北师大版初中数学八年级上册《第四章 一次函数 2 一次函数与正比例函数》 赛课导学案_1
第4章 一次函数 思维图解+综合与实践 北师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
综合与实践
例 如图 1 所示的是甲、 乙两个圆柱形水槽的横截面 示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心 铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速 注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y（cm）与注水时间 x（min）之间的关系如图 2 所示，根据图象解答下列问题 ：
综合与实践
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四章 一次函数
6. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件 确定一次函数的表达式.
7. 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b（ k≠0）探索并理解 k＞0 和 k＜0 时图象的变化情况；理解 正比例函数.
8. 能用一次函数解决简单实际问题.
第四章 一次函数
本章内容要点 5 个关键概念：函数，函数值，一次函数，正比例函数 ，函数的图象 3 种表示方法：列表法，关系式法，图象法 2 个重要性质：一次函数的性质，正比例函数的性质 2 个常用方法：描点法，平移 2 种重要关系： 一次函数与正比例函数的关系， 一次 函数与一元一次方程的关系 4 个核心素养：抽象能力，几何直观，运算能力、模型 观念
综合与实践
［答案］解：（1）乙 甲 16 （2）由图象可知，两个水槽深度相同时，线段 ED与线 段 AB 相交， 设 AB 的函数表达式为 y1=kx+b， 将（0，14），（7，0）代入， 得 b=14，7k+b=0， 解得 k=-2，所以 y1=-2x+14； 设 ED 的函数表达式为 y2=mx+n， 将（0，4），（4，16）代入，得 n=4，4m+n=16， 解得 m=3，所以 y2=3x+4；
第四章 一次函数
课标领航·核心素养学段目标 1. 了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例. 2. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. 3. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求 函数值. 4. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间 的关系，理解函数值的意义. 5. 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初 步讨论.
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 一次函数与正比例函数
课堂检测
基础巩固题
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值．
解 ：(1)设y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3， 所以y＝3(x－3)， 所以y＝3x－9， y是x的一次函数． (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
一次函数的简单应用
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，
所以BD= 1.x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
2
B
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x,
4
2
即 h 3 x.
2
所以h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
DC
课堂检测
拓广探索题
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0）
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是正比例函数
关系式为：y=kx (k为常数，k≠0）
探究新知
思考 一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征： （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零， 常数项为零．
巩固练习
变式训练
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
北师大版八年级数学(上)第四章 一次函数 第2节 一次函数与正比例函数
入 x (元）之间的关系式；
(2)某人月收入为 4 160 元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税 19.2 元，那么此人本月工资、 薪金收入是多
练习：若 y 关于 x 的函数 y＝（a﹣2）x+b 是正比例函数，则 a，b 应满足的条件是（ ）
A．a≠2
B．b＝0
C．a＝2 且 b＝0
D．a≠2 且 b＝0
解：∵y＝（a﹣2）x+b 是 y 关于 x 的正比例函数，∴b＝0，a﹣2≠0，解得：b＝0，a≠2． 故选：D．
例 5：写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例 函数？ （1）小红去商店买笔记本，每个笔记本 2.5 元，小红所付买本款 y（元）与买本的个数 x （个）之间的关系． （2）圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系．
解：y＝2x，y＝﹣4x，y＝﹣6x 都是正比例函数，y＝﹣6x+5 为一次函数．故选：D．
例 4：若函数 y＝（m+1）x+m2﹣1 是关于 x 的正比例函数，则 m 的值（ ）
A．m＝﹣1
B．m＝1
C．m＝±1
D．m＝2
解：∵y＝（m+1）x+m2﹣1 是关于 x 的正比例函数，∴m2﹣1＝0，m+1≠0， 解得：m＝1．故选：B．
北师大版八年级数学（上）
第四章 一次函数
4.2 一次函数与正比例函数
一次函数与正比例函数的定义
某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg,
北师大版八年级上册第四章一次函数第二节函数一次函数与正比例函数教案
第四章一次函数第二节函数一次函数与正比例函数教案一、教学目标1. 理解一次函数和正比例函数的概念和性质。
2. 掌握一次函数和正比例函数的图像和性质。
3. 能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：一次函数和正比例函数的定义、图像和性质。
2. 教学难点：运用一次函数和正比例函数解决实际问题，以及在解题过程中灵活运用其性质。
三、教学过程1. 引入新课：通过实例引入一次函数和正比例函数的概念，让学生了解其基本特征和意义。
2. 基础知识讲解：a. 介绍一次函数和正比例函数的定义及表达式，让学生明确自变量和因变量的关系。
b. 分析一次函数和正比例函数的图像，包括其形状、交点、与坐标轴的关系等，并解释其物理意义。
c. 介绍一次函数和正比例函数的性质，包括增减性、奇偶性等，并给出相应的例题进行讲解。
3. 举例练习：给出实际问题的例子，让学生运用一次函数和正比例函数的知识进行解决。
例如，行程问题、价格问题等。
4. 巩固练习：通过小组讨论、个人作业等方式，让学生进行练习和巩固，加深对知识的理解和掌握。
5. 课堂总结：回顾一次函数和正比例函数的概念、图像、性质及实际应用，强调其重要性和应用价值。
四、教学方法和手段1. 讲解法：通过讲解一次函数和正比例函数的基本概念和性质，使学生理解其基本原理。
2. 实例分析法：通过分析具体问题的例子，帮助学生理解如何运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
3. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进相互交流和学习，加深学生对知识的理解和应用。
4. 互动问答法：鼓励学生提出疑问，组织课堂讨论，激发学生的学习热情和参与意识。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 基础练习：选择一些基本的题目，让学生练习一次函数和正比例函数的概念和性质。
2. 提高练习：给出一些较为复杂的实际问题，让学生在课堂上进行小组讨论并解决。
3. 课后作业：布置一些与一次函数和正比例函数相关的练习题，让学生在课后进一步巩固所学知识。
北师大版八年级数学上册第四章4.2一次函数与正比例函数课件
例4.我国目前的个人工资、薪金所得税征收办法是：月收入 不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过 6500元的部分征收3%的所得税…如果某人月收入6000元.他 应缴纳个人工资、薪金所得税为（6000-5000））×3%=30 （元）. （1）当月收入超过5000元而又不超过6500元时，写出应缴 纳所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式. （2）某人月收入为5820元，他应该缴纳所得税多少元？ （3）如果某人本月缴所得税33.6元，那么此人本月工资、 薪金是多少以元？
