圆锥曲线的直径
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中非常重要的一部分，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
这些曲线都是由一个平面与一个旋转椭球体相交得到的，具有广泛的应用价值。
以下是对于圆锥曲线的知识点总结：一、直角双曲线直角双曲线由于其特殊的形状和性质，在物理学、工程学和数学等方面都有应用。
直角双曲线的方程可以表示为以下形式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
在直角双曲线上，存在两个焦点以及两个称为顶点的特殊点。
双曲线还具有渐近线，与其方程的斜率相关。
二、抛物线抛物线是一种类似于开口向上或开口向下的弧线。
它的方程通常表示为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数且a不等于零。
抛物线的焦点是它的特殊点，而直径称为准线。
抛物线具有对称性质，其形状可以用焦点和准线的位置来确定。
三、椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的类型，它的形状类似于椭圆形。
椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
椭圆具有两个焦点，椭圆的形状和大小由焦距和长短轴决定。
椭圆还具有较为特殊的直径，它称为主轴。
四、参数方程与极坐标方程除了直角坐标系下的方程表示，圆锥曲线还可以用参数方程和极坐标方程来描述。
参数方程是将x和y表示为参数t的函数，通过参数的变化来确定曲线上的点。
极坐标方程是使用角度和极径来定义曲线上的点。
五、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要性质和性质。
其中一些重要的性质包括：切线的斜率、焦点与直线的关系、曲率和弧长等。
这些性质在求解问题和绘图中都有重要的应用。
总结：圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
每种曲线都具有独特的形状和性质，可以通过方程、参数方程或极坐标方程来描述。
了解圆锥曲线的基本知识对于解决实际问题和深入理解数学概念都是非常重要的。
掌握圆锥曲线的知识点，将有助于我们在几何学和解析几何学领域更加灵活和熟练地运用相关概念。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它具有许多独特的光学性质和应用。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的光学性质以及其在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面上的一根直线和一个点所决定的曲线。
根据直线和点的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种闭合曲线，它的定义是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一种开放曲线，它的定义是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
而抛物线是一种开放曲线，它的定义是到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
二、圆锥曲线的光学性质1.焦点和直径椭圆和双曲线都有焦点和直径的概念。
焦点是曲线上所有点到定点的距离之和等于常数的点的集合，而直径则是通过焦点的直线段。
焦点和直径是圆锥曲线的重要特征，它们在光学系统中有着重要的作用。
2.反射性质圆锥曲线具有良好的反射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
椭圆和双曲线可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在椭圆和双曲线反射镜中。
而抛物线则具有将入射光线聚焦到焦点上的性质，这种性质在抛物面反射镜中有着广泛的应用。
3.折射性质圆锥曲线也具有良好的折射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
这种性质被应用在折射镜和透镜中，可以用来调节光线的聚焦和散射。
4.散焦性质圆锥曲线还具有散焦性质，这种性质在光学系统中有着重要的应用。
椭圆和双曲线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在望远镜和激光器中。
而抛物线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，并使其散开成平行光线，这种性质被应用在卫星天线和抛物面反射镜中。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.光学系统圆锥曲线在许多光学系统中有着重要的应用，例如望远镜、显微镜、相机镜头等。
这些光学系统都利用了圆锥曲线的焦距和聚焦性质，来实现光线的聚焦和成像。
2.通讯设备圆锥曲线也被广泛应用在通讯设备中，例如卫星天线和天线反射器。
这些设备利用了抛物线反射镜的散焦性质，来实现对信号的接收和发送。
圆锥曲线知识梳理
焦点，实轴长为 2 a 的双曲线；以 F (
； x2 （2）已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一 3 个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 （3）设 F1，F2 是椭圆 ；
；若圆 P 过点 B 且与圆 A 外切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为 若圆 P 与圆 A 外切且与直线 x 1 相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为 。
