大小：方向：沿电流方向SI ：2/m AdS j jdS jdS dI n ===⊥θcos S d j dI ⋅=⎰⎰⋅==SS d j dI I电流强度等于电流密度的通量二、位移电流 ⎰⋅=ΦSD S d DD，2/m C ；D Φ，C 曲面固定，电场随时间变化⎰⎰⋅∂∂⋅=ΦS S D S d tD S d D dt d dt d曲面固定tD∂∂ ：22//m A s m C =）（， 位移电流密度：t D j D ∂∂=dt d D Φ：A s C =/， 位移电流：dtd I DD Φ= S d j I SD D⋅=⎰E D ε=，t D j D ∂∂= =t E ∂∂ ε，真空中，tD j D ∂∂= =tE ∂∂0ε位移电流的本质是变化的电场 三、静电场和稳恒磁场静电场， ⎰∑=⋅Sf q S d D 内）（1，⎰=⋅Ll d E 01 ）（稳恒磁场， ⎰=⋅SS d B 01 ）（，⎰∑=⋅LI l d H 内传）（1四、两个假说1、涡旋电场假说：变化的磁场产生涡旋电场S d t B dt d l d E S L m⋅∂∂-=Φ-=⋅⎰⎰）（2涡旋电力线的环绕方向 ∂与t B ∂∂/ 满足左手定则 2(E t B ∂/ ⎰=⋅SS d D 02）（2、位移电流假说⎰Φ==⋅L DD dtd I l d H ）（2⎰⋅∂∂=S S d t D)2(H 线的环绕方向t ∂与t D ∂∂/ 满足右手定则(Ht D ∂/⎰=⋅SS d B 02 ）（ 变化的电场产生磁场电荷→电场↓↑ 电磁场运动电荷→磁场五、麦克斯韦方程组的积分形式静电场： )1(E 、)1(D ， 传导电流的磁场：)1(B 、)1(H涡旋电场：)2(E 、)2(D ， 位移电流的磁场：)2(B 、)2(H )2()1(D D D +=，)2()1(E E E +=，)2()1(B B B +=，)2()1(H H H +=⎰∑⎰⎰=⋅+⋅=⋅Sf SSq S d D S d D S d D 内）（)2(1电场的高斯定理⎰⎰⎰Φ-=⋅+⋅=⋅L m LL dtd l d E l d E l d E )2(1）（ 法拉第电磁感应定律⎰⎰⎰=⋅+⋅=⋅SSSS d B S d B S d B 0)2(1 ）（磁场的高斯定理 全内传）（I dt d I l d H l d H l d H D L LL =Φ+=⋅+⋅=⋅⎰∑⎰⎰ )2(1 全电流安培环路定律D I I I +=∑内传全：全电流，不包括磁化电流∑⎰=⋅内f Sq S d Ddt d l d E m LΦ-=⋅⎰ 0=⋅⎰S S d Bdt d I l d H D LΦ+=⋅∑⎰内传 E D ε=，H B μ=，j洛仑兹力公式B V q E q F⨯+=变化的电磁场在空间传播⇒电磁波真空中电磁波的波速s m c /1031800⨯≈=με=真空光速光是电磁波，（麦克斯韦1865），1888，赫兹实验例：证明平板电容器充电过程中，两极板间的位移电流dtdUC ID = I 证明：t ，CU q =dt dUCdt dq I ==传 ⎰⋅=ΦSD S d DCU q S DS ====σdt d I D D Φ==传I dtdUC = 讨论：（1）qD =Φ：S 上没有电荷分布 （2）=D I 传I ，D I I I +=传全连续全电流永远是连续的传导电流传I 位移电流D I载流子定向移动形成的 变化的电场v nq j = tDj D ∂∂=⎰⋅=S S d j I 传=dt dq ， S d j I S D D ⋅=⎰dtd DΦ=焦耳热，焦耳定律 不产生焦耳热⎰∑=⋅L I l d H 内传）（ 1 ⎰Φ==⋅L DD dt d I l d H ）（2例：球形电容器与交流电源相连 t ωs i n0 求：（1）介质中的D j（2）通过半径为r 的 球面的D I（21R r R <<）解：（1）tDj D ∂∂= ，t CU CU q ωsin 0==r r r q D ⋅=24π=rr r t CU ⋅204sin πω，（122104R R R R C r -=επε） t D j D ∂∂= =rrr t CU ⋅204cos πωω（2）S d j I SD D⋅=⎰=dS j SD θcos ⎰=24r j D π=t CU ωωcos 0dtdUCdt dq I ==传=t CU ωωcos 0=D I例：圆片平板电容器t q q ωsin 0= 求：（1）板间D j 、D I （2）)(R r <处的 H 、B解：（1）t