初中数学特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

中考要求

例题精讲

模块一 矩形的性质及判定

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30?角所对的边等于斜边的一半．

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

【例1】 如图，在矩形ABCD 中，点E F ，分别在边AB CD ，上，BF DE ∥，若12cm 7cm AD AB ==，，且

:5:2AE EB =，则阴影部分EBPD 的面积为

F

E B

D

【解析】省略 【答案】220cm

【巩固】如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为

D

C

B A

【解析】设每个小矩形的较短边为x ，较长边为y ，则746825x y y x +=??=?，解得4

10x y =??=?

故矩形的面积280S AB BC =?= 【答案】280

【例2】 如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，

将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ， 在将AED ?以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ?的面积为

A

B

D

C

B

A

【解析】454454AED EC AB AD CEF CF EC ∠=?=-=∠=?==，，，，所以可得面积为8 【答案】8

【例3】 如图，AB CD =，四边形ABDE 和CBFG 都是矩形，70BAC ∠=?，则DBF ∠等于

G

F

D

E

C

B

A

【解析】省略 【答案】140?

【例4】 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45?角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则

:AB BC =

D

C

B A

【解析】由图形可知：可推出:2:5AB BC = 【答案】2:5

【例5】 如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正

方形．

（1）该正方形的边长为____________；

（2）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．

【答案】（1）15 （2）如图

①作出BN ＝15（BM ＝4，MN ＝1，∠MNB ＝90°） ②画出两条裁剪线AK ，BE （AK ＝BE ＝15，BE ⊥AK ） ③平移△ABE 和△ADK

此时，得到的四边形BEFG 即为所求

【例6】 已知，如图 矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．

A

B

C

E F

D

B

C

M

【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．

∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，

∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中， ∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，

∴AFM EFG ??≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥

【答案】见解析

【例7】 如图所示，在长方形ABCD 中，点M 是边AD 的中点，点N 是边DC 的中点，AN 与MC 交于点

P ．若33MCB NBC ∠=∠+?，求MPA ∠的度数．

A

B

C

D

M P

N D C

B

A

【解析】略

【答案】如图所示，将MC 平移至AQ ，此时Q 为CB 的中点．

Q

M P

N

D C B

A

连接MB ，则MBC MCB ∠=∠， 故33MBN MCB NBC ∠=∠-∠=?． 由于ADN BCN ??≌，NAD NBC ∠=∠，

故33MPA NAQ MAQ NAD MCB NBC ∠=∠=∠-∠=∠-∠=?．

【例8】 矩形ABCD 中，34AB AD ==，，将矩形沿EF 对折，使点C 与A 重合，如图，求折痕EF 的长

G

F

E

D

C

B

A

【解析】设4CE AE x BE x ===-，，故()2

222294AB BE AE x x +=+-=，

，25

8

x =，过F 作垂线， 利用勾股定理，故得154

EF =

【答案】

154

【例9】 如图所示，在矩形ABCD 和矩形BFDE 中，若AB BF =，求证：MN CF ⊥．

N M

F

E

D

C B

A

N M

F

E

D

C

B

A

【解析】∵AB BF =，BF DE =，∴AB DE =

∵90o A E ∠=∠=，AMB ∠=EM D ∠ ∴AMB ?≌EMD ?，BM =MD

∵DM NB ∥，BM ND ∥，∴BMDN 是平行四边形 又∵BM =MD ，∴BMDN 是菱形

连接BD ，则BD MN ⊥，NB ND =，∴NBD NDB ∠=∠ 从而证得BNF ?≌DNC ?，∴NF NC =，NFC NCF ∠=∠ ∴NFC NDB ∠=∠，∴BD ∥FC ，MN BD ⊥，∴MN FC ⊥

【答案】见解析

【例10】 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=?，求

BOE ∠=

E

O

D

C B

A

【解析】∵四边形ABCD 是矩形

∴90DAB ABC OA OB ∠=∠=?=，

∵AE 平分BAD ∠，所以1

452BEA BAD ∠=∠=?

∴BA BE =

∵1560CAE BAC ∠=?∠=?， 所以ABO ?为等边三角形

∴60OB AB BE ABO ==∠=?，，所以30OBE ∠=? ∴()1

180752

BOE OBE ∠=?-∠=? 【答案】75?.

【巩固】如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则

EAC ∠=_______．

E O

D

C

B

A

【解析】∵90DAB DAE BAE ∠=∠+∠=?

∴67.5DAE ∠=?，22.5BAE ∠=?