x a cos ( 是参数） y b sin
P 的轨迹为 注：满足 | PF 1 | | PF 2 | 2a(a c) 的动点
高三复习知识梳理之十二： 圆锥曲线 一．重点知识： 本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性 质，直线与圆锥曲线的位置关系。本章的难点：求圆锥曲线的方程及利用几何性质和直线与圆锥 曲线的位置关系研究综合问题。 本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到 了很好的体现和充分的展示 ,尤其是在最近几年的高考试题中 ,平面向量与解析几何的融合 ,提高 了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通 过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值 25 分左右。主要呈现以下几个特点： 1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基本知识及基本技能、基本方法，常以选 择题与填空题的形式出现； 2．直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新 颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的 灵活程度； 3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探 究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度； 4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题， 但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。 （一）曲线与方程：
圆锥曲线讲义
e 1
e 1
圆锥曲线的第三定义：
K MA K MB 1
K MA K MB
b2 2 a
K MA K MB
b2 a2
椭圆简易篇
一．椭圆的三个形式：
x2 y2 1, ( a b 0) ，注意多解情况； a 2 b2
1.标准式：中心在原点，焦点在对称轴上
2 2
（2） S PF1F2 b tan
2
（5） t
4a 2 2； b2
（6）
1 1 2 ； PF1 F1M ep sin sin sin
（7） e
椭圆简易篇
（主要证明： PF1
ep ep ; MF1 ;） 1 e cos 1 e cos b2 2 a
2.一般式： A x B y 1 ， （ A 0, B 0 ， A B ）注重突出形式; 3.参数式：
x a cos ， 为参数， y b sin
说明：1.性质：范，对，顶，离； 2.主要考查方程组思想； Exe1.已知
x2 y2 1； 4
椭圆简易
5.已知 P ( x0 , y0 ) 为椭圆上的任意一点，且 PA PB , AB 两点均在椭圆上， 则直线 AB 恒过定点 (
c 2 x0 c 2 y0 , ) a 2 b2 a 2 b2 y2 x2 1(a b 0) ， a 2 b2
注意：若椭圆的方程为
PM 1 PF ， PN 2 PF
，则 1 2
2a 2 b2
4.过 M ( m,0) 作椭圆的割线，交椭圆于 PQ 两点，P 点关于 x 的对称点为 N 点，则直线 NQ 恒过定点 (
圆锥曲线的基本概念
圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，它由圆锥和平面相交而产生。
圆锥曲线包括三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
下面将介绍这三种曲线的基本概念和特征。
首先，我们来看椭圆。
椭圆是由平面与圆锥的两个曲面相交而形成的曲线。
椭圆有两个重要的焦点和一个重要的准线。
焦点是指椭圆上到两个焦点的距离之和为常数，准线是指通过椭圆的两个焦点的直线。
除了焦点和准线外，椭圆还有其他重要的属性，例如长轴、短轴、半长轴和半短轴。
长轴是指通过焦点的直线的长度，短轴是指准线的长度，半长轴是长轴的一半，半短轴是短轴的一半。
椭圆还有一个重要的性质是离心率，离心率描述了椭圆的形状，它的值介于0和1之间。
当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆。
接下来，我们来看抛物线。
抛物线也是由平面和圆锥的曲面相交得到的曲线。
抛物线有一个焦点和一个准线。
焦点是指抛物线上到焦点的距离等于到准线的距离。
准线是通过焦点并且与抛物线垂直的直线。
抛物线还有其他重要的属性，包括顶点、直径、焦半径和焦点到顶点的距离。
顶点是抛物线的最高点或最低点，直径是通过顶点的直线，焦半径是指焦点到抛物线的距离，焦点到顶点的距离也被称为焦距。
抛物线具有对称性质，其左右两侧的形状是对称的。
最后，我们来看双曲线。
双曲线也是由平面和圆锥的曲面相交形成的曲线。
双曲线有两个焦点和两根准线。
焦点是指双曲线上到两个焦点的距离之差为常数。
准线是通过焦点且与双曲线垂直的直线。
双曲线还有其他重要的属性，包括顶点、直径和离心率。
顶点是双曲线的最高点或最低点，直径是通过顶点的直线，离心率描述了双曲线的形状，离心率的值大于1。
通过对椭圆、抛物线和双曲线的基本概念和特征的介绍，我们可以更好地理解这些曲线的性质和形状。
这些曲线在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用，例如在天文学中描述行星轨道、在光学中描述光线的传播路径等。
掌握圆锥曲线的基本概念对于深入理解数学和相关学科的原理和应用是非常重要的。
solidworks圆锥曲线直径标注
SolidWorks是一款广泛应用于机械设计和制造领域的三维计算机辅助设计（CAD）软件，其中涵盖了丰富的设计工具和功能。