D j D ∂∂=，20sin R t q S q D πωσ===，t D j D ∂∂==20cos Rtq πωω S d j I S D D⋅=⎰=dS j S D θcos ⎰=S j D =t q ωωcos 0（2）⎰=⋅L D I l d H ，22r j r H D ππ==220cos r R t q ππωωr R t q H 202c o s πωω=，r R tq H B 20002c o s πωωμμ==例：q +以速率V 朝O 点运动t 时刻q +与O 点相距x 求：（1）通过圆面的D I （2）圆周上的B +解：（1）⎰⋅=ΦSD S d D=⎰SdS D θcos =⎰++Sydy yx xy x qππ2)(42222=⎰+R y x ydy qx 02/322)(21=0)1(2122R yx qx +- =)1(2122Rx xq +-=Φ=Φ=dt dx dx d dt d I D D D 2/3222)(21R x R qV +，(dt dxV -=) （2）⎰=⋅L D I l d H ，=R H π22/3222)(21R x R qV +2/322)(4R x q V R H +=π，2/32200)(4R x q V RH B +==πμμ r R=αs i n ，22R x r +=20s i n 4r qV B απμ=，304r r V q B⨯=πμ：运动电荷的磁场！dt d l d E mL Φ-=⋅⎰ ，0=⋅⎰S S d B ，dt d l d H D L Φ=⋅⎰第2节 电磁波理论一、麦克斯韦方程组的微分式积分变换公式高斯散度定理：⎰⎰⋅⋅∇=⋅VdV A )(s d A s（奥—高公式），斯托克斯公式：⎰⎰⋅⨯∇=⋅SlS d A l d A)(。
电磁场的能量与动量守恒
电磁场的能量与动量守恒电磁场作为物理学中的重要概念，涉及到能量与动量的守恒。
本文将从能量守恒和动量守恒两个方面来探讨电磁场的特性。
一、能量守恒电磁场的能量守恒是指在电磁场中，能量的总量是不变的。
能量在电磁场中的传递和转化是通过电磁波进行的。
电磁波是由电场和磁场相互作用而产生的一种能量传递的形式。
在电磁场中，电场和磁场的能量密度可以表示为：电场能量密度：$u_e = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$磁场能量密度：$u_m = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$其中，$E$为电场强度，$B$为磁感应强度，$\varepsilon_0$为真空介电常数，$\mu_0$为真空磁导率。
根据能量守恒定律，能量的转化可以通过电场和磁场之间的相互转换来实现。
当电磁波传播时，电场和磁场的能量会相互转化，但总的能量密度保持不变。
二、动量守恒电磁场的动量守恒是指在电磁场中，动量的总量是不变的。
电磁场的动量主要是由电磁波传递的。
根据电磁场的动量守恒定律，电磁波在传播过程中，电场和磁场的动量会相互转换，但总的动量保持不变。
电磁波的动量可以通过以下公式表示：电磁波的动量密度：$p = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{u}{v}$其中，$c$为光速，$u$为电磁场的能量密度，$v$为电磁波的传播速度。
由此可见，电磁波的动量与其能量有直接的关系。
电磁波的传播速度是光速，因此电磁波的动量密度与能量密度成正比。
三、电磁场的能量与动量守恒的应用电磁场的能量与动量守恒在实际应用中有着广泛的应用。
例如，光学中的光能转换和光束偏转等现象都与电磁场的能量与动量守恒有关。
在光能转换中，当光束通过介质界面时，一部分光能会被反射回来，另一部分光能则会被折射到介质中。
这是因为光束的入射角度和介质的折射率不同，导致光能在电磁场中发生能量转换。
而在光束偏转中，当光束通过电磁场中的物体时，由于物体对光的散射和吸收，光束的传播方向会发生改变。
电磁场理论课件 第五章 第4节 电磁场的动量
又因为
I
其中
I exex eyey ezez
有
E2 I E2 ( I E2 )
所以 同理
(
E)E
(
E)
E
(EE)
1
(I
E
2
)
(
B)B
(
B)
B
(BB)
2 1
(I
B
2
)
2
所以
f
0 EE
1
0
BB
1 2
I (0 E 2
1
0
B
2
)
t
( 0 E
B)
一、电磁场的动量密度和动量流密度
