第十一章线性规划问题概述
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线性规划及其发展概况线性规划及其发展概况摘要本文初步阐述了线性规划产生的历史、社会背景,发展概述,以及线性规划在现实生活中的广泛应用及意义．以科学发展观的立场看线性规划在全球化过程中的巨大推动作用,特别是在合理配置资源方面所发挥的作用．从如何建立线性规划问题的数学模型出发,进而对线性规划有个理性的、深层次的认识．分析总结了线性规划问题中的几种基本解法的优、缺点,以及提出了新的求解线性规划问题的方法．关键词：线性规划；数学模型；解法Linear programming and its development surveyABSTRACTThis article elaborated initially the linearprogramming produces the history, the social background, the development outline, as ming in the real life ming in the globalizationprocess huge impetus function, ho establishes the linear programming question the mathematical model to embark, then had rationally to the linear programming, the deep level understanding. Analysis summarizes in linear programming question several kind of basic solutions to be superior, the shortcoming, as ming question method.Key ming;mathematical model; solution 目录摘要................................................................................................１前言................................................................................................２正文１线性规划理论的产生及其发展背景...................................................３２线性规划问题及其数学模型............................................................５３线性规划问题的基本解法...............................................................９3.1 图解法.................................................................................... ９ 3.2 单纯形法 (1)03.2.1 基B的典式的引入.....................................................................103.2.2 单纯形法 (123).3 人工变量法................................................................................. 153.3.1 两阶段法 (1)53.3.2 大M法.................................................................................... 163.3.3 对人工变量法的几点体会...............................................................163.4 改进单纯形法.............................................................................. 163.4.1 改进单纯形法(1)..................................................................... 163.4.2 改进单纯形法(2)..................................................................... 173.5 对偶单纯形法 (18)3.6 改进的对偶单纯形法的思想及迭代步骤……………………………………… 193.6.1 改进对偶单纯形法(1)……………………………………………………………193.6.2 改进对偶单纯形法(2)………………………………………………………… 213.6.3 改进对偶单纯形法与原始对偶单纯形法的比较…………………………………224 线性规划的应用领域和主要发展方向……………………………………………… 225 结语…………………………………………………………………………………23摘要在数学史上,非欧几何占有特殊的地位.人们常将非欧几何引起的变革与哥白尼的革命相比拟.本文以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨其对对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；也研究了其对数学科研者、数学教育者、中学生、高校学生的启示。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
[理学]1线性规划
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2019年2月18日
经济管理学院
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---第 1 章 线性规划---
