组合数学第二章
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组合数学第二章鸽巢原理
令m,n互素, 0 a m-1, 0 b n-1, 则方程组 x a mod m x b mod n
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
组合数学第二章2010
1 3 3 1 3 3 cn ( n )(2 3)n ( n )(2 3) n 3 9 3 9
求方砖数量 设总的方砖数量为 en，右下角少一个小三角时的方砖数量为 fn。则： en = en-1 + an-1 + 2fn fn = en-1 + fn-1 上面两式整理得 en –4en-1 + en-2 = an-1 - an-2 求出结果为
1 3 1 3 gn ( n )(2 3)n ( n )(2 3) n 6 9 6 9
总砖数为上面三式之和，得
(
(2 3)n 3 (2 3)n 3 )(2 3) n ( )(2 3) n 3 18 3 18
2.25 记 G 记F
4 3x (1 x)(1 x x3 )
b x
n 0 n n 0
n
F an x n an x n 1
n 0
=（1-x）G
F
4 3x 1 x x3
2.46 证明： Fa+b=Fa+1Fb+FaFb-1 Fa+b+c+3=Fa+2Fb+c+2+Fa+1Fb+c+1 =Fa+2(Fb+2Fc+1+Fb+1Fc)+Fa+1(Fb+1Fc+1+FbFc) 2.49 设 Tn=n 位的 A/B/C/D 组成的排列中不包含 AB 的项。 An=Tn 中以 A 结尾的项 Kn=Tn 中不以 A 结尾的项。 有：T0=K0=1 A0=0 T1=4 Tn=An+Kn An=Tn-1 Kn=2An-1+3Kn-1 A1=1 K1=3
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学第二章鸽巢原理课件PPT
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在多重鸽巢原理中，存在多个相互独立的鸽 巢，每个鸽巢都有自己的限制条件。这些限 制条件可以是数量限制、性质限制等。当每 个鸽巢都满足鸽巢原理的条件时，多重鸽巢 原理成立。多重鸽巢原理的应用范围很广，
可以解决许多组合计数问题。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理的变体是指在满足鸽巢原理的条件基础上， 对鸽巢和物品的数量或性质进行一些调整或变化。
鸽巢原理的数学表达形式是：如果 n 个物体放入 m 个容器中 （n > m），则至少有一个容器包含两个或两个以上的物体。
鸽巢原理的应用场景
鸽巢原理在组合数学、概率论、统计学等领域有广泛的应用。例如，在解决一些 计数问题、概率分布问题以及组合优化问题时，可以利用鸽巢原理来寻找解决方 案。
在实际生活中，鸽巢原理也常被用于解决各种问题，如资源分配、工作安排、时 间规划等。
详细描述
首先假设鸽巢原理不成立，即存在n个鸽子无法平均分配到m个鸽巢中。然后，我们尝 试将这n个鸽子重新分配到m个鸽巢中，由于每个鸽巢至少有一个鸽子，所以至少有一 个鸽巢有超过一个鸽子。这与我们的假设矛盾，因此我们的假设是错误的，鸽巢原理成
立。
证明方法二：数理归纳法
总结词
数理归纳法是一种基于数学归纳法的证 明方法，通过逐步推导和归纳来证明结 论。
详细描述
有限制的鸽巢原理是指在某些特定条件下，鸽巢原理依 然成立。这些特定条件可能包括鸽巢和物品的数量限制 、物品的性质限制等。例如，当鸽巢的数量小于物品的 数量时，即使物品可以相互替代，鸽巢原理也不成立。
多重鸽巢原理
总结词
多重鸽巢原理是指存在多个相互独立的鸽巢 ，每个鸽巢都满足鸽巢原理的条件。
详细描述
组合数学-卢开澄-习题答案
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 48→49~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2).6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41⨯31. 9. 设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k n k k , 则n 2的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1) …(2n k +1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(1010-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kk nx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk k n n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
组合数学课件--第二章第五节 指数型母函数
4
2.11：指数型母函数
为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数。
x1 x1 x x 2 x2 G e ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 展开后三次方项
3! 3! 3! x1 x2 x1 x2 x ( ) 1!2! 2!1! 3! 1!2! 2!1! 3! x x 2 x3 x x2 G e ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 1 1 1 3 3! 3! 3! x 3 ( )x ( ) 1!2! 2!1! 3! 1!2! 2!1! 3! 3!
e
4x
x x2 x3 1 4 42 43 ... 1! 2! 3!
