量子力学知识点小结

量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。

2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。

二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。

B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。

例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理： 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。

含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。

（六）定态薛定谔方程：22()2U r E m ψψψ-∇+=即：22()2U r E m ψψ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦定态的特点：（1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关∵ 222）（）（）（r er t ,r Et iψψ==ψ-∴0=∂∂tω（2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证） （3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符22ˆ()2HU r m=-∇+于是定态薛定谔方程可写为：ψψE H =这种类型的方程称为本征值方程，E 被称为算符H的本征值，ψ称为算符的本征方程。

讨论定态问题，就是要求出）（t ,r ψ（或）（rψ）和E ，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：tE in nn n er C t r -∑=ψ)(),(ψn C 为常数。

（七）一维无限深势阱问题设粒子的势能：⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x U ,00,0)(在势阱外0)(=x ψ [a x x ≥≤0] （1）在势阱内：因为0)(=x U ，所以其定态薛定谔方程为：ψψμE dx d =-2222 a x <<0 （2） 令22Ek μ=（3）则方程（2）可化为标准形式：a x k dxd <<=+00222ψψ （4）其通解为： )sin()(δψ+=kx A x （5） 式中A ，δ为两个待定常数，单从数学上看，E 为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有0)0(=ψ （6） 0)(=a ψ （7） 由（5）式和（6）式得： 0sin =δa令波函数不能恒为零，而A 不能为零，所以必须0=δ ，于是kx A x sin )(=ψ （8） 再根据（7）式得0sin )(==ka A a ψ所以ka 必须满足：πn ka =......3,2,1=nn 取负数给不出新的波函数。

这告诉我们k 只能取下列值an k π=......3,2,1=n (9) 由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：22222an E n μπ =......3,2,1=n (10) 将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为22222a n E n μπ =的波函数。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥≤=ax x a n A ax x x n 0sin ,00)(πψ......3,2,1=n （11）注：0,0,0≡=≠ψn n ，波函数无意义（11）式中A 可由归一化条件确定1sin |)(||)(|02222===⎰⎰⎰∞∞-dx x an Adx x dx x aan πψψ 知：aA 2=最后得到能量为n E 的归一化波函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥≤=ax x a n aax x x 0sin 2,00)(πψ总结：1、⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x U ,00,0)(可得：222223210200maπn E ,,, n ax x a n sin aa x ,x )x (n ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥≤=πψ 2、⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<=ax a x ,)x (U 0可得：22228321 )(21 0ma πn E ,,, n a x a x a n sin a ax )x (n ==⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=πψ 3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∞<=220a x ax ,)x (U 可得：222223212 )2(22 0ma πn E ,,, n a x a x a n sin a a x )x (n ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥=πψ 问题：粒子在一维无限深势阱中运动时，若阱宽减小，则其能级间隔会增大. （八）一维线性谐振子问题：一维线性谐振子的势能：2221)(x x U μω=定态薛定谔方程：ψψμωψμE x dx d =+-22222212 令：μωααξ==x ωλ E2=最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为：......3210)21(、、、=+=n n E n ω与之相应的波函数为：)x (H eN )x (n x n n αψα222-=归一化因子παnn n N 2!=其中：222)1()(ξξξξ--=e d d eH n nn 为厄米多项式且有：）（）（）（ξξξξ1122-+-=n n n nH H H 24212210-===ξξH H H小结：一维线性谐振子：222221()22d x E dx μωψψμ-+=能量的本征方程是：2221()0,1,2,2()()n x n nE n n x H x αμωψαα-⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩本征方程的解：问题：1.线性谐振子能量的本征方程是222221()22d m x E m dx ωψψ-=-或222221()22d x E dx μωψψμ-+=.定义算符：222( () )x n n n Hx αα-=线性谐振子的本征矢记作注：†ˆˆ1 11ˆ 11 11an a n x n d n dx αα-=+=-⎤=-++⎥⎦⎤=--+⎥⎦ωωαδδαααψψm n n m n n n n n n n n n n n n n n n x ˆn dx x x ˆx n ,n n ,n n *n 212112112121112111211211211111111）（）（）（如：+=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=+=++-+∞+∞-+⎰注：上述算符仅适用于线性谐振子2.设）（x n ψ是一维线性谐振子的波函数，则有： =⎰+∞∞-dx x p ˆx n x *n）（）（ψψ 0 =⎰+∞∞-+dx x x ˆx n *n ）（）（ψψ11)ω=⎰+∞∞-dx x x ˆx n *n ）（）（ψψ 0 =-+∞∞-⎰dx x p ˆx n x *n ）（）（1ψψω三、量子力学中的力学量（一）线性算符若22112211u Q ˆc u Q ˆc )u c u c (Q ˆ+=+则称Q ˆ为线性算符，其中21,u u 为两个任意函数，21,c c 是常数（复数）. （二）厄米算符如果对于任意两个函数ψ和φ，算符满足下列等式：φψτφτψ⎰⎰=**F ˆd F ˆd ）（则称Fˆ为厄米算符. 注：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。

