§7 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
数学建模之软件篇Mathematica使用介绍
第一章 数学软件Mathematica简介
6．%在Mathematica中代表什么含义
几乎所有的计算都可能用到前面已经计算好的结果，这时 Mathematica提供了一种简单的调用方式：
第一章 数学软件Mathematica简介
7．如何计算结果的近似值
在实际应用中，我们通常需要的是一个精确度很高的数值结果, 而不是一个绝对准确但表示非常复杂的结果，比如Sin[2/3]或者一个 一元四次方程的解。但如果参与运算的量都是精确的,则Mathematica 按精确值的方式输出。我们常用N函数把结果转换为数值结果。
表称为List，是由大括号“{ }”括起来的若干元素，元素间用逗号分 隔。其直接形式为：表名={元素1，元素2，…}。所以Mathematica中的表 其实就是我们通常所用的集合。它可以用来表示集合、矩阵、数组、向 量、数列等一些我们在计算机中常用的结构。 （1）参数表 在后面的学习中，我们经常会在Mathematica的内部函数的参数中看见 大括号，这就是参数表。下面我们列出常用参数表的含义：
取值范围可以是：Intergers,Rationals,Real,Complexes(即整数，有 理数，实数，复数)。
例：
第二章 初等数学篇
7．Mathematica中常用的多项式操作函数
在Mathematica中，你可以对多项式（包括一元和多元多项式）直接 进行加、减、乘、除、乘方等运算，此外系统还提供了丰富的函数以满足 用户对多项式操作的需要。 下面给出多项式的常用操作函数：
第二章 初等数学篇
3．Mathematica中的表指什么
（5）表的运算
第二章 初等数学篇
4．如何求解一元n次方程
解一元多项式方程主要的函数是Solve，该函数的目标是尽量找出方程 的精确解。Mathematica总可以解出四阶及以下的多项式方程，对于三次或 四次方程，结果可能相当复杂。在解四次以上的多项式方程时， Mathematica碰到数学理论上的障碍（即一般的四次以上的多项式方程不能 根式求解）而可能给不出精确解，但总可以给出数值解，并且对某些高次 方程Solve是可以给出精确结果的.
mathematical 偏导数
mathematical 偏导数
偏导数是数学中的一个重要概念，它在多元函数的求导中起着关键作
用。偏导数的定义是指在多元函数中，对于某一个自变量求导时，将
其他自变量视为常数，所得到的导数就是偏导数。偏导数的符号通常
用∂表示，例如∂f/∂x表示函数f对自变量x的偏导数。
偏导数的应用非常广泛，特别是在物理学、工程学和经济学等领域中。
例如，在物理学中，偏导数可以用来描述多元物理量之间的关系，如
速度和加速度之间的关系。在工程学中，偏导数可以用来优化设计，
如在机械设计中，通过对各个部件的偏导数进行分析，可以得到最优
的设计方案。在经济学中，偏导数可以用来描述市场需求和供给之间
的关系，如价格对需求量的影响。
偏导数的计算方法与一元函数的求导类似，只需要将其他自变量视为
常数，对某一个自变量进行求导即可。例如，对于函数
f(x,y)=x^2+y^2，我们要求它对x的偏导数，那么我们将y视为常数，
对x进行求导，得到∂f/∂x=2x。同理，我们可以求出它对y的偏导数，
即∂f/∂y=2y。
需要注意的是，偏导数的存在并不意味着函数在该点处可导。例如，
对于函数f(x,y)=|xy|/√(x^2+y^2)，在原点处偏导数存在，但是函数
在该点处不可导。
总之，偏导数是多元函数求导中的重要概念，它在各个领域中都有广
泛的应用。通过对偏导数的计算和分析，可以更好地理解多元函数之
间的关系，为实际问题的解决提供有力的数学工具。
07Mathematica简介
三、求多项式方程的根
n次多项式方程的一般形式为: a0 +a1x+ a2x2 +…+anx n = 0
式中a0 ,a1, a2,…,an为常数。
求多项式方程的根的一般形式为 Solve [ 方程或方程组, 变量或变量表 ] 或 NSolve [ 方程或方程组, 变量或变量表 ] 具体形式有:
