(全国通用版)新2020-2020高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)练

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2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)
课时过关·能力提升
1下列函数是奇函数的是( )
A.y= B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-x
解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义
域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数
均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
答案D

2设函数f(x)=+1,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数

解析由得-1≤x≤1,
即函数定义域为[-1,1],关于原点对称.

又因为f(-x)=+1=f(x),
所以f(x)是偶函数.
答案B

3若函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则实数b的值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.1或-1

解析由已知得f(0)=0,即=0,故b=0,且此时f(x)=,f(-x)==-=-f(x),
即f(x)是奇函数.
答案C

4已知偶函数y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则下列不等式一定成立的是( )
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A.f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(3)
C.f(1)>f(a2+2a+3)
D.f(a2+2)>f(a2+1)
解析因为y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,
所以y=f(x)在区间[0,+∞)内是减函数.
因为a2+2a+3=(a+1)2+2>1,
所以f(a2+2a+3)答案C

5已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )
A.4 B.0
C.2m D.-m+4
解析由已知,得f(x)+f(-x)=4,
故f(-5)+f(5)=4.
答案A

6若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
解析当x≥0时,令f(x)=2x-4>0,得x>2.
又因为函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2}.
故f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.
答案B

7若函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于 ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析在f(x+2)=f(x)+f(2)中,令x=-1得f(1)=f(-1)+ f(2).因为f(1)=,f(x)是奇函数,

所以f(-1)=-,f(2)=1,
所以f(x+2)=f(x)+1,

故f(5)=f(3)+1=f(1)+1+1=+2=.
答案C

8设函数f(x)=为奇函数,则实数a= .
解析因为f(x)是奇函数,
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所以f(-1)==0=-f(1)=-=-2(1+a).
所以a=-1.当a=-1时,f(x)==x-(x≠0),f(x)为奇函数,故a=-1.
答案-1

9已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x+m,则当x<0
时,f(x)= .
解析因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,即02+4×0+m=0,解得m=0,当x≥0时,f(x)=x2+4x.设x<0,则-x>0,
故f(-x)=(-x)2+4·(-x)=x2-4x.
又因为f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=-x2+4x.
答案-x2+4x

10已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x)+f(2),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
016)等于 .
答案0

11已知定义在(-1,1)内的奇函数f(x),在定义域上为减函数,且f(1-a)+f(1-2a) >0,求实
数a的取值范围.
解∵f(1-a)+f(1-2a)>0,
∴f(1-a)>-f(1-2a).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-2a)=f(2a-
1),

即f(1-a)>f(2a-1).
又f(x)在(-1,1)内是减函数,

∴

∴故a的取值范围是.
★12函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)= -1.
(1)求f(-1)的值;
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(2)求当x<0时函数的解析式;
(3)用定义证明f(x)在(0,+∞)内是减函数.
(1)解因为f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1)=2-1=1.

(2)解当x<0时,-x>0,故f(-x)=-1.
因为f(x)为偶函数,

所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-1=--1.
(3)证明设x1,x2是(0, +∞)内的任意两个不相等的实数,且0则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)

=-1-.
因为x1-x2<0,x1x2>0,
所以Δy<0.

故f(x)=-1在(0,+∞)内是减函数.
★13(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇
函数;
(2)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证: f(x)
是偶函数;
(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求证:f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数.
证明(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.
设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),
即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). ①
设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). ②
由①②,得f(-x)=f(x).
故f(x)是偶函数.
(3)由于对任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),
可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).
若设F (x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),
则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的区间.
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∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-
f(-x)]=-G(x
),

∴F(x)是偶函数,G(x
)是奇函数,

即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.