排列数是4n。
11
2.11：指数型母函数
例4 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数， 要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次 数无限制。（用指数型母函数求解）
解：设满足条件的r位数的数目为ar,则序 列a0,a1,a2,…的母函数为：
C (m, k )(e x ) m k (1) k
k 0
m
(m k ) h k C (m, k )[ x ]( 1) h! k 0 h 0
m h
20
2.11：指 )( m k ) ] h! h 0 k 0
k h
m
h
an (1) k C (m, k )( m k ) n
k 0
m
21
n个球放进m个盒子放法总结:
n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒 子是否有区别，是否允许空盒，共有八种情况：
1、有区别,有区别，有空盒
x x Ge ( x) (1 x ...) m 2! 3!
组合数学课件--第二章第四节整数的拆分
展开中xn-m项的系数
20
2.8：整数的拆分
例6 n个完全相同的球放到m个有区别 的盒子，允许空盒，问共有多少种不同的 方案？其中m≤n。
解：第一盒，用1代表不放球，用x代表 放一个球，用x2代表放两个球，…。单独第 一盒的母函数可构造为：1+x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
第2章 递推关系与母函数
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 递推关系 母函数(生成函数) Fibonacci数列 优选法与Fibonacci序列的应用 母函数的性质 线性常系数齐次递推关系 关于常系数非齐次递推关系 整数的拆分 ferrers图像 拆分数估计 指数型母函数 广义二项式定理 应用举例 非线性递推关系举例 递推关系解法的补充
27
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 (1)把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。
(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。
1 x x ...
2
1 x x ...
2 4
1 x x ... .......... ..........
7
2.8：整数的拆分
int divinteger(int n,int m) {if (n<1||m<1) printf(“error”); else if(n=1||m=1) return(1); else if(n<m) return divinteger(n,n) else if(n=m) return(1+divinter(n,n-1)); else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m)); } 8
组合数学第2章5
0 0 00 0 0 00 0 0 ... ... ( n 1) ... ... 1 2 21 1 2 1 2 2 0 1 0 01 0 2 0 0 ... ... ( n 2) 1 2 2 1 1 2
0
0
显然a1=2， a2=3，于是可建立递推关系如下 an 2an1 an2 ( n 3) a1 2, a2 3 这个递推关系就是例3所求解的递推关系，故由例3的结果可知 an 1 n
§2.6 常系数线性非齐次定义
§2.7 常系数线性非齐次递推关系
若{an}中相邻k+1项满足an=b1an-1+b2an-2+…+ bkan-k+f(n)，(n≥k)称之为{an}的k阶常系数线性 非齐次递推关系。其中bi(i=1,2,…,k)是常数， 且bk≠0，f(n)≠0 。
定义 2.4
若f(n)=0，称 a n =b1an-1+b2an-2+…+bkan-k 为上述 递推关系导出的常系数线性齐次递推关系。
c1 c2 2 c1 2c2 3
§2.6 常系数线性齐次递推关系 2.6.2 相同特征根的解法
例
解：例4、求递归关系 an1 3an2 5an3 2an4 递推关系 a n 题 的特征方程为 n1x 4 3ax32 3 x 2 5 x an24 0 ( n 4) an a n 5an 3 2 a0 q 1 q 2 1, 特征根为 1,1a 20, aq3 1, a3 q4 2 2 由定理4.5，其通解为 a n c1 ( 1)n c2 n( 1)n c3 n 2 ( 1)n c4 2n 由初值条件a0 1, a1 0, a2 1, a3 2可得方程组 c4 1 c1 c1 c2 c3 2 c4 0 c1 2 c2 4 c3 4 c4 1 c1 3 c2 9 c3 8 c4 2 42 29 7 10 解之得 c1 , c2 , c3 , c4 52 52 52 52 故该递推关系的解为 42 29 7 2 10 n n n n an ( 1) n( 1) n ( 1) 2 52 52 52 52
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2020/8/14
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3
鸽巢原理的简单形式
➢注意1，应用时要分清物体与盒子以 及物体总数与盒子总数。
➢注意2，定理只是存在性定理，不能 找出具体的物体。
➢注意3，不能被推广到只存在n个(或 更少)物体的情形。
2020/8/14
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4
鸽巢原理的简单形式
例 2.1.1
选择。根据定理 2.1.1，则必有两个单元格的颜色相同。另
外，每列中两个单元格的不同位置组合有
4 2
=6
种，这样一
列中两个同色单元格的位置组合共有 18 种情况，如图
2.1.1。
2020/8/14
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11
鸽巢原理的简单形式
2020/8/14
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12
鸽巢原理的简单形式
aj=ai+21.
2020/8/14
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鸽巢原理的简单形式
因此 21= aj-ai =（b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj）-（b1+b2+…+bi） = bi+1+bi+2+…+bj. 这说明从第 i+1 天到第 j 天这连续 j-i 天中，他刚好下了 21 盘棋.
