第二积分中值定理中间点当x→∞时的渐近性态
有关中值定理中间点位置的两个定理
有关中值定理中间点位置的两个定理
李焕兵
【期刊名称】《河北科技大学学报》
【年(卷),期】2004(25)1
【摘要】对于∪+∞ i=1[ai,ai+1)=[0,+∞),aiai+1=I(I可为任意确定的正数),i=1,2,…,给出了一类单调函数u(x),x＞0在区间[ai,ai+1],i=1,2,…的拉格朗日中值定理中间点(设为ξi,i=1,2,…)的位置随i值单增而变化的规律.并且对于函数u(x)在任意区间内的中间点的位置给出了一个上界.
【总页数】4页(P9-11,19)
【作者】李焕兵
【作者单位】河北科技大学老干部处,河北,石家庄,050054
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
1.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
2.微分中值定理"中间点"收敛速度的两个估计 [J], 程恩魁;张树义
3.积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明 [J], 张素玲
4.任意有限两个函数微分中值定理“中间点”的唯一性 [J], 鲍春梅
5.高阶Cauchy中值定理“中间点”当x→+∞时的两个新的渐近估计式 [J], 张芯语;张树义;郑晓迪
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积分中值定理及应用
毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。
首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。
最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
积分第二中值定理证明
积分第二中值定理证明这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt （上限为自变量x，下限为常数a）。
以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt= ∫f(t)dt + ∫f(t)dt= Φ(x) + ∫f(t)dt即Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt应用积分中值定理，可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）因此Φ(x)为连续函数其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为Φ'(x) = f(x)证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε< p="">由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+δx]时恒成立，因此得到<="" p="">f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε即|μ-f(x)|<=ε由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)命题得证。
Cauchy型积分中值定理“中间点”的渐近性及误差估计
因 厂（ ）一 ０故 由等 式 ａ
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Ｉ ｇｔ ｔ （ ＋ Ｏ） ｒ （ ｄ 一 ｇａ ’ ｘ ’ 卅 ）
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ８ ２ ０ —２１
资金 项 目： 州 师 范 大 学第 七 届 科 研 课 题 立 项 （ Ｋ２ ０ ０ ７ 徐 ＸＳ ０ ６ ２ ）
【 关键 词】 积 分 中值 定 理 ； ｓ ｉ ｌ误 差估 计 Ｌ Ｈｏｐ ａ； ｔ
【 图分类 号１ Ｏ１ ５ ５ 【 中 ７． 文献标 识码 】Ａ 【 文章 编号 １ １ ７ —７ ４ ２ ０ ） ４０ ８ —４ ６ ３０ ０ （０ ７ ０ —０ ５０
不 论 是 微 分 中 值 定 理 还 是 积 分 中值 定 理 在 微 积 分 理 论 中 郡 极 为 重 要 ， 用 也 越 来 越 ７ ． 年 采 ， 分 应 泛 近 微
