高二数学选修1-1《2.1.1椭圆的简单几何性质》学案(第1课时)
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质
2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？[新知初探]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0<e <1) [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35答案：B3．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．52 答案：A4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：32由标准方程研究几何性质[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35．利用几何性质求标准方程[典例] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5． 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1．(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，则b 2＝a 2－c 2＝64．当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1．求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．解：在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中， 有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2． 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2． ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22． 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1． 解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1． 答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52． 因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 则a ＝1，b ＝12，c ＝32． 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ （2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 二.教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（ ）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（ ）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（ ）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（ ） 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分； 【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈 例1.根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）28,e 3c ==； （2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练 已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业 基础型 自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（ ） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（ ）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型 多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=， 即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（ ） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（ ）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（ ） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2， 而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
椭圆的简单几何性质(第1课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.
高中数学教师竞赛作品《椭圆的几何性质》教学案 苏教版选修1-1
（3）提出如何解决精确性问题,学生发表见解,引出问题。
3、（1）教师借助几何画板用描点法画出椭圆图形；
（2）教师提出问题,由图形你能观察出椭圆有哪些几何Байду номын сангаас质；
（3）教师将学生得出的结论写在黑板上。
4、（1）教师提出由图形观察出的几何性质,能否由方程得到 ？
《椭圆的几何性质》教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）
圆锥曲线是高中数学的核心。本节内容是在学生已经学过椭圆的概念及标准方程基础上引入的,因此既是对上述知识的拓展和延伸,也是对后面学习双曲线、抛物线的进一步认识与理解．本节课的学习使椭圆知识体系更加完整、系统。
问题设计
问题:
1、椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
2、椭圆的几何范围？
3、椭圆的对称性？
4、椭圆的顶点？
5、椭圆的离心率？
教学构想及目标:
知识目标：
通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用．
能力目标：
通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
情感目标：
在活动过程中培养学生的数学应用意识,感受获得成功后的喜悦心情,养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。
学生展示自己的研究方法；
练习
（1）求椭圆 的长轴长,短轴长,焦点及顶点坐标。
（2）求椭圆 的长轴长,短轴长,焦点和顶点坐标及范围。
教师板书
通过复习旧知识引出问题,使学生不感到突然,并且学生通过亲自实践,产生认知冲突。
通过多媒体画出令学生信服的椭圆图形,让学生观察图形,总结性质,自由 发表自己的见解,培养学生的兴趣,增强自信心。
公开课教案教学设计课件高中数学选修公开课教案 一椭圆的简单几何性质
2．1．2 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-，∴5255m-=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-，∴510253m m m -=⇒=． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． 练习：第52页1、2、3、4、5、6、7作业：第53页4、5活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.1．椭圆C 1的焦点在哪个坐标轴上，a 、b 、c 分别是多少？椭圆C 2呢？ 【提示】 C 1：焦点在x 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3，C 2：焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3.2．怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x 轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e ＝ca椭圆的离心率观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的离心率． 2．性质离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1，椭圆越扁，当e 越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x 2＋9y 2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a 、b 、c 的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】 将椭圆方程化为x 2116＋y 219＝1，则a 2＝19，b 2＝116，椭圆焦点在y 轴上，c2＝a 2－b 2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b .设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1； 当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12.∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ，∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于c a的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】 将方程化为标准方程得：x 2＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a ，短轴长为2b ，往往与长半轴长a 、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】 将已知方程化成标准方程为x 2＋y 225＝1.∴a ＝5，b ＝1，∴2a ＝10,2b ＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a 、b 、c 的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(－6,0)、(6,0)C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)【解析】 椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a ＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】 由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9. 又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】 由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c . ∴e ＝ca＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________． 【解析】 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________． 【解析】 如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形． ∴OA ＝OF 1，即c ＝b ， 又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1.(2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x23＝1三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c . 由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22. (教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则ca|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a ，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1) D ．[12，1)【解析】 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。
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§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 1课时)
[自学目标]:
理解并掌握椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点.
[重点]: 椭圆的简单几何性质.
[难点]: 椭圆的简单几何性质及其探究过程
[教材助读]:
研究椭圆122
22=+b y a x (a ＞b ＞0)的几何性质 1．范围：椭圆位于直线x ＝____和y ＝____围成的矩形里． 2．对称性：椭圆关于_______、_______、_______
3．顶点：上述椭圆的四个顶点坐标分别是_______、_______、_______、_______
4．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=
[预习自测]
1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P (－3, 0)、Q (0,－ 2); .5
320)2(，离心率等于长轴的长等于
与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率：
(1) 224936x y +=
(2) 222241(0)m x m y m +=>
探究二：由椭圆的几何性质求方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
[当堂检测]
1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23
2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )
A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1
B.x 24＋y 2
16＝1
C.x2
16＋
y2
4＝1 D.
x2
16＋
y2
20＝1
3．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准
方程是______________．
4．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求这个椭圆的方程、离心率、焦点坐标、顶点坐标．
[拓展提升]
1、一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为()
A.x2
4＋
y2
9＝1 B.
x2
9＋
y2
4＝1
C.x2
4＋
y2
13＝1 D.
x2
13＋
y2
4＝1
2、椭圆x2
25＋
y2
9＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2 B．5,4 C．9,1 D．5,1
3．已知F1、F2为椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△
AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝
3
2，则椭圆的方程是()
A.x2
4＋
y2
3＝1 B.
x2
16＋
y2
4＝1
C.x2
16＋
y2
12＝1 D.
x2
16＋
y2
3＝1
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()
A.4
5 B.
3
5 C.
2
5 D.
1
5
5．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______．
★6．已知椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
6
3.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与
原点的距离为
3
2，求椭圆的标准方程．
★★7.已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．。