不定积分第一类换元法
第一类换元积分法(一)
例 求 sin 2x dx.
解法1
sin2
x
dx
1 2
sin(2x)
d(2 x)
1 cos 2x C. 2
解法2 sin2x dx 2 sin x cos x dx
2 sin x d(sin x) sin 2 x C.
解法3 sin2x dx 2 sin x cos x dx
解
1 x2
sin
1 x
dx
sin 1 d 1 xx
cos 1 C. x
例 10 求
ex dx. 1ex
解
ex 1 ex dx
d(e x 1) ln(ex 1) C. ex 1
3.利用三角函数的恒等式.
例 11 求 tan xdx.
解
tan xdx
dx
a2 x2 (a x)(a x)
1 2a
(a x) (a x) (a x)(a x)
dx
1 2a
dx ax
dx ax
1 2a
d(a x) ax
d(a x) ax
1 ln a x C. 2a a x
第一类换元积分法(一)
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a
3.利用三角函数的恒等式. 4.利用代数恒等式
一、原函数的定义 二、不定积分的定义 三、基本积分公式 四、不定积分的性质
引例：
求
sin2 x cos xdx.
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
积分的换元法
可令 u 2 3x ， 而 d(2 3x) 3dx ，则
(2 3x)7 dx 1 u7du 1 u8 C
3
24
1 (2 3x)8 C 24
一般，不需写出中间变量的代换过程，直接 通过凑微分计算.
3.4 积分的换元法
利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积 分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法. 本节将介绍换元积分法，简称换元法.
3.4.1 不定积分的换元法
3.4.1.1 第一类换元法
cosxdx sin x C.
cos2xdx sin 2x C ?
定理3.2 设 f (u)du F(u) C , u (x) 具有连续导
cos
2
xd
(2
x)
x sin 2x C . 24
类似的可得
sin 2
xdx
x 2
sin 2x 4
C.
例3.34 计算 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
(2 3x)7 dx
1 3
( 2 3x)7 d( 2 3x)
1 (2 3x)8 C 24
例3.23 计算
sec2
xd 3
x
解
原式 =
不定积分换元法例题精品
-22
x-a
1 1(1
dx二22dx二——I—
、x—a2alx— a x+a
x2.x—a
1dx
x a
—In |x-a|-1n|x a| C ^ln
2a2a
2
.fSecx(secx+tan x)「secx+secxtanx
secxdxdxdx
secx+ta nxsecx+ta nx
d(tanx secx) _ d(tanx secx)
d cosx一-s |cosx |C -Tn |cosx | C
【注】(cosx,=_sin x,二d(cosx) = _sin xdx,二sin xdx = _d(cosx)
3(2)
【注】
4(1)
【注】
4(2)
【注】
4(3)
5(1)
5(2)
6(1)
6(2)
cosxdx _
cosx . cot xdxdx二
cscx cot x
1
C Jln
2
1 -sin x+C
1+s in x
csc2x cscx cot x
cscx cotx
dx
d (-cotx -cscx)d (cscx cot x)
cscx cotx
cscx cotx
=Tn |cscx cot x | C
csc xdx二
g(x)dx二f(「(x))「'(x)dx= f (「(x))d (x) = f (u)du二F(u) C
(5)将U二「(X)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得：
g(x)dx二f((x)) '(x)dx=f( (x))d (x)二f (u)du二F(u) C二FC(x)) C
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分()fxdx 一、用第一类换元法 1、1()()()faxbdxfaxbaxbdxa
1 ()fuduauaxb 例如 121dxx
2、2221()()()2xfaxbdxfaxbaxbdxa 21 ()2fuduauaxb 例如 221xdxx
111()()()()nnnnnxfaxbdxfaxbauxbdxfudunanaaxb
3、sin(cos)(cos)(cos)xfxdxfxxdx (os)cfuduux 例如 sincosxexdx cos(sin)(sin)(sin)xfxdxfxxdx sin()fuuuxd 例如 32cos1sincosxdxxxdx 4、1()()()xxxxefaebdxfaebaebdxa 1 ()xuaefuabdu 例如 23xxeedx
(ln)1(ln)(ln)faxbdxfaxbaxbdxxa
1 ln()fuduauaxb 例如 12ln3dxxx
5、2(arctan)(arctan)(arctan)1fxdxfxxdxx arct an()ufuuxd
2(arccot)(arccot)(arccot)1fxdxfxxdxx
arccot()ufudux
2(arcsin)(arcsin)(arcsin)1fxdxfxxdxx
arcs in()ufuuxd 例如arcsin2101xdxx
2(arccos)(arccos)(arccos)1fxdxfxxdxx
arccos()ufudux 二、用第二类换元法（主要目标是去根号） 6、2222 cos,coinssaxaxatdxatadtxt令 7、22222t a n sec,secxaaxatdxatdxatt令 8、2222sec tan,sectanxaxaaxattdxattdt令 9、被积函数中含有 xaaxbbx令 10、倒代换：当分式的分母次数比较大时，作1xu，将分母次数变小。见书上例24 P205
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
同济七版NUAA高数课件 第四章 不定积分 第二节 换元积分法
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
类似地可推出 secxdx ln secx tan x C.
