2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题含解析)
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题08数列
专题08 数列A.a n =2n -5B . a n =3n -102I 2CS n = 2n —8nD S n n-2n2【答案】A等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做 了判断.2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 CaJ 的前4项和为15,且a^3c 3 4<a ,则a 3 - A . 16【答案】Ca 1 a 1q a 1q 2 a 1q^ 15 aq 4 二 3a 1q 2 4q丄 *1 -1,2解得,-a 3 = aq ■ 4，故选C .q =2【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键3. [ 2019年高考浙江卷】设 a , b € R ，数列｛ a n ｝满足a 1=a , a n+1 = a n 2+b , n ，N ，则C.当 b - -2, ai 0 10 D .当 b - -4,ai 0 101.【2019年高考全国 I 卷理数】记S n 为等差数列｛a *｝的前n 项和.已知S 4 = 0, a 5 = 5，则【解析】由题知,d S 44 3=02a 5 二 a i 4d 二 5解得a1_3I d =22••• a n=2n_5 , S n = n _4n ,故选 A .【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养•利用【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ，则1A .当 b 匚,％ 101B.b［答案】A［解析】①当b=0时，取a=0，则a n =0,n・N".4②当b<0时，令x=x 2・b ，即x 2-x ・b=O . 则该方程丄=1 -4b - 0,即必存在x 0，使得xO -x （）• b = 0 , 2使得a . .1 = a . • b = a .对任意n • N "成立,所以a 。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题08 数列(含解析)
专题08 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=，511711,12162a =>>+，【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.7．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____. 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.8．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （I ）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （II ）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（I ）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122nn b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（Ⅱ）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．11．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．12．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（I ）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（II）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（I ）()21n a n =-，()1n b n n =+；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（II）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132C ．-66D ．- 32【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-，又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 +∞)上的函数 )满足：当 时， ) ；当 时， ) ).记函数 )的极大值点从小到大依次记为 并记相应的极大值为 则 + + + 的值为 A ． + B ． + C ． + D ． +【答案】A【解析】由题意当 时，22()2(1)1f x x x x =-=--+ 极大值点为1，极大值为1，当 时，()()32f x f x =-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，故 . ,故 ) ，设S= + + + + + + + ， 3S= + + + ，两式相减得-2S=1+2( + + + )- + )∴S= + ， 故选：A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题. 15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列 中， ，且112(2)n n n n na a n a a --+=+≥-，则数列)前2019项和为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：∵ ++ （ ），∴()22112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得： ) ) ，∴ ) ) + )+ + ，又 ， ∴ ) ) ， 可得：))．则数列)前2019项和为：++ +． 故选：B ．【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．16．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A ．20% 369B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【答案】A【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =． 故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．17．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，记22122log log n n n b a a -=+，则数列(){}21nn b -⋅的前10项和为______．【答案】200【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+， ∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=， ∵312a a =，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴12222n nn a -=⨯=，1121122n n n a ---=⨯=，∴22122log log 121n n n b a a n n n -=+=-+=-， 则数列()()()221211nnn b n -⋅-=-，则(){}21nn b -⋅的前10项和为()()()22222231751917S =-+-++-()2412202836=⨯++++200=.故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.18．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1【解析】因为11,()(1)n n a a n n n *+=+∈+N所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.19．【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式为_______．【答案】13-=n n a ，n *∈N .【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为245a a a =，427a =， 所以223542427a a a a q q q ====，解得3q =，所以41327127a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N . 故答案为13-=n n a ，n *∈N .【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（I ）21,3nn n a n b =+=；（II ）()331(2)2n n n -++.【解析】（I ）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（II ）(21)3n n n a b n +=++， 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型.21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}2n na a 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）n a n =；（II ）222n nnT +=-. 【解析】（I ）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，所以2319a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =.所以1(1)n a a n d n =+-=.（II ）12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2311111112(1)22222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得1231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111111112211222212n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-. 所以222n n nT +=-. 【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．22．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由()13237n n <+，得9n <.∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.23．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足：1n a ≠，()112n na n a *+=-∈N ，数列}{nb 中，11n n b a =-，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （I ）求证：数列}{n b 是等差数列；（II ）若n S 是数列}{n b 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（I ）见解析；（II ）21nn +. 【解析】（I ）111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=------1111n n n a a a =-=--， ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列；（II ）由题意可得2214b b b =，即()()211113b b b +=+，所以11b =，所以1n b =，∴(1)2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111212231n T n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭122111nn n ⎛⎫=⨯-=⎪++⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n 项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2010-2019历年高考数学《数列的综合应用》真题汇总
