数学史论文函数概念的发展
数学史论文函数概念的发展
数学史论文函数概念的发展函数概念是数学史上一个重要的发展阶段。
本文将探讨函数概念的发展历程，以及这一概念的重要性。
在古希腊时期，人们通过几何学研究曲线形状，但并没有引入函数的概念。
然而，在公元前4世纪，欧多克索斯和亚历山大斯在几何方面的研究中开始使用变量和关系的概念。
他们发现，一些曲线的线段长度与曲线上的其中一点的位置有关。
这可以看作是函数的一个早期表现，但并没有引入一个明确的函数概念。
随着数学的进一步发展，莱布尼茨和牛顿在17世纪末提出了微积分学的基本概念。
他们引入了“fluxion”的概念，该概念可以表示变量随时间的变化速率。
这相当于我们现在所称的导数。
莱布尼茨还引入了“integral”的概念，表示曲线下的面积。
这些概念使得人们能够更加系统地研究曲线和变化。
在18世纪，欧拉将函数视为变量之间的关系，并开始对其进行更加深入的研究。
他引入了函数符号“f(x)”来表示变量x的函数值。
这是函数概念的一个重要发展，为后来函数概念的正式定义奠定了基础。
在19世纪，庞加莱和魏尔斯特拉斯等人对函数的连续性进行了深入研究。
他们提出了连续函数和不连续函数的概念，并给出了一些重要的性质和定理。
这为分析学的发展奠定了基础。
随着数学的发展，函数概念也在不断演变。
20世纪初，数学家们开始研究更加复杂的函数和变量之间的关系。
他们引入了概念扩展，如多变量函数，复函数和泛函等。
这些概念在实际应用中发挥了重要作用，如在物理学、经济学和工程学中的应用。
函数概念的发展对数学的其他领域也产生了重要影响。
例如，在代数学中，函数概念为多项式和方程的研究提供了基础。
在几何学中，函数概念使得我们能够更好地描述曲线和表面的性质。
在概率论和统计学中，函数概念使得我们能够研究随机变量和概率分布之间的关系。
总而言之，函数概念的发展是数学史上的一个重要阶段。
它为人们研究曲线和变化提供了新的工具和方法，并对数学的其他领域产生了深远影响。
函数概念的发展也证明了数学的不断进步和演变，为更深入的数学研究和应用奠定了基础。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展是数学领域的一项重要进展，经历了长时间的发展过程。
本文将从古希腊时期的初步思考开始，逐步介绍函数概念的发展历程直至现代数学的函数定义。
最早对函数的思考可以追溯到古希腊数学家们对几何曲线的研究。
古希腊的数学家们研究了一系列的曲线，如圆、椭圆和抛物线等等。
他们发现几何曲线上的每一个点都可以通过其坐标来确定，这种坐标的确定性使得数学家们开始思考是否可以将曲线上的点表示为一个或多个变量的函数关系。
直到17世纪，数学家马克思·奥雷利（Marquis de l'Hôpital）首次提出了函数这一词汇，但在这之前，欧洲数学界对于函数的定义还没有达成一致。
那时的数学家们对于函数抱有一种“坐标”的观念，即函数可以描述曲线上的点与坐标的关系。
在18世纪初，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对函数的研究做出了重要贡献。
他将函数的概念扩展到了复变函数，并系统地研究了指数函数、三角函数和对数函数等等。
他的研究成果对现代数学的发展起到了重要的推动作用。
到了19世纪，法国数学家阿道夫·科斯提（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了一种更加严格的函数定义。
科斯提提出了连续函数的严格定义，并发展了复变函数的理论基础。
威尔斯特拉斯则通过严格的极限定义来定义函数。
这些严格的函数定义使得数学研究更加系统和准确。
20世纪初，法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出了测度论的概念，并将其应用于函数的理论研究中。
他提出了勒贝格积分的概念，从而为函数的积分提供了新的方法和工具。
随着数学的发展和应用的拓宽，函数的概念也得到了进一步的发展。
在现代数学中，函数被定义为将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
这是一种更加抽象和广泛的定义，使得函数的研究可以应用于各个数学领域，如代数、几何、拓扑等等。
函数的起源与发展
函数的起源与发展函数是数学领域中的重要概念，起源于古希腊数学，发展至今已经成为现代数学的基石之一。
本文将探讨函数的起源及其发展历程。
一、起源：古希腊的函数概念函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯（Euclid）的著作《几何原本》中。
他在书上首次提出了“比例”这一概念，将其应用于几何学中。
比例即表示两个量之间的关系，这种关系可以表示为一个方程。
欧多克索斯认为，比例是由特定规律决定的，这种规律可以用图形表示。
此后，亚历山大的赛尼库斯（Heron of Alexandria）提出了函数的概念。
他将比例的概念扩展到变量之间的关系，提出了函数的定义：“当一个量由其他量决定时，我们称这个量是其他量的函数。
”赛尼库斯以几何图像的方式表示函数，将其作为几何问题的解决方法。
二、发展：函数的发展与数学分析的崛起函数的概念在古希腊数学时代虽然已有初步的形成，但真正的发展要追溯到十七世纪的科学革命时期。
牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）两位伟大的数学家和物理学家几乎同时独立地发展了微积分学，从而为函数的研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨将函数视为一种能够以无穷小的变化率来描述的数学对象。
他们引进了导数和积分的概念，并将其作为函数变化率和面积的度量。
他们的工作将函数的研究提升到了一个新的高度，使得函数成为数学分析的核心内容。
随着数学分析的发展，函数的研究也变得更加丰富和深入。
欧拉（Leonhard Euler）提出了指数函数和对数函数的概念，并发展了复变函数的理论。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）等数学家也在函数的研究方面做出了重要贡献。
函数的研究不仅局限于实数领域，还拓展到复数、向量、矩阵等多个数学领域。
三、应用：函数在科学和工程中的重要性函数作为一种描述变化规律的数学工具，在科学和工程领域具有广泛的应用。
函数概念的发展
函数概念的发展（07数教15号游榕榕）一、函数概念的萌芽在公元十六世纪之前，数学上占统治地位的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物。
具体的函数在数学中比比皆是，但没有一般的函数概念。
十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理。