动量守恒文字表述：
单位时间内通 过界面传入V 内的动量
＝
V内带电粒子 动量增加率
＋
V内电磁场动 量的增加率
g —— 电磁场动量密度
T —— 电磁场动量流密度
f —— 运动带电粒子所受的力密度（洛仑兹力密度 ）
数学表达：
T
d
fdV
d
gdV
S
V
dt V
应用数学中的高斯定理，上式变为
ez
ez
)(
0
E
2
1
0
B2)
对于平面电磁波
有 T wezez
0E2
1
0
B2
w
或
T w ezez
或
T wnn
又因为平面波
g
w
n
c
所以动量流密度张量也可以写为
T
cgnn
，或
T
cgnn
二、辐射压力
基本概念：电磁波作用到物体上，会对物体施加一定的压力，称为辐射压 力。原因：电磁波具有动量，入射到物体上，会动量转移，物体的动量 改变率就是所受到的辐射压力。
第六节电磁场的守恒定律
δω = E · δD + H · δB
◆ 对于各向同性的线性介质
D = εE
,
B = µH
ω = 1 (E · D + H · B) 2
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
动
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + J × B 【求解】 形如
途 作
方程中g与←T→的场量表达式。
∂t
∂t
∂t
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
★ 能量密度必须分不同情况讨论：
◆ 电磁场的能流密度S = S(x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向
★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ =
f
· v dV
+
d dt
ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
◆
场的能量增加率：
d dt
ω dV
◆ 通过界面S流入的能量：− S · dσ（负号是由于dσ是向外的导致）
方程中ω与S的场量表达式。
§ 6.2 电磁场的能量密度与能流密度
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【求解】 形如
∂ω + ∇ · S = −f · v ∂t 方程中ω与S的场量表达式。 【解】 f · v = (ρE + ρv × B) · v = ρE · v = J · E
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辐射的能流密度S与极角正弦的平方成正比，辐射各向异性
对于给定的传播方向，只有粒子加速度在垂直于矢 径r的投影asinθ才对辐射有贡献，而平行于矢径r的 分量对辐射没有贡献。这是电磁波的横波性的反映
3.3 偶极振子的辐射
最重要的电磁辐射振源模型是 偶极振子，它可看作是一个偶 极矩p 作简谐振荡的偶极子：
S EH
电磁能流 密度矢量
方向：电磁能传递的方向，与k的方向一致
大小：单位时间流过与之垂直的单位面 积的电磁能量
平均能流密度 ：S在一个周期内的平均值对于简谐波S来自1 2E0 H0
r0 E0 r0 H0
S 1 2
r0 r 0
E02
电磁波中的能流密度正比 于电场或磁场振幅的平方
3.2 带电粒子的电磁辐射
S
q2a2 sin 2 16 20c3r 2
辐射的能流密度S与粒子的加速度a的
S a2
平方成正比 带电粒子因其有加速度而产生电磁辐射的现象
是十分普遍的。
辐射的能流密度S与距离r
的平方成反比
S
1 r2
粒子发射的是球面波，根据能量守恒定律，通过任何以
它为中心的球面的能流都应一样，即与r无关 4 r 2S S sin2
§3 电磁场的能流密度与动量
3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
在空间取一任意体积V，设其表面为 Σ，则该体
积内的电磁能为
1
W
We
Wm
2
(V )
(
D
E
B H )dV
在非稳恒情况下，各场量随时间变化，电磁能
W随时间的变化率为
dW dt
1 2
d dt
(D E B H)dV
(V )
1
2
考虑从O’出发沿θ方向的电场线
O’ ABC，在过渡区里
E Er / tan
tan DB ct ct
AD u sin at sin
