轴对称与最值问题-文档资料
对称问题和最值问题
补充练习
1、如果AC 0, BC 0, 则直线Ax By C 0 不通过（） ( A)第一象限( B)第二象限(C )第三象限( D)第四象限
2、已知 By C 0的图形如下，则（） Ax
A、若C>0;0,B>0 C、若C<0,则A>0,B<0 D、若C<0,则A>0,B>0 y x
初中我们证明过这样一个问题：
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于
一腰上的高。
你能用解析几何的方法证明此问题吗？
③点C（a,b)关于直线y=m的对称点为 C‘（a,2m-b)
④点D（a,b)关于直线x=n的对称点为 D‘（2n-a,b) ⑤点E（a,b)关于直线y=x的对称点为 E‘（b,a) ⑥点F（a,b)关于直线y=-x的对称点为 F‘（-b,-a) ⑦点P（a,b)关于直线y=x+m的对称点为 P‘（b-m,a+m) ⑧点Q（a,b)关于直线y=-x+n的对称点为 Q‘（-b+n,-a+n)
和l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程。
例：一等腰三角形的底边所在直线l1的方程为x+y-1=0,
一腰所在直线l2方程为x-2y+1=0,又另一腰所在直 线l3过点（-2，0），求l3的直线方程。
补充练习
下列命题是真命题的是 A、 经 过 （x 0，y 0 的 直 线 都 可 以 写 成 P ） y - y 0 k ( x x0 ) B、 经 过 任 意 两 个 不 同 点P1 x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y2 ) 的（ 的 直 线 都 用 - y 1 )( x 2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) (y 表示 x y C、 不 经 过 原 点 的 直 线 可 以 用 1表 示 都 a b D、 经 过 定 点 (0, b )的 直 线 都 可 以 用 kx b表 示 A y
轴对称与长度最值问题
轴对称与长度最值问题长度(距离)最值问题：点——点线——线点——线两点一线两线一点两线两点典型例题【例1】⑴如图，在l上找一点P，使P A＋PB最小。
⑵如图，在l上找一点P，使P A＋PB最小。
⑶如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使△PCD的周长最小。
⑷如图，点C、D在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点F，在OA边上求作一点E，使四边形CEFD周长最小。
【例2】如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M、N分别是射线OA、OB 上的动点，求△PMN的最小周长。
【例3】如图，设正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，P A＋PM的最大值和最小值分别记为s和t。
求s2－t2的值。
【例4】如图：点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，120AMD ∠=，° 证明：12AB BC CD AD++≥【例5】已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，BD 为AC 上的高，其中AD ＝2，CD ＝3，求BD 的长。
课后习题1．在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形 ②两个关于直线l 对称的图形是全等形 ③等边三角形是轴对称图形 ④线段有三条对称轴 正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42．如图，点A 和点B 不在直线l 上，它们到直线l 的距离都等于2，且AB ＝4，又已知点P 在直线l 上，则P A ＋PB 的最小值为( )lABA ．4B ．5 C．D．3．如图，点A 和点B 不在直线l 上，它们到直线l 的距离都等于1，又已知点P 在直线l 上，且P A ＋PB 的最小值为4，则AB ＝( )lABA ．3B ．2 C．D．4．如图，点P 在锐角∠AOB 的内部，OP ＝6，且P 到OB 、OA 边的距离都等于3，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使△PCD 的周长最小值为( )BA ．6B ．7C．D．5．某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA =千米，12BB =千米，且114A B =千米．居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图所示，则最短线路的长度是()千米。
轴对称最值问题(讲义)(含答案)
轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
轴对称最值
作法
图形
原理
在直线 上求点A，在 上求B，使PA＋AB的值最小．
作P点关于 的对称点 ，作 B⊥ 于B，交 于A．
点到直线的距离，垂线段最短．
【问题8】
作法
图形
原理
A为 上一定点，B为 上一定点，在 上求点M，在 上求点N，使AM＋MN＋NB的值最小．
作点A关于 的对称点 ，作点B关于 的对称点 ，连接 交 于M，交 于N．
轴对称的应用——最值问题
【十二基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理
在直线 上求一点使PA＋PB的值最小．
连接AB，与直线 交于点P．
两点之间，线段最短．
PA＋PB的最小值为线段AB的长．
【问题2】将军饮马”
作法
图形
原理
在直线 上求一点使PA＋PB的值最小．
作B关于直线 的对称点 ，连接A ，与交于点P．
17．(17－18－江汉－期中T24)如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD＋MD的最小值为cm．
18．(17－18－东西湖－期中T16)如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠OPM＝α，∠PON＝β,当MP＋PQ＋QN最小时，则α，β之间的相等数量关系是
9．(17－18－华一寄－12月T16)如图，直线AB与x轴交于点A(2，0)，与y轴交于点B(0，2)，D为OC的中点，P是线段BC上一动点，则当OP＋PD值最小时点P的坐标为__________
10．(17－18－粮道街－12月T16)(2017－2018粮道街中学八上月考)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为___________
(完整word版)与轴对称相关的最值问题
图（5）CEDPBA 与轴对称相关的最值问题【典型题型一】:如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小.【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
【练习】1、(温州中考题）如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）解:如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。
这时三角形CBE 1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。
所以选(D ）。
2、如图（13),一个牧童在小河南4英里处牧马,河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（A ） 4+185英里 （B ） 16英里（C ） 17英里 （D) 18英里3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。
已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x.请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？4．如图，在△ABC 中,AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C ’，连接DC'交 AB 于点E,则线段DC ’的长就是EC+ED 的最小值。