2010-2019历年高考数学《数列的综合应用》真题汇总专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用一、选择题1．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．(2015湖北)设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：222121()n a a a -+++⨯L 22222312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=+++L L ，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n项和n S =A ．()1n n +B ．()1n n -C ．()12n n + D ．()12n n -4．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=， 99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+⋅⋅⋅+ 9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则A ．321I I I <<B ． 312I I I <<C ． 231I I I <<D ． 123I I I << 二、填空题5．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．6．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．7．（2013重庆）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S =．8．（2011江苏）设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．三、解答题9．（2018江苏）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 10*．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x --≤≤．*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考． 11．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 12．（2016年四川）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S S +=+，其中0q >，*n N ∈(Ⅰ)若2323,,a a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2221ny x a +=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+．13．（2016年浙江）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.14．(2015重庆)已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．15．（2015天津）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．16．(2015四川)设数列{}n a （n =1,2,3…）的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，2a +1，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，求n T ． 17．（2015湖北）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}nb 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n c =nna b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．(2014山东）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T ． 19．（2014浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ．若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +== （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设()*∈-=N n b a c nn n 11．记数列{}n c 的前n 项和为n S ． （ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 20．（2014湖南）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 21．（2014四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）．（Ⅰ）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}nna b 的前n 项和n T ． 22．(2014江苏)设数列}{n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”． （Ⅰ）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明: }{n a 是“H 数列”；（Ⅱ）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ．若}{n a 是“H 数列”，求d 的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立．23．（2013安徽）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅，满足'()02f π=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 24．（2013广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．（Ⅰ）证明：2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 25．（2013湖北）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．26．（2013江苏）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.（Ⅰ） 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（Ⅱ） 若{}n b 是等差数列，证明：0c =．27． (2012山东)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且1052a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m项和m S ．28．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （Ⅰ）用d 表示12,a a ，并写出1n a +与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）．29．（2012浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =22n n +，*n ∈N ，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n ∈N ． （Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．30．（2012山东）在等差数列{}n a 中，84543=++a a a ，973a =（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的*N m ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m 内的项的个数为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．31．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（Ⅰ）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．32．（2011天津）已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+，1*13(1),,22n n b n N a -+-=∈=且．（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈L 33．（2011天津）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，*n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． 34．（2010新课标）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S ．35．（2010湖南）给出下面的数表序列：124 4 8表1 表2 表3 ∙∙∙1 1 3 1 3 5其中表n （n =1,2,3 L ）有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，L ，2n -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，L ，记此数列为{}n b ，求和：32412231n n n bb b b bb b b b ++++L *()n N ∈ ． 答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．A 【解析】对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且≠n a ；对命题q ， ①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件． 3．A 【解析】2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+．4．B 【解析】∵21)(x x f =在[0,1]上单调递增，可得1110()()0f a f a ->，1211()()0f a f a ->，…，199198()()0f a f a ->，∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+⋅⋅⋅+--=299-0=199（） ∵),(2)(22x x x f -=在490]99[，上单调递增，在50[,1]99单调递减 ∴2120()()0f a f a ->，…，249248()()0f a f a ->，250249()()0f a f a -=，251250()()0f a f a -<，…，299298()()0f a f a -<∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-=24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --=505098004(1)199999801⨯⨯-=<∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99，5074[,]9999上单调递增，在2549[,]9999，75[,1]99上单调递减，可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999I f a f a f a ππ=-+-）252(2sin sin )1312123ππ>-==> 因此312I I I <<．5．27【解析】所有的正奇数和2n(*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a 中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．6．2,13-【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=．7．64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列，得2111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，故81878642S a d ⨯=+=．82a t =，则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，所以max{q t ≥，故q因此*k N ∈，所以4k =． 9．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,12n n b -=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>． 因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增， 故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m -．②设()()21xf x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n nn --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减， 故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m m b q b q m m -．