第五节广义积分
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无穷限的广义积分.
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
时，图5－7中阴影部
1
y ex
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
t
ox
图5－7
例2 计算广义积分 sin xdx .
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
高等数学：第五章 第5节广义积分
cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
-广义积分
例1 解
计算
0
xe
x2
d x.
0
xe
x2
d x lim
A
A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记
a
f ( x) d x lim
A
A a
0
0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分
当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c
f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.
a
f ( x) d x
第五节 广义积分
∫
+∞
1
1 dx ( p > 0 ) 的收敛性. 的收敛性. p x
解 当 p = 1 时,
当 p ≠ 1时 ,
∫
+∞
1
1 +∞ dx = ln x 1 = +∞ ， 积分发散； 积分发散； x
∫
+∞
1
1 x dx = p x 1− p 1
+∞ 1− p
+ ∞ , p < 1 = 1 p −1, p > 1
f ( x ) dx ( k ≠ 0) 具有 相同的
+∞ a
敛散性； 敛散性 ；
3 设∫
f ( x ) dx 与
∫
g ( x ) dx 都收敛 ， 则
∫
+∞ a
[ f ( x ) ± g ( x )] dx 也收敛 。
16
二、瑕积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
−∞
f ( x)dx + ∫
+∞ a
f ( x)dx
注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。 注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。
4
例1
讨论下列无穷限积分的敛散性. 讨论下列无穷限积分的敛散性
(1)
∫
+∞ 0
dx 1 + x2
解 对任意 t > 0 , 有
∫
t
0
dx t 2 = arctan x 0 = arctan t , 1+ x
9
例2
∫
+∞ 0
xe d x = − ∫
55广义积分
f
( x)dx .
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b] 上连续，取
a
b
，如果极限 lim a
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间(, b] 上的广义积
例1
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
分，记作 b
f
( x)dx.
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
广义积分 0
f
(
x
)dx
和
0
f
( x)dx 都收敛，则
b
记作 f ( x)dx lim
b f ( x)dx .
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
第5节 广义积分1
无界函数的积分—瑕积分.
2
一、无穷限积分
1. 定义 f(x) 的反常积分（即广义积分）
t t a a
f ( x )dx lim f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a ).
t a
条件：t : f ( x )dx存在.
2
3 1 n 1 n 3 n n 2 4 2 2 , n为正偶数 n 2 0 cos xdx n 1 n 3 4 2 , n为大于1的奇数 n n2 5 3
10
x 例5 计算 dx. 2 1 x
1 0
dx 1 q 1 t 2 dt q x t
x
1 t
1
1 t
2 q
dt
1
2q 1 , 1 1 dt = 2 q t 2 q 1, 2 q 1
, q 1 = 1 . 1 q , q 1
x
dx x e
u x
x
0
0
e x dx
1.
Γ ( 1) x e
0 x 0 0
x e dx
x
0
0
x de
x
e x x 1 dx
0
N
e x x 1 dx Γ ( ) .
x
x 0 t
1 et ,
t
所以
0
lim (1 e t ) 1 . e dx
x
5
例1
5 广义积分及定积分的应用
类似地定义：
函数f(x)在区间（,b）上的广义积分为：
b xdx alim a f x dx f
b
函数f(x)在区间（,）上的广义积分为：
f x dx
c
f x dx c
f x dx
其中c可为任意常数，当上式右端两个广义积分均收敛时， 左端的广义积分
20 8 4= 3 3
o
x =2 x
例2 求由双曲线x y= 1与直线y=x ，x =2所围 y 成的平面图形的面积。
解：如图 x y= 1
令
xy 1 解得交点A的坐标为(1,1) y x
y=x
S=
2
1
3 1 2 1 2 = ( x ln x) 1 =2ln2 ln2 = 2 2 2
已知边际函数求总量函数 .
边际变量（成本、收入、利润）是指对应经济变量的变化率， 如果已知边际成本求总成本，已知边际收入求总收入，已知边际利 润求总利润，就要用到定积分方法.
例 6 已知生产某产品 x 单位（百台）的边际成本和边际收 入分别为
1 C ( x) 3 x （万元/百台） 3
R( x) 7 x
总利润为总收入与总成本之差，故总利润 为 L
1 2 1 2 L( x) R( x) C ( x) (7 x x ) (1 3x x ) 2 6 2 2 1 4 x x . 3 4 4 (2) 由于 L( x) 4 x ，令4 x 0 ，得惟一驻点 x 3 . 3 3
5
(2)因总成本是固定成本与可变成本的和, 则总成本 函数为
C ( x ) C (0) C ( t )dt
5-5广义积分
lim 10
01 1
1 x2
d
x
lim
2 0
11 02 x2 d x
1 10
1
1
11
lim( x)
1
lim (
2 0
x)
lim (1
2 0
2
im0(1
1)
lim (1
2 0
2)
由于上面两个极限都不存在,所以
π 2
0
π， 2
所以，广义积分1
1 x2
dx
收敛，且
1
1 x
2
dx
π 2
π 2
π.
例3
证明广义积分
1
1 x p dx
当p 1收敛，当p 1时发散.
证明 当p 1时，则
lim 1 dx
1 xp
b
b 1
1dx x
lim
b
a
f
( x)dx，
若上述等式右端的极限存在,则称广义积分a f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分a f (x)dx
发散.
类似地，无穷区间 (,b]上的广义积分定义为
b
f
(x)dx
lim
a
b
a
f
(x)dx
(a b).
无穷区间 (,) 上的广义积分定义为
此时，如果上式右端两个广义积分 ac f (x)dx和cb f (x)dx
都收敛，则称广义积分ab f (x)dx 收敛，否则称广义积
分
b
a
65广义积分04238
A), 1
1 dx, x
1 B), dx,
1x
C),
1
1 x2
dx,
D),
13
1 dx. x2
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
5
类似地, 可定义
并称此极限值为f(x)在
上的无穷积分
收敛.