∵AO BO =，∴67.522.545EAC ∠=?-?=?．

【答案】45?

【例11】 如图在矩形ABCD 中，已知12AD =，5AB =，P 是AD 边上任意一点，PE BD PF AC ⊥⊥，，E 、

F 分别是垂足，求PE PF +的值．

O P A

B

C

D

E

F

3

2

1O P

A

B

C

D

E

F G

M

【解析】法一：作AG BD ⊥于G ，PM AG ⊥于M ，则PE MG =

又易证123∠=∠=∠，从而Rt Rt PAM APF △≌△，

AM PF =，所以PE PF MG AM AG +=+=

而12590AD AB BAD ==∠=?，，，则13BD =． 在ABD △中，根据面积公式有11

22

AB AD BD AG ?=?， 则512601313AB AD AG BD ??=

==

，6013

PE PF +=． P

O

F

G

A

B

C D

E

N

M

E

D

C

B

A

G

F

O

P

法二：利用面积相等，连接PO 并作AG BD ⊥

1,2POD S OD PE ?=?1

2AOP S AO PF ?=?

1

2

AOC S OD AG ?=?，AO OD =，

AOD AOP DOP S S S ???=+，AG PF PE =+

51260

1313

AB AD AG BD ??===

．

法三：延长OP 过点D 作DM OP ⊥的延长线，垂足为M ，过点D 作DN AC ⊥于N ． 易证DMP DEP S S ??≌，PM PE =，由矩形DMFN 可知DN MF =，DN PF PE =+ 60,13AD DC BN AC ?==60

13

PE PF +=． 【答案】

60

13

【例12】 如图，O 是矩形ABCD 的对角线交点，过点O 作EF AC ⊥分别交AD 、BC 于F 、E ，

若2cm AB =，4cm BC =，求四边形AECF 的面积．

O

F

E

D

C

B

A

【解析】由ABCD 为矩形可知，OA OC =

又∵AD ∥BC ，∴CAD BCA ∠=∠

又EF AC ⊥，∴AOF ?≌COE ?． 故OE OF = 从而可知AECF 为菱形，∴AE CE =． 又∵4BE BC CE CE =-=-，2AB =

∴在直角ABE ?中，由勾股定理有，222(4)2CE CE -+= 解得52CE =

．故四边形AECF 的面积为5

252

?=(2cm ) 【答案】5

【例13】 如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是3、4、5，求PD 的长．

P

D

C B A

H

G

F

E

P D C

B

A O

A

B C

D

P

【解析】过P 点分别作AD 、AB 、BC 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，

显然AFPE ，EPHD ，FBGP ，PGCH 都是矩形，则

2222AP AE EP PF PE =+=+，

222PC PG PH =+，222PB PF PG =+，222PD PE PH =+，

∴22222222PA PC PE PF PG PH PB PD +=+++=+，

∴222222235418PD PA PC PB =+-=+-=，

∴PD =

另解：如图所示，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． 因为AO OC =，BO DO =，故2222111

224

OP PA PC AC =+-（中线定理）

， 2222111

224

OP PB PD BD =

+-． 而AC BD =，故2222PA PC PB PD +=+

，则PD =

【答案】【例14】 将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，610OA OC ==，．

（1）如图1，在OA 上取一点E ，将EOC △沿着EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；

（2）如图2，将矩形变为矩形OA B C '''，在OA '、OC '边上选取适当的点E F ''、，将E OF ''△沿着E F ''折叠，使O 点落在A B ''边上的D '点，过D '作D G A O ''∥交E F ''于T ，交OC '于G 点，求证：TG A E ''=

图1

【解析】（1）设OE x =，利用Rt AEO △，根据勾股定理列出方程，求得10

3

x =

（2）连接OT ，OE T D E T '''≌△△，又OE D E '''=，故OE D T ''为菱形，A E D OTG '''≌△△，所以TG A E ''=

【答案】（1）1003E ??

??

