不定积分第一类换元法
高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分之第一换元法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
08-不定积分的第一类换元法课件
2 cos 2x d x ．
u ( x )
cos x d x sin x C
解 2cos 2x d x cos 2x(2x)d x
cosu d u
sin u |u2x C
u2 x
sin 2x C ．
例
求积分
1 3 2x
d
x
．
f
[ ( x )] ( x) d x f (u) d u
例如
3
1 2x
d
x
1 2
1 3 2x
d(3
2x)
1 2
ln
|
3
2x
|
C
．
凑微分法
例 求积分 2x ex22 d x ． 解 2x ex2 d x ex2 d(x2 )
ex2 C ．
例 求积分 x 1 x2 d x ．
解
x 1 x2 d x
1
(1
x
2
)
1 2
d(1 x2 )
1 x2 1 x2
所以
2 1 x2 ，
2 1 x2 d x x 1 x2 arcsin x C ．
定理 设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x)可导，
则
f [(x)](x) d x F[(x)] C f (u) d u ． u ( x )
f (u)d u F(u) C
例
求积分
x2
1
a2
d
x
(a
0)
．
解
因为
1 x2 a2
1 1 2a x a
x
1
a
，
所以
x2
1
a2
d
x
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
微积分不定积分__换元积分法(第一类)
例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C
20-不定积分的第一类换元积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例例43.
x
1
x2
dx
1 2
d u1dx(21(1xx22))dx(1
12x2u)'1dx1x2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
原式
2
cos
u
1 2
du
du d(2x) (2x)'dx 2dx. 1
cccooossusuuddduuussisinninuuuCCCssisinnin222xxxCCC
dx du, 2
例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2 ,
原式
2
11(1ax(1ax)2)d2 daxaxa
a
a
例13
求
1 dx (a 0)
a2 x2
解
a2a121x2xd2 xdx1a1a
111( 1ax( a)x2)2dxdx
11 11( x(
a
a)x2)2d
daxaxaracrscisninaxax
111(1ax( ax)2)2dxdx
111( 1ax( ax)2)2ddaxaxaracrscisninax
x
f
f (cos x) sin xdx f (cos x)dcosx f (tan x) sec2xdx f (tan x)d tan x
f (sec x) sec x tan x dx f (sec x)d sec x
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
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不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二、典型例题○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.⎰-dx x 2010)12( 例2.⎰+231x x [1]例3.⎰+++322)1(1x x xdx [1]例4.dx x x x ⎰-+431[1]1．解：令12-=x u ,dx du 2=,C x C u dx x +-⋅=+⋅=-⎰2011)12(21201121)12(2011201120102．解：令2x t =，=+⎰231x x ⎰⎰+-+=+t dtt t tdt 1)11(21121⎰⎰++-++=)1(1121)1(121t d t t d tC t t ++⋅-+⋅=1221)1(322123C x x ++-+=22321)1(31 3．解：=+++⎰322)1(1x x xdx⎰++++32222)1()1()1(21x x x d令t x =+21原式⎰⎰⎰++=+⋅=+=tt d t t dt tt dt 1)1(1212123 C x C t +++=++=2112124．解：=-+⎰dx xx x 431⎰⎰-+-dx xx dx xx 44311⎰⎰-+---=42441211)1(41x dx x x d C x x ++-⨯⨯-=24arcsin 211241C x x +--=)1(arcsin 2142○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； 例1.dx x ⎰tan [2] 例2. ⎰dx xx2sin [2]例3.dx x x x ⎰+++2sin 1cos sin 1[1] 例4.⎰xx dx 4cos sin [1] 例5.⎰x x dx 3cos sin [1] 例6.⎰+dx xx x x 44cos sin cos sin [1] 例7.