10．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x =>假设n k =时，k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥ 函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤（Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．11．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n na a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n na a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.12．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n na qa +=对所有1n ³都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q .所以1*2()n n a n -=?N . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由22e =解得q =所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n ne e e q q q n q q n q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-13．【解析】（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n nb n n -=--≥. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.14．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a d a d ´+=+=化简得11322,,2a d a d +=+= 解得11a =，12d =．故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得141515+1=1==82b b a =，．设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =．故{}n b 的前n 项和 1(1)1(12)21112n n n n b q T q -?===---．15．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知，有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d ，整数得42280q q --=，又因为q ＞0，解得2,2q d ==，所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ，数列{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为nS ，则()121123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯o L ， ()1232123252212nn S n L =⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()2312222122323n n n n S n n L -=++++--⨯=--⨯-，所以()2323n n S n =-+．16．【解析】(Ⅰ) 由已知12n n S a a =-，有1n n n a S S -=-=122n n a a --(n ≥2)，即12n n a a -=(n ≥2)，从而212a a =，32124a a a ==．又因为1a ，2a +1，3a 成等差数列，即1a ＋3a ＝2(2a ＋1)，所以1a ＋41a ＝2(21a ＋1)，解得1a ＝2．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n na =，所以nT ＝211[1()]111122......11222212n n n-+++==--．17．【解析】（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T L --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T L -=++++++． ②①－②可得221111212323222222n n n n n n T L --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-．18．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比Θ解得12,11-=∴=n a a n（Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-L L1111()()23212121n n n n ++-+---+1221211+=+-=∴n nn T n11111(1)()()33557n n T =+-+++--L L 当为奇数时，1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122．19．【解析】（Ⅰ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221Λ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==L ，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n n S n N n *=-∈+； （ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，n c <，综上对任意n N *∈恒有4nS S ≥，故4k =．20．【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。
全国卷历年高考数列真题归类分析2019
全国卷历年高考数列真题归类分析（2019.7含答案）（2015年-2019年共14套）一、等差、等比数列的基本运算（13小3大）1.（2016年1卷3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=选C.2．（2017年1卷4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】：()16616648162a a S a a +==⇒+=，451824a a a a +=+=，作差86824a a d d -==⇒=，故而选C.3.（2018年1卷4） 设为等差数列的前项和，若，，则（ ）A.B.C.D.【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.4.（2019年3卷14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 5．（2017年3卷9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，又∵11a =，代入上式可得220d d +=，又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 6.（2019年1卷9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A. 25n a n =-B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 方法2：本题还可用排除法，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．7.（2017年2卷15）等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ．【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n n n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，那么 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .8.（2016年2卷17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．9.（2017年2卷3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B.10.（2015年2卷4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=（ ）（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21, 又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.11．（2017年3卷14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．12.（2019年3卷5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16B. 8C. 4D. 2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．13.（2019年1卷14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--．14.（2016年1卷15）设等比数列{}n a 错误！未找到引用源。
2019高考数学专项讲解8：数列综合
2019高考数学专项讲解8：数列综合第八讲 数列综合★★★高考在考什么 【考题回放】1.〔宁夏〕a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，那么ad 等于〔 B 〕Ａ、3 Ｂ、2 Ｃ、1 Ｄ、2- 2.(江西)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设1221S =，那么25811a a a a +++=、73.〔辽宁卷〕 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么nS 等于A 、122n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比，那么12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，那么22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒= 即2n a =，所以2nS n =，应选择答案C 。
4.〔湖南〕设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i iS a b =，，{}j j j S a b =，〔i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，〕，都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，〔min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者〕，那么k 的最大值是〔 B 〕A 、10B 、11C 、12D 、135.(陕西卷) 正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3、 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)、当a 1=3时，a 3=13，a 15=73、 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时，a 3=12， a 15=72， 有a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3、6.〔广东卷〕公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2na 各项的和为815.