命令形式1: Solve[eqn, x] 功能：求多项式方程eqn的所有根，当多项式方程的次数 n4时，给出eqn所有根的准确形式, 当n>4时，不一定能 求出所有的根, 此时，命令输出形式为
(2) Mathematica自定义函数
函数名[自变量名1_, 自变量名2_ ,]:= 表达式 这里函数名与变量名的规定相同，方括号中的每个自变量名后都要有一 个下划线“_”,中部的定义号“: =”的两个符号是一个整体，中间不能有 空格。 常用的自定义函数命令有： 定义一个一元函数 函数名[自变量名_]:= 表达式 例如 : 定义一个函数 y=asin x+x5, a是参数 命令: In[44]: = y[x_ ]:= a*Sin[x]+x^5
变量替换类似于数学中的计算函数在某一点的函数值。
Mathematica中变量替换的一般形式为: 表达式 / . 变量名1 >表达式1 或 表达式 / . {变量名1 >表达式1, 变量名2 >表达式2,…}
这里符号“/.”是由键盘上的两个符号“/”和“.”组成的，中间不能有空格。 同样,“>”也是由键盘上的两个符号“”和“>”组成的, 中间也不能有空 格。
例1:展开多项式(2+3x)4，并取出它的第3项。 解: Mathematica 命令为: In[1]:= p=Expand[(2+3 x)^4] Out[1]=16+96x +216x 2 +216x3 +81x4 In[2]:= Part[p, 3] Out[2]= 216 x2
[数学]第三四讲 用Mathematica进行函数的计算和解微积分和解方程
![[数学]第三四讲 用Mathematica进行函数的计算和解微积分和解方程](https://img.taocdn.com/s3/m/94c1bd51f242336c1fb95e09.png)
自定义函数
初等函数的定义
如 f[x_]:=x^3+Exp[x] f[3] 注意：自变量后面一定要加下划线
分段函数的定义
用If和which命令可以定义分段函数。
x2 如: 定义函数： f ( x ) 2 x x1 x1
命令：f[x_]:=If [ x<=1, x^2, 2-x ] 或：f[x_]:=which [ x<=1, x^2, x>1, 2-x ]
1 2 n ( x 1 ) 2 n n!
求导数和求微分
求高阶导数
D[f[x],{x,n}]
求高阶导数
如: 求函数 y arctan x 的二阶导数： 命令： f[x_]:=ArcTan[x]; D[f[x], {x, 2}]
求微分
Dt[f[x]]
求微分
x 如: 求函数 y e sin x 的二阶导数： 命令： f[x_]:=E^x*Sin[x] Dt[f[x]]
和：+ 减：－ 积：* 或 空格 商：/ 乘方：^
运算次序与一般规则一致
先乘方，后乘除，最后加减。 要改变次序用“( )” 如: (2+3-4)*5/6
四则运算与运算次序
近似运算命令“N[ ]”
为了保持精度 如果要得到更多位数的近似值，可以加上参数位数 如: N[(2+3-4)*5/6]
当数列用递推公式给出时，可以用近似方法求极限
如: 求下列数列的极限：
2 , 2 2 , 2 2 2 ,, an1 2 an
命令：x={Sqrt[2]//N}; For[i=2,i<=10,i++,x=Append[x, Sqrt[2+x[[i-1]]]]]; x
偏导数与多元函数的极值问题
偏导数与多元函数的极值问题在多元函数中，极值问题是一个重要的研究方向。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要掌握偏导数的概念和应用。
偏导数是指多元函数在某个特定变量上的导数，可以帮助我们确定函数在特定点的变化趋势和极值情况。
本文将从偏导数的基本定义开始讲解，然后探讨如何运用偏导数来求解多元函数的极值问题。
一、偏导数的基本概念和定义在一元函数中，导数衡量的是函数在某点的局部变化率。
而在多元函数中，由于存在多个自变量，我们需要定义偏导数来描述函数在某个变量上的变化情况。
