数学史教案(朱家生)
教案
课程名称：数学史
课程代码：
授课专业班级：10数本（1）（2）（3）（4）授课教师：
系别：
2012 年9 月1 日
绪论
一、教学时间安排：3学时
二、教学目的、要求：
1.了解数学史研究对象；
2.理解学习数学史的意义。
三、教学的重点和难点：
数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新课、小结
六、教学内容：
数学是人类文明的一个重要组成部分。与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。（数学是人类文明的一个重要组成部分？）（1）从远古时期的结绳记事、屈指记数到借助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用勾股测量等具体的操作到抽象的公理化体系的产生，……所有这些，都构成了科学史上最富有理性魅力的题材。（1）
随着时代的进步，数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域，科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识。（数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域？科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识？）人类的现实生活需要数学、国家的发展、科学技术的进步更离不开数学。（20世纪中叶，美、苏两国在检讨本国科技落后时，寻找到的最终根源都是“数学问题”没处理好）因此，具备一些必需的数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基
（为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方本素质的非常重要的组成部分。
法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分？）（1）
与其他学科相比，数学是一门积累性很强的学科，他的许多重大理论都是在继
（天文学——地心学说；物理学——燃素说，承和发展原有理论的基础上发展起来的。
等等都被推翻了。）如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正理解数学的真谛，正确把握数学科学发展的方向。（许多有成就的数学家都关注数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学家都非常关注数学史的发展）。法国著名数学家庞加莱说过：“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。”（“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。” 谁的名言？）数学史主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。（数学史主要研究什么？）它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。（1）
数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、
（如果人类文明史去掉数学史，宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
那么人类文明史将会变成……？）（1）
研究与学习数学史，可以弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，
同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质，帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系以及研究数学思想的传播与交流史，了解数学家的生平等。（为什么要学数学史？）（1）
具体而言，学习数学史至少具有以下一些重要意义：首先，每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现
（今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的在科学概念与方法的延续性。
深化和发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此，我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。）数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性。（2）
科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，预见科学未来，使我们在明确科学研究的方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据。（2）
我国著名数学史家李文林先生曾经说过：“不了解数学史就不可能全面了解数学科学。”（2）
美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。（2）
例如，古希腊（公元前600年——公元前300年）的数学家们强调严密的推理和由此得出的结论，他们不关心这些成果的实用性，而是要人们去进行抽象的推理，从而激发对理想与美的追求。通过对希腊数学史的考察，就容易理解为什么古希腊会具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建筑与雕塑了。
再者，当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合乎逻辑。或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。（3）通过对数学史的学习和研究，既可以使数学类专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；也可使文科或其他专业的学生了解数学概貌，获得数理方面的修养。此外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。（3）
思考题：
1、简述数学史研究的对象是什么？
2、简述数学史与数学教育的关系。
3、简述文科与理科学生学习数学史的必要性。
第一章源自河谷的古老文明——数学的萌芽
一、教学时间安排：3学时
二、教学目的、要求：
1、了解数学的起源与世界古老文明产生的关系；
2、探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪些还具有现实意义。
三、教学的重点和难点：
数学的起源与世界古老文明产生的关系及古埃及和古巴比伦人古老的数学的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史。
据文字记载，至少在5000年以前，人类就已有了数学活动。
数学是人类文明的一部分，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度。但就国外数学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与古巴比伦。（4）
1.1 古埃及的数学
我们知道，非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一。早在公元前3000年左右，在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制国家，其地理位置与现在的埃及区别不大。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来的肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人便在这里定居下来，由狩猎转向耕种。在发展农业的同时，手工业与贸易也随之迅速发展起来，这些都推动了自然科学各学科知识的积累。（4）
提到古埃及，大家就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附近的吉萨省的胡夫金字塔——法老胡夫的陵墓——是埃及最大的金字塔，大约建于公元前2500年左右。该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个方向，边长230.5m，塔高146.6m（现高约137m）。近年来，科学家们通过古埃及人在建造神奇的金字塔、狮身人面像以及神庙的同时，也建立了相当发达的数学。
从公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字。（流传至今的古埃及文献，大部分是以僧侣文（又称祭司文）书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书）。（6）
保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893
年搜集到的。这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集。人们对古埃及人数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献。（6）
1.1.1 古埃及的记数制与算术