当时，自然科学研究的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。
数学研究也从常量数学转向了变量数学。
数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系。
这便是函数概念的萌芽。
二、早期函数概念—几何观念下的函数十七世纪伽俐略《两门新科学》一书中，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
牛顿十七世纪在《原理》中提出的“生成量”是雏形的函数概念,莱布尼兹首先使用了“函数”这一术语.因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
三、十八世纪函数概念─代数观念下的函数十八世纪初，贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形式的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量。
”欧拉则更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。
”函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同。
欧拉最先把函数的概念写进了教科书。
在贝努利和欧拉看来，具有解析表达式是函数概念的关键所在。
1734年，欧拉用记号y=f( x)表示变量x的函数，其中的“f”取自“function”的第一个字母。
四、十九世纪函数概念──对应关系下的函数1822年傅里叶发现某些函数可以表示成三角级数,使函数的概念得以改进,发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论把对函数的认识又推进了一个新的层次。
函数的形成与发展论文500字
函数的形成与发展论文500字
在数学的发展史中,重要数学概念的形成离不开数学的发展,这些概念的形成对数学的发展有推动作用.函数概念是数学概念中的一个非常典型的数学概念.函数概念的形成,从最初的萌芽阶段到最终形成历经了一千多年.纵观数学的发展史,函数概念的每一次升华都是数学发展到一定阶段的产物,并对后面数学的发展作出推动作用.研究函数概念的发展。
最早给出函数概念的明确定义的是,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。
”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。
”
莱布尼茨首次用“function ” 一词表示幂，即。
1673年，他用“ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。
记号是欧拉1743年引进的。
当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。
1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。
上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。
1775年欧拉又给出一个新的函数定义：
如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。
这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。
函数概念的发展史
函数概念的发展史
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大学生活即将结束，在此，我要感谢所有老师和一起成长的同学，是你们在我的 大学生涯给予了极大的帮助。本论文能够顺利完成，要特别感谢我的导师张老师，
感谢您的耐心指导，您辛苦了！
函数概念的发 展史
函数概念的发展史
目录
函数概念的发展史
函数概念的发展经历了漫长而曲折的过程，其根源可以追溯到古代数学中的对应和映射思 想。然而，函数概念的真正形成和完善是在17世纪到19世纪之间，经历了几个重要的里程 碑
早期函数概念：在早期数学中，人们开始使用"函数"这个词来表示解析表达式 中的项。例如，在莱布尼茨的著作中，他使用"函数"来表示一个多项式或三角 多项式。这个时期的函数概念比较模糊，没有明确的定义
函数概念的发展史
幂级数和解析几何的推动
在18世纪，数学家开始研究幂级数和解析几何，这推动了函数概念的进一步发展。这个时期，函数被视为幂级数展开中的项，或 者解析几何中的曲线。这个概念下的函数可以表示为x的任意多项式或三角多项式
函数概念的完善
在19世纪初，数学家开始对函数概念进行更深入的探讨和定义。其中，欧拉、高斯和狄利克雷等人都对函数概念的发展做出了重 要贡献。狄利克雷在1837年给出了函数的定义，即如果对于每一个x的值，都存在一个确定的y值与之对应，那么就说y是x的函数。 这个定义强调了函数的对应关系，被认为是函数概念的经典定义
函数概念的发展史
基础性
函数作为数学的基本概念之一， 是描述数学问题中变量关系的 重要工具。无论是自然科学、 社会科学还是工程领域，许多 问题都可以通过建立函数关系 来描述和解决
一般性
函数概念具有一般性，可以应 用于各种不同的问题和领域。 通过不同的函数形式和性质， 可以描述各种不同的数学问题 和物理现象
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念发展是数学领域的重要进展之一，它的历史可以追溯到古希腊时期。
在古代，人们对形式和变化的研究主要集中在几何学和代数学上。
在这一过程中，函数一词逐渐从简单的代数变成了更加抽象的概念，并在经历了不断的发展和丰富之后，成为数学的一个基本概念。
古代希腊的数学家和哲学家对函数的概念有着丰富的探讨。
例如，柏拉图和柏拉图学派就对函数和其它数学对象的本质和关系进行了深刻的探讨。
在古希腊时期，函数之间的关系主要是通过几何图形来表示的。
例如，欧几里德在其著作《几何原本》中，首次提出了函数的定义，即“两个变量之间的关系若能用代数形式表达，则称为函数”。
而在亚历山大大帝时期，希腊数学家阿波罗尼乌斯对这一概念进行了更加深入的研究，并在他的著作《圆锥曲线论》中阐述了函数的多种性质和表达方法。
在此期间，数学家们开始认识到函数不仅仅是数学对象之间的关系，更是一个独立的数学概念，其本身具有一定的性质和规律。
然而，关于函数的定义和理论体系仍然存在一定的模糊和不完善。
这一情况一直持续到十七世纪，当时国际上出现了新的数学派别——分析学派，他们在函数的研究领域取得了重大的突破。