?，（2）TG A E ''=

【例15】 如图①，ABC △是直角三角形，90C ∠=?，现将ABC △补成矩形，使ABC △的两个顶点为矩形

一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画成两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）

A

B

C

C

B

A

E F A

C

B

C

A

B

图①

图②

图③

图④D

解答问题：

（1）设图②中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为12S S 、，则1S 2S （填“>”、“=”

或“<”）

（2）如图③，ABC △是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画成 个，利用图③把它画出来．

（3）如图④，ABC △是顿叫三角形且三边满足BC AC AB >>,按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画成 个，利用图4把它画出来； （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？

【解析】

F

E

C

A ,

B A

C

【答案】（1）=；（2）1；见解析（3）3，见解析（4）以AB 为边的矩形周长最小，证明方法，设出长度，利用做差法求解

【例16】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在射线BM 上．

（1）连接OE ，与边CD 交于点F ．若CE ＝OC ，求CF 的长； （2）连接DE 、AE ．若△ADE 为等腰三角形，求BE 的长．

【答案】（1）当点E 在BC 的延长线上时，过O 作OG ⊥BC 于G

则OG ＝

1

2

AB ＝3，BG ＝CG ＝

1

2

BC ＝4

∴OC ＝

3

2＋4

2

＝5

∵CE ＝OC ，∴CE ＝5

∵利用OCE △的面积相等，CE OG CF GE ?=? ∴CF ＝ 5

3

当点E 在边BC 上时，易证点F 在CD 的延长线上， 与题意不符，舍去

（2）①若AD ＝ED ＝8，且点E 在BC 的延长线上

由勾股定理，得CE ＝

DE 2－DC 2

＝

8

2－6

2

＝27

∴8BE BC CE =+=+

②若AD ＝ED ＝8，且点E 在边BC 上 同理由勾股定理,可得

B

C D

A

O

E

M

F

B

C D

A

O

E M

P B

C

D

A

O E

M

P

∴CE=

∴8 BE BC CE

=-=-③若AE＝DE

易证△AEB≌△DEC，∴BE＝CE＝1

2BC＝4

④若AE＝AD＝8

∴BE＝AE2－AB2＝82－62＝27

综上所述，若△ADE为等腰三角形，BE

的长为：8+

8-4，27

【例17】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G （即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S （cm2）．

（1）当t＝1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）当2

t>时，若8

S=，求t的值．

【答案】（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝CG＝2，EB＝10，BF＝FC＝4

S＝S梯形EBCG－S△EBF－S△FCG

＝1

2(EB＋CG)·BC－

1

2EB·BF－

1

2FC·CG

＝1

2(10＋2)×8－

1

2×10×4－

1

2×4×2＝24（cm

2）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动此时AE＝CG＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t

S＝S梯形EBCG－S△EBF－S△FCG

＝1

2×(12－2t＋2t)×8－

1

2×(12－2t)×4t－

1

2×(8－4t)×2t

＝8t2－32t＋48

即S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）

②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t＋8，解得t＝

4

D

F

G

图

1

D B C

D

A

O

E M

P

B C

D

A

O

E M

P

当2＜t≤4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动此时CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝2t－(4t－8)＝8－2t

S＝1

2FG·BC＝

1

2(8－2t)×8＝－8t＋32

即S＝－8t＋32（2＜t≤4）（3）若8

S=，则3

t=

【例18】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－1

2x＋b（b＞0）分别交x轴、

y轴于A、B两点，以OA、

OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0）、N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．

（1）求点P的坐标；

（2）求S与b的函数关系式；

（3）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，求所有符合条件的b值．

【答案】（1）过P作PE⊥MN于E，如图①

∵M（4，0）、N（8，0），∴MN＝4

∴PE＝ME＝1

2MN＝2，∴OE＝6

∴P（6，2）

（2）∵y＝－1

2x＋b，∴A（2b，0），B（0，b）

当0＜b≤2时，如图②，S＝0

当2＜b≤3时，如图③

设AC交PM于F，则F A＝MA＝2b－4

∴S＝1

2(2b－4)

2

即S＝2(b－2)2或S＝2b2－8b＋8

当3＜b＜4时，如图④

设AC交PN于G，则GA＝AN＝8－2b

∴S＝1

2×4×2－

1

2(8－2b)

2

即S＝－2(4－b)2＋4或S＝－2b2＋16b－28 当b≥4时，如图⑤，S＝4

（3）过P作PH⊥DC于H，如图⑦

若△PCD为等腰三角形，则有三种情况：

①当PC＝PD时，则DH＝1

2DC＝

1

2b

∴BH＝3

2b，∴

3

2b＝6

∴b＝4

②当PC＝DC时

则HC＝PC2－PH2＝b2－(b－2)2＝4b－4

∴BH＝2b－4b－4

∴2b－4b－4＝6，∴b1＝2，b2＝5

当b＝2时，D、C、P三点在同一直线上，不能构成三角形

③当PD＝CD时

则DH＝b2－(b－2)2＝4b－4

∴BH＝b＋4b－4，∴b＋4b－4＝6

∴b1＝8＋26，b2＝8－2 6