14w>wt+xw(14-t)>x 其中 w 为周数，t 为每周最多下棋的次数，x 为连续若干天中正 好下棋的次数。（本题 w=11，t=12，x=21）
100 整除。2020/8/14
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鸽巢原理的简单形式
例 2.1.4 一个棋手有 11 周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋， 一周中下棋的次数不能多于 12 次.证明：在此期间的连续一些天中他正 好下棋 21 次.
证明: (1) 令 b1，b2，…，b77 分别为这 11 周期间他每天下棋的次数，并作部 分和
13 人中至少有２人是同月出生的。
13 人中至少有２人属相相同。
367 人中至少有２人的生日相同。
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鸽巢原理的简单形式
例 2.1.2 有 5 双不同的袜子混在一个抽屉里，我们至少从中选出 多少只袜子才能保证找到 1 双袜子？
解 应用定理 2.1.1，共有 5 个盒子，每个盒子对应 1 双袜子。如 果选择 5+1=6 只袜子分别放到它所属那双袜子的盒子中，则必有两 只袜子落入同一个盒子中，即为一双袜子。因此我们至少从中选出 6 只袜子才能保证找到 1 双袜子。本例实际上是知道 n 个盒子，而 找 n+1 个物体的问题。
分组，共 51 组：
{0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，……，{49，51}，{50}
根据定理 2.1.1，这 52 个整数，必有两个整数除以 100 的余数落入上面 51 组中的
同一组中，若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被 100 整除；若是剩下的 49 组的话，
因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被 100 整除，余数不同则它们的和能被
100 整除或者它们除以 100 的余数的和是 100；两个整数的差能被 100 整除，则它们除
以 100 后的余数相同。
对于任意一个整数，它除以 100 的余数显然只能有如下 100 种情况，
0，1，2，3，……，99
而现在有任意给定的 52 个整数，我们需要构造 51 个盒子，即对这 100 个余数进行
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
2.1 鸽巢原理的简单形式 2.2 鸽巢原理的加强形式 2.3 Ramsey定理
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1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
鸽巢原理的简单形式
组合存在性定理
Ramsey定理（鸽巢原理为其最简形式） 偏序集分解定理（Dilworth定理） 相异代表系存在定理（Hall定理）
而现在共有 19 列，根据定理 2.1.1，无论怎样涂色，则必 有两列与图 2.1 中的某一列相同，即各自所包含的两个同 色单元格的位置相同、颜色相同。即结论成立。
a1=b1, a2=b1+b2, …，
a77=b1+b2+…+b77. 根据题意，有 bi1(1i77),且 bi+bi+1+…+bi+612(1i71), 所以有 1a1<a2<a3<…<a7712×11=132. (2.1.1)
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鸽巢原理的简单形式
(2) 考虑数列 a1,a2,…，a77；a1+21,a2+21,…，a77+21, 它们都在 1 与 132+21=153 之间，共有 154 项 (3) 由 鸽 巢原理 知， 其中 必有 两项相 等 .由（ 2.1.1） 式知 a1,a2,…，a77 这 77 项互不相等，从而 a1+21,a2+21,…，a77+21 这 77 项也互不相等。所以一定存在 1i<j77，使得
鸽巢原理是组合学中最简单、最基本原理 也叫抽屉原理或狄利克雷原理 (Dirichlet(1805-1859)19世纪德国数学家)。
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鸽巢原理的简单形式
定理 2.1.1 如果把 n+1 个物品放入 n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有 两个或更多的物品。 证明：反证法 如果每个盒子中至多有一个物品，那么 n 个盒子中至多有 n 个物品，而 我们共有 n+1 个物品，矛盾。故定理成立。 鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它 并没有指出是哪个盒子。所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性， 而对于找出这种安排却毫无帮助。
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鸽巢原理的简单形式
例 2.1.3 对任意给定的 52 个整数，证明：其中必存在两个整数，要么两者的和能被
100 整除，要么两者的差能被 100 整除。
证明：对于这个问题，显然不能像上个例子那样直接找出 n 和 n+1 的对应关系。分
析要证明的结论，根据数论的知识，两个整数的和能被 100 整除，则它们各自都能被
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鸽巢原理的简单形式
例 2.1.5 将一个矩形分成 4 行 19 列的网格，每个单元格
涂 1 种颜色，有 3 种颜色可以选择，证明：无论怎样涂色，
其中必有一个由单元格构成的矩形的 4 个角上的格子被涂
上同一种颜色。
证明：首先对每一列而言，因为有 4 行，但只有 3 种颜色