1.1
一般线性规划问题及数学模型（3）
1.1.1 问题的提出 例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经A、B、C、D四 种不同设备上加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设 备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能 使企业获利最大?
2 x1+2 x2 12 x1+2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x10， x2 0
经济管理学院
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2019年2月18日
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1.1.2 线性规划问题的一般数学模型
1.相关概念
（1）决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变 量。
（2）目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达 式。
2019年2月18日
3 7.4
0
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经济管理学院
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模型:
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设 xj 为第j种方案用料的数量,则 Min z=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5 st. x1+2x2 + x4 =100 2x3+2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100 xj0, (j=1,2,---,5)
2019年2月18日
经济管理学院
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---第 1 章 线性规划---
模型：
设 第j 种硫酸需购买 xj 吨，则 Min z=400x1+700x2+1400x3+1900x4+2500x5 st. x1+x2+x3+x4+x5=100 30x1+45x2+73x3+85 x4+92x5=10080 x10, x20, x30, x40, x50
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在许多领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的应用，并分为五个部分进行阐述。
一、生产计划的优化1.1 生产成本最小化：线性规划可用于确定生产计划，以最小化生产成本。
通过设定生产量的变量和成本的约束条件，可以得到最优的生产计划。
1.2 资源分配优化：线性规划可以帮助确定资源的最优分配，以满足生产需求。
通过考虑资源的供应量和需求量，可以得出最佳的资源分配方案。
1.3 生产效率提升：线性规划可以优化生产过程，提高生产效率。
通过考虑生产线上的各个环节和资源的利用率，可以得出最佳的生产安排，从而提升生产效率。
二、运输问题的解决2.1 最优运输方案：线性规划可用于解决运输问题，以确定最佳的运输方案。
通过考虑运输成本、运输量和运输距离等因素，可以得出最优的运输方案。
2.2 供应链优化：线性规划可以优化供应链的运作，以提高运输效率和降低成本。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系和需求，可以得出最佳的供应链优化方案。
2.3 库存管理：线性规划可用于优化库存管理，以最小化库存成本和满足需求。
通过考虑库存量、订购量和供应量等因素，可以得出最佳的库存管理方案。
三、资源分配问题的解决3.1 人力资源优化：线性规划可以优化人力资源的分配，以满足不同部门和项目的需求。
通过考虑人员的技能、工作量和工作时间等因素，可以得出最佳的人力资源分配方案。
3.2 资金分配优化：线性规划可用于优化资金的分配，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑不同项目的收益和成本，可以得出最佳的资金分配方案。
3.3 能源利用优化：线性规划可以优化能源的利用，以提高能源效率和降低能源成本。
通过考虑不同能源的供应量和需求量，可以得出最佳的能源利用方案。
四、市场营销策略的制定4.1 定价策略优化：线性规划可用于优化产品定价策略，以最大化利润或市场份额。
第一章 线性规划问题
x4 2
x5 4
x6 5
运输问题的数学模型 例2 运输问题的数学模型
min f =12x1 +24x2 +8x3 +30x4 +12x5 +24x6
x1 + x2 + x3 ≤ 4 库存量 x4 + x5 + x6 ≤ 8 x1 + x4 ≥ 2 s.t. 需求量 x2 + x5 ≥ 4 x3 + x6 ≥ 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 运量非负
4 4 x1
0
3
目 函 : c = 5x1 + 2x2 标 数
C/2为直线与 为直线与y 为直线与 轴的交点 是一簇斜率为是一簇斜率为 5/2的平行直线 的平行直线 族
c 5 变 为 x2 = − x1 形 ： 2 2
图解法－ 图解法－例1
如图所示: 如图所示
x2
8
目标函数: c = 5x1 + 2x2
问如何安排计划可使利润最大?
例1、生产计划问题 、
Ⅰ A1 A2 A3 2 1 0
Ⅱ 1 0 1
现有原材料
8 3 4
例1、生产计划问题的数学模型 、
解 : 设生产 Ι, ΙΙ 两种产品分别为x1 , x2 吨,
max f= 5x1 +2x2 2x1 + x2 ≤ 8 s.t . x1 ≤3 x2 ≤ 4 x1，x2 ≥ 0 ，