(I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. ★★★高考要考什么本章主要涉及等差〔比〕数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和、同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏、其中小题主要考查1()a d q 、、n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差〔比〕数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论、高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷、常见题型：〔1〕由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力、〔2〕给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力、〔3〕以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力、 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列、★ ★★突破重难点 【范例1】数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩〔2n ≥〕〔I 〕令n n nc a b =+，求数列{}n c 的通项公式；〔II 〕求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式nS 、解：〔Ｉ〕由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+〔2n ≥〕易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+、〔II 〕解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n nd a b =-，那么11(2)2n n d d n -=≥、 易知{}nd 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为112n n d -=、由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1122n n a n =++，求和得21122n n n S n =-+++、 【变式】〔文〕在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1nn S n n S n +==+，〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2017-2019高考文数真题分类解析---数列
2017-2019高考文数真题分类解析----数列1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得a =，10≤时，即90b -…时，总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以()*12,n n a n n -=≥∈N，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1nn a q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算．8．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.9．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 10．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a ⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.11．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．12．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.13．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.14．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ． 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.15．【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n n n n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（2）112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．17．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N 时不等式成立，即12k c c c +++<L ． 那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<L<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii ），不等式12n c c c +++<L 对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.18．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4；（2）见解析；（3）a n =n ·2n -1． 【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=， 所以a n =n ·2n -1． 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b n }的通项公式，借助于{b n }的通项公式求得数列{a n }的通项公式，从而求得最后的结果.19．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-． 由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n 项和公式建立1, a d （或q ），, ,n n n a S 五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列{}n a 的的公差是d ，则111111n n n n n b a a d a a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.20．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.21．【2018年高考北京卷文数】设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n aa a +++L .【答案】（1）ln 2n a n =；（2）122n +-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2e e e =2nn a n n ==， ∴{}ena 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln221e e e e e e =222=22nn a a a n n ++++=++++++-L L L . ∴12e e e n a a a +++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.22．【2018年高考天津卷文数】设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】（1）(1)2n n n S +=，21nn T =-；（2）4. 【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以，122112nn n T -==--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316,a d +=从而11,1a d ==，故n a n =， 所以，(1)2n n n S +=． （2）由（1），有131122(12)(222)=2 2.12n nn n T T T n n n +⨯-+++=+++--=---L L 由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --=解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L .设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.24．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． 75[,]32112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+L 2,3,,1n m =+L 1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m qq -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+L 2,3,,1n m =+L 12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+L①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．25．【2017年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nn a =-；（2）122(1)33n n n S +=-+-⋅，证明见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21xf x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． （1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-即可求解； （2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．26．【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）b n =2n−1；（2）当q =−5时， S 3=21.当q =4时， S 3=−6. 【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n =−1+（n −1）d ， b n =q n−1. 由a 2+b 2=2得d +q =3.①（1）由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.② 联立①和②解得{d =3，q =0（舍去），{d =1，q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n−1.（2）由b 1=1，T 3=21得q 2+q −20=0. 解得q =−5，q =4.当q =−5时，由①得d =8，则S 3=21. 当q =4时，由①得d =−1，则S 3=−6.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和. 27．【2017年高考全国III 卷文数】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）122-=n a n ；（2）122+n n.【解析】（1）因为a 1+3a 2+…+（2n −1）a n =2n ， 故当n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n −3）a n−1 =2（n −1）. 两式相减得（2n −1）a n =2， 所以a n =22n−1 (n ≥2). 又由题设可得a 1=2， 从而{a n }的通项公式为a n =22n−1.（2）记{an2n+1}的前n 项和为S n ，由（1）知a n2n+1 =2(2n+1)(2n−1) =12n−1−12n+1.则 S n = 11 − 13 + 13 − 15 +…+ 12n−1 − 12n+1 = 2n2n+1 .【思路点拨】（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n Λ，再作差得122-=n a n ，验证1=n 时也满足； （2）由于121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和. 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n a n n =++或1(2)n a n n =+.28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++L ．【答案】（1）a n =2n −1；（2）312n -. 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10，解得d =2，所以a n =2n −1． （2）设等比数列{b n }的公比为q ．因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9，解得q 2=3，所以2212113n n n b b q---==． 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=L L ．【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．29．【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2nn a =；（2）2552n nn T +=-【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知22111(1)6,a q a q a q +==．