数学分析之二重积分教案.doc

合集下载

《数学分析》第二十一章二重积分 5

a x
o
f ( r ,θ )dθ .
θ = arccos
r a
练习题
一,填空题: 填空题: 1 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 x , 表示为极坐
D
标形式的二次积分, 标形式的二次积分,为_____________________. 2 , 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 0 ≤ y ≤ 1 x , 0 ≤ x ≤ 1, 表
D
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
r = (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
例2
计算 ∫∫ e
D
x2 y2
dxdy ,其中 D 是由中心在
原点, 的圆周所围成的闭区域. 原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D

二重积分的计算PPT学习教案

f (x, y)d
b 2(x)
f ( x, y) dy dx
=
[
]
D
a 1(x)
第4页/共29页
D : 1( y) x 2( y), (c y d )
(2)
y d
x 1( y) x 2( y)
c
D
o
x
D
将
看作一块平面薄片，
其面密度为
f ( x, y)在D上连续，且f ( x, y) 0, 则它的质量
b
dx
a
b
(
x
y
x)n1
f
(
x )dy
a x bx
（换序）
第22页/共29页
b
dx
a
b
(
x
y
x)n1
f
(
x )dy
ab dx xb ( y x)n1 f ( x) d( y x)
ab
( y x)n f (x)
n
|bx
dx
ab
f ( x) (b x)n dx n
ab
f
(t)
(b
t)n n
D
2dy
y2
xydx
1 y2
21
yx 2 2
y2
| dy
y2
21
y( y 2)2 2
y5
dy
21
y3 4 y2 4 y y5 dy
2
|
1( 2
y4 4
4 3
y3
2 y 2第19页y6/6共)292页1
45 8
例4 解
求半径相等的两个圆柱面垂直相交所围立体的体积。
z
V1 o

《微积分二》二重积分

首页上一页下一页结束
例例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以

D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念二、二重积分的计算
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
《微积分》(第三版) 教学课件
首页上一页下一页结束
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
《微积分》(第三版) 教学课件
《微积分》(第三版) 教学课件
首页上一页下一页结束
二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 2 2
首页上一页下一页结束

重积分教案讲义

重积分教案讲义重积分教案讲义第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.分布图示★曲顶柱体的体积★非均匀平面薄片的质量★二重积分的概念★二重积分的性质★二重积分的中值定理★例1★例2★例3★例4★例5★内容小结★课堂练习★习题9-1★返回内容要点一、二重积分的概念引例1 1 求曲顶柱体的体积；引例2 2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6 二重积分与定积分有类似的性质. 性质1 1性质2 2 如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和,则这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性. 性质3 3 如果在闭区域 D 上, 为 D 的面积,则这个性质的几何意义是:以D 为底、高为1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 性质 4 4 如果在闭区域 D 上,有则特别地,有性质5 5设分别是在闭区域D 上的最大值和最小值,为D 的面积,则这个不等式称为二重积分的估值不等式. . ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [D D Dd y x g d y x f d y x g y x f 1D2D. ) , ( ) , ( ) , (2 1 D D Dd y x f d y x f d y x f , 1 ) , ( y x f. 1 D Dd d), , ( ) , ( y x g y x f . ) , ( ) , ( D Dd y x g d y x f . | ) , ( | ) , ( D Dd y x f d y x f m M, ) , ( y x f . ) , ( M d y x f mD例题选讲二重积分的性质例例1 1 不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域：. 解区域D 的面积在上由性质6 知例例2 2 （E01 ）估计二重积分的值,其中积分区域为矩形闭区域 . 解积分区域面积在上的最大值最小值故例例3 3 判断的符号. 解当时，d e IDy x) (2 2D__byax) 0 ( a b , abD , 02 2 2a y x , 12 2 20 a y xe e e ,2 2 2) ( aDy xe d e .2 2 2) ( aDy xe ab d e abD xy y xdI16 22 2 D } 2 0 , 1 0 | ) , {( y x y x,16 ) (1) , (2y xy x f , 2 D ) , ( y x f ), 0 (41 y x M ), 2 , 1 (514 312 2 y x m4252 I . 5 . 0 4 . 0 I12 2) ln(y x rdxdy y x ) 1 ( r1 | | | | y x r , 1 |) | | (| 02 2 2y x y x故又当时，于是例例4 4 积分有怎样的符号,其中解例例5(E02)比较积分与的大小，其中区域D 是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解三角形斜边方程在内有故于是因此课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限; 0 ) ln(2 2 y x1 | | | | y x , 0 ) ln(2 2 y x. 0 ) ln(1 | | | |22 y x rdxdy y xdxdy y xD32 21 . 4 :2 2 y xD Ddxdy y x32 21 3 132 2132 22 2 2 21 1y x y xdxdy y x dxdy y x 4 332 22 21y xdxdy y x 3 __ 2 2 21 1 0 1y x y xdxdy dxdy) 2 1 ( ) 3 4 )( 2 (3 3Dd y x )ln(Dd y x 2)] [ln(, 2 y x D , 2 1 e y x , 1 ) ln( 0 y x, )] [ln( ) ln(2y x y x . )] [ln( ) ln(2 D Dd y x d y x .1lim1 1222 2ninjnj inen。