作 者 简介 ： 玉 岩 （９ ４ ）女 ， 苏连 云 港 人 ， 要 从 事 数 学 分 析 研 究 刘 １８一， 江 主
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维普资讯
徐 州 工 程 学 院 学 报
２ ０ 年 第 ４期 ０７
ｉ ｔ ＊（ ｘｔ ｆ） ｄ
ｆｘ￡ ｇ ＋８ ｇ 出 ａ ） 一 ＋（ （ ） ， ｎ ｘ ’
ｒ ＋ Ｘ 口
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第二型曲线积分中值定理“中值点”的分析性质
（ ）／ （ １ ， （ １ ） ’ ｔ ） （ ２ ） 贝 １ ’ ｔ） （ ｔ） ≤／（ ２ ， ｔ） ， ４ （ 称． 厂为 线 上 的增 函数 ；
（ ） ｆ （ １ ， （ １ ） ｆ （２ ， （２ ） 贝 ２ （ ｔ） ｔ） ≥ （ ｔ ） ｔ） ，０
．
值 点关 于连 续性 和可 导性 方面 的一些 结果 ．
１ 预 备知 识
定 义 １ 设平 面光 滑 曲线 Ｃ： ＝ （ ） Ｙ＝ ｔ， （ ） ｔ ［ ］ 其 两 端 点 为 Ａ （ （ ） （ ） 和 ｔ ， Ｅ 口， ， 口 ， ａ）
ｊ（ ）ｚ） ｇ（， ） 广 ｚ ｇ ，ｚ （ｐ （） ， （ ） ｊ ｒ
则
（ ） 存在 ［ 卢 的一个子 区间 ［ １卢 ］使 得 １若 ａ， ］ ａ ， １， （ ） ， Ｅ［ ｌ卢 ］ 贝 有 ｔ ＞０ ｔ ａ ， １ ，４
ｒ
称 厂为 曲线 上 的减 函数 ．
第 二 型 曲线 积 分 的第 二 中值 定 理 是 建立 在 无
反 向 曲线 和 函数单 调性 概 念的基 础上 的 ， 下面 给 出
（ ） （ ） 和 Ｂ（ 卢 ， ｜ ） ， ｚ， ） ａ ， ａ） （ ） （ ） ， （ Ｙ ： 义在 ９ Ｉ 勾定
十 ） ． （， ・ ｇ（ ） （ ） ，ｚ （ ， ）Ｐ， ｊ （Ｊ Ｂ ） ｃ ｄ
引理 ２５ 设 Ｌ 是关 于坐标 ｚ无 反 向的曲线 ， ［ 】
．
杜 刚
（ 喀什 师 范 学 院 数 学 系 ， 疆 喀什 ８ ４ ０ ） 新 ４ ０ ８
摘
要 ： 入 第 二 型 曲线 积 分 的 第 二 中 值 定 理 ， 此 基 础 上 讨 论 了 第 二 型 曲 线 积 分 的第 二 中 值 定 理 “ 值 点 ” 引 在 中 的
积分第二中值定理的证明及应用
２０ ０ ２年 ３月
Ｍａ．０ ｒ ２ ０２
桂林 师范 高 等专科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧｕｌ ａ ｈ ｒ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｉｎ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣｏｌ ｅ ｏ ｉ ｅ
第 １卷 ６
第１ 期
（ 总第 ４ ） ９期
即 ｇ ｉ （ｄ≤Ｉ （ｇ ） ） ｎ ｆ ） ｘ （ ｄ ｔ ｕ ｕ ｆ ）ｚ ｚ ｔ
Ｃ 祷 日期 ］ ０ １ Ｏ — １ 收 ２０一 ９ ７
［ 作者简舟］ 刘大谨（ ｇ ￥ Ｉ￣－
１２ ０
） 男 ， 苏豢州人， ， 江 理学学士 ， 泰州职业技术学院基础部讲师
维普资讯
）＝ ｇ ｚ ，一 ）一 Ｆ ） ｆ ）ｚ ｚ （
向 ａ ∈ ｂ ＜ｂ ＜ ＜ 一町
＝ｇ ） ｆｘｄ ｆ （）ｚ
Ｊ 一
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ｘ ｘｚ ｌ （）（ ｄ ｆ ｇ）
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即
） ｇ ，） ｇ （ （出 删ｚ 叫｝
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ｌ ｘ）Ｆ（ ） ｇ（ ｄ ｘ
刘 大谨
积分 第二 中值 定理 的证 明及应 用
２ ０ 年 ３月 ０２
证明： 由于ｆｘ在［ ｂ上连续， （） ａ ］ 则
ｆ０ｄ一 （ ｆ（一 ） ） ） ＾ ） ６ 出 ＾ ｒ ｏ
Ｊ０ ｒ ６
Ｆ ＝ ｌ （） 为其原函数 （） ｘｄ ｆ ｘ
对Ｉ （） ｘｄ 使 分部 分， ｘｇ ） 用 积 其 ｆ （ ｘ
ｉｆ ｍ 志』 ｎ ≤ ＝ ｆ ｍ