在SolidWorks软件中，圆锥曲线直径标注是一项重要的功能，它可以帮助工程师和设计师准确地标注圆锥曲线直径，从而更好地表达设计意图，方便制造和加工。
在本文中，我们将深入探讨SolidWorks软件中圆锥曲线直径标注的相关内容，包括其作用、使用方法及注意事项。
一、圆锥曲线简介在SolidWorks中，圆锥曲线是指圆锥形零件上的曲线，其截面为椭圆、双曲线或抛物线等。
设计师常常需要对圆锥曲线进行标注，以便于工程师理解设计意图，进行后续的加工和制造工作。
而圆锥曲线的直径标注就是其中的一种重要标注方式。
二、圆锥曲线直径标注的作用1. 确定圆锥曲线的直径尺寸，便于后续的加工和制造工作。
2. 提供清晰的图纸标注，方便他人理解设计意图。
3. 根据标注要求，进行相应的尺寸测量和验证。
三、 SolidWorks中圆锥曲线直径标注的使用方法1. 打开SolidWorks软件，打开需要进行直径标注的零件或装配体。
2. 进入草图环境，选中需要添加直径标注的圆锥曲线。
3. 点击“标注”工具栏中的“直径标注”按钮，或者使用快捷键“Alt+G”来添加直径标注。
4. 在图纸上选择直径标注的位置，点击鼠标左键即可添加直径标注。
5. 可以通过“Smart Dimension”功能来调整直径标注的位置和大小。
四、 SolidWorks中圆锥曲线直径标注的注意事项1. 在进行直径标注时，应尽量选择圆锥曲线的主要直径进行标注，以减少图纸上的混乱和歧义。
2. 确保直径标注的位置清晰明了，避免与其他标注重叠或混淆。
3. 对于特殊形状的圆锥曲线，可能需要进行更加细致的分析和标注，以确保其尺寸和形状准确无误。
结语在SolidWorks软件中，圆锥曲线直径标注是一项重要的功能，它可以帮助工程师和设计师更好地表达设计意图，方便后续的加工和制造工作。
圆锥曲线论
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通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。 椭圆的通径： 双曲线的通径： 抛物线的通径：2p
中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程： 1、联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次 方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求 出该弦的方程。 2、点差法（代点相减法） 设出弦的两端点坐标(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得 [ ( x ₁ + x ₂ ) ( x ₁ - x ₂ ) ] / a ²+ [ ( y ₁ + y ₂ ) ( y ₁ - y ₂ ) / b ²] = 0 由斜率为(y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）
极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中l表示半径，e表示离心率； 2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex(PF1>PF2)； |PF2|=a-ex(PF2<PF1)。 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex； P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex； P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey； P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。 抛物线
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
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圆锥曲线的直径及方程关键字:直径的定义 直径的斜率 方程，应用高小奇 宝鸡高新实验中学第一部分：圆锥曲线直径的定义【提出问题】圆有直径，那么高中我们讲了椭圆，双曲线，抛物线以后，这些图形有没有直径？ 【动手体会】让我们从圆开始体会一下直径的定义，在平面内做一个圆，做出一系列平行弦，取出每一个弦的中点，然后把每一个弦的中点连结起来，你会发现所有中点的连线恰好是圆的直径，故圆的直径可以看做是圆中一系列平行弦中点的轨迹。
【类比定义】圆锥曲线直径的定义：圆锥曲线的直径是圆锥曲线的一系列平行弦中点的轨迹 【分类探讨】下面让我们分类认识一下圆锥曲线的直径：椭圆：椭圆的长轴12A A ，短轴12B B 都是椭圆的直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹，PQ也是椭圆的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出椭圆的直径是一条线段，并且经过椭圆的中心。
双曲线：在双曲线中，射线1M A ，2N A 及虚轴所在的直线都是其直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹；FG 也是双曲线的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
另外，双曲线不同于椭圆，它不是一个封闭图形，无论平行弦与双曲线交于一支，还是交于两支，其平行弦中点的轨迹都是双曲线的直径；当平行弦与双曲线交于一支时，直径是两条射线并且反向延长后都经过双曲线的中心（证明见附录）；当平行弦与双曲线交于两支时，直径是过双曲线中心的线段。
通过上面的观察，我们可以看出双曲线的直径可以是射线，直线和线段，它们经过双曲线的中心，或延长后经过双曲线的中心。