设b a ,为常数，且0≠a ，计算dx xb x a xI ⎰+=2222cos sin tan [1]1.解：设x u cos =，xdx du sin -=，xdx du sin =- =⎰dx x tan =⎰dx x x cos sin ⎰+-=+-=-C x C u udu)ln(cos )ln(2．解：=⎰dx xx2sin ⎰⎰+-=xdx x x x xd cot cot )(cot C x x x ++-=sin ln cot3．解：=+++⎰dx xxx 2sin 1cos sin 1⎰⎰⎰++--+-x x d x x d x dx 222sin 21)(sin cos 2)(cos cos 2 ⎰+-+--=)arctan(sin cos 2cos 2ln 221)1sec 2(cos 22x xxx x dx ⎰+++-+-=xxd x xx 2tan 21tan )arctan(sin cos 2cos 2ln221Cx x xx +++-+-=)tan 2arctan(21)arctan(sin cos 2cos 2ln2214.解：=⎰xx dx4cos sin dx x x x x dx x x dx x x x x ⎰⎰⎰++=+2224422cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ⎰⎰⎰+--=x dxx x d x x d sin cos cos cos cos 24 C x x x x +-++=cot csc ln cos 1cos 3135.解：=⎰x x dx3cos sin ⎰⎰+=x d x x x x x x dx tan cos tan cos sin cos tan 2224 =+=⎰x d x x tan tan tan 12C x x ++tan ln tan 212 6.解：令x u 2=，再令u v cos =，有du uu udx x x x dx x x x x ⎰⎰⎰+=+=+222244sin 21cos sin 412sin 212cos 2sin 21cos sin cos sin⎰⎰+-=-+-=222121cos 2121cos cos 41vdvuu u d =+-=C v arctan 21C x +-)2arctan(cos 217．解：⎰⎰+=+=2222222tan tan tan )tan (cos tan b x a xxd dx b x a x x IC b x a a b x a b x a d a++=++-=⎰)tan ln(21tan )tan (2122222222222○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； 例1.⎰+)ln 21(x x dx [3] 例2.dx e x ⎰5[2]例3.⎰+dx e e xx43[2] 例4.⎰-x x dx 2ln 1[2]例5.⎰++dx e e xx 22)1(1[1] 例6.dx xxx x ⎰-⋅4932[1] 例7.⎰-dx e xe x x 2[1] 例8.⎰dx xx xsin cos tan ln [2]1.解：=+⎰)ln 21(x x dx ⎰+xxd ln 21lnC x x x d ++=++=⎰ln 21ln 21ln 21)ln 21(212.解 ：令x u 5=，dx du 5= =⎰dx e x 5C e C e du e x u u +=+=⎰5515151 3.解：令x e u 43+=，dx e du x 4=，=+⎰dx e e x x 43C u du u +=⎰ln 41141 C e x ++=)43ln(414.解：令x u ln =，dx xdu 1==-⎰xxdx 2ln 1⎰+=-C u du uarcsin 112C x +=)arcsin(ln5.解：=++⎰dx e e x x 22)1(1=+-+⎰dx e e e x x x 22222)1(2)1(dx e ex x x ⎰+-222)1(2=++-=⎰222)1()1(4x x e e d x C ex x +++2146.解：=-⋅⎰dx x x xx4932⎰⎰-=-1])21[(])23[(23ln 11)23()23(22x x x x d dx C x x ++--=1)23(1)23(ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=2323ln )2ln 3(ln 21 7.解：=-⎰dx e xe x x 2⎰⎰-=--)2(22)2(x x x e xd e e xd⎰---=dx e e x x x 2222 令22t e x =-,22t e x +=,)2ln(2t x +=,dt ttdx 222+=原式=+--=⎰dt tt t e x x222222dt t t e x x⎰+-+--22222422 ⎰+---=dt te x x )221(4222C t t e x x +⋅+--=2arctan218422C e e e x x xx+-+---=22arctan 2424228.解：=⎰dx x x x sin cos tan ln =⎰x d xxtan tan tan ln ⎰)tan (ln tan ln x xdC x +=2)tan (ln 2○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；例1.dx xe x⎰3[2]例2.dx x x ⎰+231[4]例3.⎰-+dx xx x 11[4] 例4.⎰+-+)ln ln (b x a x x dx[1]例53222)1(1dx x x x -⎰[1] 例6.