0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
例3 下料问题的数学模型
设xi 表示按第i 种办法下料的原材料的根数, 则问题的线性规划模型为:
min f =0.1x1 +0.3x2 +0.9x3 +0x4 +1.1x5 +0.2x6 +0.8x7 +1.4x8 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥100 2x2 +3x3 +3x5 + 2x6 + x7 ≥100 s.t. x1 + x3 +3x4 + 2x6 +3x7 + 4x8 ≥100 xj ≥ 0, j =1,2,3,4,5,6,7,8; xj 取整
线性规划(完整版本)
2 线性规划基本概念
生产计划问题
➢如何合理使用有限的人力，物力 和资金，使得收到最好的经济效益。 ➢如何合理使用有限的人力，物力 和资金，以达到最经济的方式，完 成生产计划的要求。
例1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/
个，生产桌子和椅子要求需要木工和油 漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要 木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月 可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每 月的销售收入最大？
决策变量、约束条件、目标函数
3 线性规划问题的数学模型
一、问题的提出
解：
例2 某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单位产品 利润
产品 资源
I
设备
1
材料 A
4
材料 B
0
单位利润
（元）
2
可利用
II
资源
2
8
0
16
4
12
3
问：应如何安排生产计划，才能使 总利润最大？
1.决策变量：设产品I、II的产量分
别为 1、x2
2.目标函数：设总运费为z，则有： max z = 2 x1 + 3 x2
3.约束条件：
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1， x2≥0
例3 营养配餐问题 假定一个成年人每天需要从食物中
获得3000千卡的热量、55克蛋白质和 800毫克的钙。如果市场上只有四种食 品可供选择，它们每千克所含的热量 和营养成分和市场价格见下表。问如 何选择才能在满足营养的前提下使购 买食品的费用最小？
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a1x1+a2x2+...+anxn≤b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、销售数量等。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的形式，并确定系数。
3. 约束条件：根据问题要求确定约束条件的形式，并确定系数和常数。
4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即xi≥0。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来求解最优解。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更加复杂，求解时间也更长。
五、应用案例1. 生产计划：某公司有两种产品A和B，每单位产品A需要2小时加工时间和3小时装配时间，每单位产品B需要1小时加工时间和2小时装配时间。
公司每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间可用。
产品A的利润为100元，产品B 的利润为80元。
如何安排生产计划，使利润最大化？2. 资源分配：某公司有三个项目需要分配资源，每个项目需要的资源量不同。
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第十一章 线性规划问题概述 11.1 线性规划问题举例及数学模型 例11.1.1．（生产安排问题）某厂生产A,B两种产品。生产一吨A需用煤九吨，电力4千瓦，劳动力三个（以劳动日计算）；生产一吨B需用煤3吨，电力五千瓦，劳动力10个。已知一吨A可获利C1元，一吨可获利C2元。该厂现有煤360吨，电力200千瓦，劳动力300个，问：生产A,B各多少吨获利最大，试建立这一问题的数学模型。
解：首先列出数据表： 表11.1.1
原料种类 单位产品所需原料（单位） 原料总数 A B
煤 9 4 360 电力 4 5 200 劳动力 3 10 300 收益 C1 C2
设生产A 为 吨，B为 吨，而现在煤，电力，劳动力的消耗均有限制，所以应满足限制条件： 煤耗： 电耗： 劳动力耗： 生产数量：
注意：约束条件两边单位一致。从而此问题的数学模型为：求一组变量 ， 值，使满足：
例11.1.2．设有钢材150根，长15米，需轧成配套钢料。每套由7根2米长与2根7米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少（设不计下料损耗）？
解：依题意，每根钢材的下料有三种可能情形： 1）截7米长0根，2米的7根，余1米废料。 2）截7米长1根，2米长4根，无废料。 3）截7米长2根，2米长0根。余1米废料。 设用第 截法，用去钢材 根（j=1，2，3）。则这批钢材截成7米长的钢梁为 根，2米长的 根，废料总长 米.于是，得出问题的数学模型为： 求一组变量 , , ,的值，使满足：
（根数限制） （钢铁限制） （配套限制）
并且使废料总长 最少。 例11.1.3 （营养问题或配料问题）一个简化了的小鸡食物配方例。假定每天需要的混合司料质量是100斤，这分事物必须包含： 1） 至少0.8%但不超过1.2%的钙，2） 至少22%的蛋白质，3） 至少5%的纤维素。主要配料是：石灰石，谷物，大豆粉，其营养成分如下：
表11.1.2