抛物线：在抛物线中，抛物线的对称轴是抛物线的直径，它可以看做是垂直于抛物线对称轴的一系列平行弦中点的轨迹;射线的DE 也是抛物线的直径，它可以看做是一系列与对称轴不垂直的平行弦的中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出抛物线的直径是位于抛物线内部的一条射线，并且平行于抛物线的对称轴。
第二部分： 圆锥曲线直径所在直线的方程推导认识了圆锥曲线直径，下面让我们推导一下圆锥曲线直径的方程。
(1) 椭圆直径所在直线的方程推导特殊的直径方程：（Ⅰ）当平行弦斜率不存在时，直径所在直线的方程为：y=0； (Ⅱ) 当平行弦斜率为零时，直径所在直线的方程为：x=0。
非特殊直径方程的推导：22002202022222221,=--y -0,b b b b k C abk k MN k MN xk x k y y xy x b x ya yxaa aa +==-∴∴∴=+=设椭圆的方程为设平行弦的斜率为，中点（）.由点差发知：的斜率为：的方程为：即就是(2)双曲线直径（或直径所在直线）方程的推导 特殊的直径方程：（Ⅰ）当平行弦斜率不存在时，直径方程为：y=0 (x a x a ≥≤-或) （Ⅱ）当平行弦的斜率为零时，直径方程为：x=0CPN M非特殊直径方程的推导22002022022222221,=y -0,b b b b k C a b k k L k L xk x k y yx y x b xya y xaaaa -==∴∴∴==设双曲线的方程为设平行弦的斜率为，平行弦MN 的中点（）.由点差发知：直径的斜率为：直径的方程为：即就是(3)抛物线直径所在直线的方程推导（Ⅰ）：特殊的直径方程：平行弦斜率不存在时，此时直径所在直线的方程为y=0(0x ≥)（Ⅱ）当平行弦的斜率存在时：M2,(0),2(,),0000y AB K K px P C y x y P y KP K≠==∴=∴设的斜率为抛物线的方程为平行弦的中点为由点差法可知K 直径L 所在直线的方程为：y=LC BA第三部分：归纳总结说明：非特殊直径所在直线的斜率公式中的k 为平行弦的斜率第四部分：圆锥曲线直径的应用通过上面推导圆锥曲线的直径方程，我们知道：A1PQ A2B1B2椭圆直径所在直线的斜率 221k b Ka=-双曲线直径所在直线的斜率221k b K a=抛物线直径所在直线的斜率1K=上面这些斜率公式主要用于解决有关中点弦的斜率及方程问题，比点差法更简单，尤其是抛物线中解决有关中点弦的问题，更有巧妙之处。
下面我们来看一些有关这方面的应用。
1、已知抛物线，直线L 与抛物线交于A,B 两点，AB 的中点M （2,1）求L 的方程x ,.24,22n y 21212(2)2x 30M n pkp p kk k L y x y =∴=∴=∴=∴=∴-=---=解：过做轴的平行线则射线n 为抛物线的直径。
设AB 的斜率为k ，则n 的方程：y=的方程为的方程为即就是：2、（北师大版选修1-1，P48,.8）已知椭圆221164yx+=，求以P(2，-1)为中点的弦所在直线的方程。
nM1122221(2,1).,101,2021,16,42-41,1621,211(2)2240PQ AB M AB kk k k AB y x x y k k bka b a ---==---==-==∴=-=∴+=---=∴解：如图，为椭圆的直径，弦的中点为设椭圆直径PQ 的斜率为的斜率为将带入解得的方程为：即就是：3、（2010年全国新课标卷）已知双曲线E 的中心在原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线L 与双曲线E 相交于A,B 两点 ，且AB 的中点为N （-12，-15），则E 的方程（ ）22:136A y x-=22:145B y x-=22:163C y x-=22:154D y x-=221122122222222(1505150112041235=45494,5145k AB k k k E bk ak b k a b aa b a b yx =----====----∴=+=∴==-=解：双曲线直径的斜率其中为弦的斜率），将与值带入:又故双曲线的方程为BAQMy第五部分：应用反思：用圆锥曲线直径的斜率公式解决中点弦问题的思路： （1） 构造圆锥曲线直径：椭 圆：将弦的中点与椭圆的中心连结，即为直径。
双曲线：将弦的中点与椭圆的中心连结，即为直径。
抛物线：过弦的中点在抛物线内部做平行与对称轴的射线,即为直径（2） 求平行弦的斜率k ：如果平行弦中点坐标为00(,)y x ，则椭圆与双曲线直径所在直线的斜率010yk x=，带入直径斜率公式，解关于k 的方程，求出中点弦的斜率k 。
如果是抛物线，直接由方程()p p k y =为抛物线的焦准距，求平行弦所在直线的斜率k 。
附录下面我们给出当平行弦交于双曲线一支时，平行弦的中点都在直径上的证明。
iiiiiiiiiiiiiiiii22222222222222222222222(()22()1,1,0y A x B X Y y Y x X P y ,B A x X Y a b b b b b ii ii i iiiiy l y x X Y b a by x a a a a X Y x ka ++∴-=-=∴-=-=-=设是双曲线平行弦中的任意一条，与双曲线一支交于,）,，两点，它的中点为（,）因为（,），在双曲线上直径方程为22iiii22i i ii22222222222222222222()()()()2)()()2))()2))y Y xXy x X Y ((((b b 2(iii ii ii iiii ii iiii i iiiiiiy Y b a xX y b x a X Y X x y b x a X Y X x b y a b x a X Y X x a a X x -++=---+--+=----=----=--==-由上证明可知，当平行弦交于双曲线一支时，任意一条弦的中点都在直径上，故直径可以看做是平行弦中点的轨迹。