对于多元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，其在变量$x_i$ 上的偏导数可以如下表示：$$\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}} = \lim_{{\Delta x_i\to0}}\frac{{f(x_1,x_2,...,x_i+\Delta x_i,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)}}{{\Delta x_i}}$$其中，$\Delta x_i$ 表示自变量 $x_i$ 的微小变化量。
换言之，我们通过固定除 $x_i$ 以外的其他变量，并让 $x_i$ 随着 $\Delta x_i$ 的趋近于零而变化，来计算函数在 $x_i$ 上的变化率。
这个变化率即为偏导数。
二、偏导数的几何意义和求导法则偏导数的几何意义是函数在某点的切线斜率，它描述了函数在某个特定变量方向上的变化速率。
对于多元函数，偏导数的求导法则与一元函数类似，包括常数倍规则、和法则、乘法规则和链式法则等。
通过这些法则，我们可以在具体问题中快速求取偏导数。
三、多元函数的极值问题在多元函数中，极值点是指函数取得最大值或最小值的点。
我们通常通过求解函数的一阶偏导数和二阶偏导数来确定极值点。
具体来说，求解多元函数的极值问题需要遵循以下步骤：1. 求解偏导数：首先，我们需要求解函数的偏导数，确定其各个自变量上的变化速率。
mathematica中求解微分方程的命令
mathematica中求解微分方程的命令
Mathematica中求解微分方程的命令是DSolve。
他可以求解一
阶和多阶的常微分方程和偏微分方程。
例如，要求解一阶常微分方程y'(x) + y(x) = 0，可以使用命令：DSolve[{y'[x] + y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]
其中，y[x]是未知函数，y'[x]表示y关于x的导数，y[0] == 1
是初始条件。
要求解二阶常微分方程y''(x) - 2y'(x) + y(x) = 0，可以使用命令：DSolve[{y''[x] - 2y'[x] + y[x] == 0, y[0] == 1, y'[0] == 0}, y[x], x]
其中，y''[x]表示y关于x的二阶导数，y'[0] == 0和y[0] == 1
是初始条件。
如果是偏微分方程，可以使用命令DSolveValue来求解。
例如，要求解二阶偏微分方程uxx[x, y] + uyy[x, y] = 0，可以使用命令：
DSolveValue[{D[u[x, y], x, x] + D[u[x, y], y, y] == 0, u[0, y] == Sin[y], u[x, 0] == Exp[-x]}, u[x, y], {x, y}]
其中，u[x, y]是未知函数，uxx[x, y]表示u关于x的二阶混合
偏导数，uyy[x, y]表示u关于y的二阶混合偏导数，u[0, y] == Sin[y]和u[x, 0] == Exp[-x]是边界条件。
第三章多元微积分实验修改后
D的边界曲线为：In[7]： =ParametricPlot[{1+Cos[s],Sin[s]},{s,0,2Pi},As pectRatioAutomatic,TextStyle {FontSize12},AxesLabel{“x”,“y”}]
y 1
0.5
0.5
1
1.5
2
x
0.5
1
2、多元函数的无条件极值与条件极值
方法一：先找出所有可疑极值点，再对每
个可疑点进行甄别，保证所有极值点都找到 。
方法二：先作图观察极值点的大致位置，
再调用求极小值命令FindMinimum求出极小 值点和极小值，如要求极大值点和极大值， 可将函数乘以-1，再对新的函数调用 FindMinimum求出极小值点和极小值，则这 个极小值点就是原来函数的极大值点，该极 小值的相反数就是原来函数的极大值.
