2016-2017学年高中数学人教版选修2-2配套练习1.7.1定积分在几何中的应用.doc

1.7.1 定积分在几何中的应用明目标、知重点会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f(x)dx.2．当x ∈[a ，b]时，若f(x)<0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f(x)dx.3．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx.(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10xdx －ʃ10x 2dx＝23x 32|10－13x 3|10 ＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)dx －ʃ2－3(x 2－4)dx＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x)|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S. 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2＝ʃ402xdx ＋[]ʃ 842xdx －ʃ 84(x －4)dx＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则 S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)dy ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x)]dx ＋ʃ31[(2－x)－(－13x)]dx ＝ʃ10(x ＋13x)dx ＋ʃ31(2－x ＋13x)dx ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A(x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C(x 02，0)，设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，∵S 曲边△AOB ＝ʃx 00x 2dx ＝13x 3|x 00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC|·|AB|＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. ∴x 0＝1，从而切点为A(1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f(x)－g(x)]dx S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)dx① ②S ＝ʃ41f(x)dx －ʃ74f(x)dx S ＝ʃ a 0[g(x)－f(x)]dx ＋ʃ ba [f(x)－g(x)]dx③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 D解析 ①应是S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx ，②应是S ＝ʃ8022xdx －ʃ84(2x －8)dx ，③和④正确，故选D.2．曲线y ＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案 B解析 S ＝π20⎰cos xdx －3π2π2⎰cos xdx＝sin x|π20－sin x|3π2π2＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)．∴S ＝ʃ20(2x －x 2)dx ＝(x 2－13x 3)|2＝(4－83)－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析 由图形可得S ＝ʃ10(x 2＋4－5x)dx ＋ʃ41(5x －x 2－4)dx ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋ (52x 2－13x 3－4x)|41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. [呈重点、现规律]对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、基础过关1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．ʃc a f(x)dxB ．|ʃc a f(x)dx|C ．ʃb a f(x)dx ＋ʃc b f(x)dxD ．ʃc b f(x)dx －ʃb a f(x)dx答案 D解析 ∵x ∈[a ，b]时，f(x)<0，x ∈[b ，c]时，f(x)>0，∴阴影部分的面积S ＝ʃc b f(x)dx －ʃb a f(x)dx.2．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623答案 C解析 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x24dx ＝⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83. 3．若y ＝f(x)与y ＝g(x)是[a ，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫b a[f(x)－g(x)]dx B ．∫b a[g(x)－f(x)]dx C ．∫b a|f(x)－g(x)|dxD.||∫ba[f(x)－g(x)]dx答案 C解析 当f(x)＞g(x)时， 所求面积为∫b a[f(x)－g(x)]dx ；当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫b a[g(x)－f(x)]dx. 综上，所求面积为∫b a|f(x)－g(x)|dx.4．曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43答案 D解析 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2ʃ10(1－x 2)dx ＝2(x －13x 3)|10 ＝2×23＝43.5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．答案 ʃ10(x －x 3)dx解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝ʃ10(x －x 3)dx.6．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝______.答案 14解析 图形如图所示：S ＝ʃ10x 2dx －ʃ1014x 2dx ＝ʃ1034x 2dx ＝14x 3|10＝14. 二、能力提升7．设f(x)＝错误!则ʃ错误!f(x)dx 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在 答案 C解析 数形结合，如图，ʃ20f(x)dx ＝ʃ10x 2dx ＋ʃ21(2－x)dx＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56.8．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12 C ．1 D.23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x<1c 时，x 2>cx 3，∴S ＝1c ⎰(x 2－cx 3)dx ＝(13x 3－14cx 4)|10c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x ，y)，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝ʃ103x 2dx ＝x 3|1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13. 10．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，y ＝0围成图形的面积．解 作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ208xdx ＋ʃ62(6－x)dx＝8×2332x |20＋(6x －12x 2)|62 ＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)] ＝163＋8＝403. 11．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C(2,2)， ∴S ＝S △ABC －ʃ31(－x 2＋4x －3)dx ＝12×2×2－⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx.S 1＝ʃt 0(tx －x 2)dx ＝16t 3， S 2＝ʃ2t (x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)． (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3 ＝13t 3－2t ＋83，S′＝t 2－2，令S′＝0得t 2－2＝0.因为0<t<2，所以t ＝2，因为0<t<2时，S′<0；2<t<2时，S′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与拓展13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a<0时，S ＝ʃ0a (x 2－2x)dx＝(13x 3－x 2)|0a ＝－a 33＋a 2 ＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a<0，∴a ＝－1.(2)当a>0时，①若0<a≤2，则S ＝－ʃa 0(x 2－2x)dx＝－(13x 3－x 2)| a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0即(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a>0，∴a ＝2.②当a>2时，S ＝－ʃ20(x 2－2x)dx ＋ʃa 2(x 2－2x)dx＝－(13x 3－x 2)|20＋(13x 3－x 2)|a 2 ＝－(83－4)＋(13a 3－a 2－83＋4) ＝43＋(13a 3－a 2－83＋4)＝43.∴13a 3－a 2＋43＝0 ∴a>2不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.。