又0n a >，解得12,2a q ==，所以2nn a =．（2）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+，1+=n n n a a cc nn c c n ++=1令n n n b c a =,则212n nn c +=， 因此122313572121,22222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++L L又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ， 两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++-L ， 所以2552n nn T +=-． 【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．30．【2017年高考天津卷文数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2n n b =；（2）2(34)216n n +-+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①； 由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(12)42626262(62)24(612n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ， 则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．32．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n *+<<∈N ．（2）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22()ln(1)0(0)1x xf'x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n *++-≤∈N ． （3）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ． 【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．。
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题07数列文(含解析)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．12【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a11＝4×（4a1），解得a1．则a109×1．故选：B．2．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n＝1，∴S n33﹣23﹣2a n，故选：D．3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为 15×2+（15×8）＝1830，故选：D．4．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3，∴q≠1，，整理可得，，解可得，q，则S4．故答案为：【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．5．【解答】解：∵a n+1＝2a n，∴，∵a1＝2，∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：66．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2＝0∴∴q3+3q2﹣4＝0∴（q﹣1）（q+2）2＝0∵q≠1∴q＝﹣2故答案为：﹣27．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S99a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，又由S9＝﹣a5，即S99a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1，a2，由a1+a2＝2，2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n [2+（﹣2）n+1]，则S n+1[2+（﹣2）n+2]，S n+2[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2[2+（﹣2）n+2][2+（﹣2）n+3]，[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n（1﹣3﹣n）．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d，故a n＝2+（n﹣2）n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n，①S n，②①﹣②得S n，解得S n2．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•（﹣1）＝2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1，q∴a n，S n又∵S n∴S n（II）∵a n∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）∴数列{b n}的通项公式为：b n14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解答】解：（1）由a n＝a1+（n﹣1）d及a3＝5，a10＝﹣9得a1+9d＝﹣9，a1+2d＝5解得d＝﹣2，a1＝9，数列{a n}的通项公式为a n＝11﹣2n（2）由（1）知S n ＝na 1d ＝10n ﹣n 2．因为S n ＝﹣（n ﹣5）2+25．所以n ＝5时，S n 取得最大值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则，可得9a 能取到的最小整数是0．故选：B ． 2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：， 故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C【解析】 根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，…．故.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由得，当2n ≥时，，整理得，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以，从而，所以，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C由数列各项除以2的余数， 可得{}n a 为，所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为，所以数列{}n a 的前2019项的和为，故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若，，则的值是（ ）A ．1 B．2C．2-D．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列6a ∴={}n b 是等差数列673b π∴=本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为nT，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【解析】 解：数列{}n a 满足，①当2n ≥时，，②①﹣②得：12n a n n=， 故：22n a n =，数列{}n b 满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：244n n λ+>+，因为在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式成立，若数列{}n a 满足，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】由，令0x =，1y =-，则0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则，即又()1f x -> ∴当0x >时，令21x x >，则21>0-x x，即()f x ∴在R 上单调递减又令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，，，，()f x 在R 上单调递减，，，本题正确选项：A9．在数列{}n a中，，则2019a的值为______．【答案】1【解析】因为所以，...,,各式相加，可得，，所以，20191a=，故答案为1.10．已知正项等比数列{}n a满足，若存在两项m a，n a，使得，则91m n+的最小值为__________．【答案】2【解析】正项等比数列{}n a满足，，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，2q =，存在两项m a ，n a 使得1a ，，整理，得8m n +=，∴，则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对，都有成立，72a π=，函数()f x =，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对，都有成立，可令1m =即有，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数，由，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴，∴可得数列{}n y 的前13项和为．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-， 所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列， 所以，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则，，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即，整理得，解得0d =或1d =，当0d =时，；当1d =时，，于是，故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得32q =，化简得631S S +＝＝，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以＝3故答案为：315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，，又，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得．故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足，则数列的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由，得，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是，所以12n n a n +=⋅，因为，所以的前n 项和2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为，证明：{}n a 存在等比子数列.【答案】（1）①12n n a -=；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，，当2n ≥时，，所以.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以不成立.因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列. 若从数列{}n a 中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比.设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足，即需满足，则需满足.取k q =，则2l k pq =+.此时，.故此时成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比，所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的通项公式；（3）令，数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =；（2）；（3）.【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （2）∵①∴②②－①得：，，故。
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总