例14 求
4
1 x2 arcsin
xdx.
2
解
4
x
1 2 arcsin
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1
arcsin
xd (arcsin
x) 2
ln arcsin
5
4 4 x2 3 1 4 x2 5 C.
3
5
2x t 4 x2
例18 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令x a sec t dx a sec t tan tdt
1 dx
x2 a2
a
sec t tan a tan t
tdt
t
0,
2
sec tdt lnsect tant C
第二节 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
问题 cos 2xdx sin 2x C, 求导数验证结果
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 换元 2
cos2xdx
不定积分第一换元法
2009.02.25
∫
u′( x )dx = ln[ u( x )] + C u( x )
Chapter3 Definite Integration Chapter4 Indefinite Integration
14
♥ Lihai--2009.03.06 Math School, Sichuan University
2
♥ Lihai--2009.03.06 Math School, Sichuan University
一阶微分形式不变性
• 设y=F(u)和u=φ(x)皆可导, 则: y关于u的微分为: dy = F ′( u )du , (du=⊿u) u关于x的微分为: du = φ ′( x )dx , (dx=⊿x) • y关于x的微分, 按复合函数求导法则, 为:
2. ∫ (ln x ) 2 sin x 3 dx x
3. ∫ x 3 (1 − x 4 )5 dx 4. ∫ (arctan x )1/ 3 1 + x2
2009.02.25
dx
观察要点: 被积式 观察要点: 中, 是否能分离出 一个因子, 是其余 一个因子, 部分的导数. 如果 部分的导数. 引进新变量,使 是,引进新变量, 被积式形式转化为 可积式. 可积式.
(arctan x)1/ 3 3 4. ∫ dx u = arctan x ∫ u1/ 3du = u3 + C 4
4
Summary:
2009.02.25
∫[u(x)] u′(x)dx =[u(x)]
n
n+1 + + /( n 1) C
Chapter3 Definite Integration Chapter4 Indefinite Integration
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知 f(u)du F(u) C
【求不定积分 g (x)dx的第一换元法的具体步骤如下：】 (1) 变换被积函数的积分形式：
g(x)dx f ( (x)) '(x)dx
(2) 凑微分：
g(x)dx f( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x)
(3) 作变量代换 u (x)得：
g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du
(4) 利用基本积分公式 f(u)du F(u) C求出原函数：
g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) C (5) 将u (x)代入上面的结果，回到原来的积分变量 x得：
g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du F(u) C F ( (x)) C
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量 u (x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
, , sin x , sin xdx d cosx 3(1) tan xdx ------------- dx ------------- --------------
(5x 7)9d (5x 7) 1 1 (5x 5 10 7)10 C — (5x 7)10 50
【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, dx 1 gd(5x 7)
2、 ln x , —dx x
In x d In x
.1 .. ln x — dx ln x x
1 2 2 (ln x)
d In x
1 2 -
^(lnx) C
1 【汪】(lnx)'- x d(ln x) 1dx, x 1dx x d(ln x)
cosx cosx cosx cosx
求 g(x)dx f( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) F( (x)) C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有 从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4n n n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式 二、典型例题○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.⎰-dx x 2010)12( 例2. ⎰+231x x [1]例3.⎰+++322)1(1x x xdx [1]例4.dx x x x ⎰-+431[1]1．解：令12-=x u ,dx du 2=, 2．解：令2x t =， 3．解：=+++⎰322)1(1x x xdx⎰++++32222)1()1()1(21x x x d令t x =+21原式⎰⎰⎰++=+⋅=+=tt d t t dt tt dt 1)1(1212123 4．解：=-+⎰dx xx x 431⎰⎰-+-dx xx dx xx 44311○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； 例1.dx x ⎰tan [2] 例2. ⎰dx xx2sin [2]例3.dx x x x ⎰+++2sin 1cos sin 1[1] 例4.⎰xx dx 4cos sin [1]例5.⎰xx dx 3cos sin [1] 例6.⎰+dx x x x x 44cos sin cos sin [1]例7.设b a ,为常数，且0≠a ，计算dx xb x a x I ⎰+=2222cos sin tan [1]1.