下面计算每个可能极值点处的函数值，进行 比较，从而得出最大值和最小值 In[12]：=f[x,y]/· sol Out[12]={ 1 , 1 , e , e }
1/ 4 1/ 4
e1 / 4 e1 / 4
故最大值
最小值
f (
1
2 2 2
,
1
) f{
1 2
,
1 2 2
} e
1 4
1 4
216 Out [3] 35
即得所求的积分值为216/35
例2 求在抛物面 z x y下方，xOy平面上 方，圆柱面 x 2 y 2 内部的立体体积。 2x 解 (1)绘图
2 2
In[4]:=P=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t], r^2},{r,0,2},{t,0,2Pi}, TextStyle{FontSize12}]
多元函数的极值和极值点的计算
多元函数的极值和极值点的计算在数学中，多元函数是一种包含多个自变量的函数。
对于一元函数，我们可以通过求导或者二阶导数来计算它的极值。
但对于多元函数，如何求它的极值呢？在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值和极值点的计算方法。
一、梯度和偏导数在计算多元函数的极值和极值点时，我们需要用到梯度和偏导数的概念。
梯度是指一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，大小表示增加幅度。
对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn)，它的梯度为：∇f(x1,x2,x3,...,xn) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ∂f/∂x3,...,∂f/∂xn)其中，∂f/∂xi表示对自变量xi的偏导数。
偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数，其他自变量看做常数。
对于一个函数f(x1,x2)而言，它的偏导数为：∂f/∂x1 = limΔx1→0 [( f(x1+Δx1,x2) - f(x1,x2) )/Δx1]∂f/∂x2 = limΔx2→0 [( f(x1,x2+Δx2) - f(x1,x2) )/Δx2]二、求解多元函数的极值对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn)，它在点(x1*,x2*,x3*,...,xn*)处取得极值，当且仅当以下两个条件同时成立：1.∇f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.对任意的(x1,x2,x3,...,xn)，有f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)≥f(x1,x2,x3,...,xn)其中，第一个条件保证在这个点附近任意方向的导数都趋近于0，即它是函数曲面的一个平坦点，第二个条件保证在这个点处函数的值是一个局部极小值。
用数学符号表达，上述条件可以写成：1.∂f/∂x1(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x2(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x3(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0...∂f/∂xn(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.二次偏导数矩阵为正定或者负定，即对于任意的i和j，有∂^2f/∂xi∂xj(x1*,x2*,x3*,...,xn*)>0或者<0.其中，二次偏导数矩阵为一个n×n的矩阵，其ij位置的元素为∂^2f/∂xi∂xj。
§3 Mathematica求导数与微分
192§5 Mathematica 求导数与微分5.1 用Mathematica 求导数在Mathematica 系统中，用[]x f D ,表示()f x 对x 的一阶导数，用{}[]n x f D ,,表示()f x 对x 的n 阶导数。
在一定范围内，也能使用微积分中的撇号（撇号为计算机键盘上的单引号）标记来定义导函数，其使用方法：若()f x 为一元函数，则'[]f x 给出()f x 的一阶导函数，0()f x ¢给出函数()f x 在x=x 0处的导数值。
同样''[]f x 给出()f x 的二阶导函数。
'''[]f x 给出()f x 的三阶导函数。
例5.1 求下列函数的一阶导函数 (1) 7(), ()f x x f x ¢=求； 解:67]1[],7^[:]1[xOut x x D In ==(2) 2()sin , ()f x x x f x ¢=求 。
解:][Sin 2]cos[]2[]],[Sin *2^[:]2[2x x x x Out x x x D In +==例5.2 求下列函数的二阶导函数 (1) 7(), ()f x x f x ⅱ=求 ； 解:542]3[}]2,{,7^[:]3[xOut x x D In ==(2) 7()lg , ()f x x x f x ¢=求 。
解:][4213]4[}]2,{],[*7^[:]4[55x Log x xOut x x Log x D In +==例5.3 求下列函数在指定点处的导函数值193(1) sin (), (/2)sin t t f t f t tp -¢=+求 ；(2) 3121(), ||15x x a x f x y y x==+ⅱ=-求 和 。
