锐角三角比复习
《锐角的三角比》全章复习与巩固(基础) 巩固练习
《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础） 巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（ ）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1D ．m ＞13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.125．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12 B ．2C 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 161是方程2(3tan )0x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值 为________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan AC B BC =知tan 32AC BC B ===． 2.【答案】D ；【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=，cos bcα=， ∴sin cos a b a bm c c cαα+=+=+=，而a b c +>，∴m ＞1 3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==．4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2【解析】原式＝3|21422--+=-= 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4．13．【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan 2BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b =15．【答案】45； 【解析】∵ CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴ AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴ 84sin 105BC A AB ===．16．【答案】2；【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，则cos cos 452θ==°． 三、解答题17.【答案与解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==，∴∠ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴ OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴ ∠CDE ＝2∠B ． (2)连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠B ＝90°．∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos 2BD B AB ==， ∴∠C ＝30°，∵∠AOD ＝2∠CDO ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°， ∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5．∵弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴DE ＝CDsin30°＝5． ∵弦DF ⊥直径AB 于点E ， ∴DE ＝EF ＝12DF ， ∴DF ＝2DE ＝10．。
28章锐角三角函数小结与复习教案 -
（一）激趣导入你能根据本章内容画出知识结构图吗？试一试。
（二）指导自学学生查看教材61-77页内容，熟悉本章知识点，教师巡视指导。
（三）合作互助学生分组进行讨论，画出本章知识结构图，学生代表展示结果。
【课件展示】直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题提问：（1）锐角三角函数定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如图所示.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=;我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=;我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=.（2）特殊角的函数值[规律方法] 在非直角三角形中求角的三角函数值,常通过作垂直构造直角三角形,利用直角三角形中的边角关系解决.例2计算°°-°°°.解:原式=°---=---=2---=1-2.[解题策略]准确地代入特殊角的三角函数值,再根据二次根式的性质进行化简计算.例3 如图①所示,一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处. (1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离(结果用根号表示);(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45).〔解析〕(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,由∠AME 的度数得∠AMD=∠MAD=45°,根据AM的值和特殊角的三角函数值可得DM的值,即为所求;(2)在Rt△DMB中,由∠BMF=60°,得∠DMB=30°,进而求出MB的值,最后根据路程÷速度=时间,即可得出答案.解:(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,∵∠AME=45°,∴∠AMD=∠MAD=45°,∵AM=180海里,∴MD=AM·cos 45°=90海里.答:渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是90海里.(2)在Rt△DMB中,∵∠BMF=60°,∴∠DMB=30°,∵MD=90海里,∴MB=60海里,∴60÷20=3≈3×2.45=7.35≈7.4(小时).答:渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.[规律方法] 实际问题中的许多问题可以用直角三角形的边角关系解决,解决这类问题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题,选择恰当的边角关系(即三角函数)求解.（五）检测达标1.如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( )A.2B.8C.2D.42.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是( )A. B. C. D.23.10.如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )A.50米B.100米米C.米D.-通过本节课的学习，你有什么收获？布置作业：1.-(2015-π)0-4cos 45°+(-3)2;2.如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD 等于海里.3.Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6 cm,那么BC等于( )A.8 cmB. cmC. cmD. cm。