古埃及人使用的是十进制记数制，并且有数字的专门符号。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则，这说明，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有2/3是一个例外。（6）
古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。（7）
1.1.2 古埃及的代数
古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。（7）在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。（8）
等比数列也已在古埃及纸草书中出现。
1.1.3古埃及的几何学
古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。
尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线，这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。
在两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。（8）
古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圆周率近似地取为3.16。（8）
著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：略
1.2古巴比伦的数学
古巴比伦，又称美索波达米亚（错误），位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。（9）
在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。（9）
19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。（10）（人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）
1.2.1古巴比伦的记数制与算术
古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是60进制。（10）
古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。（10）
与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的，在已发现的泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。
倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的。
1.2.2古巴比伦的代数
在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。（11）古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，由于他们没有负根的概念，二次方程的负根不予考虑。
他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。（11）
最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板，这是一张勾股数数表（即x+y=z的整数解）表，并且极有可能用到了下列参数式：
x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。（1
1.2.3古巴比伦的几何
在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。（12）古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。（12）
古巴比伦人错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。（12）
1.2.4古巴比伦的天文学
在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12月，每月有30天。（12）所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。（12）
从古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。（13）
古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。（13）
古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。
以上情况表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。（13）需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。
在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如何去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。（13）从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。（13）
思考题：
1、进一步收集阅读相关资料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老
文明产生的关系。
2、进行调查研究，探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数学知识在我们的生活（包括
学习、工作等）中还具有现实意义。
3、在古埃及和古巴比伦人的数学中，大量地使用了归纳的思想。试通过对他们文献资料的研究，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对于我们今天的数学研究的现实意义。
4、试比较古埃及人和巴比伦人解方程的饭饭，探讨他们各自对后来的数学发展的启
迪作用。
第二章地中海的灿烂阳光——希腊的数学
一、教学时间安排：3学时
二、教学目的、要求：
1、了解古典时期的希腊学派对数学科学的发展的重要贡献；
2、了解第一次数学危机的起因及毕氏学派对危机所采取的态度；
3、了解亚历山大时期的希腊数学；
4、了解欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义。
三、教学的重点和难点：
第一次数学危机的起因与毕氏学派对危机所采取的态度及欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容：
从公元前2000年左右到公元前30年，古希腊人（又称海伦人）以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。（希腊数学是希腊人创造的吗？）特别是在公元前5、6世纪西波战争以后，雅典取得了希腊社会的霸主地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要地位的希腊文化，数学也是其中非常重要的一个组成部分。（14）希腊一些城市加强与海外各地的商业联系，为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便。（15）
从公元前6世纪起，由于经济和政治的进步，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的重要成就之一。（15）
数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学，而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学，希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。（15）
2.1希腊数学学派与演绎数学的产生
在公元前6世纪~公元前3世纪期间，先后出现了许多数学学派，（什么时候出现许多数学学派？）他们的工作使得希腊数学得以长足的发展，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派。（15）
2.1.1爱奥尼亚学派和演绎证明
以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。（15）（什么城市？什么数学成就？）
享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元前636——公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派——爱奥尼亚学派。（15）（谁创立？数学什么学派？）
泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积累了足够的财富，使他的后半生能够从事游历和研究。（15）（可见足够的经济基础，才能让天才更好地发挥其才能。）
关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料，但他的成就还是被后
人肯定。（15）（是金子总会发光，）
泰勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。（16）