解一: (1)2)2(8]8[[%]Simplify :]8[;2/./%:]7[];],[[:]6[])[Sin /(])[Sin (:_][:]5[π+==→===+-==Out In Pi t df In t t f D In t t t t t f In(2))2^/15/()3^1(:_][1:]9[x x x f In -+==];],[1[:]10[x x f D In =%;_][1:]11[==x df In];1[1:]12[df In = ];[1:]13[a df In = [%]Simplify :]14[=In231521]14[16]12[aaOut Out ++-==如上各语句中,以分号结尾的输入语句均没有相应的输出.这是因为在Mathematica 中分号有阻止屏幕输出的功能.用分号作为表达式间的分割符号还可以实现在一个输入行中输入多个表达式.解二: (1)]5[%,:]4[[%]Simplify :]3[];2/[':]2[])[Sin /(])[Sin (:_][:]1[N In In Pi f In t t t t t f In ===+-==19430262.0]4[)2(8]3[2=+=Out Out π(2)231521]7[16]6[]]['1[Simplify :]7[]1['1:]6[)2^/15/()3^1(:_][1:]5[aaOut Out a f In f In x x x f In ++-====-+==(3)]15[%,:]10[];2/['2:]9[)33^*2/(][:_][2:]8[N In Pi f In x x Cos x f In ==+==5531450930096792.0]10[431]9[3-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=Out Out π5.2 用Mathematica 求微分（待修改）在Mathematica 中，有一个函数Dt ，它代表的是全微分，在这个函数中，所给的变量都有联系。
matlab 多元函数极值并标记
matlab 多元函数极值并标记Matlab是一个功能强大的数值计算软件，可以用于解决各种数学问题，包括寻找多元函数的极值。
本文将介绍如何使用Matlab来寻找多元函数的极值，并通过标记标题的方式来展示。
我们需要定义一个多元函数。
假设我们要求解的函数是一个二元函数，即具有两个自变量的函数。
我们可以将这个函数定义为f(x, y)。
为了简单起见，我们假设这个函数是一个二次函数，即f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f。
其中，a、b、c、d、e、f 是函数的系数。
在Matlab中，我们可以使用syms命令来定义符号变量。
然后，我们可以使用f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f来定义我们的函数。
接下来，我们可以使用diff命令来计算函数的偏导数。
偏导数可以告诉我们函数在某个点的斜率，从而帮助我们确定极值点的位置。
在计算偏导数之后，我们可以使用solve命令来求解方程组。
方程组的解将告诉我们函数的极值点的坐标。
注意，我们还需要计算二阶偏导数来确定这些极值点是极大值还是极小值。
如果二阶偏导数是正的，那么这些极值点是极小值；如果二阶偏导数是负的，那么这些极值点是极大值。
接下来，我们将通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab来寻找多元函数的极值。
假设我们要求解的函数是f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy + 3x + 4y + 5。
我们可以使用Matlab的符号计算工具箱来进行计算。
我们需要定义符号变量x和y。
我们可以使用syms命令来定义这两个符号变量。
然后，我们可以使用f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy + 3x + 4y + 5来定义我们的函数。
接下来，我们可以使用diff命令来计算函数的偏导数。
我们需要计算关于x和y的偏导数。
我们可以使用diff(f, x)来计算关于x的偏导数，使用diff(f, y)来计算关于y的偏导数。
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第 943 页 共 13 页 §10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 10.1 用Mathematica作三维函数图 在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。
1 常用的三维绘图函数 Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作),(yxf的图形。 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。 Show[f1,f2,f3,…]: 将多个图形组合重新显示。
2 常用的可选项 Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。 表10-1 常用的可选项 可选项 默认值 说明 Axes True 是否绘制坐标轴 Axeslable None 坐标轴的名称。zlabel为z轴的label,即z轴的标注，label{xlabel,ylabel,zlabel}分别为x轴，y轴,z轴的标注
AspectRatio 1 作图高、宽比例，可以说明为任意值 Boxed True 绘制外框。定义False则不绘制外框 Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式，定义Identity不显示图形 PlotRange Automatic z方向的绘图范围
Shading True 表面不上色或留白 ViewPoint {1.3,-2.4,2} 观测点(眼睛观测的位置)
选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值： 第 944 页 共 13 页
表10-2 典型的ViewPoint值 ViewPoint值 观测点的位置 {1.3,-2.4,2} 默认观测点
{0,-2,0} 从前方看
{0,0,2} 从上往下看
{0,-2,2} 从前方上面往下看
{0,-2,-2} 从前方下面往上看
{-2,-2,0} 从左前方看
{2,-2,0} 从右前方看
例10.1 画出函数22sinyxz图形，并使图形表面不上色。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]
0246-1-0.50
0.5
1
0246 Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False] 第 945 页 共 13 页
0246-1-0.50
0.5
1
0246
Out[2]= -SurfaceGraphics-