ｘｇｘｄ ｌ （）（）ｘ ｆ ＝ｇ口Ｉ （） （） ｆｘｄ ｘ＋ｇ６ｌ （） （知 连续函数 Ｉ （）ｕ ａ ］ 某点∈ ｕｄ 在［ ｂ上 ｆ 处取
得上、 下确界之间的中间值， 即
微积分中值定理_中间点_渐进性的统一_杜争光
６ １
２ 主 要结 果
定 理 １ 若 函 数 ｆ（ 和 ｇ（ 在ａ 的 某 一 邻 域 ｘ） ｘ） （ ） ， 对 Ｕ ａ 内 存 在 ｍ 阶 导 数 且 存 在 α ０ 和 β ０， （ （ ｍ） ｍ） ０ （ ） （ ） ｆ ｘ ｇ ｘ 有 和ｌ ａ） ｌ ｉ ｍ ｉ ｍ ＝Ｂ， ｘ∈Ｕ （ α ＝Ａ β ｘ→ａ （ ｘ→ａ （ ｘ－ ａ） ｘ－ ａ） 则有 ］ ｘ） －Ｔｍ ［ ｘ） Ａ ｆ（ ｆ（ ｌ ｉ ｍ ＝（ ｍ＋ α （ …（ （ ｘ→ａ １＋ ２＋ ｍ＋ ｘ－ ａ） α） α） α） ） （ ９
， 在 ｍ 阶导数， 且 存 在 α０ 和β０（ 对 ｘ∈ α≠ β） （ （ ｍ） ｍ） ｘ） ｘ） ， 是 由 ｆ （ ｇ （ （ 有ｌ 和ｌ ａ， ｂ］ ｉ ｍ ｉ ｍ ＝Ｂ ξ α ＝Ａ β ｘ→ａ （ ｘ→ａ （ ｘ－ ａ） ｘ－ ａ） （ ） ， 式 所 确 定 的“ 中间点 ” 则 １ （ （ …（ １＋ ） ２＋ ｍ＋ － ａ β） β） α－β （ ） ｌ ｉ ｍξ ＝ （ β １ １ （ …（ ｘ→ａｘ－ １＋ ２＋ ｍ＋ ａ α） α） α） 证 明 由 于 函 数 ｆ（ 和 ｇ（ 在区 间 ［ 上存在 ｍ ｘ） ｘ） ａ， ｂ］ ， 阶导数， 则 对 ｘ∈ （ 构 造 辅 助 函 数： ａ， ｂ］ Ｆ（ ｘ） ＝
ｂ
′（ ａ） ｆ ］ （ 这里， Ｔｎ ［ ｘ） ＝ｆ （ ａ） ＋ ｘ －ａ） ＋ ｆ（ １！
（ ｎ） ″（ ａ） ａ） ｆ ｆ （ ２ ｎ （ ） （ ｘ － ａ ＋ Ｌ ＋ ｘ－ ａ） ２！ ｎ！
（ ｘ） ｄ ｘ ＝ ｆ（ ｂ－ａ） ． ｆ（ ξ） ∫
ａ
（ ） ６
（ 推 广 的 积分 第 一中值定理 ）若 函 数 ｆ（ ｘ）在 闭 区 间［ 且 ａ， ｂ］上连续 ， ｘ）在 闭 区 间 ［ ａ， ｂ］上可 积 ， ｇ（ ，使 得 不 变 号， 则 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ［ ａ， ｂ］
柯西中值定理中间点”的渐近性
# ’ ( :9 * 2# ’ ( * # 5 ’ ( :; 9 * $ 7’ . $ 3 * ’ < * ; % ’ ( :9 * 2% ’ ( * % 5 ’ ( :; 9 * 3 中的 ; 有 = - 3A > ?; 9 @. + +2 3 证 明 因为函数 # 内 +阶 可 导 $ $ $ * %在 &’ ( ) 理 故 ’ :9 * -# ’ * :# 5 ’ * : # ( ( ( 9
7 ? ) : CD F + S ) F+ 8 J ) : + * ? ) CD + C 0 7 : F * * R F
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淮海工学院学报 / . . 3年 3 /月 J Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
关于柯西中值定理中的性态
摘要柯西中值定理是沟通导数值和函数值之间的桥梁，它是利用导数去推导函数整体性质的一个有力工具。
本文先介绍柯西中值定理的起源与发展、柯西中值定理及其证明，接着讨论柯西中值定理中的一些性态，即柯西中值定理“中间点”的渐进性问题。
关键词：柯西中值定理，中间点，渐进性ABSTRACTCauchy Theorem is a bridge between derivative and function,which is a useful tool to know about some characteristic of function by derivative,the paper firstly introduces the origin and the development of Cauchy Theorem、Cauchy Theorem and its proof,and then discuss some characteristic of Cauchy Theorem,that is to say,a discussion on the Asymptotic Characteristic of Mean Mid-value in Cauchy