从泰勒斯开始，人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。
泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。（16）
泰勒斯曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称为“测量学的鼻祖”。（16）（因什么获得测量鼻祖的美誉？）
客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释，这种理解思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。（16）（）
2.1.2毕达哥拉斯学派与“万物皆数”
毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海（今希腊东部小岛），青年时期，他曾经离开家乡，到世界各地游学，游历过埃及和巴比伦，可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、哲学，40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派。（16）在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。（16）
尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。（16）
在毕达哥拉斯学派看来，万物的本质就是数，这个学派一个重要成员就曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数既不可能来表达也不可能来理解任何事物。”他们认为：数是由单子或1生成的，因此将1命名为“原因数”，（数是由什么生成的？“1”被命名为什么数？）（16）
每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。（他们认为什么数是完美、和谐的标志？）（16）这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表达形式。（17）（什么思想的最初表达形式？）
（他们定义了许毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。
多概念）（17）
毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的。（17）
他们常把数以点的形式排成各种图形。（见教材17）
毕达哥拉斯学派认为，“美是和谐与比例”，这是他们对科学美所持的基本观点。（18）（他们对科学美所持的基本观点是什么？）
在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。（18）（最美的图形是什么？）
最完美的数是10，因为10=1+2+3+4，并将1，2，3，4称为四象。
他们认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的，他们研究了一些美的比和比例关系；（18）（音乐的基本原则是什么？）
毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。（18）（美只用于音乐和雕刻？）
西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的。（据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”，但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证明。）（18）（什么是“百牛定理”？）
按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。（18）这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，既有公共的度量单位。（19）（什么是可公度量？）据亚里士多德的著作记载，毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明……是无理数的方
（19）法相同。相传该学派的成员希帕索斯还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑。（数学的研究不是一帆风顺的）
由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。（第一次数学危机发生的原因是什么？）希腊人对第一次数学危机的态度不是积极地去解决，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究专项对型的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不对称的。（态度怎样？什么原因使其研究转向？）（19）
2.1.3芝诺悖论与巧辩学派
巧辩学派又称诡辩学派
毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系。（提出一个什么难题？）（19）
大多数希腊数学家回避这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。（19）来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺，针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。（针对什么问题？提出几个悖论？）（19）
芝诺关于运动的三个悖论是：（1）二分说：物体运动是不存在的；（2）阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太保”，却永远追不上乌龟；（3）飞箭静止说：飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上，他此时是不动的，因此说飞箭实际上是静止的。（19）
芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第六章
1.解析几何产生的背景是什么?在那个时期哪些问题导致了人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣? 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和 流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了．2、笛卡尔研究解析几何的出发点是什么？他又是怎么得到解析几何思想的？ 答：笛卡儿对数学方法的深入研究，是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。他分析了古代已有的几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于抽象，并且过多地依靠图形，而代数则使人受到某些规则和公式的约束。他提出“寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有他们的缺点的方法。”当他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，便着手把代数用到几何上去。
在《几何学》一书中，他仿造韦达的方法，用代数来解决几何作图的问题，比希腊人有了明显进展。（在变量的理解和应用上。希腊人无法处理三个以上变量的乘积。而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量的乘积。）笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他勇于探索，勤于思考。运用科学方法的必然结果。 3.阐述费马的主要数学成就. (1)对解析几何的贡献 费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。 费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。 (2)对微积分的贡献
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第五章
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346
年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？ 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第四章
1.作为世界四大文明古国之一，中国在公元前3000年至公元前1500 年间有哪些数学成就？试讲这些成就和其他文明古国做一比较. 据《易.系辞》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” C 在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学 就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面《史记.夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理（西方称毕氏定理）的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、