2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总专题六 数列第十五讲 等差数列2019年1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .2010-2018年一、选择题1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．13．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．147．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝A ．3B ．4C ．5D ．68．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2412．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1513．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11014．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．16．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．17．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．18．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____．19．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 20．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．21．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____．22．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．23．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题24．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．25．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．26．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 27．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 28．（2016年北京）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等差数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．29．（2016年山东）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T ． 30．（2015福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．31．（2015山东）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为12+n n． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n an n b a =+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 32．（2015北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 33．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 34．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．35．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L ． 36．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．37．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．38．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．39．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（*n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．40．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．41．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56S S +15=0．（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围． 答案部分1.解析（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d=-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a…等价于211100n n -+„，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟． 2.解析 在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．3.解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式 为3n n b =()n *∈N .（Ⅱ）112222n na c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++L()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L1213233nn T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯L ， ②②-①得，()12311313(21)3323333..3313.2n n n n n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-，故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯L()22*(21)3692n n n n N +-++=∈.4.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩．所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.2010-2018年1．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．2．A 【解析】13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===．故选A ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设知1d =，844S S =，所以118284(46)a a +=+，解得112a =，所以10119922a =+=．4．C 【解析】∵数列1{2}na a 为递减数列，111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-，等式右边为关于n 的一次函数，∴10a d <．5．C 【解析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d=+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =．6．B 【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+，因为12a =，3510a a +=，所以78a =，选B ．7．C 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C ． 8．D 【解析】设1(1)n a a n d dn m=+-=+，所以1p 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2p 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n =+，是递减数列，所以3p 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4p 正确．9．B 【解析】由题意有153210a a a +==,35a =,又∵47a =，∴432a a -=，∴2d =．10．B 【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B.11．B 【解析】由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．12．A 【解析】10121014710(1)(3102)a a a ++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-910(14)(710)[(1)(392)(1)(3102)]15=-++-++⋅⋅⋅+-⋅⨯-+-⋅⨯-=．13．D 【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为-2，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n=+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．14．A 【解析】887644915a S S =-=-=．15．5【解析】设该数列的首项为1a ，由等差数列的性质知1201510102a +=，所以1202020155a =-=．16．8【解析】∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．17．7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．18．－49【解析】设{}n a 的首项为1a ，公差d ，由100S =，1525S =，得112903215a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123,3a d =-=，∴()321103n nS n n =-，设()()321103f n n n =-，()220,3f n n n '=- 当2003n <<时()0f n '<，当203n >，()0f n '>，由*n N ∈， 当6n =时，()()31661036483f =-⨯=- 当7n =时，()()3217107493f n =-⨯=-∴7n =时，nnS 取得最小值49-．19．20【解析】 依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=．或：()57383220a a a a +=+=20．1，(1)4n n +【解析】设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a =代入得12d =， ∴21a =，n S =1(1)4n n +21．35【解析】（解法一）因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列．故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．（解法二）设数列{},{}n n a b 的公差分别为12,d d ,因为331112(2)(2)a b a d b d +=+++1112()2()a b d d =+++1272()21d d =++=所以127d d +=.所以553312()2()35a b a b d d +=+++=.22．21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-．23．10【解析】设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =． 24．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，nS 取得最小值，最小值为−16．25．【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =．∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=．(2)由(1)知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e ee =2nn a n n ==， ∴{e }na 是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴212ln 2ln 2ln 2e e e e ee nn a a a +++=+++L L 2=222n +++L 1=22n +-．∴12e e ena a a+++L 1=22n +-．26．