数学分析二重 Riemann 积分

积的充分必要条件. 记 Mij = sup f (p), mij = inf f (p), 并令
p∈Iij
p∈Iij
S(π) = S(π, f ) = Mij σ(Iij ), s(π) = s(π, f ) = mij σ(Iij ),
i ,j
i ,j
S(π) 和 s(π) 分别是 f 关于分割 π 的Darboux 上和与Darboux 下和.
d(I) = (b − a)2 + (d − c)2, σ(I) = (b − a)(d − c).
设这两个区间分别有分割 π1 : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, π2 : c = y0 < y1 < · · · < yn = d ,
则直线 x = xi (0 ≤ i ≤ m) 和 y = yj (0 ≤ j ≤ n) 将 I 分成 mn 个小矩形 Iij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
这些区间的分点连同小矩形称为 I 的一个分割, 记为 π = π1 × π2. 分割 π 的模定义为 π = max d(Iij ).
i ,j
二重 Riemann 积分
(矩形中的 Riemann 积分)
假设 f : I → R 为矩形 I 中定义的函数, 如果存在实数 A, 使得任给 ε > 0, 均存在 δ > 0, 当 π < δ 时, 有
S(π) = S(π, f ) = Mij σ(Iij ), s(π) = s(π, f ) = mij σ(Iij ),
i ,j
i ,j
S(π) 和 s(π) 分别是 f 关于分割 π 的Darboux 上和与Darboux 下和.

数学分析(下)21-4二重积分的变量变换

§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。

数学分析第二十一章重积分第一次课

的面积为零. 定理21.3 若曲线K是定义在[a, b]上的连续函数f ( x)的图象,
则曲线K的面积为零.
证明由于f ( x)在[a, b]上连续, 从而在[a, b]上一致连续.
0, 0, 使当分划a x0 xn b满足 max {xi } 时,
yk mik yk f (i , y )dy M ik yk . yk 1 s s d 因此 mik yk F (i ) c f (i , y )dy M ik yk , k 1 k 1 r s r r s mik yk xi F (i )xi M ik yk xi . i 1k 1 i 1 i 1k 1 r 由f ( x, y )的可积性得 lim F (i )xi f ( x, y )d . D T 0 i 1 r b b d 由定积分定义得 lim F (i )xi F ( x)dx dx f ( x, y )dy. a a c T 0 i 1 b d D f ( x, y)dxdy a dx c f ( x, y)dy.
和式S (T )
i 1
M i i , s(T ) mi i , 分别称为f ( x, y )关于分割
i 1
n
n
T的上和与下和定理21.4 f ( x, y )在D上可积的充要条件是 : lim S (T) lim s(T).
T 0 T 0
定理21.5 f ( x, y )在D上可积的充要条件是 : 0, D的某个分割T, 使得 S (T ) s (T ) . 定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积. 定理21.7 设f ( x, y )是定义在有界闭区域D上的有界函数.

高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案

性质6（估值定理）设, 分别是在闭区域上的最大值与最小值, 是的面积, 则
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域关于轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注（1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§ 9.1二重积分概念与性质【目的要求】1、了解二重积分的概念；2、会用估值定理估计二重积分的范围；3、会应用二重积分的中值定理证明等式或不等式.【重点难点】二重积分的概念与性质.【教学内容】一、二重积分的概念在一元积分学屮，我们为了计算单变量函数与坐标轴围成的平面曲边梯形的面积和变力所做的功，应用有限变无限，精确变近似，引进了定积分的概念，使问题得以解决.对于多元函数，也有类似的问题.下面通过两个例子引进二重积分的概念.1.二重积分的概念（1）曲顶柱体的体积的计算设有一立体，它的底是xOj面上的有界闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=/（x,y）,这里/（x,j；）>0且在D上连续，这种立体叫做曲J页柱体.下面我们讨论曲顶柱体体积的计算方法.ZI ■ I ：■ | i i ：■ i ii ：■ i i i ； i i%1分割：体积具有可分性和可加性.将区域。