“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 十进制是一种便捷的计数方法，而筹算是一种有效的工具，两者均是中国对 世界的重大贡献。在同时代的各古代文明中，只有中国提出了十进制。当古希腊伟大学者阿基米德费尽心机地陈述如何用字母系统表示大数时，中国人已“持筹而算”这些大数，甚至“善计者不用筹策了”。没有看似平常的十进制，便很难顺利表述较大的数字。世界上目前仍有一些处于原始发展阶段的部族，对于十以上的数字只能统称为“多”，恐怕与没有适当的进位方法有关。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，米用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算直到十五世纪元朝年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 2、中国古代的数学教育可以称得上是世界上最早的，在《周礼》中关于数学教育的论述有哪些？它们都分别阐述了有关数学教育的那些观点? 答：我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。而记载周代教育制度
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案解析+第五章
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案解析 +第五章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；
1346年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？? 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊着作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学着作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术着作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认
数学史论文有关数学史的论文数学发展史论文 (1)
数学史论文有关数学史的论文数学发展史论文 用好数学史教好数学课 【摘要】初、高中和大学阶段的数学史教育应体现不同的侧重点。在利用数学史进行爱国主义教育时，应谨防一些片面看法和简单做法。 【关键词】数学史教育；学习兴趣；数学思维；爱国主义教育 “数学史主要研究数学科学发生发展及其规律”，由于数学是一门积累性很强的学科，“研究与学习数学史，可以……研究数学科学发展的规律与文化本质，帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系”。如今，越来越多的教育工作者对数学史教育在数学教学中的多方面作用给予了充分的认可。但是，有关数学史的教学中仍有一些问题值得继续探讨，例如学校教学各阶段对数学史教学的侧重点以及容易出现的一些“片面看法和 简单做法”等。以下提出本人对这些问题的粗浅看法。 一、学校教学各阶段的侧重点 一般来说，数学史教育的作用主要有：1。提高学生学习数学的兴趣；2了解数学结论的来历；3。启发学生的数学思维；4。培养学生的良好品质如吃苦耐劳精神、爱国情操等 根据初中学生的年龄特点和接受能力，初中阶段的数学史教育应更多地注意趣味性。初中生的逻辑和自控能力没有发展成熟，数学教学内容、体系也不严密，因此，在初中阶段的数学史教育应更注重通过数学史培养学生的学习兴趣和良好的思想品质。即突出数学史教育的外在功能。例如，“负数的产生”其重要原因之一即解方程的需要，
但在学科发展历史中虽然经历了长时间的曲折但“负数”这一概念仍不能为人们接受，因此在教学处理上就吸取了教训，不以解方程人手而从“表示相反意义的量”人手引入负数(可参看初一年级上册的有关数学教材)，从这样的历史背景出发，教学中就应提供大量的直观背景和现实模型以使小学刚升初中的学生在趣味中理解“一”号的现实意义。 高中阶段的数学史教育应将重点放在了解数学结论的来历和启发学生的数学思维上。高中数学内容的逻辑性较强，知识体系也渐趋严密，对于某些抽象程度较高的数学知识(如虚数、极限等)，如果缺乏一定的背景材料，不但会给学生造成理解上的困难，也会让学生有“天外来物”的困惑感。数学教师如果能够围绕知识结论的本质，将其发生、发展的过程给学生做以介绍，对学生理解这些知识一定大有帮助；另外，高中数学中存在着大量可以启发学生逻辑思维的历史材料，且高中学生正处于逻辑思维发展的重要时期，因此，利用这些历史材料，不仅能启发学生思维，而且还可以提高学生思维能力、培养学生的创造能力。例如，欧洲文艺复兴时期天文学的兴起使得人们遇到了繁杂的数值计算，“对数”的发明以其节省脑力而“延长了天文学家的寿命”，那么，对中学教学内容的处理就可以围绕指数和对数的本质联系来进行，突出对数运算能有效地将三级运算(乘方与开方)转化为二级运算(乘法和除法)、二级运算转化为一级运算(加法与减法)的转化思想。
《数学史》课程教学大纲
《数学史》课程教学大纲 课程名称：数学史 英文名称：History of Mathematics 学时数：32 适用专业：数学与应用数学 一、课程的性质、目的和任务 数学史是数学与应用数学专业必修的重要基础课程之一。任何一门科学都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。数学是非常古老而又有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更漫长而艰辛。数学的每一阶段性成果都有着它的产生背景：为何提出，如何解决，如何进一步改进。这其中体现的思想方法或思维过程对数学专业的学生，甚至是对教师来说，无论是知识的丰富，还是其创造能力的发挥都是重要的。 讲授本课程要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。 二、本课程与其它课程的关系 本课程是线性代数、数学分析、微分方程、高等几何、概率统计等学科的基础课程。不学数学史，在很大程度上数学知识体系是不健全的。不了解数学史就不能全面的了解数学学科。数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，数学史是对数学各课程的高度综合与概括,是将数学各课程联系起来的一门综合性的数学课程,是研究数学各课程的相互关系的课程,所以学习数学史对于学习数学其它课程能产生积极影响。 三、课程教学要求 数学史研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，如“数学年代”；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评。该课程要培养学生辩证唯物主义观点，使学生了解数学思想的形成过程，并指导当前
数学史论文‘’论中国古代数学的特点‘’
论中国古代数学的特点 摘要：世界上各种文化都会深深的打上地理环境的烙印，数学也不例外。数学的产生和发展是通过数学家个人来实现的, 因此数学的发展就不能不受到不同地域、不同哲学思想等方面的影响, 形成具有民族或时代特点的数学。中国古代数学与西方数学都是世界数学史上两颗璀璨的明珠，都有着各自的特点，但是毋庸置疑都为世界数学的发展做出了突出贡献，促进了数学的发展。 关键词：中国古代数学、实用性、西方数学、共同发展 数学，作为人类文明的重要组成部门，有着非常悠久的历史，与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。从远古时期的结绳记事、屈指计数到借助于现代点电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用规矩等工具进行的勾股测量等具体操作到抽象的公理化体系的产生…… 中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国, 数学是中国古代最为发达的学科之一，据出土的文物考证, 在中国数概念的形成不晚于7000 年前, 数概念的产生标志着中国数学的起源。此后, 在古代中国智慧的结晶——十进制记数法的推动下, 中国数学经历了三次发展高潮: 分别是两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期, 其中宋元时期达到了中国传统数学的顶峰,诞生了刘徽、贾宪、沈括、祖冲之父子等数学家。在秦汉时期也出现了《周髀算经》、《九章算术》、《数书九章》、《缉古算经》和《五经算术》等数学著作, 其中《九章算术》代表中国传统数学的最高成就, 它的完成标志着中国数学体系的建立。以《九章算术》为代表的中国传统数学具有以下两个特点: 1、以计算为中心。 演算在中国传统数学里占有重要的地位, 几乎每一部中国古代数学著作都是以“问题—解答”的形式存在。以计算为主的中国传统数学, 还导致了算筹和算盘等计算工具的发明。但中国传统数学把计
数学史朱家生版课后题目参考答案第一章
1.数学的起源于世界古老文明产生的关系 11数本（1）班郭奇 2011041047 “数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。 然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。 当然，这个也只不过是个传说罢了。数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。 远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。图