专题05锐角的三角比3个知识点7种题型1种中考考法原卷版
专题05锐角的三角比（3个知识点7种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：正切与余切知识点2：正弦与余弦知识点3：特殊锐角三角比的值【方法二】实例探索法题型1：正切、余切的有关计算题型2：网格内正切、余切的计算题型3：正弦、余弦的有关计算题型4：根据特殊锐角三角比的值求锐角题型5：特殊角的三角比的值的运算题型6：锐角三角比的应用题型7：求15°、75°、22.5°、67.5°的锐角三角比的值【方法三】仿真实战法考法：特殊锐角三角比的值【方法四】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．知识点2：正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c===锐角的对边斜边．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．知识点3：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值a cAB Cba cAB Cb3.通过观察上面的表格，可以总结出：当0︒<a< 90︒，a的正弦值随着角度的增大而增大，a的余弦值随着角度的增大而减小；a的正切值随着角度的增大而增大，a的余切值随着角度的增大而减小．【方法二】实例探索法题型1：正切、余切的有关计算1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）A．tan B=3B．cot B=4C．sin B=4D．cos B=43．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ ．题型2：网格内正切、余切的计算4.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）A．2B．C．D．题型3：正弦、余弦的有关计算5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A ．126．在Rt ⊿ABC 中，题型4：根据特殊锐角三角比的值求锐角7．（2021秋•松江区期末）已知sin α＝，那么锐角α的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．（2021秋•黄浦区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC AB B ＝ ．题型5：特殊角的三角比的值的运算9．（2021秋•杨浦区期末）计算：cos 245°﹣tan30°sin60°＝ ．10．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝ ．11.（2021秋•嘉定区期末）计算：．12．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．13．（2021秋•徐汇区期末）计算：sin60°3tan30°⋅cos60°12cot45°cot30°．14．（2021秋•普陀区期末）计算：4sin 260°2sin30°cot45°tan60°2cos45°．15．（2021秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cos30°+cot 245°﹣sin 245°．16．（2021秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅cot30°―+2cos 245°．题型5：锐角三角比的应用17.已知方程()2sin 2sin 2sin 120x x a a a -+++=有两个相等的实数根，求锐角a 的大小．18.已知ABC D 中，30B Ð=︒，45C Ð=︒，BC = 15 cm ，求AB 的长．Ð=︒，BC = 15 cm，求AB的长．Ð=︒，135CD中，3019.已知ABCBAÐ=︒，AC = 15 cm，BC=，求AB的长．D中，4520.已知ABC+=，30AÐ=︒，求a、b、c的值．a bÐ=︒，221.已知Rt ABCD中，90CB AD的形状，并说明理--=，请判断ABCtan2sin0Ð均是锐角，且(2D中，A22.在ABCÐ、B由．题型7：求15°、75°、22.5°、67.5°的锐角三角比的值23.应用锐角三角比的定义，求sin 15°、tan 15°、sin 75°、tan 75°．24.应用锐角三角比的定义，求sin 22.5°、tan 22.5°、sin 67.5°、tan 67.5°．【方法三】仿真实战法考法：特殊锐角三角比的值25．（2022•广东）sin30°＝ ．26．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．27．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．28．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．29．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝ ．30．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．31．（2022•通辽）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．32．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【方法四】成功评定法一、单选题A．1B．226．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系二、填空题11．（2023·上海·一模）如图，△ABC在边长为那么∠ABC的正切值为．12．（2023·上海徐汇·14．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在V沿直线AD翻折后，点AD，将ACD为．15．（2020·九年级校考期中）若16．（2022秋·上海黄浦·九年级校联考阶段练习）如图，已知在、边上的高，连接EF，那么AC AB17．（2023·上海金山·统考一模）我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，18．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形逆时针旋转后，点A恰好落在菱形为．三、解答题19．（2023·上海崇明·统考一模）计算：(1)求BD的长；(2)求BDEV的面积．(1)求CE的长；Ð的正切值．(2)求EBC动点，连接BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E ．(1)如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；(2)连接DE ，如果DEC V 和ABC V 相似，求CE 的长；(3)当点F 在边BA 的延长线上，且2AF =时，求AD 的长．。
沪教版初三上册《锐角的三角比》全章复习与巩固(基础) 知识讲解
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝∠A的邻边∠A的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：12．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