在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得,DC'=错误!5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点,则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小 作点B 关于AC 的对称点B',连接B ’E ，交AC 于点P,则B’E = PB'+PE = PB+PE B ’E 的长就是PB+PE 的最小值 在直角△B'EF 中，EF = 1,B'F = 3根据勾股定理，B'E = 错误!6．如图所示,正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小,则这个最小值为（ ） A ．2错误! B ．2错误! C ．3 D ．错误!即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P,则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 37．如图,若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm,BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点,求PC+PD 的最小值; 作点C 关于BD 的对称点C ’，过点C'，作C ’B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C ’E 就是PE+PCFP B'EＡＣＢＣ'DＡＣＢEPE BCD A H PEC'D ACB的最小值直角△BCD 中，CH = 错误!错误！未定义书签。
利用轴对称求最值
利用轴对称求最值轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最值问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最值问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。
概括一些常见的题型。
一、基础知识如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。
解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。
A 1二、典型例题：A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD 中，∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。
解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于直线AC 的对称点为点D,连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32AB LP∴PM+PM 的最小值为32.（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。
P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。
解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E,过点E ，作EF ⊥AB ，A ′E=2243 =5∴PA+PE 的最小值为5。
（3）以正方形为载体的最短距离问题： MC AA 1 ED如图所示，正方形ABCD 的边长为2，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上找一点P,使PD+PE 最小，则这个最小值为_________.解：∵正方形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于点D 关于AC 对称∵BE 即为PD+PE 的最小值∴PD+PE 的最小值为2(4) 以圆形为载体的最短距离问题： 如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠ABC=60°，P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值。
专题：轴对称模型求最值
专题：轴对称模型求最值模型1：模型3：模型例题：例题1．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.解答：如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．△点P 关于OA 的对称点为C ，△PM=CM ，OP=OC ，△COA=△POA ； △点P 关于OB 的对称点为D ，△PN=DN ，OP=OD ，△DOB=△POB ，△OC=OD=OP=3，△COD=△COA+△POA+△POB+△DOB=2△POA+2△POB=2△AOB=60°，△△COD是等边三角形，△CD=OC=OD=3．△△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．例题2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，求△PMN周长的最小值2解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，OM，ON，∵N关于AB 的对称点为N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB 的中点，∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4,∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5例题3．如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a ＝时，AC＋BC的值最小．例题3如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P 到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．3解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．例题4：如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB ＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.4解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，例题5：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．:5解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝例题6：如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，求PM+PN的最小值6解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．精品变式练习：1.如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，求DQ ＋PQ 的最小值为 ．2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．2如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF，连接EF ，则线段EF 的长为3.图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值为：4.在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．5如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为．6.如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．7 （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN 的最小值．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．8如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为．9如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11 10已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)，点H 、B 关于直线l：y x =+对称.(1)求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN 、NM 、MK ，求HN+NM+MK 的最小值.。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