任意分成"个矩形小区域△<71，△叭，△。

3，, A CT,,同时△©也表示第i个小区域的面积，这样就把该曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.以表示以g为底的第i个小曲顶柱体的体积，7表示以D为的曲顶柱体的体积，则有V= £ AF Q［，ksai］/=i 厶［'总J%1近似：在每个小区域M（心1,2,3,…屛）内任取一点（伽）,把以/（伽）为高，以5为底的平顶柱体的体积/（&,%）△©作为M的近似值，即WgfSZ，（Z= 1,2,3,-,«）%1作和：v'= a /(©,%)也©i=l则厂是7的一个近似值.%1求极限：当分割越来越细，小区域越来越小，且逐渐收缩接近于一个点时，总和厂就越来越接近于真值V.我们用必表示小区域g内任意两点间距离的最大值，称为该区域的直径（匸1,2,3,•••,"）,如果当厶max®%……"”｝趋于零时，厂的极限存在，我们就将这个极限值定义为曲顶柱体的体积，即V= lim a /（©,%）也6i= 1（2）平面薄片的质量设平面薄片（不计厚度）所占面积为闭区域D, Q上任意点（九刃的面密度函数为p=p（x,y）,这里p（x,y）＞0且在。

上连续.当面密度是常数时质量=面密度X面积.由于区域D内不同点的面密度不一样，故上式就不适用了.象上面所做的一样，将区域D任意分成"个小区域.由于"（砂）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域△©的直径足够小，这些小块就可近似地看作是均匀薄片，在上任取一点（細汀,则p（4^'）-Acr,-可以看作第7个小块的质量的近似值.通过求和，取极限，便得出i= 1上述两个问题的实际意义虽然不同，但所求的量都归结为同一形式的和的极限.在实际问题中，许多物理或经济问题的解决都可以归结为这一形式的和的极限.因此我们要研究这一类和式的极限，并抽象出下述二重积分的定义.2.二重积分的定义【定义】设是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域Q任意分成"个小的闭区域△（71，A®，A CF3, .,Acr w其中表示第i个小区域，也表示第i个小区域的面积.在每个小区域上任意取一点（乙〃），作乘积/（乙,/）仏6 （j=l,2,3,…，并作和a /（©，%）如，Z=1如果当各小闭区域As的直径中的最大者趋于零时，这和的极限总存在i= 1则称此极限值I为函数/（砂）在闭区域D上的二重积分（一个变量的定积分称为单积分）,并称/（砂）在Q上回超，记作蝌/（X」）亦，D即蝌/（3）昴巳i黑自/（©,%）必©.D i=l其中f（x,y）... 被积函数，f（x,y）do. 被积表达式，do.. 面积元素，兀，y.. 积分变量，D... 积分区域，a /(©,%)也s ...... 积分和.1=1•与“定积分与积分变量用什么字母表示无关，只与被积函数和积分区间有关” 一样，二重积分的值只与被积函数和积分区域有关，与积分变量用什么字母表示无关.•定义中“小区域越来越小，且逐渐收缩接近于一个点时(分割无限细密才能保证接近实际值)(穆汉林下P“6)”，是用的直径中的最大者趋于零来表示的，为什么不象定积分那样(最大区间趋于零)，用△©中的最大面积趋于零来表示？这是因为中的最大面积趋于零，可以是趋于一条线，故不能表达面积趋于一个点这一情形.3.二重积分的存在性可以证明：(1)若函数/(砂)在有界闭区域D上连续，则/(砂)在D上必可积；(2)若函数/(*,》)在有界闭区域D上有界，并/(x,y)在D上的不连续点都落在有限条光滑曲线上, 则函数/(x,y)在D上必可积.(华东师大下册P2I4；赫二卷一分册P127)(3)若二重积分是存在的，则函数/(*丿)在有界闭区域D上必有界.(4)改变被积函数/(x,y)在有界闭区域D上有限个点处的函数值，不改变二重积分的结果.我们所涉及的被积函数主要是指连续函数，因此，其二重积分是存在的.于是，前述曲顶柱体的体积是函数/(x,y)在底D上的二重积分V=蝌/(x,y)do ；D平面薄片的质量是它的面密度函数/(兀丿)在薄片所占区域D上的二重积分M=蝌p(兀，尹)勿■.D4・二重积分的几何意义与物理意义(1)当/(x,y)>0时，蝌/(兀,尹)亦表示以被积函数z=/(兀』)的图象为顶，以该图象在xQy面上D的有界投影闭区域D为底，侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面而围成的曲顶柱体的体积；(2)当/(x,y)<0时，-蝌/(x,y)do表示曲边柱体的体积，柱体位于xOy面的下方；D(3)当在D的若干部分区域上是正的(我们将它记为正)，而在其它部分区域上是负的(我们将它记为负)，则蝌/(九勿昴就表示D上所有正负曲顶柱体体积的代数和；D(4)当别积函数为平面薄片的面密度函数时，蝌/(x,y)亦表示该平面薄片的质量.D二、二重积分的性质函数/(兀y)、g(x,y)在以下所论及的有界闭区域上均可积. 【性质1】被积函数的常数因子可以提到一.重积分号的外面.__•般地，/在q 小可积分，不一定有公 ,式右端的积分式成立，除非保证/在Qi 和r»2上都可积分. I （穆汉林下册P ：os ）蝌炉（兀，尹）勿■=£蝌f （x,y ）d （y （£为常数）D D证蝌炉(x, y)d (7 = lim a W,，7,)必 0 =k ・ lim a /«■, %)必 0 =k 蝌 f(x, y)do . D戶1 戶1 D 【性质2】蝌［妙（兀，尹）+滋（兀』）］昴=^蝌/（兀,卩）亦+ 0蝌g （兀，尹）亦（a 、0为任意常数）D D D【性质3】蝌f （兀,y ）do-蝌f{x.y ）do ±蝌/（兀,y ）doZ ）i± Z ）2 D 、 Z ）2【性质4】如果在有界闭区域。