沪教版 九年级数学 锐角三角比的模考汇编复习
锐角三角比的模考汇编复习知识定位考情分析：锐角的三角比相关内容作为模拟考以及中考常见知识点之一，常出现在选择题、填空题以及解答题中，其本身知识点难度不高，因而考题较为简单。
本讲主要讲解锐角的三角比的意义、特殊锐角的三角比的值、各锐角的三角比的关系以及解直角三角形的三种应用，即分别是关于坡度坡角、仰角俯角和方向角问题。
相关重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，而难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用。
考试占比：一般单纯考察锐角三角比的试题分值至少在14分左右，此外函数压轴题以及几何压轴题中还会涉及部分的解直角三角形的应用，因而这部分的内容显得格外重要，由于锐角三角比本身难度较小，因此同学们只要平时加强练习，都可以完全攻克这部分内容！！！童鞋，你做好学习本节课的准备了么？Are you ready？题型梳理例题精讲题型梳理1：锐角三角比的概念辨析 【题目】【2018徐汇区一模】在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列等式中，正确的是（ ） A ．cb A =sin B ．ac B =cos C ．ba A =tan D ．ab B =cot 【题目分析】本题考察了锐角三角函数的定义，在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ； （2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ； （3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ； （4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数； 因此先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可，属于基础概念题。
【答案】C 【解析】解：根据三角函数的定义：A 、c a A =sin ，错误；B 、c aB =cos ，错误；C 、b a A =tan ，正确；D 、baB =cot ，错误故选：C 。
锐角三角函数复习课课件
90度角
总结词
正弦值和余弦值不存在，正切值为无穷大
详细描述
在90度角时，正弦函数值和余弦函数值都不存在，因为无法定义与x轴的角度；正切函数值为无穷大 ，因为在直角三角形中，对边长度可以无限小而保持与斜边的比值不变。
03
锐角三角函数的图像与性质
正弦函数图像
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其图像在直角坐标系中呈波 浪形。
用三角函数来处理角度和旋转。
05
常见题型解析与解题技巧
选择题
• 题型特点：选择题通常考察学生对锐角三角函数基础知识的理 解和应用，题目会给出一些具体的数值或图形，要求选择正确 的答案。
选择题
排除法
根据题目给出的选项，逐一排除明显 错误的答案，缩小选择范围。
代入法
对于涉及数值计算的题目，可以将选 项中的数值代入题目中，通过计算验 证答案的正确性。
在研究磁场和电场时，我们经常需要使用锐 角三角函数来描述场的方向和强度。
日常生活中的问题
建筑和设计
在建筑设计、工程规划和土木工程中，锐角 三角函数用于计算角度、高度和距离等参数 ，以确保结构的稳定性和安全性。
游戏和娱乐
在许多游戏和娱乐活动中，锐角三角函数也 起着重要作用。例如，在制作动画、设计游 戏关卡或创建虚拟现实环境时，我们需要使
总结词
正弦值为0，余弦值和正切值不存在
详细描述
在0度角时，正弦函数值为0，表示射线与x轴重合；余弦函数值不存在，因为无 法定义与x轴的角度；正切函数值也不存在，因为没有对边形成直角三角形。
30度角
总结词
正弦值为0.5，余弦值为0.866，正切值为1/3
详细描述
在30度角时，正弦函数值为0.5，表示对边长度为斜边长度的一半；余弦函数值 为0.866，表示邻边长度为斜边长度的一半的平方根；正切函数值为1/3，表示对 边长度与邻边长度的比值。
第25章锐角的三角比(知识清单)(沪教版)
第25章锐角的三角比知识清单考点解读模块考点水平层级图形与几何锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30°、45°、60°角的三角比的值（40）Ⅱ解直角三角形及其应用（41）Ⅲ备注理解性理解水平（记为Ⅱ）探究性理解水平(记为Ⅲ)考点剖析1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tanAAA∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cotAAA∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==； ③1tan cot A A ⋅=. 3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α 3331 cot α3331sin α123222 cos α3212224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2. 直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin ;cos .a b c A B a b a b A A A Ab ac c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系： 3.解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α 俯角仰角水平线视线视线1 锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC b cotA A BC a 角的角的锐邻边锐对边．2 特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：ca bCABα 30° 45° 60° sin α12 2232 cos α32 22 12tan α 3313 cot α3133【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．23130°60°AB C21145°ABC【记忆技巧】 1．图形推导法2．表格记忆法3 解直角三角形知识梳理1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系： （1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°； （2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）已知条件 解法步骤 一 边 和斜边和一锐角 斜边c 和一个锐角A ∠ 1．90B A ∠=-∠；2．a c sinA c cosB =⋅=⋅；3．22b c sinB c cosA c a =⋅=⋅=-．一直角一条直角边a 和一个锐角A ∠1．90B A ∠=-∠；2．ab a tanB tanA =⋅=；ACcba B α 30° 45° 60° sin α12 22 32 cos α32 22 12 tan α 33 1 3 cot α3133一 角 边和一锐角3．22sin a bc a b A sinB===+． 一条直角边b 和一个锐角A ∠1．90B A ∠=-∠；2．ba b tanA cotB=⋅=；3．22sin b ac a b sinB A ===+．类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）已知条件解法步骤两边斜边c 和直角边a1．22b c a =-；2．利用asinA c=，求A ∠；3．90B A ∠=-∠． 两条直角边a 和b 1．22c a b =+2．利用atanA b=，求A ∠；3．90B A ∠=-∠．4 解直角三角形的应用知识梳理1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. 2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即hi l=. 坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．铅垂线水平线视线视线仰角俯角5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系: hi tan lα==.知识延伸※1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向. 2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤<.hαl。
