模糊数学的产生发展和应用
应用模糊数学
（7）幂集：集合A的全体子集组成A的一个子集族，称 为集合A的幂集。记为P（A）
(8)并集:设 A、 ∈ P ( X ) ,则 A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} B 叫做A与B的并集,算符∨表示析取. (9)交集:设 A、 ∈ P ( X ),则 A I B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} B 叫做A与B的交集,算符∧表示合取.
若映射f : U → V是一个双射，则可以定义映射 f −1 : V → U，对∀v ∈ V有： f
−1
(v ) = u ⇔ f (u ) = v
f −1称为f的逆映射，这时称映射f是可逆的
关系
• • • • 直积 关系 关系的合成 等价关系
特征函数
• 特征函数是用来研究集合的一种重要方法
• 集合之间的关系及集合的运算都可以用特 征函数来描述，我们有：
• 当V=U时，把U×U的子集R叫做U上的关系。 • 它实质是U自身的元素之间的关系。 • U上的关系中最重要的是等价关系和序关系
• 集合U上的关系～称为等价关系，若它满足： • （1）自反律
∀a ∈ U , 有a ~ a;
• （2）对称律
a, b ∈ U，a ~ b ⇔ b ~ a
• （3）传递律 • a,b,c∈U，若a~b，且b~c，则有a~c • 若a~b，则称元素a与b等价，例如平面上的直线 的平行关系，在全班学生集合上的同姓关系、同 龄关系、同乡关系等。
映射
• 映射是数学中最基本的概念之一
• 由定义知，若f是满射时，则V中每一个元素 都有原象，若f是单射时，则U中不同的元 素有不同的象，即u1≠u2时，f(u1) ≠f(u2) • 例题 • 设X是全体整数集，Y是全体正整数集，设f： X→Y为：y=f(x)=︱x︱+1，显然f是X到Y的 满射，但f不是单射
模糊评价法的历史发展和应用研究
模糊评价法的发展历史及国内外研究一、发展和研究：模糊评价法是20 世纪60 年代美国科学家扎德教授创立的,是针对现实中大量的经济现象具有模糊性而设计的一种评判模型和方法,在应用实践中得到有关专家不断演进。
该方法既有严格的定量刻画,也有对难以定量分析的模糊现象进行主观上的定性描述,把定性描述和定量分析紧密地结合起来,因而,可以说是一种比较适合企业绩效评价的评价方法,并且也是近年来发展较快的一种新方法。
[1] 模糊评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法,其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定,而是以一个模糊集合来表示。
模糊评价方法可以用来对公共管理中的人、事、物进行比较全面、正确而又定量的评价。
对于公共管理中方案、人才、成果的评价,人们的考虑往往是从多种因素出发的。
比如,评价一个大型公共项目一般要从经济、社会、科技、生态等方面进行评价,而这些一般只能用模糊语言来描述。
例如,评价者从考虑问题的诸因素出发,参照有关的数据和情况,根据他们的判断对问题分别作出“大、中、小”,高“、中、低”优, “、良、可、劣”好, “、较好、一般、较差、差”等不同程度的模糊评价。
然后通过模糊数学提供的方法进行运算,就能得出定量的评价结果,从而为正确决策提供依据。
一般来说,对于涉及多因素评价问题时, 大多数人感到比较困难,因为这时需要考虑的因素较多,而各因素的重要程度又不相同。
这些都会使问题变得很复杂,用经典数学方法来解决评价问题就显得很困难,而模糊数学[2]为解决模糊评价问题提供了理论依据,从而找到一种有效而简单的评价方法。
模糊评判作为模糊数学的一种具体应用方法,它主要分为两步:第一步先按照每个因素单独评判;第二步再按照所有因素评判。
其优点是:数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果比较好,是别的数学分支和模型难以替代的方法。
模糊评判方法的特点在于,评判逐对进行,对被评对象有唯一的评判值,不受被评价对象所处对象集合的影响。
模糊数学原理及其应用
模糊数学原理及其应用目录模糊数学原理及其应用目录摘要1．模糊集的定义2．回归方程3．隶属函数的确定方法3.1 隶属函数3.2 隶属度3.3 最大隶属原则4．模糊关系与模糊矩阵5．应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用5.1 研究的目的5.2 国外研究情况5.2.15.2.25.3 国内研究情况5.3.15.3.25.4 研究的意义6，小结与展望参考文献摘要：文章给出了模糊集的定义，对回归方程式做了一定的介绍并且介绍了隶属函数，隶属度，隶属度原则，以及模糊关系与模糊矩阵的联系与区别。
本文给出了一个案例，是一个关于模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用，本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较，找出影响最大的一项因子进行分析应用。
关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵1. 模糊集1) .模糊集的定义模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化，用特征函数的语言来讲就是：元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1,而是可以取从0到1的任一数值。
定义一如果X是对象x的集合，贝U X的模糊集合A：A={ ( X, A (x)) I X x}-A (x)称为模糊集合A的隶属函数(简写为MF X称为论域或域。
定义二设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射J A: U > [0,1]A (x) ,x U可确定U的一个模糊子集A。