例10.2 画出函数yxzcossin图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}]
0246y-1-0.500.51z0246x
Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,ViewPoint->{－1,-1,2}] 第 946 页 共 13 页
0246y-1-0.500.51z0246x
Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.3 画一单位双曲面。 解 首先，写出单位双曲面的参数方程 x=Cosh[u]*Cos[v] y=Cosh[u]*Sin[v] z=u In[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}]
-202y-2
-1
012z
-202x
Out[1]= -Graphics3D- 例10.4 画出函数11634222zyx图形。 第 947 页 共 13 页
解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u]},{u,0,Pi}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{x, y, z}]
-2-1
012x-4-2024z-202y
Out[1]= -Graphics3D- In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}]
-2-1012x-4-2024z-2
0
2y
Out[2]=-Graphics3D- 例10.5 画出由02yx与1)1(22yx所围的立体图形。 解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisplayFunction->Identity]; a2=ParametricPlot3D[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5}, DisplayFunction->Identity]; a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisplayFunction->Identity]; Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{x, y},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction] 第 948 页 共 13 页
-1012y012
3
4z
-1012x
Out[1]= -Graphics3D-
9.2 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 函数xnxDt,^实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n个不是x的函数，在Mathematica中，它有一个函数Dt，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都有联系。在Mathematica的说明中，xfD,代表了xf，而xfDt,则代表了dxdf。可以认为Dt表示了“全微分”。 例如： 1. 下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，xfDt,则代表了dxdf。
])log[],[(]1[],^[:]1[xxnDtxnxOutxnxDtInn
2. 下面是一个全微分。其中xfDt,代表了dx。 ])log[][][(]2[]^[:]2[xnDtxxnDtxOutnxDtInn
注：在Mathematica中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示： 表10-3 部分的微分函数 第 949 页 共 13 页
函数及其表达式 函数功能说明 xfD, 关于x的偏微分
[],1,2,DfxxL或,2,1,xxfDt 关于2,1xx等的混合偏微分
(),,Dfxn
轾
臌或nxfDt,, 关于x的n阶偏微分
fDt 函数的全微分
xfDt, 关于变量x的全微分
例10.6 求下列函数对x的偏导数 1. 22lnyxxu； 2. xyyxarctgu1；
3. xyeusin ； 4. u=zyx。 解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ],x]; Simplify[%]
(*通常Mathematica不自动化简微分结果，要借助于Simplify函数*)
Out[1]=221yx 第 950 页 共 13 页
In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x]; Simplify[%]
Out[2]= )22221(411yxyxyy In[3]: = D[E^Sin[y/x],x]; Simplify[%]
Out[3]= 2xxyyCosexySin In[4]: = D[(x/y)^z,x]; Simplify[%]
Out[4]= xzyxz 例10.7 设xyyxzsinsin33，求yz，1,1yxyz， 22xz，336yxz。 解 In[1]:= Clear[z,x,y]; z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/ D[z[x,y],y] Out[1]= ][3][23xSinyyCosx In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/ Out[2]= ]1[3]1[SinCos In[3]:= D[z[x,y],{x,2}] Out[3]= ][6][3yxSinxSiny In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}] Out[4]= ][6][6yCosxCos
例10.8 设vuyyuxyxz23,,ln2，求uz，vz，22vz。 解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v;