基础复习-------锐角三角比
基础复习-------锐角三角比教学过程（一）知识结构，形成体系（二）例题探讨 深入研究 1、锐角三角比的概念 例1-1例1-22、特殊角的锐角三角比值例2-1-1填空例2-1-2计算3、解直角三角形 ①已知一边和一锐角 例3-1 ②已知两边 例3-24、解直角三角形的应用 ①仰角、俯角例4-1-1 在距地面100米的平台上，测得一塔顶、塔底的俯角分别为30°和60°，求这座塔的高度.例4-1-2②坡角和坡比t =908=11R ABC C AC BC ∆∠︒=已知在中，，，，则ｔａｎA=_______t =90R ABC C ∆∠︒１已知在中，，ｃｏｔＡ＝，则ｃｏｓＢ=_______２θθ若ｃｏｓ＝＿＿＿ABC ∆∠在中，如果AB BC ＝８，AC ＝４，那么A 的度数为____cos60cot 30tan 60︒-︒+︒cos30tan 60sin 60cot 45︒-︒︒-︒(-2,3),__P O OP x αα在直角坐标系中，已知为坐标原点，与轴的夹角为，则的正切值为=90=306ABC ACB CD AB D B CD ∆∠︒⊥∠︒=已知，在中，，，垂足为，若，，求AB 的长.=90=5cm,ABC C AC BAC BC D AD B AB BC ∆∠︒∠∠如图，在中，，的平分线交于，，求，，B20 1.5α在离旗杆米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为米，那么旗杆多高例4-2-1例4-2-2锐角三角比检测姓名_________（A ）正弦； （B ）余弦； （C ）正切； （D ）余切．cos30tan 602.________sin 60cot 45︒-︒=︒-︒计算3.58tan ____2AABC AB AC BC ∆====在中，，，则B=_____,cot2sin (cot 0,=___B A B C ∆∠∠=∠４．已知在ABC 中，A 、是锐角，则5.=90=30=____Rt ABC C B BC AB ∆∠︒∠︒=在中，，，6．如图，为测量小山上电视塔BC 的高度，从山脚下A 点测得AC=820米，塔顶B 的仰角为30°，山坡的坡角为18°，求电视塔的高（精确到1米）7．如图，有一段防洪大堤，其横截面为梯形ABCD ，AB ∥CD ，斜坡AD 的坡度i1=1:1.2,斜坡BC 的坡度i2=1:0.8，大堤顶宽DC=6米,为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横截面为梯形DCEF ，EF ∥DC ，点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上，当新大堤顶宽EF 为3.8米时，大堤加高了多少？i=1200m ___.某公路的路面坡度，升高了米B ===∠︒∠︒如图，一座堤坝的横截面是梯形，B 45，C 30，AD=6m ，CD 14m ，求坝底宽BC(0.1m,=1.414=1.732)精确到1.t =90bR ABC C A a ∆∠︒已知中，，那么是角的（）8.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20，求C到A的距离。
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锐角三角比复习【知识点】1. 锐角的三角比的定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，1）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A2）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切. cotA ＝A A ∠=∠的的b a 3）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦. sinA ＝c a =∠∠的斜边的对边A A ；4）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦. cosA ＝c b =∠∠的斜边的邻边A A ；2. 锐角的三角比的性质1）当锐角A 的度数一定时，不管锐角A 在什么形状的三角形中，∠A 的三角比是一个固定值.2）若90A B ∠+∠= ,则有tanA =cotB ，tanB=cotA ， sin A =cos B ，sin B =cos A ; 3）22sin cos 1A A += tanA ·cotA=1 4）sin tan cos A A A=5）0<sinA<1 0<cosA<14、定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形 直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系 sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.A CD B第4题5. 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.6. 坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i=Lh .（坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5）坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. 坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α.【实战演练】 一、填空题1.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA2. 已知α为锐角,且21tan =α,则=αcot 3. 如图，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为_____4．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，D 为垂足，若5,3==AB AC ，则cot ACD ∠= ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则BC ＝ （用b 和θ的表示）斜坡的坡比是1:1，则坡角=_______度 3、斜坡的坡角是60度，则坡比是_______4、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______5、斜坡的坡度是1:3，斜坡长100米，则斜坡高为_______米水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α（=:ihl坡度=t an αhl如图，B A C ∠位于66⨯的方格纸中，则tan B A C ∠＝ .8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ▲ ．