Theorem. Key words: Cauchy Theorem，intermediate point，asymptotic property目录目录 (1)1 前言 (2)2 柯西中值定理的基础理论 (2)2.1柯西中值定理的起源与发展 (2)2.2柯西中值定理及其证明 (3)2.3柯西中值定理与拉氏定理的联系 (3)2.4柯西中值定理的几何意义 (4)3柯西中值定理“中间点”的渐进性 (4)3.1“中间点”及渐进性的定义 (4)3.2柯西中值定理“中间点”的渐进性 (4)3.3柯西中值定理的应用 (6)参考文献 (7)1 前言柯西中值定理是沟通导数值和函数值之间的桥梁，它是利用导数去推导函数整体性质的一个有力工具。
第二中值定理证明
第二中值定理证明
【实用版】
目录
1.第二中值定理的概念介绍
2.第二中值定理的证明方法
3.第二中值定理的应用示例
正文
【第二中值定理的概念介绍】
第二中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要研究的是函数在区间上的平均变化率与该区间内某一点导数的关系。
第二中值定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着广泛的应用。
【第二中值定理的证明方法】
第二中值定理的证明方法主要有两种，一种是使用罗尔定理进行证明，另一种是使用函数的单调性进行证明。
其中，使用罗尔定理进行证明是最常见的方法。
【第二中值定理的应用示例】
第二中值定理在实际应用中，常常用来求解最值问题，或者用来证明一些不等式。
例如，我们可以通过第二中值定理来求解函数在给定区间上的最值，也可以用来证明一些不等式的成立。
以上就是第二中值定理的概念介绍、证明方法以及应用示例。
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C时的渐近性问题的研究F近年来F已取得了若干所进展F本文作者之一在文K E$#M中研究了泰勒中值定理%广义柯西中值定理%第一积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态N在本文中我们讨论第二积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态F在较弱条件下得到了>中间点?的渐近估计式N第二积分中值定理设&#@$在K L F B C$单调增加且非负可积F&#@$’&#L$F(#@$在K L FB C$可积F则)@*#L F B C$F+,*#L F@$使-@L&#.$(#.$:./&#@$-@,(#.$:.#E$为证明定理时方便F先给出!个引理引理E K#M设0#@$在K L F B C$可积F且’3u@A B C@120#@$/3F则E$当14"F35"时F’3u@A B C 0#@$/B CH!$当14"F34"时F’3u@A B C0#@$/6CH7$当14E F35"时F’3u@A B C-@L0#.$:./B CH#$当14E F34"时F’3u@A B C-@L0#.$:./6CHQ$’3u@A B C-@L0#.$:.@E61/3E61F在结论Q$中的3为常数F14E N容易证明下面引理!成立引理!若’3u@A B C&#@$/35"F’3u@A B C(#@$/B CF’3u@A B C0#@$/6CF则’3u@A B C&#@$(#@$/B CF’3u@A B C&#@$0#@$/6CN对于上面的第二积分中值定理的>中间点?FD收稿日期J E}}}P E"P E8作者简介J张树义#E}*"P$F男F副教授F辽宁锦州市人N研究方向J非线性分析N我们有如下结果!定理"在第二积分中值定理的条件下#再设$%&’()*’+,-’./0#$%&’()*’12-’./3#则-".式中的4中间点567-8#’.#有渐近估计式$%&’()*698’98/-++)19".":-"91.-;.其中0#3为非零常数<+#1为实数#+=>#1="?证明首先证明当’()*时#有6()*#为此#不妨设0@>#3@>#由引理"有$%&’()*A’82-B .C B /)*#$%&’()*,-’./)*#又$%&’()*A’8,-B .2-B .C B,-’.A’82-B .C B /$%&’()*A’8,-B .2-B .C B’"9+91’+,-D .EA’82-B .C 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1998(01)1.