在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符（三）算符的本征值和本征函数如果算符Fˆ作用在一个函数ψ，结果等于ψ乘上一个常数λ： λΨΨFˆ=本征方程 则称λ为Fˆ的本征值，ψ为属于λ的本征函数 本征方程的物理意义：如果算符Fˆ表示力学量，那么当体系处于F ˆ的本征态ψ时，力学量有确定值，这个值就是Fˆ在ψ态中的本征值。

（四）常用力学量的算符表示：坐标表象下：22ˆ()2ˆˆˆ: ˆxy z E HU r p i x p p i pi y pi z μ=-+⎧∂=-⎪∂⎪∂⎪=-∇=-⎨∂⎪⎪∂=-⎪∂⎩∇能量: 动量即： （五）动量算符和角动量算符 1.动量算符：动量算符的本征值方程()()(,,)p p i r p r x y z ψψ∇=-∞<<+∞-∞<<+∞-∞<<+∞3()11() ()(2)2()x xy yz z ip x p i i p r p y p p i p z p x e r e y e z e ψπψψππψπ⋅⎧=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩本征函数：分量形式 2.角动量算符ˆL ˆˆˆ()L r p =⨯ 角动量平方算符2ˆL 与角动量z 分量算符ˆzL 的本征函数和本征值 球谐函数(,)lm Y θϕ是角动量平方算符2ˆL 与角动量z 分量算符ˆzL 共同的本征函数.2,,,3,,.l l ⎫⎪⎬⎪-⎭（不做记忆要求）22ˆ (,)(1)(,)ˆ (,)(,)lm lm z lmlmL Y l l Y LY m Y θϕθϕθϕθϕ=+=本征值方程：因此角动量平方算符2ˆL 与角动量z 分量算符ˆzL 的本征值分别为2(1)l l +和m ，其中l 称为角量子数称m 为磁量子数.简并：对于一个本征值有一个以上的本征函数的情况称为简并 简并度：对应同一本征值的本征函数的数目称为简并度 问题：1.不考虑电子自旋，氢原子的第n 条能级的简并度为2n .2. 考虑电子自旋，氢原子的第n 条能级的简并度为22n .3.球谐函数(,)lm Y θϕ是算符2ˆ L 和ˆz L 的共同本征函数，相应的本征值为：2(1)l l +和 m . （六）类氢离子问题：哈密顿算符：222ˆ )2s s Ze H e SI m r =-∇-=ˆH的本征值方程： 2222sZe E mr ψψ⎛⎫-∇-=⎪⎝⎭该方程的解：2422, 1,2,3,2()(,)e s n nl lm m Z e E n n R rY ψθϕ===()nl R r 为径向函数：基态波函数；0123100100030=Zra Z R Y e a ψπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ （重点公式）类氢离子的能量：2422222, 1,2,3,22s s n m Z e e Z E n n a nμμ==-=0=m a a μμ（注：当用电子质量时，）2222=e s e sm Ze Z n na m e=是氢原子第一轨道波尔半径，又称波尔半径类氢离子的波函数：()(,)nlm nl lm R r Y ψθϕ= 基态波函数；12310010003Zra ZR Y e a μμψπ-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭（七）算符的对易关系：ˆˆˆˆˆˆ,-ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,, ,,,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ,,, ,,,A B AB BA A B B A A B C A B A C A BC A B C B A C AB C A B C A C B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义：性质： ,2ˆˆ. ,0ˆˆ. ,0ˆˆ. ,=ˆˆˆ. ,ˆˆˆˆ = ()ˆˆ. ,0. A X X B p p C X p i D J J i J JJ i J J E J J F αβαβαβαβαβαβγγαδε⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦坐标与坐标的对易关系动量与动量的对易关系坐标与动量的对易关系角动量与角动量的对易关系即：表示轨道或自旋角动量角动量平方与角动量的对易关系角动量与动量的ˆˆˆ,ˆˆˆ. ,L p i p G L X i X αβαβγγαβαβγγεε⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦对易关系角动量与坐标的对易关系定义：对于算符ˆF 和ˆG ，如果ˆˆ,0F G ⎡⎤=⎣⎦则称算符ˆF 和ˆG 对易，如果†ˆˆ,0FG ⎡⎤=⎣⎦则称算符ˆF 和ˆG 反对易（注：†ˆˆˆˆˆˆ,F G FG GF ⎡⎤=+⎣⎦）. 泡利算符满足反对易关系，即†ˆˆ,0αβσσ⎡⎤=⎣⎦定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，该．定理的逆定理也成立．．．．．．．．．。