模糊子集也简称为模糊集。
J A ( x)称为模糊集合A是隶属函数(简写为MF。
2）.模糊集的特征一元素是否属于某集合，不能简单的用“是”或“否”来回答，这里有一个渐变的过程。
[1]3）.模糊集的论域1＞离散形式（有序或无序）：举例:X=｛上海，北京，天津，西安｝为城市的集合，模糊集合C=“对城市的爱好”可以表示为：C=｛（上海，0.8）（北京，0.9）（天津，0.7）（西安，0.6）｝又: X=｛0,1,2,3,4,5,6｝为一个家庭可拥有自行车数目的集合，模糊集合C= “合适的可拥有的自行车数目的集合”C=｛（0,0.1），（1,0.3），（2,0.7），（3,1.0），（4,0.7），（5,0.3），（6,0.1）｝2＞连续形式令x=R为人类年龄的集合，模糊集合A= “年龄在50岁左右”则表示为：A={x，」A（X）,x X }式中」A（x）2. 回归方程1＞回归方程回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。
模糊数学在中医学领域的应用进展
味 药 相 似 程 度 较 大 ， 这 完 全 符 合 中 医 学 中“人 参 、大 枣 益 气 补 学技术的相结合， 从而促进了中医学的发展。以理论创新、辨证
中， 甘草助参枣扶正”的理论。杨氏［１８］应用模糊聚类分析的方法 论治、中药方剂为主的中医药现代化， 是顺应国际学术界由分
对中药组方（ 半夏泻心汤） 进行方义分析， 探讨组方规律。结果 析主义向系统论回归的趋势， 强调与多学科兼容， 充分利用现
其对机体免疫功能具有显著的增强作用。孙氏等［１６］以植物商陆 行分类， 难以得出明确的数据结果 ， 而模糊数学综合评价的方
的原药材、软化片、醋炒品、醋炙品、醋蒸品、水煮品和清蒸品等 法恰巧弥补了上述不足， 因此在临床应用得更为广泛、恰当。叶
为样品， 以商陆毒素含量、组织胺含量、局部刺激性、ＬＤ５０、祛痰 氏［２２］应用模糊数学综合评价的 方 法 评 判 ２ 型 糖 尿 病 的 中 医 疗
存在的模糊性概念和现象， 借助模糊数学聚类方法， 以桂枝汤 有的理论格局， 而是为中医学逐步走上量化、标准化、规范化的
等名方为研究对象， 将处方中诸药分成几个药群 （ 如君臣佐 轨道作一些工作， 为传承了千年的传统医学锦上添花； 二是目
使） ， 量化分析出诸药间的相互作用， 进行方剂配伍规律的模糊 前模糊数学在中医学中的应用研究才刚起步， 中医数学模型的
值， 对中药材进行检验， 方法科学公正， 对药材质量等级的评定 类分析法对 ２２１ 例中风急性期病人的证候特点与相关症状、舌
精细合理。上述聚类分析法虽然能较好地解决物理与化学成分 象、脉象的关系进行了分析， 提出中风急性期证候可分为风火
的差异性分析， 但对分析评价药性显得比较困难。为解决这一 证、痰瘀证、气虚证、阴虚阳亢证四类。刘氏［２１］将模糊数学聚类分
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊数学应用论文（2）
模糊数学应用论文(2)推荐文章计算机应用专业实习总结_计算机毕业实践工作总结报告热度：灾区送温暖慰问信热度：会计电算化应用论文相关范文热度：会计电算化结课论文热度：计算机应用的论文范文热度：模糊数学应用论文篇二模糊数学，乍听似乎不可思议。
因为数学的特点是精确，它怎么能同“模糊”连在一起呢?其实，模糊数学并非是“模糊的数学”，它真实的含义是：用数学方法来研究、处理模糊的事物。
这是1965年诞生的一门新学科，十几年来得到了迅速的发展。
从《伊索寓言》谈起在《伊索寓言》中有这样一则故事。
一次，伊索的主人酒醉后狂言，跟人打赌，发誓要喝干大海，并以他的全部财产和奴隶作赌注。
次日醒来后，他懊悔莫及。
但这一消息已轰动全城，人们早在海边等着他呢。
于是主人不得不苦苦求助聪明的伊索，伊索在讲好条件后便给他出了个主意。
主人听后如获至宝，急忙飞奔到海边，对蜂拥在那里的人群大声说道：“现在，我要再说一遍，我能喝干整个大海。
可是如今千万条江河汇入大海，海水里混杂了许多河水，如果有谁能把河水与海水分开，我就能把真正的大海喝干!”伊索朴素地应用了模糊语言学，帮助主人渡过了难关。
因为，“海水”是个模糊概念，我们虽然经常使用这个词，但给它下个定义，却往往会漏洞百出。
同样，在“水果”和“蔬菜”之间，“春、夏、秋、冬”四季之间，也都没有一条截然分明的界线。
我们生活中还有许多模糊的说法，如明暗、深浅、冷暖、宽窄、快慢、浓淡、高矮等等。
模糊事物反映在人的思维中，就产生了模糊逻辑。
在模糊逻辑中，判断一个命题的真假时，不仅可以用“是”(记作1)或“非”(记作0)来回答，还可以用介于0与1之间的小数来回答。
所以，它是一种连续值逻辑。
模糊并非罪过一般认为“模糊”是个贬意词，它的名声的确也“坏”过。
在生产力十分低下的原始社会，人们只能勉强维持生存，那时，用不着什么数学计算，是个混沌模糊的世界。
但随着生产力的不断提高，产生了剩余产品和商品交换，于是，人们开始用手指头、小石子计数，渐渐形成了自然数的概念。
模糊数学原理及应用第五版课程设计
模糊数学原理及应用第五版课程设计一、课程背景模糊数学是一门利用模糊逻辑探究问题的数学学科，它的发展和应用具有广泛的实际价值。
本次课程设计旨在深入了解模糊数学的原理和应用，并通过实践，学生将了解模糊数学在实际问题中的应用和价值。
二、课程内容1. 模糊集合理论模糊集合是模糊数学中的一个基本概念，学习模糊集合理论的含义和计算方法，包括模糊关系、模糊运算、模糊逻辑等。
2. 模糊控制系统利用模糊数学建立模糊控制系统，研究模糊控制器的设计和实现方法，包括模糊控制的基本结构、模糊控制器的设计方法、模糊控制器的优化等。
3. 模糊决策理论研究模糊决策理论的基本概念和计算方法，包括模糊决策树、模糊决策矩阵、模糊优化模型等。
4. 模糊数学在实际问题中的应用分析模糊数学在实际问题中的应用案例，探究模糊数学在人工智能、机器视觉、自动控制等领域中的应用。