形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。 从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”他的算术来自于普通常识中的非负整数。而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结之上。 与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问。数学家怀特海在《数学与善》一书中说到：“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔的不完全性定理的的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾。人们此时又想到了数学是经验科学的观点。著名数学家·诺依曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。波利亚则认为：“数学有两个侧面，他是欧几里得式的严谨的科学，但他也是别的什么东西。” 然而，人们对数学还有些其他的理解。有人认为“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”数学活动是社会性的。他是在人类文明
数学史朱家生版课后题目参考答案第
1.数学的起源于世界xxxx产生的关系 11数本(1)班郭奇2011041047 数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形 式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。 例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。 然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹龙马”来，马背上驮着一幅 图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。马背上的图叫河图”，乌龟背上的书叫做洛书”，当河图洛书”出现后，数学也就诞生了。 当然，这个也只不过是个传说罢了。数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。 远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。图形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。 从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。欧几里得说过数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”他的算术来白于普通常识中的非负整数。而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门白然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是 研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结之
数学史九章算术
《九章算术》的主要内容及意义 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的 应用数学，它的出现志 中国传统数学理论体系的形成。 内容 1.第一章“方田” 主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。平面图形有方田——长方形田地、圭田——三角形田地、斜田——直角梯形田地、箕田——等腰梯形田地、圆田——圆形田地、弧田——弓形田地、环田——圆环或环缺形田地的面积算法。分数运算法则包括约分术——约分与通分、合分术——分数加法、减分术——分数减法、课分术——两个分数的大小比较、平分术——求 几个分数的算数平均、 乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、大广田术——带分数除法。 2. 第二章“粟米” 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项比例算法。四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数=（所有数×所求率）/所有率，这里，所求率、所有率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词。例：已知麦与米的比率是3:2，现有麦60斤，问能兑换大米多少斤？ 所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是是已有麦子的斤数， 所求数就是欲求的大米斤数， 所以能兑换大米的斤数=（60×2）÷3=40（斤） 3. 第三章“衰分” 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。 例：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？” 大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4、簪褭3、上造2、公士1的比率分配所以
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案解析+第五章
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346
年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发
数学史论文函数概念的发展
*********大学 *********专业《数学史》论文函数概念的发展 ：*********
学号：********* 专业：********* 班级：********* 老师：********* 函数概念的发展 ：********* 学号：********* （*********大学*********学院*********专业***级*班） 摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。 关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；发展史 一、早期的函数概念—变量说 马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源
于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。 十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 到了17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。他在《求曲边形的面积》中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…”格雷果里在他的论文《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴描述，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可以想象到的运算而得到的。据他自己解释，这里的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。 "函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、纵坐
数学史教案(朱家生)
教案 课程名称：数学史 课程代码： 授课专业班级：10数本（1）（2）（3）（4）授课教师： 系别： 2012 年9 月1 日
绪论 一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求： 1.了解数学史研究对象； 2.理解学习数学史的意义。 三、教学的重点和难点： 数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍 四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新课、小结 六、教学内容： 数学是人类文明的一个重要组成部分。与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。（数学是人类文明的一个重要组成部分？）（1）从远古时期的结绳记事、屈指记数到借助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用勾股测量等具体的操作到抽象的公理化体系的产生，……所有这些，都构成了科学史上最富有理性魅力的题材。（1） 随着时代的进步，数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域，科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识。（数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域？科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识？）