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt 中，则BC 的长为 （ ）（A ） 35sin 7 （B ）35cos 7（C ） 35cos 7（D ）． 35tan 7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．315．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米(C) m ·cos α米 (D)αtan m 米ABCmα(第8题图)第13题图ABC在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值 （ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE :CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97三、简答1、求下列各式的值：(1)sin30°+cos30° (2)sin30°·sin45° (3)tan60°+2sin45°-2cos30° (4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2(5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22（6）(cos60°)2 +(cos45°)2 +sin30°sin45°（7）（8）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（9）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--（10）20113015(1)()(cos 68)8sin 602π---+++． 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，a=8，求这个直角三角形的其它边和角3.在Rt △ABC 中，∠C=900，c=43，a=2，解这个直角三角形.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．.在直角坐标平面中，直线343+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正切值.在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，︒=∠30C ，21tan =B ,324+=BC ，求AD 的长.如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米); (2)求坡角的正弦有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度i 1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1∶0.8, 大堤顶宽DC 为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF ∥DC, 点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF 为3.8米时,大堤加高了几米?ABD1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6米，背水坡AB 的坡度i=1：2，则斜坡AB 的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1，斜坡BD 的长是50米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端A 的仰角为45°，在山坡的坡项D 处测得铁架顶端A 的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．1.73，精确到0.1米） 如图,ABC ∆中，BCP AC PC ∠⊥,的正切值为13，P 是AB 的中点，则=A sin ；7、已知ABC ∆中，20=AB ，15=AC ，且=B sin 53，则=BC ；8、在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，=∠DBC sin 72，求AC BC :的值；9、一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行。
上午8时，在B 处测得小岛A 在北偏东30°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C 处，这时小岛A 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午11时到达D 处。
求AD 的长度。
10、如图，在平行四边形ABCD 中，AB DB ⊥,12=AB ,13=BC 。
P 、Q 分别是边CB 、CD 的动点，且满足65=CQCP 。
（1）求C sin 的值（2）设x CP =,四边形PQDB 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式和自变量x 的取值范围。
(3) 当AP 平分DAB ∠时，求四边形PQDB 的面积。
已知：在△ABC 中AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ． （1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AE ＝2MD ；（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为： 。
（3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72，求tan∠ACP的值．【答案】（1）证明：如图1 连接AD∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°BDMBAEBDABABCABBD∠=∠=∠⋅=∴2cos即∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBMMDAEDBABDMAE22=∴==∴（2）AE=2MD（3）解：如图2 连接AD、EP ∵AB=AC∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形又∵D为BC中点∴AD⊥BC ∠DAC=30BD=DC=21AB∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM∴△ABE∽△DBM 2==∴DBABBMBE∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60°∴△BEP为等边三角形∴EM⊥BP ∴∠BMD=90°∴∠AEB=90°23tan21772,22=∠∴=-=∴==∆EABAEABBEABAEAEBRt中在∵D为BC中点M为PB中点∴DM//PC∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB23tan=∠∴PCB347347tan 327sin =-=∴=∠⋅=∆=∠⋅=∆ND AD NA NCD DC ND NDC Rt ABD AB AD ABD Rt 中在中在过N 作NH ⊥AC ，垂足为H 在821cos 38721=∠⋅===∆NAH AN AH AH NH ANH Rt 中.53tan 835=∠∴=-=∴ACP AH AC CH。