上/（砂）=1, S»为。

的面积，则蝌/（兀』）〃"蝌昴=S» （面积公式）•D D【性质5】如果在有界闭区域D 上/（x,y ）Mg （x,y ）,贝U蝌 /（X ，y ）d<7 < 蝌 g （x,y ）d （jD D特别地，由于T/（x,y ）0（x,y ）V|/（x,y ）|又有不等式 -蝌 \f （x,y ）\dff< 蝌 /（x,刃力 V 蝌 I f （x,y ） \ doDD D即 I 蝌 f （x,y}do |< 蝌 \f （x,y ） \ doDD 【性质6】（估值不等式）设M 、加分别是/（*,》）在有界闭区域D 上的最大值和最小值，S 。

是 D 的面积，则 m-S D < 蝌 f （x, v ）i/c <M-S D .D【性质7】（二重积分的中值定理）设若函数/（兀刃、g （x,y ）都在有界闭区域D 上连续，而g （x,y ）在。

上不变号，则在D 上至少存在一点（乙“）使得下式成立（西交大P22。

）蝌 /（x ，y ）g （x, V ）do =f （乙4） •蝌 g （x,y ）do .D D特别地，函数g （兀』）三1时，在£>上至少存在一点（乙“）使得下式成立蝌 /（兀,y ）da h （劄）& •D证显然SpHO,因/（x,y ）在有界闭区域D 上连续，故必取得最大值M 与最小值刃，且有不妨设g （.r,y ）>0（g （x,y ） = 0时等号显然成立），则gg) < 0，则蝌g （兀,尹）勿■ VO,于是再同除蝌g （x,y ）da ,即得m 蝌 g(x,y)d (7 < 蝌 /(x j)g(x, y)da <M 蝌 g(x, y)doD D Dm 蝌 g(xj)亦 >蝌/(x 』)gO,p)亦 W 蝌 g(xj)亦D蝌g(x,y)亦才(初)蝌/(x』)g(x,y)c/<7 =/■(<,“)•蝌g(x,y)d(r .D D当g (兀』)三1时，蝌g(兀,歹)勿■=$»,于是上式为蝌f(x,y)do =/(乙")-S D.D例1 (简单估值)估计二重积分蝌卩(兀+尹)％(£>：0<x<l, 0<y<l)的值.D解要估计二重积分的大小，就要先求出被积函数在积分区域上的最大值和最小值.在D上, 0歹(x,y)=xj心+y)S2, S D=1,0< 蝌^ xy(x + y)d(j <2.D•当无法直观地求得在D上的最值时，可应用前面学过的求多元函数的极值与最值的方法求解.例2 (用多元函数的最值估值)估计二重积分蝌(十+ 4尸+ 9)為(Q： x2+y2<4)的值. D设f(x,y)=x2+4y2+9, 在圆域内，解_(1)A'(x,y)=2x=0, f y'(x,y)= 8v=0(2 ) 在边界/(0,0) = 9；即函数/(x,y)在条件X2+ V2=4下的条件极值问题.x~ + v2 = 4兀=/(±^4- V2 ,?) = 4-y2+4y + 9 = 4 + 3尸 + 9, (-2<y<2)蝌/(x,y)g(x,y)亦m<』 --------------------- <M蝌g(x,y)亦D由介值定理可得蝌/(x,y)g(x,yWfy ' = 0 得)，=0,/(±2,0)=13；(3)再考虑边界的端点值：/(0+2) = 25；比较上述几个函数值得加=9, M=25又S D = 7T-22 = 47I：,于是36兀=9X4於蝌(x?