解：设x u cos =，xdx du sin -=，xdx du sin =-2．解：=⎰dx xx2sin ⎰⎰+-=xdx x x x xd cot cot )(cot3．解：=+++⎰dx xx x 2sin 1cos sin 1⎰⎰⎰++--+-x x d x x d x dx 222sin 21)(sin cos 2)(cos cos 2 4.解：=⎰x x dx4cos sin dx x x x x dx x x dx xx x x ⎰⎰⎰++=+2224422cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin5.解：=⎰xx dx3cos sin ⎰⎰+=x d x x x x x x dx tan cos tan cos sin cos tan 2224 6.解：令x u 2=，再令u v cos =，有 7．解：⎰⎰+=+=2222222tan tan tan )tan (cos tan bx a xxd dx b x a x x I ○3⎰⎰=x d x f dx x x f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x xde e f dx e e f )()(；例1.⎰+)ln 21(x x dx [3]例2.dx e x ⎰5[2]例3.⎰+dx e e xx 43[2]例4.⎰-x x dx 2ln 1[2]例5.⎰++dx e e x x 22)1(1[1]例6.dx xxx x ⎰-⋅4932[1]例7.⎰-dx e xe x x 2[1]例8.⎰dx xx x sin cos tan ln [2]1.解：=+⎰)ln 21(x x dx ⎰+xxd ln 21ln2.解 ：令x u 5=，dx du 5=3.解：令x e u 43+=，dx e du x 4=，4.解：令x u ln =，dx xdu 1=5.解：=++⎰dx e ex x22)1(1=+-+⎰dx e e e x x x 22222)1(2)1(dx e ex x x ⎰+-222)1(26.解：=-⋅⎰dx x x x x 4932⎰⎰-=-1])21[(])23[(23ln 11)23()23(22x x x x d dx 7.解：=-⎰dx e xe x x 2⎰⎰-=--)2(22)2(x x x e xd e e xd令22t e x =-,22t e x +=,)2ln(2t x +=,dt t tdx 222+=原式=+--=⎰dt t t te x x222222dt t t e x x⎰+-+--222224228.解：=⎰dx x x x sin cos tan ln =⎰x d xxtan tan tan ln ⎰)tan (ln tan ln x xd○4n n n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；例1.dx xe x⎰3[2]例2.dx x x ⎰+231[4]例3.⎰-+dx xx x 11[4]例4.⎰+-+)ln ln (b x a x x dx[1]例53222)1(1dx x x x -⎰[1] 例6.⎰-)(x a x dx )0(>a [1]例7⎰-dx xx 1arcsin [1]1.解：xdxx d 21=2.解：=+⎰dx x x 231)1()111(21121222222x d x x dx x x ++-+=+⎰⎰3.解：=-+⎰dx xx x 11⎰⎰⎰-+-=-+2222111)1(xdx x xxdx dx xx x对于右端第一个积分，凑微分得第二个积分中，用代换t x sin =原式C x x x +-+-=21)2(21arcsin 214.解：=+-+⎰)ln ln (b x a x x dx⎰-+++dx b a x bx a x )(ln ln5.解：=-⎰3222)1(1dx xx x ⎰⎰--=--)11()11()1()11(3232x d x x d x 6.解：⎰=-)(x a x dx C axx a x d +=-⎰arcsin2)(227.解：=-⎰dx xx 1arcsin ⎰--)1(arcsin 2x d x⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； 例1.dx x x ⎰-2arccos 2110[3]例2. ⎰+dx x x x )1(arctan [4]例3.⎰++dx x x x )1(arctan 1[1] 例4.⎰-324)(arcsin 1x x xdx [1]例5.dx x x x x ⎰-+⋅22211arcsin [1]1.解：=-⎰dx xx 2arccos 2110C x d xx+-=-⎰10ln 210arccos 10arccos 2arccos 22.解：=+⎰dx x x x )1(arctan ⎰⎰=+)(arctan arctan 21arctan 2x d x x d x x3.解：⎰=++dx x x x )1(arctan 1⎰++dx x x x ])(1[arctan 124．解：=-⎰324)(arcsin 1x x xdx⎰⎰=-3224322)(arcsin arcsin 211)(arcsin 21x x d x x dx 5．解： ⎰⎰+==-C x x xd dx x x 22)(arcsin 21)(arcsin arcsin 1arcsin 令t x sin =，○6复杂因式 例1.⎰++dx x x 1142[4]例2.dx x x ⎰+211arctan[1]例3.⎰-+⋅-dx x x x11ln 112[1]例4.dx x x x ⎰+++221)1ln([1] 例5.⎰+dx x x sin cos 1[1] 例6.⎰++dx xx e x )cos 1sin 1([1]1.解：⎰⎰⎰+--=++=++2)1()1(11111222242x x x x d dx xx x dx x x2.解：2211)'1()1(11)'1(arctan x x xx+-=+=Θ 3.解：212)'11(ln xx x -=-+Θ 4.解：⎰+++=+C x x x dx )1ln(1225.解：⎰⎰⎰==+2sin222cos 2sin 22cos2sin cos 1x dx dx x x x dx x x 6.解：dx xx x e dx x x e x x⎰⎰--+=++2cos 1)cos 1)(sin 1()cos 1sin 1( 参考文献[1]牟俊霖 等 2004年洞察考研数学（理工类）——名师授课听课笔记[M ] 航空工业出版社，2003.[2]同济大学数学系 高等数学（第五版）[M] 高等教育出版社，2003. [3]刘玉琏、傅沛仁 等 数学分析讲义（第五版）[M ] 高等教育出版社，2008. [4]李正元、李永乐、袁荫棠 2011年数学复习全书 数学一（理工类）[M] 国家行政学院出版社，2010.。