配料 每斤配料中的含量 每斤成本 钙 蛋白质 纤维
石灰石 0.380 0.00 0.00 0.164 谷物 0.001 0.09 0.02 0.463 大豆粉 0.002 0.50 0.08 1.250
问应如何处理配料，使在营养和物质条件均满足的情况 解：设生产100斤饲料，需用 斤石灰石， 斤谷物， 斤大豆粉，于是可找出问题的模型： 求 的值最小 满足条件： 由以上几个例子，我们看到，所建立的数学模型其目标函数和约束条件均是关于未知变量的线形函数。目的是要求目标函数在约束下的极大或极小。我们称这样一类模型为线性规划模型。
建立数学规划模型主要由以下三个步骤（隐含着三个要素） 1．确定决策变量，亦即选取适当的量为问题的待确定量，这是问题的基础。 2．建立适当的约束条件。 3．建立目标函数。 下面我们再举一些例子说明如何建立线性规划模型。 例11.1.4（装配成套）某产品的一个单件包括四个A个零和三个B零件。这两种零件由两种不同原料制成，而这两种原料可利用的数额分别为100个单位和200个单位。由三个车间按不同的方法制造。下面表格给出每个生产班的原料耗用量和每种零件的产量。目标是确定每个生产班数使产品得配套数最大？
表11.1.3
车间 每班进料（单位） 每班产量（个数） 原料1 原料2 零件1 零件2 1 8 6 7 5 2 5 9 6 9 3 3 8 8 4 解：设 是第1，2，3车间的生产班数，则三个车间 生产零件A的总数是
生产零件B的总数是 而原料1和原料2对应的约束条件分别是
因为目标是要使产品总件数达到最大，而每件产品要4个零件A和3个零件B。
所以产品的最大数额不能超过
和 中较小的一个，因此目标函数变成：求 的最大值，这是一个非线性的目标函数，可以通过变换转换成线性规划模型： 求： 的最大，满足 整理即得： 的最大值
例11.1.5 某厂准备在电视台做广告，根据电视台收费标准，播出时间有三种选择：时间（1）星期一至五18：30~22：30热门时间，每半分钟收费300元；时间（2）星期六、日18：30~22：30热门时间，每半分钟收费420元；时间（3）18：30~22：30以外的时间，即平时，每半分钟收费180元。工厂希望每天播出一次半分钟时间的广告。而电视台希望放在时间（2）的播出次数不要超过在时间（1）的播出次数，工厂则希望不要在星期一至五热门时间播出，以便平时也能看到广告播出。因此规定在时间（1）的播出每月不超过15次。所以规定在时间（2）的播出每月不少于4次。工厂估计，认为在时间（1）观众为平时的三倍。在时间（2）观众则为平时的五倍。试列出一个线性规划模型，确定一个月内播送广告的方案。使（1）观众最多，（2）费用最少。 解：题中需要确定的是在不同的时间内各播出几次。以一个月30天来考虑，假定星期六、日共9天。设
为时间（1）播放次数， 为时间（2）播放次数， 为时间（3）播放次数，则 (每月中每天一次）。电视台要求： 厂方要求： 及 又一个月中: 。整理以上的约束条件得：
11.2 线性规划的标准形式 11.2.1标准形式 我们由上面的实际例子已经看到,线性规划问题的模型是由一组线性等式或不等式表示的约束条件及一个线性目标参数组成的.即下面的一般形式:
求一组变量 使满足 并且使目标函数： 达到最大（或最小）为了便于求解线性规划，有必要找线性规划成一定形式，为下面的标准形式：
求一组变量 的值，是满足
因为一般形式的线性规划问题都能化成标准形式（后面介绍），因此只要会求解标准形式的线性规划问题，就会求解一般形式的线性规划问题了。
下面介绍几种形式的标准线性规划[SLP]问题。 （1）缩写形式 （2）矩阵形式 其中
注：向量非负，代表向量的各分量非负 （3）向量形式 设 是A的n个列向量。即 11.2.2 化线性规划问题为标准形式 转换方法： 第一是求目标函数
的最小值。则可能转化为求目标参数- 的最大值问题。 第二若约束条件中出现线性不等式
则引进松弛变量 ，使上式等价于
若约束变量中出现不等式 则引进剩余变量 ，使上式等价于 第三 若有约束条件 的右端 ，则可用-1乘上式两边，得出等价式子 。 第四 若存在某些变量 的约束条件 ，这在物理或经济定义上均是合理的。但为了满足标准形式对变量的要求，可作如下变换：令
用 和 代替 这就可以在原问题中校区没有负限制的标量 。 下面根据这些方法来做几个实例： 例11.2.1 将下面的线性规划问题标准化： 解：引进松弛变量 ，剩余变量 及 ，
令 ，则得标准线性规划如下
11.3线性规划的基本性质 11.3.1两个变量线性规划问题的图解法 我们先对二维的简单线性规划问题利用图解法进行求解。从图解法的几何直观可以启发我们的思维，探寻线性规划的一些基本性质。
例11.3.1 利用图解法求解下面线性规划问题： 解：在平面上取一个直角坐标系，他的两个坐标是首先找出平面上满足约束条件的点。
图11.3.1 平面上满足约束条件的点为上图中的一个凸多边形。表明原线性规划问题的目标函数只能在这个凸多边形（含边界）上取值，那么求解线性规划问题就是如何从这个凸多边形上求出使目标函数达最大值的关系。
为此，我们先看看目标函数在凸多边形上取值的变化性能。当目标函数取某一值h时，
表示一条直线， 令h=0，得直线 在此直线上的所有关对应的目标函数的值为0 再令 .得另外三条直线，其上点分别对应目标值2，6，7，因此把
叫做目标函数的等值线。当参数h变化时，就得到一族平行直线，他们形象的描绘了目标函数的变化状态。
当h由小（大）变大（小）时，我们来观察等值线在凸多边形上的变化情形。取等值线的（负）法向量，其方向指向目标参数值增大（减小）的方向。当h由小（大）变大（小）时，直线
沿（负）法方向平行移动，目标参数值不断增大。这样就可以看到，对于凸多边形 目标参数在0～7之间取值，且 与凸多边形定点 相交时，目标参数值达到最大值7，如果等值线继续沿法方向移动，将离开这个凸多边形。不满足约束条件。于是知这个线性规划的最优解为
11.3.2 线性规划的基本性质 若将上面例11.3.1改求目标参数 的最小值，约束条件不变，那这整个问题就是：一个是在凸多边形 ，（包括边界）上求目标参数的极大，另一个则是在同一凸多边形上求同一目标参数的极小，由点面的分析知，目标参数在凸多边形顶点
达到极大，根据同样的分析可知，这个目标参数也在凸多边形顶点 达到极小。