三、课程目标通过本次课程设计，希望学生能够：1.掌握模糊数学的基本理论和计算方法；2.理解模糊数学在实际问题中的应用价值；3.能够独立设计并实现模糊控制系统和模糊决策模型；4.增强学生的模糊数学思维能力和实际应用能力。
四、课程实施方式本次课程设计采用课堂授课和实践相结合的方式。
具体包括：1.课堂授课：老师将讲解模糊数学的基本理论和计算方法；2.学生实践：学生将根据老师提供的案例，独立设计并实现模糊控制系统和模糊决策模型；3.案例分析：学生将根据实际案例，分析模糊数学在人工智能、机器视觉、自动控制等领域中的应用。
五、课程评估方式本次课程设计将采用课堂讨论、实践报告和个人总结等方式进行评估。
1.课堂讨论：学生将参与课堂讨论，讨论有关模糊数学的基本理论、应用案例等；2.实践报告：学生将提交独立实践报告，介绍自己设计的模糊控制系统和模糊决策模型；3.个人总结：学生将撰写个人总结，对本次课程学习进行总结和反思。
六、总结本次课程设计旨在介绍模糊数学的基本理论和应用方法，帮助学生掌握模糊数学的思想和方法。
工程模糊数学方法及其应用
工程模糊数学方法及其应用
工程模糊数学是一种将模糊数学理论应用于工程领域的方法。
模糊数学是一种处理不确定性问题的数学方法，它可以用来处理模糊的、不完全的信息，因此在工程领域中有着广泛的应用。
在工程领域中，很多问题都存在不确定性，例如：环境污染、交通流量、市场需求等等。
这些问题的不确定性往往导致传统的精确数学方法无法有效处理。
而工程模糊数学方法则可以通过建立模糊数学模型来解决这些问题。
工程模糊数学方法主要包括模糊逻辑、模糊集合、模糊关系、模糊推理等方面。
其中，模糊逻辑是将传统的二元逻辑扩展为多元逻辑，可以用于处理多个变量之间的不确定性关系；模糊集合是将传统的集合概念扩展为模糊集合，可以用于描述模糊的、不确定的概念；模糊关系是将传统的关系扩展为模糊关系，可以用于描述模糊的、不确定的关系；模糊推理是一种基于模糊逻辑和模糊关系的推理方法，可以用于处理模糊的、不确定的问题。
工程模糊数学方法在工程领域中有着广泛的应用，例如：工程设计、控制系统、决策分析、优化问题等等。
通过使用工程模糊数学方法，可以有效地处理不确定性问题，提高工程设计的准确性和可信度，为工程实践提供有效的支持。
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模糊数学的产生发展和应用
模糊数学又称FUZZY 数学。“模糊”二字译自英文“FUZZY ”一词，该词除了
有模糊意思外，还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译之为“乏晰”等。但他
们都没有“模糊”含意深刻。模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和
方法。
模糊数学的产生
现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与
它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们
可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概
念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，
集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实
的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那
些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构
成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。在某些方面模糊是
一种基于精确的模糊是一种相对模糊，对于那些外延不分明的概念和事物，经典
集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，
获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回
避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出
现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把
模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、
系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必
须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，
如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系
统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定
性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些
模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、
远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢
水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，
还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计
算数学之外，还需要模糊数学。
人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处
理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象
的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机
器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象
的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学
家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然
性。
模糊数学的研究内容
1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着
模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以
精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用
“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变
换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数
学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种
情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。
比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的
人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程
度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属
集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接
受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。
为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过
程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运
用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类
语言数量化、形式化。
如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有
错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征
它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一
套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。
人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，
既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻
辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具
备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。
为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑
基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。
第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。
模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的
理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性
对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥
补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模
糊语言学、模糊逻辑学等分支。
模糊数学的应用
模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚
类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。
在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最
重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联
系。
目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986
年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。
1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立
元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关
方面迈出了重要的一步。
模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检
验。但是模糊数学做为一个新的研究领域和新的研究方向有巨大的研究空间。