数学建模中的整数规划问题研究论文

XX大学毕业论文数学建模中的整数规划问题研究院系名称：专业：学生姓名：学号：指导老师：XX大学制二〇一年月日1.引言应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题。

这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法解决，即建立数学模型。

随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速的扩展到非物理领域。

数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。

正是这样的背景下，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代化生产、工作和社会生活中。

数学模型的分类方法有很多种，例如按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。

而运筹学模型中的规划模型又可分为非线性规划模型和线性规划模型，本文通过实例剖析线性规划中整数规划方法在数学模型种的应用2.主要结果2.1数学建模中的整数规划问题在研究线性规划的问题中，一般问题的最优解都是非整数，即为分数或小数，但对于实际中的具体问题的解常常要求必须取整数.例如问题的解表示是人数、机器设备的台数、机械车辆数等都是整数.为了求整数解，我们设想把所求得的非整数解采用“舍人取整”的方法处理，似乎是变成了整数解，但事实上这样得到的结果未必可行.因为取整以后就不一定是原问题的可行解了，或者虽然是可行解，但也不一定是最优解.因此，对于要求最优整数解的问题，需要寻求直接的求解方法，这就是整数规划方法.2.2整数规划的基本概念]1[整数规划的一般模型为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤=∑∑==,,,2,1,0,,,2,1),(..,minmax11njxxmibxat sxcjjnjijijnjjjz为整数（2.1）整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题（2.1）中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题——松弛问题（A），如果这个问题（A）的最优解是元问题（2.1）的可行解，则就是原问题（2.1）的最优解；否则，在保证不改变松弛问题（A）的可行性的条件下，修正松弛问题（A）的可行域（增加新的约束），变成新的问题（B），再求问题（B）的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题（2.1）的可行域内为止，即得到了原问题的最优解.2.3整数规划的解法2.3.1整数规划的分枝定界法分枝定界法的基本思想：将原问题（2.1）中的整数约束去掉变为问题（A），求出问题（A）的最优解，如果它不是原问题的可行解，则通过附加线性不等式约束，将问题（A）分枝变为若干子问题（iB）（i=1，2，…，I），即对每一个非整数变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，即可得到两个子问题，继续求解定界，重复这一过程，知道得到最优解为止。

分枝定界法的一般步骤：（1）将原整数规划问题（2.1）去掉所有的整数约束变为线性规划问题（A），用线性规划的方法求解问题（A），则有下列情况：1）问题（A）无可行解，则原问题（2.1）也无可行解，停止计算：2）问题（A）有最优解*X，并不是原问题（2.1）的可行解，则此解就是（A）的最优解，计算结束；3）问题（A）有最优解*X，但不是原问题（2.1）的可行解，转下一步。

（2）将*X 代入目标函数，其只记为-z ，并用观察法找出原问题（2.1）的一个可行解（整数解，不妨取),,2,1(0n j x j ==），求得目标函数值（下界值），记为-z ，则原问题（2.1）的最优值记为*z ，即有--≤≤z z z *，转下一步；（3）分枝：在问题（A ）的最优解中任选一个不满足整数约束的变量j j b x =（非整数），附加两个整数不等式约束：[]j j b x ≤和[]1+≥j j b x ，分别加入到问题（A ）中，构成两个新的子问题（1B ）和（2B ），仍不考虑整数约束，求问题（1B ）和（2B ）的解。

定界：对每一个子问题的求解结果，找出最优值的最大者为新的上界-z ，从所有符合整数约束条件的分枝中找出目标函数值最大的一个为新的下界-z 。

（4）比较与剪枝：将各分枝问题的最优值同-z 比较，如果其值小于-z ，则这个分枝可以剪掉，以后不再考虑。

如果其值大于-z ，且又不是原问题（2.1）的可行解，则继续分枝，返回（3），直到最后得到最优解使*z =-z ，即),,2,1(*n j x j =为原问题（2.1）的最优解。

2.3.2整数规划的割平面法 割平面法的基本思想：首先把原整数规划问题（2.1）去掉整数约束条件变为线性规划问题（A ），然后引入线性约束条件使问题（A ）的可行域逐步缩小，每次切割掉的是问题非整数解的一部分，不切掉任何整数解，知道最后使得目标函数达到最优的整数解成为可行域的一个顶点为止，这也就是原问题（2.1）的最优解。

即利用线性规划的求解方法逐步缩小可行域，最后找到整数规划问题的最优解。

割平面法的计算步骤：设原问题（2.1）中有n 个决策变量，m 个松弛变量，共n+m 个变量，略去整数约束求解线性规划问题，将最终的求解结果放入如表2-1中。

其中),,2,1(m i x i =表示基变量，),,2,1(n j y j =表示非基变量，则具体计算步骤如下：（1）在最优解中任取一个具有分数值的基变量，不妨设为)1(m i x i ≤≤，由此可得∑=--=+nj i j ij i b y a x 1，即∑=---=nj j ij i i y a b x 1m i ≤≤1； （2.2）（2）将i b -和),,2,1;1(n j m i a ij =≤≤-（为假分数）分为整数部分和菲负分数的真分数，即∑∑==-=-+nj mj j ij i j j ij i y f f N y N x 11m i ≤≤1； （2.3）（3）要使i x 和j y 都为整数，（2.3）式的左端必为整数，右端也是整数，而且由()0≥x f ，j y 是非负整数，故此∑=≥nj j ij y f 10。