+ 4干+ 9)d7M25X4兀=100;r.D解二显然9歹(x,y) =x2 + 4y2 + 9=.r + v2 + 3v2 + 9<22 + 3X22 + 9 = 25, 故36兀=9X4於蝌(〒+ 4/+ 9)t/t7 <25X4^=100^.D例3 (比较二重积分的在大小)比较两个二重积分蝌(兀+尹尸昴，蝌(兀+尹)3亦的大小，设D D(1)D：直线兀=0, 7=0,兀+尹=1所围区域；(2)D： (x-2)2 + (y-l)2<2・分析：欲判别两个二重积分的大小，只要判别两个被积函数在同一积分区域上的大小.由题意知, 若z=x+p在积分区域上大于1,则一定有(x+y)2<(x+y)3,反之有(x+y)2>(x+y)3.解(1)显然在£>上有z=x+y<l,故(x+y)2>(x+y)3,于是蝌(兀 + y?d(y>蝌(兀 + doD D(2)用5种方法比较%1确定z=x+y在圆域(X-2)2+(J-1)2<2上是否大于1.我们通过所给的定义区域表达式推出z=x+y是否大于1.由(x-2)2 + (y-l)2=x2-4x+4+y-2v+1<2,得x2 -2x-2x+4 +y2 - 2y + 1 = (x- 1)2 - 2 (x + y) + 4 + y2<2即2(x+v)>(x- 1 )2 + 4 + y2-2 = (x- 1)2+y2 + 2>2 于是x +y>1,故蝌(x+『)2%<蝌(*+ v)3do .D D%1在圆域边界上有X=2+A/2 COS0, v = 1 + V2 sin^,于是有伍/y兀+尹=3+ A/2 cos&+ A/2 sin&=3 + 2( -^-cos0+ ^-sin&) = 3 + 2sin(0+ ^)>1, 故蝌（兀+歹）2亦W蝌（兀+ do •D D%1上述问题还可转化为：若圆域上有点（兀y）使得x+y<l,则直线x+y=l与圆域的边界曲线（X-2）2+（J-1）2=2必有多于一个的交点，故由联立方程（X—2）2+X2=2,即x=l, y=0. 即圆域上仅有一点（1,0）使得x+y=l,在其它点处都有x+y>l,从而对于圆域上的任意一点（x,y）, 有x+y>l 故蝌（x+ 丁）2昴<蝌（*+ .D D%1还可以用点（2,1）到直线x+y=l的距离来判断：t/=|X.+ -V~ 11=72 ,即圆与直线相切,+ V x=2尸1从而对于圆域上的任意一点（兀,歹），有兀+*1故蝌（兀+尹尸勿蝌（兀+ y）3da •D D%1此题还可通过求在圆域上求z=x+y的最值来判断结果.由于z=x+y在空间表示一个平面, 所以若2 =兀+歹在圆域上取得最值，必然在其边界上取得.这就将问题化成了函数2 =兀+歹在限制条件（x-2）2 + （y-1）2 = 2的条件极值问题.设拉格朗日函数为j 厶;=1+ 2 Ax由14= 1+ 2^ 得|（x- 2）2+（y- 1）2=2兀1 = 1’ 71 = 0’=—兀2 = 3 ,尹2 = 2 , ^2 = ~ ~分别为Z=x+y在圆域上的最小值点和最大值点，最小值m=l；最大值M=5.从而，对于圆域上的任意一点（兀』）有x+y>l故蝌（兀+尹y南W蝌（兀+ yf da •D D作业：作业集第四册P5.。