高等数学下第八章习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用

1、求下列函数的定义域： (1) y x z -=

; （2）)12ln(2+-=x y z ;

解:0≥y 且 0≥-y x 解:{}

012|),(2

>+-=x y y x D

得 D =(){}

y x y y x ≥≥,0|, (3) 2

2

arccos

y

x z u +=; (4) 2

2

1)ln(y

x x x y z --+

-=.

解:022≠+y x 且

2

2y x z +1≤ 解:??

?

??>--≥>-010

,022y x x x y 得 {

}

0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D . 得 {}

1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D 2、已知函数v u w w u w v u f ++=),,(，试求: ).,,(xy y x y x f -+ 解: x xy xy y x xy y x y x f 2)()(),,(++=-+

3、设,),(,),(2

2

2

2

y x y x y x y x f -=+=?求：]),,([2

y y x f ?. 解: 4

2

22

4

2

2

)(),(]),,([y y x y y x y y x f +-=+=?? 4、求下列极限： （1） 2

2

1)ln(lim

y

x e x y y x ++→→.2ln 0

1)1ln(2

2

0=++=

e

（2）1

1lim

0-+→→xy xy

y x 2)11(lim 0

0=++=→→xy xy xy y x ; （3）y xy y x )sin(lim 0

2→→=221sin lim 02

=?=?→→x xy xy y x ; （4） 22)()cos(1lim 22220

0y x y x e y x y x ++-→→22422sin

2lim 222222

22

00y x y x e y x y x y x +????

? ??++=→→.0021=?= 5、证明 2

222

20

0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在.

证明 若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则 所以极限不存在.

6、求下列函数的偏导数:

（1）)(cos )sin(2xy xy z +=; 解:

=??x

z

)]2sin()[cos()cos()sin(2)cos(xy xy y xy xy y xy y -=- （2） 2y

xe z y

=;

解: =??x z ;2y e y =??y z .212223???

?

??-=+-y y xe y xe y xe y y y （3）()xy z ln =; 解:

=??x z ()()

xy x xy y xy ln 21ln 21=?; =??y z ()()xy y xy x xy ln 21

ln 21=

?. .

（4）z y x u )arctan(-=;

解:()()z z y x y x z x u 211-+-=??-； ()()z z y x y x z y u 21

1-+--=??-; ()()()z

z y x y x y x z u 21ln -+--=?? (5)z

y

x u =

解:

,1

-=??z y x z

y x u ,ln 11ln x x z z x x y u z y

z y =??=?? 7、设 ()()1,-+=y x y x f y

x

arcsin

, 求)1,(x f x '. 解: 因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x

8、曲线 ?????=+=

4

4

22y y x z 在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 解:

=??x z 2x ，1tan )

5,4,2(=??=x z α，所以.4πα= 9、设 T = 2π

g

l

, 求证: 0=??+??g T g l T l . 解:

g g l

g g l g T gl gl l T ππππ-=-=??==??22,212， 0=-=g

g l

g

gl

l

ππ

.

g

T g l T l ??+??

10、(1)x y z arctan =， 求: y x z

x

z ?????222,;

解: =

??x

z

,11

2

222y x y x y x y +-=??

? ??-???

? ??+??? ??????=??x z x x z 22,)(2222y x xy +-= （2）)ln(2

2

y x x z ++=, 求: 22x

z

??.

解: =

??x z

2222221

1y x y

x x y x x

+=++++

，???

??????=??x z x x z 22.)()(2212

3

232222y x x y x x +-=+-= （3）设,),,(222zx yz xy z y x f ++= 求 : )1,0,2(),

1,0,0(zzx xx f f .

解: ,2),,(2zx y z y x f x += ,2),,(z z y x f xx = .2)1,0,0(=xx f 11、验证nx e

y t

kn sin 2-=满足: 22x

y k t y ??=??. 证. =??t y nx e kn t kn sin 22--，=??x y ,cos 2

nx ne t kn -=??22x

y ,sin 22nx e

n t kn --所以22x y k t y ??=??. 12、求下列函数的全微分：

(1) 2

2

y

x y z +=

;

解: =??x z

,)(223

22y x xy +-=??y

z =++-

+2

22

222

2y x y x y y x ,)

(2

3222

y x x + (2) z

x y z x y u -+=

; 解: dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=

dz z x y dy y z x dx z x y ???? ??++???

? ??-+???

??--=222111. (3) 求函数)1ln(2

2

y x z ++=当2,1==y x 时的全微分. 解: dy y z dx x z dz ??+??=

22122y x ydy xdx +++=，.3

2642)2,1(dy

dx dy dx dz +=+= 13、求函数 z =x

y

,当x =2,y =1, △x = 0.1, △y = -0.2时的全增量和全微分。 解: .119.0211.022.01-=-+-=

?z dy y z dx x z dz ??+??=dy x dx x

y 1

2+-=