轴对称——最值问题(通用版)(含答案)
轴对称——最值问题（通用版）试卷简介:检测学生对于最值问题中一类题目的做题思路，如奶站问题，天桥问题等，需要学生利用轴对称将线段和（差）进行转化，借助相关定理（如两点之间线段最短，三角形三边关系等）解决问题。
一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cmA. B.15C. D.12答案：B解题思路：解决蚂蚁爬最短路线问题，画出圆柱的侧面展开图，找到A，C两点对应的位置．沿着A点所在的母线展开，得到下图：其中EA=CD=5cm，BD=9cm．因为题干条件给出的点A和点C分别是杯外和杯内的点，所以问题转化成在线段EF上找到一点P，使得PA+PC的值最小．解法如下：如下图，作点A关于EF的对称点．的长度即为要求的最短距离，过C点作EB的垂线通过勾股定理易求得．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题2.如图，在锐角三角形ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D．若M，N分别是线段AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )A.4B.5C.6D.2答案：A解题思路：如图，作点N关于AD的对称点E，则点E落在直线AC上，此时（当B，M，E三点共线时等号成立），由垂线段最短可知，当BE⊥AC，点M是BE和AD的交点时，BM+MN的值最小，此时．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题3.如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC 上的动点，则PE+PF的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，作点F关于AC的对称点，则点落在CD边上，且．此时．根据两点之间线段最短可得，的最小值为的长度．如图，过点作⊥AB于点G．根据题意可得，，∴．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A.1B.C.2D.答案：B解题思路：如图，作点Q关于BD的对称点，则点落在AD边上，且．∵点Q是CD上任意一点，∴点是AD边上任意一点．题目转化为求的最小值，根据题意可知，当⊥AD时，最小．如图，过点C作CE⊥AD，则．∵四边形ABCD为菱形，∴∠CDE=180°-∠A=60°，CD=AB=2，在Rt△CDE中，．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题5.如图，两点A，B在直线的异侧，点A到的距离AC=2，点B到的距离BD=1，CD=3，P 在直线上运动，则的最大值为( )A. B.C.3D.答案：D解题思路：要求最大值，使点在直线同侧．如图，作点B关于直线的对称点，连接并延长，与直线的交点即为使得取最大值时对应的点P．此时．如图，过点作于点E．易知则四边形为矩形，∴，，∴AE=1．在中，，AE=1∴，即的最大值为．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题6.如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是( )A. B.（1，0）C. D.答案：D解题思路：由题意，得，，如图，连接AB并延长，与x轴的交点即为线段AP与线段BP之差达到最大时的点P，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐标代入得：，解得：，∴直线AB的解析式是，当y=0时，，∴，故选D试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理7.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=( )A.6B.8C.10D.12答案：B解题思路：如图，将点A向下平移距离为4，到，连接交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a于点M，连接AM．∵a与b之间的距离为4，∴，∴四边形是平行四边形，∴．此时，其值最小．过点B作BE⊥，交的延长线于点E，易得AE=2+4+3=9，，，在Rt△AEB中，，在中，．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题8.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是( )A.10B.15C.20D.30答案：A解题思路：点P是定点，点Q和点R是在定直线运动的动点．如图，分别作点P关于射线OA，OB的对称点，连接，使得三角形的三边转化为首尾相接的折线，此时△PQR的周长即是折线的长，由于折线两端是定点，所以当点Q、R分别是与OA、OB的交点时，最小，为线段的长，如图所示．如下图，连接，由对称可知，，，∴，∴是等边三角形，∴即△PQR最小周长为10试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题9.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点．在AC上找一点M使EM+MN的值最小，则最小值为( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：如图，作点N关于AC的对称点，连接交AC于M，连接MN，此时EM+MN的值最小．∵AD∥BC，AD=DC=4，∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∴点N关于AC的对称点在CD上，．又∵DC=4，∴为CD中点，∴为梯形ABCD的中位线，∴，∴EM+MN最小值为．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最短路线问题10.如图，在平面直角坐标系中，AO=BO=8，C是BO边的中点，连接AB，D是AB边上一动点，则DC+OD的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：点C和点O是定点，点D是AB边上一动点，作点O关于AB的对称点，将线段转化即可．如图，作点O关于AB的对称点E，连接EC交AB于点D，连接DO，此时点D满足DC+DO 最小，为EC的长．∵△ABO是等腰直角三角形，由对称可知，连接EA，EB，四边形EBOA是正方形，如图所示在Rt△EBC中，EB=BO=4，∴即DC+OD的最小值是试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题。
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1
1在直线l上求一点P使PA+PB的和最 小
2
2在l上找一点P,使PA+PB最小
3
3在直线 l1、l2上分别求点M、N，使 △PMN的周长最小
4
4在直线 l1、l2上分别求点M、N，使四边 形PMNQ的周长最小
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5在直线l上求两点M、N（M在N左侧） 使得MN=a,并使AM+MN+NB最小
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6在直线l上求一点P,使|PA-PB|最大
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7在直线l上求一点P,使|PA-PB|最大
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8在直线l上求一点P,使|PA-PB|最小
9
9点P在锐角∠AIB内部，在IB边上求作一 点D，在IA边上求作一点C，使PD+CD 最小
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