⎰-)(x a x dx )0(>a [1] 例7⎰-dx xx 1arcsin [1]1.解：xdxx d 21==⎰dx x e x3==⎰⎰)3(32233x d e x d e x x C e x+3322.解：=+⎰dx x x 231)1()111(21121222222x d x x dx x x ++-+=+⎰⎰C x x ++-+=22321)1(313.解：=-+⎰dx xx x 11⎰⎰⎰-+-=-+2222111)1(xdx x xxdx dx xx x对于右端第一个积分，凑微分得=---=-⎰⎰-)1()1(122122x d x dx x x C x +--21第二个积分中，用代换t x sin ==-⎰dx xx 221dt ttdt t t ⎰⎰-=2cos 1cos cos sin 22=+-=C t t 2sin 412C x x x +--2121arcsin 21 原式C x x x +-+-=21)2(21arcsin 214.解：=+-+⎰)ln ln (b x a x x dx⎰-+++dx b a x bx a x )(ln ln⎰⎰++-+++-=)(ln ln 1)(ln ln 1b x d b x b a a x d a x b aC b x a x b a ++++-=])(ln )[(ln )(3223235.解：=-⎰3222)1(1dx x x x ⎰⎰--=--)11()11()1()11(3232x d x x d x C +-=35)511(536.解：⎰=-)(x a x dx C axx a x d +=-⎰arcsin2)(227.解：=-⎰dx xx 1arcsin ⎰--)1(arcsin 2x d x⎰--+--=x d xx x x 112arcsin 12C x x x ++--=2arcsin 12○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； 例1.dx x x ⎰-2arccos 2110[3] 例2.⎰+dx x x x )1(arctan [4]例3.⎰++dx x x x )1(arctan 1[1] 例4.⎰-324)(arcsin 1x x xdx [1]例5.dx x x x x ⎰-+⋅22211arcsin [1]1.解：=-⎰dx xx 2arccos 2110C x d xx+-=-⎰10ln 210arccos 10arccos 2arccos 22.解：=+⎰dx x x x )1(arctan ⎰⎰=+)(arctan arctan 21arctan 2x d x x d x xC x +=2)(arctan3.解：⎰=++dx x x x )1(arctan 1⎰++dx x x x ])(1[arctan 12⎰++=)1(arctan arctan 12x d xC x ++=23)arctan 1(344．解：=-⎰324)(arcsin 1x x xdx⎰⎰=-3224322)(arcsin arcsin 211)(arcsin 21x x d x x dx C x +-=-22)(arcsin 415．解：⎰⎰+==-C x x xd dx x x 22)(arcsin 21)(arcsin arcsin 1arcsin 令t x sin =，⎰⎰⎰=-=-tdttt t d x xdx22222sin sin 1sin sin 1 C xx C t +--=+-=21cot ⎰⎰⎰+--=--=-∴x dxx x x x x xd dx x x x )1(arcsin )1(arcsin 1arcsin 2222C x x xx ++--=ln arcsin 12⎰⎰-+-=-+⋅∴dx xx xx x dx x x x x )1arcsin 1arcsin (11arcsin 222222 C x x xx x arc ++--=ln arcsin 1sin 2122_○6 复杂因式 例 1. x 2 1 dx [4]x4 1 例 3. 1 ln 1 x dx [1] 1 x2 1 xarc tan 1 例 2.x dx [1]1 x2 例 4. ln(x 1 x2 ) dx [1] 1 x2 例 5. 1 cos x dx [1] sin x 例 6. e x (1 sin x )dx [1] 1 cosx 1.解：x2 1 dx x4 11 1x2 dx x21 x2d(x 1) x(x 1)2 2 x1x1 arctan x C 1x2 1arctanC2222x2.解： (arctan1)' 1 (1)' 1x 1 (1)2 x1 x2xarc tan 1 x dx1 x2(arctan1 x)d(arctan1 x)1 2(arc tan 1 ) 2 xC3.解： (ln 1 x )' 2 1 x 1 x211 x2 ln 1 1x xdx1 2ln1 1 x xd(ln 1 1x) x1 (ln 1 4 1x)2 xC 4.解： dx ln( x x2 1) Cx2 1 ln(x 1 x2 ) dx ln(x 1 x2 )d (ln(x x2 1)) 1 x2 2 [ln( x 31 x 2 )] 2 C3_5.解： 1 cos sin xxdx22 sincos x 2x cosxdx2 2dx sin x222d(tan x)24 tan x2 ln tan x C 44 6.