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为nT ，由262n a n =-，有2342102162(62)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．27．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n na a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n na a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.28．【解析】（I ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q ==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．29．【解析】（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即23413[223242(1)2]n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-．所以223+⋅=n n n T ．30．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n=+，所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b ++++=+=+=++++…………2310(2222)=+++++......（1+2+3+ (10)102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=． 31．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．解得11,2a d ==，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22(1,2,)n a n n n =+-=+=L ．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=⨯=．由128=22n +得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．33．【解析】(Ⅰ)方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+．（Ⅱ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，由（I ）知12,22n n n a n ++=则2313412...,2222n n n n n S +++=++++ 341213412....22222n n n n n S ++++=++++两式相减得31213112(...)24222n n n n S +++=+++-123112(1).4422n n n -++=+--所以1422n n n S ++=-．34．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-= 由于10n a +≠，所以2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ= 故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．35．【解析】（Ⅰ）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ， 将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2n S n =（*∈N n ）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1)(12(1+-+=+⋅⋅⋅++++k k m a a a k n n n ，所以65)1)(12(=+-+k k m ，由*∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，所以⎩⎨⎧==45k m . 36．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则n S =1(1)2n n na d -+。
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2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）一、解答题1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} 满足：，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: ，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．2.（2019•上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．3.（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4.a4=S3，数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）记C n= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+C n＜2 ，n∈N*4.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.5.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.6.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。
（1）求的通项公式；（2）设，求数列{ }的前n项和。
7.（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.9.（2019•北京）已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项…第i m项（i1<i2<…<i m）.若a i1<a i2<…<a im.则称新数列a i1，a i2，…，a im.为{a n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{a n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0，若p<q，求证：a m0<a n0；（III）设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。
若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{a n}的通项公式。
10.（2019•卷Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S n=-a5（1）若a3=4，求{a n}的通项公式。
（2）若a1≥0，求使得S n≥a n的n取值范围。
答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：设等比数列{a n}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此数列为“M—数列”.（2）解：①因为，所以．由得，则.由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n}的通项公式为b n=n.②由①知，b k=k，.因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下：x e (e，+∞)+ 0 –f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M －数列”。
（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。
②由①知，b k=k，.因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
2.【答案】（1）解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合．（2）解：，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）解：①当时，，集合，符合题意．②当时，，，，或者，等差数列的公差，故，，又当时满足条件，此时．③当时，，，，或者，因为，故．当时，满足题意．④当时，，，所以或者，，故．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，．【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式【解析】【分析】（1）等差数列的公差，数列满足，集合，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当时的集合S.(2)当等差数列首项时，利用数列满足，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求的的所有可能的值．3.【答案】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得．从而．由成等比数列得．解得．所以．（2）．我们用数学归纳法证明．⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；⑵假设时不等式成立，即．那么，当时，．即当时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式对任意成立．【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可. 4.【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q依题意，得，解得，故.所以，的通项公式为，的通项公式为.（Ⅱ）解：=. ①，②②-①得，.所以，【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设的公差为，的公比为，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得和，进而可得、的通项公式；（II）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前项和．5.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.所以，的通项公式为的通项公式为.（Ⅱ）（i）.所以，数列的通项公式为.（ii）【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求和的通项公式；（Ⅱ）由（ⅰ）的通项公式为的通项公式为，得出数列的通项公式；（ⅱ）将代值并化简即可求值。
6.【答案】（1）解：设的公比为q，由题设得，即.解得（舍去）或q=4.因此的通项公式为.（2）由（1）得，因此数列的前n项和为.【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。
（2）由已知求出数列的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
7.【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可知，故，解得d=2，故；（Ⅱ）由（I）知，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出；（Ⅱ）由（1），求出，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.8.【答案】（1）解：由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，，．所以，．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出，则是首项为1，公比为的等比数列，再结合已知条件可推出．即可得出是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列、的通项公式相减，即可得出两个数列{a n}和{b n}的通项公式。
9.【答案】解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II）设数列的长度为q的一个递增数列为且；设数列的长度为p的一个递增数列为且；因为p<q，所以，即> ;（III）（用数学归纳法证明即可）.【考点】数列的应用【解析】【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；（II）构造数列证明即可；（III）根据题意写出通项公式即可.10.【答案】（1）解：设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是．【考点】等差数列【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
( 2 )由（1）得，故.由知，故等价于，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。