期刊论文王秀芬积分中值定理"中间点"的分析性质-山东理工大学学报(自然科学版)2004,18(4)讨论了积分中值定理中间点的单调性、连续性、可导性,给出了一组充分条件,并证明了三个相关定理.进一步完善了积分中值定理"中间点"的分析性质.2.期刊论文王福良.杨彩萍积分中值定理中间点渐近性态的研究-天津师范大学学报(自然科学版)2002,22(2)对积分区间长度趋于零时,积分中值定理中间点的渐近性态作了近一步研究, 得到一个更具一般性的新结果,并研究了当积分区间长度趋于无穷时积分中值定理中间点的渐近性态.3.期刊论文刘文武.LIU Wen-wu积分中值定理中间点渐近性的一个注记-吉首大学学报（自然科学版）2007,28(4)对积分中值定理中间点的渐近性进行研究,给出了推广的积分第一中值定理的中间点的渐近性的一个公式.4.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang积分中值定理的推广及其"中间点"的性质-高师理科学刊2007,27(4)积分中值定理中将"f(x)在[a,b]上连续"改为"f(x)在[a,b]上可积",定理的结论仍然成立.据此证明了"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,还可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.5.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang关于积分中值定理"中间点"的唯一性和渐近性-井冈山医专学报2006,13(2)积分中值定理的"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,同时,可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.6.期刊论文杨镇杭.YANG Zhen-hang积分中值定理中间点比较及有关平均不等式-数学的实践与认识2005,35(5)中值定理中间点是区间端点的平均.设f(s)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,P(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf,p(a,b)和ξg,q(a,b).当f递增(减)且f(g-1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b)＜ξf,P(a,b);当p(x)/q(x)递增(减)且q(x)∫baP(x)dx＞(＜)0时,有ξf,q(a,b)＜ξf,p(a,b).由此可证明和发现一系列有关平均的不等式.7.期刊论文朱超武.齐春玲.ZHU Chao-wu.QI Chun-ling关于第一积分中值定理的中间点及逆问题的渐近性-三门峡职业技术学院学报2005,4(3)积分中值定理是一元函数微分学的理论基础,也是一元函数微分学通往应用的桥梁,在微积分理论中极其重要.本文深入地讨论了第一积分中值定理的中间点和逆问题的渐近性质,并得出了重要结论.8.期刊论文樊守芳.FAN Shou-fang第二积分中值定理"中间点"渐近性的完善-数学的实践与认识2006,36(11)通过定义第二积分中值函数,用统一的方法继续探讨了第二积分中值定理"中间点"的一些渐近性质,得出一系列新结论,相信在积分学中有着很重要的作用.9.期刊论文朱先军关于积分中值定理"中间点"的渐近性-济宁师范专科学校学报2002,23(6)文[1]给出了当区间长度趋于无穷时积分中值定理"中间点"的渐近性质,本文改进了[1]中主要结果的条件,推广了[1]中的结果.10.期刊论文阮文惠关于积分中值定理"中间点"的渐近性-甘肃教育学院学报(自然科学版)2002,16(4)给出了并证明了减弱条件的积分中值定理"中间点"的渐近性.1.于勇积分第二中值定理"中间值"的渐近性[期刊论文]-攀枝花学院学报（综合版） 2009(3)2.王伟积分第二中值定理"中间点"的渐近性态[期刊论文]-南通大学学报（自然科学版） 2006(2)本文链接：/Periodical_bjwlxyxb200002010.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1c74d6f3-8947-4f1a-a7f6-9dcc00c77920下载时间：2010年8月8日。