十七世纪是函数概念发展的一个重要阶段，在这一时期，牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分学，并在此过程中对函数的概念进行了深入的理论研究。
他们提出了函数的连续性和可导性等重要概念，并建立了函数的概念体系和理论框架。
牛顿和莱布尼兹所提出的微积分学是函数论的开端，它奠定了函数概念的数学基础，并具有深远的影响。
牛顿和莱布尼兹对函数的研究将函数从代数和几何的范畴中解放出来，使得函数的概念得到了更加抽象和深刻的理解。
在牛顿和莱布尼兹之后，分析学派在对函数的研究方面取得了更多的成果。
例如，庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家对函数的极限、连续性等性质进行了进一步的研究，奠定了现代分析学的基础。
他们提出了更加抽象和严格的理论框架，对函数的各种性质进行了深入的探讨。
关于函数的形成与发展的数学小论文
关于函数的形成与发展的数学小论文函数是数学中一个重要的概念，它的形成与发展经历了多个历史时期的探索和研究。
在这篇小论文中，我们将讨论函数的起源、发展和重要性，并介绍函数在不同数学领域中的应用。
函数的起源可以追溯到古代数学中的求解问题过程中。
古希腊数学家欧几里得就曾研究过数学中的比例关系，并通过类似于函数的概念来解决几何问题。
然而，最早明确提出函数概念的是16世纪的法国数学家维达，他将函数定义为其中一变量与它的函数值之间的关系。
此后，函数的定义与分类逐渐成为数学研究的一个重要方向。
函数的发展经历了数学分析的不同阶段。
在18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家通过研究一元函数的性质，奠定了函数分析的基础。
他们提出了函数的连续性、可微性和积分等重要概念，并发展了微积分学。
这促进了数学分析的发展，使函数成为数学研究的重点之一19世纪，高斯、傅里叶和柯西等数学家对函数进行了更深入的研究。
高斯提出了函数的整数点分布规律，傅里叶将函数展开为三角级数，柯西则建立了函数连续性的严格定义。
这些研究为后续数学家提供了更多的理论基础，推动了函数论的发展。
20世纪，数学家们对函数的研究不再局限于一元函数，而是将其推广到多元函数和无穷维函数空间中。
这为实变函数、复变函数和泛函分析等数学领域的发展提供了奠基性的工具和方法。
同时，利用计算机技术的发展，函数的数值计算和计算机图形学中的函数绘制等应用也得到了更广泛的应用。
函数在数学中的重要性不言而喻。
它不仅是数学理论研究的基础，而且在科学、工程和经济等领域中也有着广泛的应用。
例如，在物理学中，函数描述了自然界中许多现象的规律，如牛顿定律和麦克斯韦方程。
在经济学中，函数可以用来描述供需关系和效用函数等经济学模型。
在工程学中，函数可以用来解决电路设计和控制系统等问题。
因此，函数的研究不仅对数学学科本身具有重大意义，而且对其他学科的发展和应用具有重要影响。
总结起来，函数的形成与发展经历了数学史上多个阶段的演变。
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*********大学*********专业《数学史》论文函数概念的发展：*********学号：*********专业：*********班级：*********老师：*********函数概念的发展：*********学号：*********（*********大学*********学院*********专业***级*班）摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。
本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。
关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；发展史一、早期的函数概念—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
到了17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。
他在《求曲边形的面积》中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…”格雷果里在他的论文《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴描述，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可以想象到的运算而得到的。
据他自己解释，这里的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。
格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。
"函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲线上的点有关的量称为函数."除此以外,他还引进了“常量”、“变量”和“参变量”等概念,一直沿用到现在,这个定义仅是在几何围揭示某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义,因此,莱布尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何起源"。
总之，到了17 世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。
二、函数概念的发展阶段—对应说正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。
尽管牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但由于他们对包括函数在的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，导致了数学发展史上所谓的第二次数学危机。
从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。
第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是约翰·贝努里。
1718年约翰·贝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(l．euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个“定义域”是由同样一个“解析表达式"来描述的，这种观点在数学家拉格朗日的著作中也有所体现,如在他的名著《解析函数论》中,他把函数定义为在其中可以按任何形式出现并对计算有用的表达式。