c
a sin
极角
E
Er
a
s in
c
在非相对论近似下，Er基本上是以O’为中心的库仑场
Er
q
4 0r 2
r c
E
1
4 0
qa sin
c2r
电磁辐射能流密度大小的计算
（这时它与静态偶极子电场相近）
➢t=0时，正负电荷正好位于中心(a),这时振子不带 电，没有电场线与它相连 ➢在振动的前半个周期内，正负电荷分别朝上下两 方向移动(b)，经过最远点后(c)又移向中心(d)
➢在这期间出现了由上面正电荷到下面负电荷的电 场线，同时这电场线不断向外扩展。最后正负电 荷又回到中心相遇(e)，完成了前半个周期。这时 振子又不带电了，原来与正负电荷相连接的电场 线两端衔接起来，形成一个闭合圈后脱离振子(f)
l
是单位时间释放 出来的焦耳热
小流管 的电阻R
小流管中 的电流I0
沿流管的电 动势ΔE
是单位时间
I
2 0
R
I0
电源作的功
这个结论完全不限于V是小流管的情形，对于任何
体积V，都代表此体积内单位时间释放的焦耳热Q与
单位时间非静电力作 的 功P之差，即
j0 EdV Q P
(小流管)
再分析
(E H ) d
线以O为中心沿着径向分布
匀速运动的带电粒子所产生电场的瞬时分布也是 以它自己为中心沿着径向的，即小球面以内的电 场线以O’为中心沿着径向分布。
在两球面之间的过渡区里电场线发生曲折，这里 正是带电粒子脉冲加速的影响传播所及的地方。 在此区间电场E既有横分量Eθ，又有纵分量Er。 对电磁辐射有贡献的只有横分量Eθ
j0
(
E
K
)
j0 E j02 j0 K
E j0 K
j2 j j
0
00
取V为一个小电流管，设其截面积和长度分别为 ΔΣ和Δl，考虑到j0与Δl方向一致，于是
j0 E j02 j0 K
j0 EdV j0 El j02l j0 Kl
(V )
l
j02
j0
K
一个匀速运动的带电粒子产生的电场都是径向的， 不是横波，它不会发射电磁波，因为电磁波是横 波。要发射电磁波，粒子一定要有加速度。
设带电粒子q在时间t＝0 以前静 止在原点O处，在t＝0 到Δt 区间 在沿z 方向受到一个方脉冲力而
产生加速度。
假定Δt 如此之短，可以认为粒子的
位置几乎未离开O点，但却已获得速
(V )
t
(D E B H )dV
D r0E B r0H
(D
t
2r
E BH)
E 0E t
r0
t
2r0H
(E
H t
E)2ErD0t t
H H
2H
B
t
利D用 麦克斯 韦方程组B
t H j0
t
E
t
(D E
B
H)
2(E
H
H
E
j0
E)
(A B) B A A B
度u=at，此后粒子以速度u匀速前进。 为简单起见．设u<<c ，即粒子的运
动是非相对论性的。
考虑脉冲后又经过时间间隔τ的情况。这时脉冲 前后的波前已传播到以O为中心、半径分别为 c(Δt+τ)和cτ的同心球面上，而粒子到达了O’的位
置，OO’＝uτ
t＝0以前粒子停留在O不动，大球面以外的电场
p p0 cost
可看作是由一对相对作简谐振动的正、负电荷组成的
可看作是一段导线，其中有交变电流，其两端所积累的电荷 也正负交替地变化着。
计算表明
偶极振子周围电场强度矢量E位于子午面内，磁场 强度矢量H位于与赤道面平行的平面内，二者相互垂 直。
偶极振子附近电场分布
（1）靠近振子中心（r<<波长λ，或r与λ同数量级）
S E H EH
0 E 2
0
真空中 1
其中的
E应为E
1 qa sin E E 4 0 c2r
S
0 0
E2
0 0
qa sin 4 0c2r
2
1 q2a2 sin2 00 16 20c4r 2
c 1
0 0
带电粒子电磁 辐射的方向性
S
q2a2 sin2 16 20c3r 2
分析
的物理意义
()
引入一个新的矢量S，其定义如下 S E H —— 坡印廷矢量
于是 dW P Q S d
dt
()
在体积V内单位
时间内增加的 电磁能dW/dt
此体积内单 位时间电源 作的功P
焦耳损 耗Q
坡印廷 矢量的 面积分
讨论坡印廷矢量
能量守恒的观点看：
S d
()
单位时间从体积V的单位表面流出的 电磁能量(叫做电磁能流) ，单位： W/m2(相当于功率密度)
E H H E E H
因此
dW dt
(E H )dV (V )
(V )
j0
EdV
利用矢量场论的高斯定理
A dS AdV
S V
(E H ) d j0 EdV
()
(V )
先分析 j0 EdV的物理意义
(V )
有非静电力K的 情况下欧姆 定律 的微分形式为