人类的现实生活需要数学、国家的发展、科学技术的进步更离不开数学。（20世纪中叶，美、苏两国在检讨本国科技落后时，寻找到的最终根源都是“数学问题”没处理好）因此，具备一些必需的数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基 （为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方本素质的非常重要的组成部分。 法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分？）（1） 与其他学科相比，数学是一门积累性很强的学科，他的许多重大理论都是在继 （天文学——地心学说；物理学——燃素说，承和发展原有理论的基础上发展起来的。 等等都被推翻了。）如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正理解数学的真谛，正确把握数学科学发展的方向。（许多有成就的数学家都关注数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学家都非常关注数学史的发展）。法国著名数学家庞加莱说过：“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。”（“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。” 谁的名言？）数学史主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。（数学史主要研究什么？）它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。（1） 数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、 （如果人类文明史去掉数学史，宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 那么人类文明史将会变成……？）（1） 研究与学习数学史，可以弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，
《数学史》朱家生版+课后题目参考标准答案+第二章
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章
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1、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。 答：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第一章
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第一章
1.数学的起源于世界古老文明产生的关系 11数本（1）班郭奇 2011041047 “数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。 然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。 当然，这个也只不过是个传说罢了。数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。 远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。图
形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。 从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”他的算术来自于普通常识中的非负整数。而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结之上。 与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问。数学家怀特海在《数学与善》一书中说到：“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔的不完全性定理的的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾。人们此时又想到了数学是经验科学的观点。著名数学家冯·诺依曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。波利亚则认为：“数学有两个侧面，他是欧几里得式的严谨的科学，但他也是别的什么东西。” 然而，人们对数学还有些其他的理解。有人认为“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”数学活动是社会性的。他是在人类文明
小学数学教材中的数学史
小学数学教材中的数学史 摘要：黄金分割在一些著名建筑、雕塑、名画及植物生长规律中都有所体现，我们身边随处都在彰显“黄金分割”的美妙。本文结合小学数学教材中“黄金分割”的介绍对“黄金分割”从起源到发展及生活中的应用进行整理和介绍。 关键词：黄金分割中末比斐波那契数列 引言 人民教育出版社2014年3月出版的义务教育教科书数学在六年级上册第51页以“你知道吗？”的形式介绍了“黄金比”（图1），为了使小学一线教师在教学时能够更好地进行这一内容的教学，以下将对“黄金分割”从起源到发展及生活中的应用进行整理和介绍。 1.“黄金分割”的定义 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，这个比值是=0.6180339……通常用希腊字母？准表示这个值。中世纪德国数学家、天文学家开普勒在《宇宙之秘》中写道：“‘毕达哥拉斯定理’（勾股定理）和‘中末比’是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。”[1]他用黄金形容勾股定理，用珠玉形容中末比，后来逐渐演变成
用黄金形容中末比。 2.“黄金分割”的起源 2500多年前，古希腊的著名数学学派――毕达哥拉斯学派以正五边形的五条对角线构成的五角星形作为自己学派的标志。正五边形的五条对角线交点以一种特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比，这就是所谓的“黄金分割”。我们并不知道毕达哥拉斯学派是用什么方法求解黄金分割的，“黄金分割”这个名称也不是来自该学派[2]。最早在书中正式使用“黄金分割”这个名称的是德国数学家欧姆（1792-1872以欧姆定律闻名的G?S欧姆之弟），在1835年出版的第二版《纯粹初等数学》一书中，他首次使用了这一名称。到19世纪之后，这一名称才逐渐通行起来，成为现在人们所熟知的名称[3]。古希腊数学家欧多克索斯（公元前4世纪）从比例论的角度对这一问题加以研究和推广，并把这种分线段的方法叫做分线段成“中末比”[4]。公元前300年前后，欧几里得撰写《几何原本》时记载下了欧多克索斯的研究成果，这也是最早论述有关“黄金分割”的著作[5]。在该书第四卷记述了用黄金分割作正五边形、正十边形的问题。 3.斐波那契数列与“黄金分割” 4.“黄金分割”的应用
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章
1、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。 答：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容, 仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见一一逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性一一同一、差异又互补。研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见一一逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性一一同一、差异又互补。首先，肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：（1）数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；（2）数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；（3）数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。其次，数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是一切事物的数与量的属性，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真值性问题。最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。一方面数学可能得益于逻辑。从数学或其某一分支的产生和发展来看，它都是人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。在其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人提炼整理阶段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在整