他在《函数计算教程》中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已知量要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。
也就是说，函数是运算的一个组合。
”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·贝努里在偏微分方程的研究中发现：整条曲线并不能用一个方程来表示，这迫使数学家修正函数的概念，但到了18 世纪，甚至19 世纪初，函数由一个解析式给出的观点仍然占统治地位，并认为连续曲线给出的连续函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续的曲线或折线所表示的函数不可能由一个解析式表示。
由于受到多项式函数的影响，即若对于n+ 1个x 的值多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 与0111b x b x b x b n n n n ++++-- 都相等，则这两个多项式相等。
人们普遍认为，对区间][b a ，上的一切值，恒有相同函数值的两个函数是完全相同的，而对][b a ，以外的x 值，这两个函数的值也相等。
与此类似，由于受到三角函数特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲线才能用周期函数来表示。
在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函数可用三角级数来表示，所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。
三、十九世纪的函数概念——关系说1800年前后，数学家开始关心分析的严密化问题，函数概念自然也成为严密化的对象。
具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行橙清纠正；另一方面继续探讨函数概念的本质，建立含义更广泛的函数概念第一个冲破用解析式给出函数的观点是拉克鲁瓦，他在1797 年给出的函数的定义是：每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。
拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又作出一次扩展。
在这一时期，傅里叶对函数概念的发展做出了巨大的贡献，尽管他也支持用解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的本质。
1822年傅里(fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。
1823年柯西(cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，指出“人们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。
当变量之网这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其它的量就叫做这个自变量的函数。
”他同时还指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1837年，杰出数学家狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859)突破了这一限制，他给出函数数的定义是：若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都称y是x的函数。
由这个定义不难看出，狄利克雷是用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之间的连接方式如何，即y是按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算表示，这是无关紧要的。
并且他还构造一个以他自己名字命名的著名的狄利克雷函数a x为有理数f(x)= a、b为不同的常数b x为无理数上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观念”性质和结构的转变的标志，具有重要的理论意义。
随后的斯铎克斯、罗巴切夫斯基、黎曼等都分别给出了函数的定义。
例如，黎曼于1851 年给出这样一个定义：我们假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。
若对它的每个值都有未定量w的唯一的一个值与之对应，则w称为y的函数.黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种规律，此时，如果函数在某个区问已有定义，它在该区问外的延拓方式是完全任意的，人们所定义的量w 对量z 的依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。
在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。
皮亚诺发展了《无穷悖论》标志他第一个朝着建立集合的明确理论的方向迈出积极步伐的人。
戴德金于1887 年给出了这样一个定义：系统S 上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S 中的每一个确定的元素都对应着一个确定的对象，它称为S 的映像,记作()S Φ,我们可以说，()S Φ中对应于元素S ，()S Φ由映射中作用于s 而产生或导出，s 经映射Φ变换成()S Φ。
这里至于系统s 的对象是什么，并无限制。
这是函数概念的一次极大扩充，最终给出完善的现代函数定义的是法国的布尔巴基学派，定义如下：设E 和F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同。
E 中的一个变元x 和F 中的变元y 之问的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x ∈E ，都存在唯一的y ∈F ，,它满足与x 的给定关系。
我们称这样的运算为函数，它以上述方式将与x 有给定关系的元素y ∈F 与每一个元素x ∈E 相联系，我们称y 是函数在元素x 处的值，函数由给定的关系所确定，两个等价的函数关系确定同一个函数。
等到康托尔 (cantor ，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(veblen ，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。