定义6.5.2 函数 f(x) 在(-∞, +∞)上连续，其广义积分为
其中c为任意实数. 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分
1 x
|1
2lim(11).
0
从而
发散.
例6 讨论瑕积分
的敛散性
解：因为x = 0为瑕点, 所有当 p = 1时,
当 p ≠ 1时,
综上所述 当 p<1时,
收敛; 当 p≥1时,
发散.
A 以下广义积分收敛的是（ ）
1 1
A), dx, x 0
2020/6/27
B),
1
1dx, x微积分II
是收敛的; 而若
பைடு நூலகம்
和
其中之一
发散, 则广义积分
都是发散的.
为简单起见, 广义积分可以简化为
其中
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
6
2.瑕积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上无界，即f(x)在[a,b]上的某个点无界， 这个无界点可能是端点可能是a，b之间的某个点。
定义 6.5.3 如果f(x)对某一点 满足 则称 为暇点. 定义6.5.4 设 f(x)在[a, b)上连续, 且x=b 是f(x)的暇点, 若极限
1 C第六)章, 定1积分x2
d
x,
5-6广义积分审敛法-精品文档
()
8
2.
B函数：
p 1 q 1 B ( p ,) q x ( 1 xd ) x , 0 1
p 0 , q 0
1B ( p ,q ) B ( qp , )
(p ) (q ) 2 Bpq ( , ) (pq )
令 x sin2 t
2 p 1 2 q 1 2 B (, p q ) 2 ( s i n t ) ( c o s t ) d t 0
f,g 在 [ a , ) 上连续，并有
0 f ( xg ) ( x ) ， xa [ , )
则：
1当 ()x 收 敛 时 敛 ； gxd f (x)dx收
a
a
2当 x d x 发 散 时 散 . f() g(x)dx发
a
a
1
证
1 1 1 fx ( ) 2 22 22 x( ( 1 x ) ( 1 k x ) 1 1 x ) ( 1 k x )
1 d x 与 d x 同 敛 散 2 22 0 0 1 x ( 1 x ) ( 1 k x )
1 1
1
1
例2 判别敛散性
第五章 定积分
第五节 反常积分的审敛法
1
一、无穷区间上的积分 定义
a
f ( x ) dx lim f (x)dx
b a
b
d x ( p 0 , a 0 ) 当 p 1 收 敛 ， p 1 发 散 。 p ax
x , 当 p 0 收 敛 ， p 0 发 散 。 ed
a a
p 如 果 l i m xf () x 0 x
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第五节 广义积分
（非正常积分） 一．无限区间上的广义积分 1. 定义： 设
()x f 在),[+∞a 上连
续，),[+∞∈a x
(
)()
dx
x f dx x f b
a
b a
⎰
⎰
+∞→+∞
=lim
否则，发散 2. 定理：()dx x f ⎰
+∞
∞
-收敛
()dx x f c
⎰
+∞
与()dx x f c ⎰∞
-都收敛
例1 求dx xe x ⎰+∞
-02
例 2 试确定dx x
⎰+∞11
α在a 取什么值
时收敛，取什么值时发散？
例3 ⎰+∞
∞-+21x dx
问题：能否利用对称性来简化计算？ 二．无界函数的积分（瑕积分） （1）．定义：设
()x f 在[]b a ,上连续，
()∞
=+→x f a
x lim ，
()()()
0lim 0
>=⎰
⎰
+→+εε
εdx x f dx x f b a b a
（2）设
()x f 在[]b a ,上连续，
()∞
=-→x f b
x lim ，
()()()
0lim 0
>=⎰
⎰
-→+εεεdx x f dx x f b a
b a
（3）设
()x f 在[]b a ,上连续，
[]b a
c,
∈为瑕点
3.
()(
()d x f
x
f
dx
x
f b
c
c
a
b
a⎰
⎰
⎰+
→
-
→+
+
=
ε
ε
ε
ε0
lim
lim
4 定理：
()dx
x
f b
a⎰收敛
()dx
x
f c
a⎰与
()dx
x
f b
c⎰都收敛
例1 求
dx
x ⎰10ln
例2 求
dx
x ⎰-1121
问题：能否利用对称性简化计算？练习：判断下列命题是否正确？为什么？
（1）
1
1
1
=
⎰-dx
x因为被积函数为奇
函数，积分区间为对称区间。
（）
（2）
12
=
+
⎰+∞∞-dx
x
x
因为被积函
数为奇函数，积分区间为对称区间。
（）
注：定积分的对称性质不适用于广义积分，因此欲利用对称性质进行积分计算时，判断积分是否为广义积分是必要的。
三．Γ函数（在概率论中用到的积分区间无限且含有参变量的积分）
（
2
χ分布，t分布，等的概率密度函
数中含有Γ函数）1．定义：积分
()()
00
1>=Γ⎰+∞
--r dx
e x r x r 是
参变量r 的函数，称为Γ函数。
2． 性质：递推公式
()()
()01>Γ=+Γr r r r
特别地 ()()0!
1>=+Γr n n 例1 计算下列各值
（1）()
()326ΓΓ （2）⎪⎭
⎫
⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2125
例2 计算下列积分
（1）dx e x x
⎰
∞
-0
3 （2）
dx e
x x
r ⎰
∞
--0
1λ
注：Γ函数的另一种形式，如设Γ函数中，2
y x =，则有
()dy e
y
r y r ⎰
+∞
--=Γ0
122
2
π
==⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎰∞+-dy e y 02
221 (第八章中将证) 作业：
课堂练习：P244/1、2、3
习题：P94/1、3、5。