解：(1) y=80x+100, y是x的一次函数
(2)当x=0.5时， y=80×0.5+100=140
3.根据下表写出y与x之间的关系式是： __y_=_3_x_+_1___，y是否为x的一次函数？y是否
为x有正比例函数？
x
-2 -1 0
1
2
… …
y
-5 -2 1
4
7
… …
y是x一次函数, y不是x的正比例函数
解：S=x(30-x)
因为33.6<45，所以此人的工资，薪金大于5000元小于6500元 (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
6<45，所以此人的工资，薪金大于5000元小于6500元 我国目前的个人工资、薪金所得税征收办法是：月收入不超过5000元的部分不收税； (2) 你能写出x与y的关系吗?
售价 1.5 3 （元）
1.5 2 4.5 6
2.5 3 7.5 9
3.5 … 10.5 …
如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价 用y（元）表示，则y与x的关系式为__y_=_3_x____；
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第四章 一次函数 ２．一次函数与正比例函数
一、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成1,1xyxy等，培养学生良好的书写习惯.
二、教学任务分析 《一次函数与正比例函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.
本节课教学目标分析是：
(1)理解一次函数和正比例函数的概念； (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. (5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣. (6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 本节课教学重点是： 理解一次函数和正比例函数的概念. 本节课教学难点是： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
三、教学过程设计 本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业.
第一环节：复习引入 内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题: (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识. 效果： 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标. 若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题) ①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么? ②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?
第二环节：新课讲述 内容： 例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)你能写出x与y之间的关系式吗? 答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) 30.5yx=+. 例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余汽油量y/L (2)你能写出x与y之间的关系式吗? (3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 答案 (1) 100、91、82、73、64、46； (2) x与y之间的关系式为 1000.18yx=-； (3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零. 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念: 一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成ykxb=+(,kb为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当0b=时,则y是x的正比例函数. 意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念. 效果： 从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力. 主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.
第三环节：巩固练习 内容: 1.在函数(1)3yx=,(2)5yx=-,(3)4yx=-,(4)223yxx=-, (5)12yx=-- (6)223yxx=- (7) y＝x－9（8）22yx= （9）y＝2x中是一次函数的是 , 顺势引出正比例函数的定义 意图：对本节知识进行巩固练习. 效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果. 在第3题中,学生易忘记3k+≠0的条件,而错误的将答案写成±3.
第四环节：知识提高 内容： 例3 写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系； (3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y与x的关系. 答案: (1)由路程=速度×时间,得60yx=,y是x的一次函数,也是x的正比例函数； (2)由圆的面积公式,得2yxp=,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数； (3)这棵树每月长高2厘米,x个月长高了2x厘米,因而5020yx=+,y是x 的一次函数,但不是x的正比例函数. 意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力. 充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展. 效果： 根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分. 第五环节：反馈练习 内容:1. 2212123142yxxyryxyxyxst①
②
③④⑤⑥ 2 . 先请奇数排的同学们在导学案上自己写出两个一次函数，另 一排同学说出其中的k与b. 然后对调。 3 . 如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发， 以80千米/时的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时间， y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式， 并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值 意图：对本节知识进行巩固练习. 效果：学生基本能较好地独立完成练习题,收到了较好的教学效果. 第六环节: 课堂小结 内容: 这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数，只要解析式可以表示成ykxb=+（,kb为常数，k≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0b=时的特殊情形.（方式：师生互相交流总结.） 目的：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识. 实际效果：学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应做适当补充.
第七环节：布置作业 1．根据下表写出,xy之间的一个关系式. x 1- 0 1 2 3
y
2. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元. （1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式； （2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 3．某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元.按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题. 四、教学设计反思 1．本课时在初中数学学习中的重要性 函数是初中阶段数学学习的一个重要内容，学生又是第一次接触函数，充分考虑学生的接受能力，本节从生动有趣的问题情景出发，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现