解： ex (1 sin x )dx e x (1 sin x)(1 cos x) dx1 cos x1 cos2 x ex sin 2dx xe x cos x sin 2 xdxex dx sin xe x cot xdxex d (cotx)exd(1 sinx)ex sinxdxexcotxdx e x cot x e x C sin x1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1) dxd(ax+b)(a≠0)；(2) dxd(7x 3)；(3) xdxd(5 x2 )；(4) xdxd(1 x2 )；_(5) x3 dxd(3 x4 2);(6) e2x dxd( e2x )；x(7) e 2 dxxd(1+ e 2 );(8) dx xd(5ln｜x｜);(9) dx 1 x2(11) dx 1 9x2(13) (3 x2 2)dx1）．d(1 arcsinx); (10) xdx 1 x2d(arctan3x);(12) dx 1 2x2d(2x x3 )；(14) cos（ 2x 3d 1 x2 ;d(arctan 2 x);1）dxdsin（ 2x 3 1 求 2cos 2x dx.2求1 dx . 2x 5 3 求 tan xdx． 4 求 x 1 x2 dx．_ 5 求 1 dx． a2 x2 6 求1 dx(a＞0)． a2 x2 7 求 sin3 xdx． 8 求 sin2 xdx． 例 9求a21 x2dx(a为常数，a≠0)．_ 例 10 求 sec x dx． 例 11 求 cos3x cos2xdx． 例 12 求 e3 x dx．x 例 13 求 tan5 x sec3 x dx_２.求下列不定积分： (1) e5tdt ;(3)dx 1 2x; (5) sin t dt ;t (7) tan10 x sec2 xdx ;(9)sindx x cosx; (11)exdx ex; (13)3x3 1 x4dx; (2) (3 2x)3 dx; (4)dx ;3 2 3x(6)xlndx x lnlnx; (8) x ex2 dx ; (10) tan 1 x2 xdx ; 1 x2 (12)x dx ;2 3x2 (14) sin x dx ; cos3 x_1、解 被积函数中，cos2x 是 cosu 与 u 2x 的复合函数，常数因子 2 恰好是中间变量 u 2x 的导数，因此作变量代换 u 2x,便有 2cos 2x dx cos 2x ·２dx cos 2x ·（２x)′dx＝ cos udu＝sinu+C． 再以 u 2x 代入，即得 2 cos2xdx sin2x+C.2、解1 可看成 1 与 u 2x+5 的复合函数，被积函数中虽没有 u′2x 5u但我们可以凑出这个因子： 11 · 1 ·２ 1 · 1 ·(2x+5)′，2x 5 2 2x 5 2 2x 52 这个因子，从而令 u 2x+5,便有1 2x 5dx 1 · 1 (2x+5)dx＝ 11 d(2x+5)＝ 1 1 du2 2x 52 2x 52u1 ln u +C＝ 1 ln 2x 5 +C．22 一般地，对于积分 f (ax+b)dx，总可以作变量代换 u ax+b，把它化为3、解 f (ax b)dx＝1 f(ax+b)d(ax+b)＝ 1a2 f(u)du u(x)． tan xdxsin x dx＝ 1 (cosx)′dx＝ 1 d(cosx) 令u cos xcos xcos xcos x1 uduln u +Cln cos x +C． 类似地可得 cot xdx ln sin x +C． 4、解 x 1 x2 dx 11 x2 (1 x2 ) ' dx＝11(1 x2 )2 d(1x2 ）22 令u 1 x211u 2 du1u3 2+C2313(1 x2 ) 2 +C．3在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量 u，只需做到“心中有数”即可． 5、解1 dx a2 x2 1 · 1 dxa2 1 ( x)2 a11 d（ x ）a 1 ( x)2 aa1 arctan x +C．aa 6、解1 dx a2 x2dxa1 ( x)2ad( x)a 1 ( x)2aarcsin x +C． a_ 7、解 sin3 xdx＝ (1 cos2 x) sinxdx (1 cos2 x) d(cosx) d (cosx)+ cos2 xd(cosx)cosx+ 1 cos3 x+C． 3 8、解 sin2 xdx1 cos 2x dx 1 d x 1 cos 2x d(2x) 1 x 122424sin2x+C．类似地可得 9、解 cos2 xdx＝ 1 x+ 1 sin2x+C． 24 1 dx a2 x21dx(a x)(a x)1 2a(a1 xa1 x)dx1 2ad(a x) axd(a x) ax 1 2alnaxlnax+C1 ln a x +C． 2a a x 10、解 sec x dx1 dx cos xcos x dx cos2 x1 d(sinx) 1 sin2 x1 ln 1 sin x ＋C （由例 8) 1 ln(1 sin x)2 ＋C2 1 sin x2 cos xln sec x tan x ＋C．类似地可得 csc x dx ln csc x cot x ＋C．11、解 利用三角函数的积化和差公式有 cos3x cos2xdx 1 (cosx+cos5x)dx 21 sinx+ 1 sin5x+C．2101 2cosxdx+1 10 cos5x d(5x) 12、解e3 x dx x2e3 x d (3x)＝ 23ex+C．33 13、解 tan5 x sec3 x dx tan4 x sec2 x secxtanxdx (sec2 x 1)2 sec2xd(sec x)_ (sec6 x 2sec4 x sec2 x)d sec x1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x +C．753。