又因0>i f 是真分数，于是有∑=<≤-nj i j ij i f y f f 11，则必有∑=≤-nj j ij i y f f 10 （m i ≤≤1） （2.4）这就是所要求的一个切割方程（Gomory 约束条件）； （4）对（2.4）式引入一个松弛变量i S ，则（2.4）式变为 ∑=-=-nj i j ij i f y f S 1 （m i ≤≤1），将其带入原问题中去，求解新的线性规划问题；（5）应用对偶单纯形法求解，如果所求最优解为原问题的可行解，则就是原问题的最优解，计算结束。

否则继续构造Gomory 约束条件，知道其最优解为整数解停止。

2.3.3 0-1整数规划如果整数线性规划问题的所有决策变量i x 仅限于0或1两个数值，则称此问题为0-1线性整数规划，简称为0-1规划。

变量i x 称为0-1变量，或二进制变量，其变量取值的约束可变为i x =0或1，等价于1≤i x 和0≥i x 且为整数。

于是0-1规划的一般模型为∑==nj j j x c z 1max(min)，⎪⎩⎪⎨⎧===≥=≤∑=).,,2,1(10),,,2,1(),(..1n j x m i b x a t s jnj i j ij 或2.3.4 整数规划的LINGO 解法LINGO 软件是Linus Schrage 教授于1980年前后开发的一套专门用于求解最优化问题的工具包．后来经过了多年的不断完善和扩充．并成立了LINDO 系统公司进行商业化运作。

取得了巨大成就。

该软件操作简单．求解速度快。

目前，利用LINGO 软件求解整数规划模型是一种比较有效的方法。

针对一般的准归属规划模型（2.1）给出LINGO 模型如下；MODEL: sets: num_i/1..m/b; num_j/1..n/:x,c; link(num_i,mum_j):a; endsets data:b=b(1),b(2),…,b(m); c=c(1),c(2),…,c(n); a=a(1,1),a(1,2),…,a(1,n), a(2,1),a(2,2),…,a(2,n), … … … … a(m,1),a(m,2),…,a(m,n); enddata[OBJ]max=@sum(num_j(j):c(j)*x(j));@for(num_i(i): @sum(num_j(j):a(i,j)*x(j))<b(i);); @for(num_j(j):x(j)>=0;);@for(num_j(j):@GIN(x(j)););END说明：LINGO模型中的目标函数是按最大化问题，约束条件都是按“小于等于”的情况给出的，实际中要根据具体情况修正。

3.应用举例3.1生产资源分配模型]5[3.1.1.问题的提出生产企业制定生产计划，分配生产资源时，某原材料月分配计划单位为百吨，日分配计划单位为吨，这样常出现企业各车间总的日计划分配额不等于各车间日计划分配额的总合情况（祥见表1）。

表1为企业按照该种原材料的存储及运输能力，各车间的生产情况，以百吨(或其他整数单位)为单位制定的初步分配计划．按照该月初步计划．每日以吨(或其他整数单位)为单位向各车间供应该种原材料．表1中．日计划为按照月计划分配额。

以31天计算（四舍五入取整)的各车间日分配额．各车间日供应合计为8521吨。

全月供应总量264151吨，超出了企业供应能力．可能会造成企业生产的不连续性。

基于这个问题，就要对各车间的分配计划进行微量调整．调整方法：(1)保持总计划不变；(2)车间月计划要整百的进行调整。

表1 一月原材料计划表调整后结果见表2。

由表2可以看出．调整后的每日计划总合与总的每日计划结果一致。

表2 一月原材料计划表（调整后）3.1.2．问题的分析根据上述问题．设生产计划向量，和10×10的调整矩阵A ．其中，0,≥∈ij ij a Z a ，为i x 与j x 之间调整的数量，各车间月计划按下式进行调整：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=101010210121022211101211a a a a a a a a a A由上面假设．可以得出下面的整数规划模型： ∑∑==-+=101101,,'100100j j i j j i i ia a x x其中。

(1)式为目标函数．式中的∑∑==-101101i j ij a z 为调整总量．即调整总量最小；(2)，(3)式为约束条件．(2)式要求调整后的生产计划满足每日总计划与总的每日计划相等，Int(R)为对R 进行向下取整．Int （R+0.5)为对R 进行整数位的四舍五入；(3)式要求调整量为非负整数，又由于车间月计划要整百的调整．所以在(2)式中为100∑=101j ij a3.1.3.问题的求解 证明证明上述整数规划问题的可行域不为空。